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理科宝典(数学)


数 学
主编 肖平安

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目录

专题 1 集合的运算…‥……‥……‥……‥………‥……‥…2 专题 2 含绝对值不等式和一元二次不等式的解法………‥……4 专题 3 函数的单调性…‥……‥……‥……‥…………‥……8 专题 4 二次函数…‥……‥……‥……‥……‥……‥……‥11 专题 5 指数与指数函数…‥……‥……‥…………‥……‥…15 专题 6 对数与对数函数…‥……‥………‥……‥………‥…17 专题 7 等差数列…‥……‥……‥……‥……‥………‥…‥20 专题 8 等比数列…‥……‥……‥……‥……‥……‥………25 专题 9 数列的求和…‥……‥……‥………‥……‥…………28 专题 10 数列的综合应用…‥……‥……‥…………‥……‥…31 专题 11 同角三角函数的基本关系式与诱导公式…‥……………35 专题 12 两角和与差的三角函数…‥……‥……‥……‥………38 专题 13 三角函数的图象 …‥…………‥……‥……‥……… 41 专题 14 三角函数的性质…‥……‥……‥……‥…………‥…46 专题 1 5 讲平面向量的数量积及运算律…‥……‥………‥… 49 专题 16 平面向量的坐标运算…‥……‥……‥…‥……………52 专题 17 解斜三角形…‥……‥‥……‥…‥……‥……………56 专题 18 直线与平面平行和平面与平面平行…‥………‥………60 专题 19 直线与平面垂直和平面与平面垂直‥………‥…………64 专题 20 空间角…‥……‥……‥……‥……‥………‥………69 专题 21 空间距离…‥……‥………‥……‥……‥……‥…‥74 专题 22 棱柱与棱锥…‥……‥……‥……‥………‥……‥…79 专题 23 球…‥……‥……‥……‥……‥………‥……‥……84 专题 24 排列与组合…‥……‥…‥…………‥……‥…‥…‥88 专题 25 二项式定理…‥‥……‥……‥…‥…‥………………93 专题 26 互斥事件、相互独立事件发生的概率……‥………‥…97 专题 27 导数的概念及运算…‥…………‥………‥…‥…… 101 专题 28 导数的应用…‥……‥……‥…‥……‥………‥… 105 参考答案…‥……‥……‥……‥………‥……‥‥…‥…‥111

专题 1
扫描考点→明确目标

集合的运算

1. 了解子集的概念. 2. 理解补集、交集、并集的概念. 3. 掌握有关运算符号,会求指定集合的补集、交集和并集.

梳理考点→理解目标
1. 子集的概念 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果_________________,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作_______(或 B ? A ). 这时我们也说集合 A 是集合 B 的____. 2. 补集的概念 一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S) ,由 S 中所有__________的元 素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) ,记作 ?S A =__________. 3. 交集的概念 一般地,由所有属于__________的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B (读作“A 交 B” ) ,即 A∩B=__________. 4. 并集的概念 由所有属于__________的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A∪B(读作“A 并 B” ) ,即 A∪B=__________. 5. 交集的运算性质 A∩A=__________,A∩ ? =__________,A∩B=B__________A; 6. 并集的运算性质 A∪A=__________,A∪ ? =__________,A∪B=B__________A; 7. 补集的运算性质 A∪ ?S A =_____________,A∩ ?S A =___________, ?S (?S A) =_________.?

典例分析→点亮考点
考点 1 集合的运算 【例 1】 设集 A = {x | x 2 + 4 x = 0, x ∈ R}, B = { x | x 2 + 2( a + 1) x + a 2 ?1 = 0, a ∈ R, x ∈ R}, 若 B ? A , 求实数 a 的值. 【解答】 ∵A={0,-4}, B ? A . (1)当 A=B 时,此时 B={0,-4}. 由此知 0,-4 是方 x ? 2( a + 1) x + a ? 1 = 0 的两根.
? ?a (a + 1) = ?4, 由韦达定理和 ? 2 解得 a=1. ? a ? 1 = 0,
2 2

(2)当 B ? A 时, ≠

2

① B ≠ ? 时, 即 B={0}或 B={-4}, ? = 4(a + 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) = 0 , 解得 a=-1, 此时 B={0}. ②当 B ≠ ? 时, ? = 4(a + 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) < 0 ,解得 a<-1. 综上(1) (2)知,所求的实数 a 的值为 a≤-1 或 a=1. 【题根法解读】 正确理解子集的意义是解决问题的关键, 丢掉空集的特殊情形是本题的一 个易错点. 【例 2】 已知 A={x|x2≥9},? B = {x |
x?7 ≤ 0}, C = { x x ? 2 < 4}. x +1

(1)求 A∩B 及 A∪C; (2)若 U=R,求 A ∩ ?U ( B ∩ C ) . 【解答】 先将 A、B、C 化简,然后根据交集、并集、补集的定义求解. 由 x2≥9 得 x≥3, 或 x≤-3, ∴A={x|x≥3 或 x≤-3}. 又由不等式
x?7 ≤ 0, 得 ? 1 < x ≤ 7, x +1

∴B={x|-1<x≤7}. 又由|x-2|<4,得-2<x<6. ∴C={x|-2<x<6}.

(1) A ∩ B =(x|3≤x≤7), 如图(a)所示; ={x|x≤-3,或 x>-2},如图(b)所示. A∪C (2)∵U=R, B ∩ C = { x | ?1 < x < 6}, ∴ ?U ( B ∩ C ) = {x | x ≤ ?1或x ≥ 6}, ∴ A ∩ ?U ( B ∩ C ) = {x | x ≤ ?3或x ≥ 6}. 【题根法解读】 数轴是解决数集问题的有效工具,它体现了数形结合的思想方法,简捷、 直观,但在运用时,要特别关注边界值的取舍.

考点 2 集合与其它知识的交汇 【例 3】 已知 A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},且 A∩B={3},A∪B={3,5}, 求 a,b,c 的值. 【解答】 ∵ A ∩ B = {3},∴ 3 ∈ B ,即 9+3c+15=0, ∴c=-8, ∴ B = {3,5} = A ∪ B. 又∵ A ∩ B = {3},∴ A = {3}, 即方程 x2+ax+b=0 有等根. 0 ? = a 2 ? 4b = 0, 且 ?
a = 3. 2

∴a=-6, b=9,即 a=-6, b=9, c=-8. 【题根法解读】 本题要求在已知集合的关系下,求系数 a, b, c 的值,注意到已知的两个 集合都是方程的解集,因此可以利用方程知识来求解.
? y ?3 ? 设全集 U={(x,y)|x∈R,y∈R}, S = ?( x, y ) = a + 1? , x?2 ? ?

【例 4】

3

P={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15}.
(1)若 a=0,求 ?U ( S ∪ ?U P ) ; (2)若 S∩P= ? ,求实数 a 的值. 【解答】 (1)a=0, ∴S={(x, y)|y=x+1, x≠2}, P={(x, y)|y=-x-15}, 联立二方程,求得交点为(-8,-7) , ∴ ?U ( S ∪ ?U P ) = ?U S ∩ P = {( x, y ) | y = ? x ? 15, 且x ≠ ?8}. (2)若 P = ?, 即a = 1, S ∩ P = ?; 若 y-3=(a+1)(x-2)与(a2-1)x+(a-1)y=15 平行, 则 a=-1,也有 S ∩ P = ?;
5 若直线(a2-1)x+(a-1)y=15 过点(2,3) ,即 a=-4 或 a = , S ∩ P = ?, 2 5 综上所述,实数 a ∈ {?4, ?1,1, }. 2

【题根法解读】 若集合表示点集, 在分析集合的运算关系时, 可以转化为集合表示的图形, 根据数形结合的思想方法去解,这样往往使题目变得简单直观.

巩固练习→挑战考点
1. 已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5},则集合 M ∩ ?U N = ( ) ?D. {0,1,3,4,5} )

?A. {5} ?B. {0,3}? ?C. {0,2,3,5} 2. 设集合 A={x|| x-a|<2},B={x|-2<x<3},若 A ? (A∩B),?则(

?A. 0≤a<1 ?B. 0<a<1? ?C. 0<a≤1 ? D. 0≤a≤1? 3. 设 x,y∈R,A={(x,y)|4x-y-3=0},B={(x,y)|2x-3y+11=0},则 A∩B=__________. 4. 如图,U 是全集,M、P、S 是 U 的三个子集,则阴影部分 表示的集合是___________.?
2 2 2 5. 已知 A = {a1 , a2 , a3 , a4 }, B = {a12 , a2 , a3 , a4 } ,其中 a1<a2<a3<a4,

且 a1,a2,a3,a4∈N+. 若 A∩B={a1,a4},a1+a4=10, 且 A∪B 中所有元素之和为 124,求集合 A,B. 6. 已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}. (1)若 A∩B={9},求 A∪B; (2)是否存在实数 a 使得 card(A∪B)=4?若存在,求出所有的实数 a 的值;若不存在, 请 说明理由.

专题 2

含绝对值不等式和一元二次不等式的解法

扫描考点→明确目标
1. 掌握含有绝对值不等式的解法. 2. 掌握一元二次不等式的解法.

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3. 掌握可化为一元二次不等式与不等式组的解法. 4. 能运用两类不等式的有关知识解决实际问题.

梳理考点→理解目标
1. 最基本绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a 2. |ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法? (1)|ax+b|<c(c>0)型不等式的解法是:先化为不等式组___________,再由不等式的 性质求出原不等式的解集.? (2)|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法是:先化为 ___________或___________,再进一 步利用不等式的性质求出原不等式的解集.? 3. 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集如下表: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 2 y=ax +bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0) 的根
2

解集

a>0

a=0

a<0

Δ>0 y=ax2+bx+c

Δ<0 y=ax2+bx+c

Δ=0 y=ax2+bx+c

有两根异实根 x1,x2(x1<x2)

有两相等实根
x1 = x2 = ? b 2a

没有实根

ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集

典例分析→点亮考点
考点 1 含绝对值不等式的解法 【例 1】 解不等式|x-1|+|2-x|>3+x. 【解答】 原不等式即为|x-1|+|2-x|>3+x 若|x-1|=0, x=1;若|x-2|=0, x=2,这样 1、2 把数轴分成了三部分,如图所示.

(1)当 x≤1 时,x-1≤0, x-2<0,不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x,即 x<0. 此时,得 {x | x ≤ 1} ∩ {x | x < 0} = {x | x < 0}. (2)当 1<x≤2 时,x-1>0, x-2=0,∴原不等式变为 x-1-(x-2)>3+x,即 x<-2.
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此时,得 {x | 1 < x ≤ 2} ∩ {x | x < ?2} = ?. (3)当 x>2 时,x-1>0, x-2>0,∴原不等式变为 x-1+x-2>3+x,即 x>6. 此时,得 {x | x > 2} ∩ { x | x > 6} = { x | x > 6}. ∴原不等式解集为{x|x<0 或 x>6}. 【题根法解读】 含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段讨论法解决,首先找 到使绝对值为零的点,然后利用数轴划分区间,分段讨论,再求各段结果 的并集. 【例 2】 若 a∈R,且 a≠0,解关于 x 的不等式
| x?a| < a ? 1. a

【解答】 (1)若 a>0,则不等式化为|x-a|<a(a-1). 当 0<a≤1 时,a(a-1)≤0, 不等式不成立,解集为 ? ; 当 a>1 时,则 a(a-1)>0, ∴-a(a-1)<x-a<a(a-1), ∴-a2+2a<x<a2; (2)若 a<0,则|x-a|>a(a-1), ∵a(a-1)>0, ∴x-a<-a(a-1), 或 x-a>a(a-1), 即 x<-a2+2a, 或 x>a2. 综合(1) 、 (2) ,a<0 时,解集为{x|x<-a2+2a, 或 x>a2}; 0<a≤1 时,解集为 ? ; a>1 时,解集为{x|-a2+2a<x<a2}. 【题根法解读】 解含有字母的绝对值不等式时,去掉绝对值是基本前提,选择适当的标准 对字母进行分类讨论是求解的关键. 【例 3】 解关于 x 的不等式; ax2-2≥2x-ax(a∈R). 【解答】 由于不等式中最高次幂系数为 a, (a ∈ R ) ,因而它可能为零,也可能大于零或小 于零,因此,对 a 进行分类讨论. 原不等式变形为 ax2+(a-2)x-2≥0, ①a=0 时,x≤-1; ②a≠0 时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0,
2 2 a+2 当 a>0 时, x ≥ 或x ≤ ?1, 由于 ? (?1) = . a a a

于是,当-2<a<0 时,

2 ≤x≤-1. a 2 . a

当 a=-2 时,x=-1,当 a<-2 时,-1≤x≤ 综上所述,a=0 时,x≤-1;

a>0 时,x≥
-2<a<0 时,

2 或 x≤-1; a 2 ≤x≤-1; a 2 . a

a=-2 时,x=-1; a<-2 时,-1≤x≤

【题根法解读】 此类方程求解讨论时常从两个方面入手,一是方程的类型讨论,二是一元 二次不等式所对应的一元二次方程的根的情况的讨论. 【例 4】 已知 a∈ R,二次函数 f(x)=ax2- 2x- 2a. 设不等式 f(x)>0 的解集为 A ,又知集合 B={x|1<x<3}.若 A∩B≠ ? ,求 a 的取值范围.

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【解答】 由 f(x)为二次函数知 a≠0. 令 f(x)=0 解得其两根为 x1 = 由此可知 x1<0, x2>0. (1)当 a>0 时, A = {x | x < x1} ∪ { x | x > x2 }.
A ∩ B ≠ ? 的充要条件是 x2<3,即

1 1 1 1 ? 2 + 2 , x2 = + 2 + 2 . a a a a

1 1 6 + 2 + 2 < 3, 解得 a > . a a 7 1 1 + 2 + 2 > 1 , 解得 a < ?2. a a

(2)当 a<0 时,A={x|x1<x<x2}.
A ∩ B ≠ ? 的充要条件是 x2>1,即

6 综上,使 A ∩ B ≠ ? 成立的 a 的取值范围为 (?∞, 2) ∪ ( , +∞). 7

【题根法解读】

本题以二次函数,一元二次方程和一元二次不等式的内在联系为背景, 综 合考查了函数与方程思想、 分类讨论思想和数形结合思想, 集合间的关系 及充要条件,虽难度不大,但突出考查了考生准确、严谨、全面、灵活运 用知识的能力和基本运算能力, 同时也更加体现了二次函数仍是高考的重 点和热点.

考点 3 解不等式的应用 【例 5】 某段城铁线路上依次有 A,B,C 三站,AB=5 km,BC=3 km.在列车运行时刻表上, 规定列车 8 时整从 A 站发车, 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 min, 8 时 12 分到达 C 站.在实际运行时,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 min,并在行驶时 以同一速度 v km/h 均匀行驶,列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间 之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. (1)分别写出列车在 B,C 两站的运行误差; (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 min,求 v 的取值范围. 【解答】 (1)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:min)分别 |
300 480 ?7|和| ? 11 | . v v

(2)由于列车在 B,C 两站的运行误差不超过 2min,所以
| 300 480 ?7|+| ? 11 |≤ 2. ① v v 300 300 480 300 时,①式变形为 ?7+ ? 11 ≤ 2, 解得 39 ≤ v ≤ . 7 v v 7

当0<v < 当

300 480 300 480 300 480 < v≤ 时,①式变形为 7 ? + ? 11 ≤ 2, 解得 < v≤ . 7 11 v v 7 11 300 480 480 480 195 时,①式变形为 7 ? + 11 ? ≤ 2, 解得 < v≤ . 11 v v 11 4 195 ]. 4

当v >

综上所述,v 的取值范围是 [39,

【题根法解读】 正确理解题意,分析题中各元素之间的关系,构造不等式模型求解,解应 用题的关键在于合理建构数学模型,但最终结果还应回到实际问题中来.

巩固练习→挑战考点
1. 已知集合 A={x|x2-5x+6≤0},集合 B={x||2x-1|>3},则集合 A∩B=( ) ?A. {x|2≤x≤3} ?B. {x|2≤x<3} ?C. {x|2<x≤3} ?D. {x|-1<x<3}

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? x > 0, ? 2. 不等式组 ? 3 ? x | 2 ? x | 的解集是( ?3 + x > | 2 + x | ?



?A. {x|0<x<2} ?B. {x|0<x<2.5} ?C. {x|0<x< 6 } ?D. {x|0<x<3} 2 3. 不等式 x +3|x|<10 的解集是___________.? 4. 已知关于 x 的不等式|ax+3|>7 的解集为{x|x>2,或 x<-5},则实数 a 的值为___________. 5. 解不等式
1 1 ≤ . ????????????? x2 ? 2 | x |

6. 设全集 I=R,已知集合 M={x||x-a|<1},N={x|x2-(a+3)x+3a>0},其中 a∈R. 若 (?I M ) ∩ (?I N ) = ? ,求 a 的取值范围.

专题 3 函数的单调性
扫描考点→明确目标
1. 2. 3. 4. 了解单调函数及单调区间的概念. 掌握一些简单函数单调性的判断和证明方法. 熟练掌握增、减函数的意义. 理解单调函数的性质.

梳理考点→理解目标
1. 函数单调性定义 (1)增函数? 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的 _____________________ ,当 x1<x2 时,都有 ___________,那么就说 f(x)在这个区间上是增函数. (2)减函数 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的 _____________________ ,当 x1<x2 时,都有 ___________,那么就说 f(x)在这个区间上是减函数. (3)单调性? 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严 格的)____________,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象(从左到 右看)是______的,减函数的图象(从左到右看)是______的. 2. 复合函数的单调性 对于复合函数 y=f[g(x)] ,若 u=g(x)在区间[a,b]上的单调性与 y=f(u)在[g(a),g(b)] (或[g(b),g(a)] )上的单调性相同,则复合函数 y=f[g(x)]在[a,b]上单调递增;否则 单调递减(即“同增异减” )

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 函数单调性的证明或判别 判断函数 f ( x) =
ax (a ≠ 0) 在区间(-1,1)上的单调性. x ?1
2

8

【解答】设-1<x1<x2<1. 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

a( x1 x2 + 1)( x2 ? x1 ) ( x1 x2 + 1)( x2 ? x1 ) .∵ > 0, 2 2 ( x12 ? 1)( x2 ? 1) ( x12 ? 1)( x2 ? 1)

∴a>0 时,函数 f(x)在(-1,1)上递减;a<0 时,函数 f(x)在(-1,1)上递增. . 【题根法解读】 用定义法判断函数单调性的关键在于比较 f(x1)与 f(x2)?的大小,一般的方 法是作差、因式分解,出现几个因式乘积,从而便于判断符号 .导数法也 是常用的方法. 考点 2 【例 2】 函数单调区间的划分 已知函数 f ( x) =
x ( x ∈ R ) ,求 f(x)的单调区间,并加以证明. x2 + 1

【解答】 由函数的单调区间(增区间,减区间)的定义入手分析,取 x1<x2,分析 f(x1)-f(x2) 差的符号,由此找出单调增区间与单调减区间.
x ( x ∈ R ) 是奇函数,∴只需研究 (0, +∞ ) 上 f(x)的单调区间即可. x +1 任取 x1 , x2 ∈ (0, +∞) ,且 x1<x2,则

∵ f ( x) =

2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

x1 x ( x ? x )( x x ? 1) ? 2 2 = 2 2 1 12 2 . x12 + 1 x2 +1 ( x1 + 1)( x2 + 1)

2 ∵ x12 + 1 > 0, x2 + 1 > 0, x2 ? x1 > 0,

而 x1 , x2 ∈ [0,1] 时, x1 x2 ? 1 < 0, x1 , x2 ∈ [1, +∞), x1 x2 ? 1 > 0, ∴当 x1 , x2 ∈ [0,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0, 函数 y=f(x)是增函数; 当 x1 , x2 ∈ [1, +∞ ] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0, 函数 y=f(x)是减函数; 又 f(x)是奇函数,∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在 (?∞,1] 上是减函数; 又 x ∈ [0,1], u ∈ [ ?1, 0] 时,恒有 f(x)≥f(u),等号只在 x=u=0 时取到, 故 f(x)在[-1,1]上是增函数. 【题根法解读】 确定函数的单调区间首先要考虑函数的定义域,因为单调区间是定义域的 一个小区间,在某个区间上具有单调性不表明在整个定义域上具有单调 性,而且对于含字母的单调区间的确定需要分类讨论. 考点 3 复合函数的单调性 【例 3】 求下列函数的单调区间,并指出其增减性. (1) y = a1? x (a > 0且a ≠ 1) ;
2

(2) y = log 1 (4 x ? x 2 ).
2

【解答】 先确定复合函数的定义域,以及内、外函数的单调性变化,由此确定函数的单调 区间. (1)令 t=1-x2,则 t=1-x2 的递减区间是 [0, +∞) ,递增区间是 (?∞, 0]. 又当 a>1 时,y=at 在 (?∞, +∞) 上是增函数;当 0<a<1 时,y=at 在 (?∞, +∞) 上是减 函数. ∴当 a>1 时,函数的单调减区间是 [0, +∞) ,单调增区间是 (?∞, 0] ; 当 0<a<1 时,函数的单调减区间是 (?∞, 0] ,单调增区间是 [0, +∞). (2)由 4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4). 令 t=4x-x2, ∵t=4x-x2=-(x-2)2+4. ∴t=4x-x2 的递减区间是 [2, 4) ,递增区间是 (0, 2].

9

又 y = log 1 t 在 (0, +∞ ) 上是减函数,
2

∴函数的单调减区间是 (0, 2] ,单调增区间是 [2, 4). 【题根法解读】 复合函数 y=f[g(x)]的单调性规律为“同增异减” ,即 f(x)与 g(x)若具有 相同的单调性,则 f[g(x)]必为增函数;若两者单调性不同,则 f[g(x)] 必为减函数,求复合函数单调性的步骤为: ①求复合函数的定义域; ②把复合函数分解为基本函数; ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围; ④由复合函数的单调性规律判断其单调性或单调区间.

考点 4

函数单调性的应用

【例 4】 设函数 f ( x) = x 2 + 1 ? ax ,其中 a>0,求 a 的取值范围,使 f(x)在 [0, +?) 上为单 调函数. 【解答】 设 0≤x1<x2,
2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x12 + 1 ? x2 + 1 ? a ( x1 ? x2 ) = ( x1 ? x2 )(

x1 + x2
2 x + 1 + x2 +1 2 1

? a ).

(1)当 a≥1 时,∵

x1 + x2 x +1 + x +1
2 1 2 2

< 1,∴

x1 + x2
2 x + 1 + x2 +1 2 1

? a < 0.

又 x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴当 a≥1 时,函数 f(x)在区间 [0, +∞) 上是单调递减函数. (2)当 0<a<1 时,∵f(0)=1, f(1)= 2 ? a ,显然 f(0)与 f(1)的大小关系不定. ∴当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间 [0, +∞) 上不是单调函数. 综上,当且仅当 a≥1 时,函数 f(x)在区间 [0, +∞) 上单调递减. . 【 题根 法解 读】 解 法 1 中 为何 要分 a ≥ 1 和 0<a<1 , 因为 从条 件 0 ≤ x1<x2 观 察知 ,
x1 + x2
2 x + 1 + x2 +1 2 1

恒小于 1,另外本题也可用导数求.

巩固练习→挑战考点
1. 奇函数 f(x)在区间[-b,-a]上单调递减,且 f(x)>0(0<a<b) ,那么|f(x)|在区间[a,b] 上( ) ?A. 单调递增 ?B. 单调递减 ?C. 不增不减 ? D. 无法判断单调性 2. 若函数 y=f(x)是偶函数,x∈R,在 x<0 时,y 是增函数,对于 x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则 ( ) ?A. f(-x1)>f(-x2) ?B. f(-x1)=f(-x2) ?C. f(-x1)<f(-x2)?D. 以上都有可能
1 3. 若函数 y = x 2 ? ( a ? 1) x + 5 在( ,1)上是增函数,则 a 的取值范围是___________.? 2

4. 若奇函数 f(x) 在[ 3, 7 ]上是增函数且最小值为 5 ,那么 f(x) 在区间[- 7 ,- 3 ]上是 ____________函数,且最大值为___________.?

10

5. 设函数 f(x)是奇函数,对任意 x、y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2, 求 f(x)在[-3.3]上的最大值和最小值.? 6. 已知 f ( x) =
x?a 中奇函数. x + bx + 1
2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间,并加以证明; (Ⅲ)求 f(x)的值域.

专题 4
扫描考点→明确目标
1. 掌握二次函数的概念、图象和性质; 2. 能利用二次函数解决与之有关的问题.

二次函数

梳理考点→理解目标
1. 二次函数的解答式的三种形式 一般式:f(x)=___________________; 顶点式:f(x)=___________________; 双根式:f(x)=___________________ 2. 二次函数的性质 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x = ? 标是( ?
b 4ac ? b 2 ) , 2a 4a b 时, [ f ( x )]min =___________; 2a b 时, [ f ( x )]max =___________. 2a b ,顶点坐 2a

(1)当 a>0 时,抛物线开口________,函数在___________上递减,在___________上 递增,当 x = ?

(2)当 a<0 时,抛物线开口________,函数在___________上递增,在___________上 递减,当 x = ?

(3)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,当______时,图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、 M2(x2,0),|M1M2|=|x1-x2|. 3. 二次函数在闭区间上的最值 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)在区间[m、n]上的最值. 当?
b < m 时,f(x)单调递增,最小值为________,最大值为_______; 2a b b < n 时,最小值为 ___________,最大值为 f(m)或 f(n)( m,n 离 ? 较远的 2a 2a

当m≤?

一个为最大). 当?
b > n ,f(x)单调递减,最小值为 f(n),最大值为 f(m). 2a

4. 一元二次方程实根分布

11

一元二次方程 ax2+bx+c=0 在区间内求根问题,一般情况下,结合二次函数图象从三个 方面考虑:①判别式;②区间端点函数值的正负;③对称轴 x = ?
b 与区间端点的关系. 2a

典例分析→点亮考点
考点 1 二次函数的解答式 【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次 函数. 【解答】 利用二次函数一般式. 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
? ? 4a + 2b + c = ?1, ? a = ?4, ? ? ? 由题意得 ? a ? b + c = ?1, 解之得 ?b = 4, ? ?c = 7. 2 ? ? 4ac ? b = 8, ? ? 4a

∴所求二次函数为 y=-4x2+4x+7. 【题根法解读】 求二次函数的解答式的关键是待定系数的求法,由题目的条件,合理地选 择二次函数解答式的表达形式,最简地求出解答式是关键之关键. 考点 2 二次函数的图象与性质 【例 2】 已知函数 f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a] ,并且函数 f(x)?的最 小值为 f(a),则实数 a 的取值范围是___________. 【解答】 由题意及图知, f(x)图象的对称轴 x=3 在区间[1,a]的右边, 即 1<a≤3,即 a 的取值范围是 (1,3]. 【题根法解读】 对于二次函数图象要从开口方向、顶点、对称轴及 与坐标轴的交点 4 个方面去把握. 考点 3 二次函数在区间内的最值问题 【例 3】 已知 f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1] ,若 f(x)的最小值为 h(t),写出 h(t)的表达式.
3 【解答】 如图所示,∵函数图象的对称轴为 x = ? , 2 3 5 (1)当 t + 1 ≤ ? , t ≤ ? 时,即 h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 2 2 5 即 h(t ) = t 2 + 5t ? 1(t ≤ ? ) . 2 3 5 3 3 29 (2)当 t ≤ ? < t + 1, 即 ? < t ≤ ? 时, h(t ) = f (? ) = ? . 2 2 2 2 4 3 (3)当 t > ? 时,h(t)=f(t)=t2+3t-5. 2

12

5 ?2 ?t + 5t ? 1(t ≤ ? 2 ), ? 3 ? 29 5 综上可得 h(t ) = ? ? ( ? < t ≤ ? ), 2 2 ? 4 3 ?2 ?t + 3t ? 5(t > ? 2 ). ?

【题根法解读】

本题从反面论证函数图象与 x 轴交点位置的问题,是常用的方法.本题的 实质是运用函数与方程的思想方法, 将二次函数图象的问题转化为二次方 程根的问题,进而应用判别式讨论.

考点 4 【例 4】

二次方程的实根的分布 设二次函数 f ( x) = x + ax + a ,方程 f(x)-x=0 的两根 x1 和 x2 满足 0<x1<x2<1.
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较 f (0) f (1) - f (0) 与

1 的大小,并说明理由. 16

【解答】 (1) 令 g ( x) = f ( x) ? x = x 2 + (a ? 1) x + a ,由题意可得
? ? > 0, ? ?a > 0 1? a ? < 1, ? ?0 < ? ? ?1 < a < 1 ? 0 < a < 3 ? 2 2. 2 ? ? g (1) > 0, ? ?a < 3 ? 2 2, 或a > 3 + 2 2 ? g (0) > 0, ? ?

故所求实数 a 的取值范围是 (0,3 ? 2 2). (2) f (0)i f (1) - f (0) = g (0) g (1) = 2a 2 , 令 h(a) = 2a 2 , ∵当 a>0 时,h(a)单调增加,∴当 0<a< 3 ? 2 2 时
1 1 0 < h(a ) < h(3 ? 2 2) = 2(3 ? 2 2) 2 = 2(17 ? 12 2) = 2i < , 17 + 12 2 16

【题根法解读】 讨论二次方程根的分布问题,一般都是与对应的二次函数的图象联系在一 起,利用数形结合的思想解决. 考点 5 二次函数的综合应用 【例 5】 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=-bx,其中 a,b,c 满足 a>b>c, a+b+c=0(a,b,c∈R 且 a≠0). (1)求证:两函数的图象交于不同的两点 A,B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 之长的取值范围.
? y = ax 2 + bx + c, 【解答】 (1)联立 ? 得 ax2+2bx+c=0. y = ? bx , ?



13

a 3 ? = 4(b 2 ? ac) = 4[( a + c) 2 ? ac] = 4( a 2 + ac + c2 ) = 4[( c + ) 2 + a 2 ], 2 4

又∵a≠0, ∴△>0,故两函数图象有两个不同的交点.
b c (2)设①的两个根为 x1, x2,由韦达定理得 x1 + x2 = ? , x1 x2 = , a a

∴ | A1 B2 |2 =| x2 ? x1 |2 =

? c 1 3 = 4[( + ) 2 + ]. 2 a a 2 4

∵a>b>c. a+b+c=0, ∴a>-a-c>c, 3a>a+b+c=0,即 2a>-c, -a>2c, a>0,
c 1 ∴ ∈ (?2, ? ). a 2

此时|A1B1|2 为

c 1 在 (?2, ? ) 上的减函数,从而 | A1 B1 |2 ∈ (3,12) , a 2

故|A1B1|的范围是 ( 3, 2 3). 【题根法解读】 一元二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体,要深 刻理解它们之间的关系,运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化, 是准确解题的关键.

巩固练习→挑战考点
1. 设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为图中之一,则 a 的值为( )

?1 ? 5 ?1 + 5 ?D. 2 2 2 2. 函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(

?A. 1

?B. -1

?C.

) ?A. a∈(-∞,1) ?B. a∈[2,+∞] ?C. a∈[1,2] ?D. a∈(-∞,1)∪[2,+∞] 2 2 3. f(x)=x +2ax+a +b,当 f(x)在区间(-∞,1)上为减函数时,a 的取值范围为___________; 若 x ∈ R, 恒有 f(x)≥0, 则 b 的取值范围为___________; 若 f(x)为偶函数, 则有___________. 4. 函数 f ( x) =
1 2 3 (b>1) ,则 b=___________. x ? x + 的定义域和值域都是[1,b] 2 2

5. 二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解答式; (2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 6. 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧, 求实数 m 的 取值范围.

14

专题 5

指数与指数函数

扫描考点→明确目标
1. 理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质 .掌握指数函数的概念、图象和 性质. 2. 能够运用函数的性质、指数函数的性质解决某些简单的实际问题.

梳理考点→理解目标
1. 分数指数幂 (1)形如 ab=N 的式子就是指数式,其中 a 是________,b 是________,N 是______. (2)分数指数幂
m

a n =______(a>0,m,n∈N*,且 n>1); a
?

m n

=______(a>0,m,n∈N*,且 n>1).

(3)幂的运算性质 am·an=______(a>0,m,n∈Z) ; m n (a ) =______(a>0,m,n∈Z); (ab)n=______(a>0,b>0,n∈Z). 2. 指数函数的定义、图象和性质 定义

y=ax(a>0,a≠1)的函数叫做指数函数 a>1
1>a>0

图象

性质

(1)x∈R,y>0. (2)图象过______点. (3)当 x>0 时,______; 当 x<0 时,______. (4)y=ax 为______.

(1)x∈R,y>0. (2)图象过______点. (3)当 x>0 时,______; 当 x<0 时,y______. (4)y=ax 为_____.

典例分析→点亮考点
考点 1 幂指数运算性质 【例 1】 求下列各式的值:
3 6

( 1)

xy 2

x5 i 4 y 3

;

2 3 × ( ) ?2 ? 4 ?1 3 (2) . 1 2 ? ( ) ?1 5
1 2

【解答】 (1)

3 6

xy 2

x5 i 4 y 3

=

x3 y 3
5 3

= x3 6 y 3

1 5 ?

2 3 ? 4

= x 2y

?

1

?

1 12

.

x6 y4

15

2 9 1 3 × ( ) ?2 ? 4 ?1 3× ? 3 4 4 = ? 13 . ( 2) .= 1 2?5 6 2 ? ( ) ?1 5

【题根法解读】

运用指数幂的性质运算是解决这类问题的关键.

考点 2 指数函数的图象与性质 【例 2】 比较下列各组数的大小.? (1)0.21.5 和(-0.2)2.4; (2)60.7 和 0.76. 【解答】 (1) ∵ (?0.2)2.4 = 5 (?0.2)12 = (0.2)2.4 , 考查 y = 0.2 x 的性质, 知它为减函数, 且 2.4>1.5, ∴ 0.21.5 > 0.22.4 = (?0.2)2.4 . (2)∵ 60.7 > 60 = 1, 0.76 < 0.70 = 1,∴ 60.7 > 0.76. 【题根法解读】 对底数相同的两个指数大小的比较,一般直接用单调性,对于底数与指数 均不相同的两数大上的比较,一般考虑插值法比较.
?2 ? x ? 1, x ≤ 0; ? 设函数 f ( x) = ? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 2 ? x x > 0. ?

【例 3】

? A. (-1,1) ?B. (-1,+∞) ? C. (-∞,-2)∪(0,+∞) ?D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 【解答】 方法 1: (特值法)令 x0=0, f(0)=0,排除 A、B; 令 x0=1, f(1)=1,排除 C,故选 D. 方法 2: (图象法)作出函数 f(x)的简图,如图所示. 由图可知,x0 的取值范围为 (?∞, ?1) ∪ (1, +∞) ,选 D. 【题根法解读】 本题考查指数函数和函数概念,以及函数不等式的解法 等知识的应用. 方法 1 中的特殊值法作为一种选择题 的解法要予以掌握,方法 2 体现了数形结合的思想, 应用非常广泛.
ex a + . a ex

【例 4】

设定义在实数集 R 上的函数, f ( x) =

(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究单调性. 【解答】 (1)假设可能. 因定义域是 R,且有 f(-x)=-f(x), ∴ f ( x) =
ex a e? x a + x = ? f (? x) = ?[ + ?x ] a e a e

可得 ?(1 + a 2 )e 2 x = 1 + a 2 . ∵ e 2 x = ?1 显然不成立,∴f(x)不可能是奇函数. (2)因 f(x)是偶函数,∴有 f(x)=f(-x), 即
e x a e? x a + = + . a ex a e? x

∴ (e x ) 2 i(1 ? a 2 ) = 1 ? a 2 ,因此有 a 2 ? 1 = 0, 得a = ±1.
16

当 a=1 时, f ( x) = e x + 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = e x1 +

1 ,讨论单调性:取 x1、x2(任意)且 x1<x2, ex

1 1 (e x1 ? e x2 )(e x1 + x2 ? 1) x2 ? e ? = e x1 e x2 e x1 ie x2

其中 e x1 ie x2 > 0, e x1 ? e x2 < 0, 当 e x1 + x2 ? 1 > 0 时,f(x1)<f(x2),∴f(x)为增函数. 此时需要 x1+x2>0,即增区间为 [0, +∞) ;反之, (?∞, 0] 为减区间. 当 a=-1 时, 同理, (?∞, 0] 为增区间, [0, +∞) 为减区间. 【题根法解读】 单调性的证明一般利用定义,本题为探索 a 的值,在满足是偶函数的情况 下,判断其单调性,一般的单调性与奇偶性的考查易与指数函数结合.

巩固练习→挑战考点
1. 下列大小关系正确的是( ) 3 0.4 3 ?A. 0.4 <3 <log40.3?B. 0.4 <log40.3<30.4?C. log40.3<0.43<30.4 ?D. log40.3<30.4<0.43
1 1 2. 已知实数 a、b 满足等式 ( )a = ( )b ,下列五个关系式: 2 3

①0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b; ④b<a<0; ⑤a=b. 其中不可能 ) . . . 成立的关系式有( ?A. 1 个 ?B. 2 个 ?C. 3 个 ?D. 4 个
3 ? 1 2 1 1 4. 已知 a = ( ) 3 , b = 2 2 , c = ( ) 3 ,则 a、b、c 的大小关系是___________. 2 2 x 4. 若直线 y=2a 与函数 y=|a - 1|( a>0 且 a≠ 1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ___________.? - 5. 已知函数 f(x)=3x+k(k 为常数) ,如果 A(a+k,1) 、B(a-k,a)是函数 y=f 1(x)象上不 同的两点,求 a、k 的值及 AB 中点 C 的坐标.

6. 设 a 为实数, f ( x) = a ?

2 (x∈R). 2 +1
x

(1)证明:对于任意实数 a,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; (3)当 f(x)为奇函数时,对于给定的正实数 k,解不等式:? f ?1 ( x ) > log 2
1+ x . k

专题 6 对数与对数函数
扫描考点→明确目标
1. 理解对数的概念,掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图象和性质.? 2. 能够运用函数的性质、对数函数的性质解决某些简单的实际问题.?

梳理考点→理解目标
1. 对数概念 (1)如果 ab=N(a>0,a≠1) ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作___________. (2)对数恒等式 a loga
N

=________(a>0,a≠1,N>0).
17

(3)对数的性质: ①零和_________没有对数; ②1 的对数是_________,loga1=0(a>0,a≠1); ③底数的对数等于 1,logaa=1(a>0,a≠1). 2. 对数的运算性质: 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=___________; ②___________=logaM-logaN; ③ log a M n =___________(n∈R) ④对数的换底公式;
N 如果 a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0,那么 log a = N log b . a log b

3. 对数函数的定义、图象和性质 定义

y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数 a>1
0<a<1

a 的值
图象

性质

(1)x>0,y∈R.? (2)图象经过________点. (3)当_________时,y>0; 当_________时,y<0. 在(0,+∞)上为_________

(1)x>0,y∈R.? (2)图象经过_________点. (3)当 x>1 时,_________; 当 0<x<1 时,_______. 在(0,+∞)上为___________

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 对数的运算及运算性质 计算: (1) lg 3 2 + lg3 5 + 3lg 2 lg 5. (2) (log 3 2 + log9 2)i(log 4 3 + log8 3). 【解答】 (1)lg32+lg35+3lg2lg5=(lg2+lg5)(lg22-lg2lg5+lg25)+3lg2lg5 =lg22-lg2lg5+lg25+3lg2lg5=lg2+2lg2lg5+lg25=(lg2+lg5)2=1 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 3lg 2 5lg 3 5 (2)= ( + )( + )=( + )( + )= i = . lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2 2 lg 3 6 lg 2 4 【题根法解读】 本例主要考查对数的运算法则和指数的运算法则,注意运算时均化同底。 考点 2 对数函数的图象与性质 【例 2】 设 f(x)=|lg(x-1)|,若 1<a<b,且 f(a)>f(b). 证明:ab<a+b.
?lg( x ? 1) ( x ≥ 2), ? 【解答】 由已知 f(x)=|lg(x-1)|= ? ? ? ? lg( x ? 1) (1 < x < 2).

∵1<a<b 且 f(a)>f(b),∴由函数 y=f(x)的图象可知 a, b 不能同时在区间 [2, +∞ ) 上. 又由于 1<a<b,故必有 1<a<b, ∴0<a-1<1. ①若 1<b<2,则 0<b-1<1, ∴0<(a-1)(b-1)<1,即 ab<a+b.

18

②若 b≥2,则由 f(a)>f(b)得-lg(a-1)>lg(b-1), ∴lg(a-1)(b-1)<0, ∴(a-1)(b-1)<1,即 ab<a+b. 综合①②得:ab<a+b. 【题根法解读】 此题关键是作出 f(x)=|lg(x-1)|的图象,结合图形来解题. 【例 3】 已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]. (1)若 f(x)的定义域为(-∞,+∞) ,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为(-∞,+∞) ,求实数 a 的取值范围. 2 2 【解答】 (1)由题意知,不等式(a -1)x +(a+1)x+1>0 对一切 x ∈ R 恒成立,其充要条件是
? a > 1或a < ?1 2 ? ?a ? 1 > 0 ? 或 a =1, 即 或 a=1, ? ? 5 2 2 a > 或a < ?1 ? = ( a + 1) ? 4( a ? 1) < 0 ? ? ? 3 ? 5 ∴a≤-1 或 a > . 3 (2)由题意知,只要 t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取得 (0, +∞ ) 上的任何值, ? a 2 ? 1 > 0, 5 ? 则 f(x)的值域为 R,从而有 ? 解出 1<a≤ . 2 2 3 ? ? ? = (a + 1) ? 4(a ? 1) ≥ 0,

又当 a2-1=0,即 a=1 时,t=2x+1 满足题意;a=-1 时,t=1 不合题意.
5 综上可知 1<a≤ . 3

【题根法解读】 (1)对数函数结构的值域为 R 时,必须保证真数能够取到大于 0 的所有 实数才可以. (2)当底数为字母 a 时,必须对底数分 a>1 与 0<a<1 两种 情况讨论求解. 考点 3 对数函数的综合应用 【例 4】 已知函数 f(x)满足 f (log a x) =
a ( x ? x ?1 ) ,其中 a>0 且 a≠1. a ?1
2

(1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求 m 的取值范围. (2)当 x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负,求 a 的取值范围. 【解答】 令 log a x = t (t ∈ R ) ,则 x=at, ∵ f (t ) =
a a (a t ? a ? t ) ,∴ f ( x) = 2 (a x ? a ? x )( x ∈ R ) a2 ? 1 a ?1

易证 f(x)在 R 上是递增的奇函数. (1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 及 f(x)为奇函数得 f(1-m)<f(m2-1) 再由 f(x)的单调性及定义域得-1<1-m<m2-1<1. 解得 1<m< 2 . (2)∵f(x)是 R 上的增函数,∴f(x)-4 在 R 上也是增函数. 由 x<2 得:f(x)<f(2). 要 f(x)-4 在 (?∞, 2) 上恒为负数,则要 f(2)-4≤0, 即
a (a 2 ? a ?2 ) ? 4 ≤0,解得 2 ? 3 ≤ a ≤ 2 + 3. a2 ?1

【题根法解读】 本题是在得到 f(x)在 R 上是递增的奇函数的前提下,利用函数的性质分析 求解;在 R 上是递增的奇函数这一结论,应该轻松得到 . 当 a>1 时,
a > 0, a x 为增函数, ?a ? x 为增函数,则 f(x)在 R 上是递增的奇函数. 当 a ?1
2

19

0<a<1 时, 奇函数.

a < 0, a x 为减函数, ? a ? x 为减函数,则 f(x)在 R 上是递增的 a2 ?1

巩固练习→挑战考点
1.函数 y = log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2


2 ?C. [ ,1] 3 2 ?D. ( ,1] 3
- -

?A.[1,+∞]

2 ?B. ( , +∞) 3

2. 设 a>0 , a ≠ 1 且 b>0 , b ≠ 1 ,函数 f(x)=ax , g(x)=bx 的反函数分别为 f 1(x) 和 g 1(x). 若 - - lga+lgb=0,则 f 1(x)与 g 1(x)的图象( ) ?A. 关于 x 轴对称 ?B. 关于 y 轴对称 ?C. 关于原点对称?D. 关于直线 y=x 对称
?2x ( x ≥ 4), ? 3. 已知函数 f ( x) = ? 则 f (log 1 3) =____________. ? 2 ? f ( x + 2) ( x < 4),

4. 已知关于 x 的方程 log 2 ( x + 3) ? log 4 x 2 = a 的解在区间(3,4)内,则实数 a 的取值范围是 ___________. 5. 设 f ( x) = 2(log 2 x )2 + 2a log 2
1 1 + b ,已知 x = 时,f(x)有最小值-8. x 2

(1)求 a、b; (2)求满足 f(x)>0 的 x 的集合 A. 6. 已知 logax+3logxa-logxy=3(a>1). (1)设 x=at,试用 a、t 表示 y; (2)若当 0<t≤2 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值.

专题 7
扫描考点→明确目标

等差数列

1. 理解等差数列的概念. 2. 掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题.

梳理考点→理解目标
1. 等差数列的定义 如果一个数列从____________起,每一项与它的前一项的 ______等于___________,那 么这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差 . 即:数列 {an} 为等差数列 ? an +1 ? an = d (d 为常数). 2. 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是____________. 3. 等差中项的概念 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 就叫做 a 与 b 的___________,即 A=____________. 4. 等差数列的前 n 项和

20

等差数列的前 n 项和公式是 Sn=___________=___________. 5.等差数列的性质 (1)在等差数列{an}中,若 p+q=m+n,则___________. (2)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, …也成___________,其公差是原公差的______倍.

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 等差数列的概念 两个数列{an},{bn}满足 bn = 求证:{an}也是等差数列. 【解答】 由 1 + 2 + 3 + ? + n =
n(n + 1) 1 得 n(n + 1)bn = a1 + 2a2 + 3a3 + ? + nan , 2 2 a1 + 2a2 + 3a3 + ? + nan (n ∈ N* ) ,若{bn}是等差数列, 1+ 2 + 3 +? + n

1 所以 n(n ? 1)bn ?1 = a1 + 2a2 + 3a3 + ? + ( n ? 1) an ?1 ( n ≥ 2), 2 1 1 两式相减得 n(n + 1)bn ? n( n ? 1)bn ?1 = nan , 2 2 1 1 ∴ an = (n + 1)bn ? (n ? 1)bn ?1 (n ≥ 2). 2 2 ∵{bn}为等差数列,设其公差为 d,则 bn = b1 + (n ? 1)d , 1 1 3 所以 an = (n + 1)[b1 + (n ? 1)d ] ? (n ? 1)[b1 + (n ? 2)d ] = b1 + (n ? 1)d (n ≥ 2) 2 2 2

又 b1 =

a1 3 = a1 ,所以 an = b1 + (n ? 1)d (n ∈ N* ), 1 2

3 3 3 所以 an +1 ? an = b1 + nd ? b1 ? (n ? 1)d = d (常数) ,故数列{an}是等差数列. 2 2 2

【题根法解读】 判断数列是否为等差数列, 就是判断这个数列从第二项起任一项与前一项 之差是否为同一常数, 也就是利用等差数列定义判断, 本题就是从定义出 发得解的.判断成等差数列的方法有: (1) an +1 ? an = d (常数) ( n ∈ N* )
? {an } 成等差数列. (2) 2an +1 = an + an + 2 (n ∈ N* ) ? {an } 成等差数列.(3)

an = kn + b(k, b 为常数, n ∈ N* ) ? {an } 成等差数列. (4) Sn = An 2 + Bn(A、

B 为常数, n ∈ N* ) ? {an } 成等差数列.
考点 2 等差数列的通项公式和前 n 项和公式

1 1 1 1 1 【例 2】 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 已知 S3 与 S 4 的等比中项为 S5 , S3 与 S 4 的 3 4 5 3 4

等差中项为 1,求等差数列{an}的通项 an. 【解答】 由已知列方程组求出 a1 和 d,再求通项 an,

21

1 1 ?1 S i S = ( S5 ) 2 , ? ?3 3 4 4 5 由题意 ? (其中 S5≠0). 1 1 ? S + S =2 3 4 ? 4 ?3 12 ?3a1d + 5d 2 = 0, ? ?d = 0, ? ?d = ? , 将 a1, d 代入整理得 ? 解得 ? 或? 5 5 ?a1 = 1, ? 2a1 + d = 2. ? a = 4. ? 1 ? 2

∴an=1,或 an = 4 + (n ? 1)( ?

12 32 12 )= ? n. 5 5 5 32 12 ? n 时,S5=-4 均满足题意. 5 5

经验证,an=1 时, S5 = 5,; an = 故所求通项为 an = 1或an =

32 12 ? n. 5 5

【题根法解读】 将等差数列问题化归为基本量的关系来解决是通性通法. 一般地,等差数 列的五个基本量 a1, an, d, n, Sn,知其任意三个元素,可建立方程组,求出 另外两个元素,即“知三求二”. 【例 3】 已知{an}是等差数列. (1)前四项和为 21,末四项和为 67,且各项和为 286,求项数; (2)Sn=20,S2n=38,求 S3n; (3)若两个等差数列的前 n 项的和之比是(7n+1)∶(4n+27),求它们的第 11 项之比. 【解答】 (1)依题意,a 1+a2+a3+a4=21, an ? 3 + an ? 2 + an ?1 + an = 67, ∴ a1 + a2 + a3 + a4 + an ? 3 + an ? 2 + an ?1 + an = 88, ∴ a1 + an = ∵ Sn =
88 = 22. 4

n(a1 + an ) = 286,∴ n = 26. 2 (2)∵Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等差数列,∴ S3 n = 3( S2 n ? Sn ) = 54. ′, (3)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的前 n 项和为 Sn

则有 a11 =

a1 + a21 b +b , b11 = 1 21 . 2 2

1 1 a11 2 (a1 + a21 ) 2 (a1 + a21 ) × 21 S21 7 × 21 + 1 4 ∴ = = = = = . b11 1 (b + b ) 1 (b + b ) × 21 S 21 4 × 21 + 27 3 1 21 1 21 2 2

【题根法解读】

由于合理地运用了等差数列的性质,使问题的解决得到了简化.
2 2Sn (n ≥ 2) ,求 Sn. 2Sn ? 1

【例 4】 【解答】

在数列{an}中, a1 = 1, an =
an =

2 2 2 Sn 2 Sn (n ≥ 2),∴ S n ? S n ?1 = 2Sn ? 1 2Sn ? 1

∴ (2Sn ? 1)( Sn ? Sn ?1 ) = 2Sn2

∴ Sn ?1 ? Sn = 2 Sn i Sn ?1 ,即

1 1 ? = 2(n ≥ 2) . Sn Sn ?1

22

∴数列 { ∴

1 1 1 } 是以 = = 1 为首项,以 2 为公差的等差. Sn S1 a1

1 = 1 + (n ? 1)i2 = 2n ? 1 Sn

∴ Sn =

1 . 2n ? 1
1 }是等差数列是解决问题的关键. Sn

【题根法解读】 【例 5】

探求数量关系,发现新数列{

设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1,S2, …,Sn 中哪一个值最大,并说明理由.
? ? a3 = a1 + 2d , ? 12 × 11 24 ? (1)依题意,有 ? S12 = 12a1 + d > 0, 解得 ? < d < ?3. 2 7 ? 13 × 12 ? S13 = 13a1 + d < 0, ? ? 2

【解答】

(2)方法一:因为 a3=12,且公差 d<0,故等差数列{an}是一个首项为正数,公 差为负数的递减等差数列,又 S12>0, S13<0,因此 S1,S2, …,S12 中的最大值即为 Sn 中的最大值. 而 Sn = na1 +
n(n ? 1) n(n ? 1) d 1 24 d 1 54 d = n(12 ? 2d ) + d = [n ? (5 ? )]2 ? [ (5 ? )]2 , 2 2 2 2 3 2 2 d

1 24 24 1 24 所以当 [n ? (5 ? )]2 最小时, Sn 最大. 因为 ? < d < ?3 , 所以 6 < (5 ? ) < 6.5, 2 d 7 2 d

因此当 n=6 时,Sn 最大,即 S6 最大. 方法二:同方法一,知 S1, S2, …,S12 中的最大值即为 Sn 中的最大值. 要确定前 n 项和 Sn 中哪一个最大,只需确定哪一项是最后一个正数项即可, 即可满足不等 式 an>0 的最大的正整数 n 的值. 由 an=a1+(n-1)d=12-2d+(n-1)d>0 和 d<0 得 n < 1 + 因为 ?
24 7 12 < d < ?3, 所以 < ? < 4, 7 2 d 2d ? 12 12 = 3 ? 的最大的正整数 n 的值为 6,故 S6 最大. d d 13(a1 + a13 ) 12(a1 + a12 ) = 6(a6 + a7 ) > 0, S13 = = 13a7 < 0, 2 2 2d ? 12 12 = 3? . d d

所以满足 n < 1 +

方法三:因为 S12 =

所以 a6>0, a7<0,因此 S6 最大. 【题根法解读】 解决等差数列中 Sn 的最值问题通常有以下几种方法: (1)利用 an 的一次函数的单调性解 an≥0(或 an≤0) ; (2)利用 Sn 的二次函数性质分析最值;
? a ≥ 0, ? a ≤ 0, (3)直接解不等式组 ? n (或 ? n 求 Sn 的最小值问题) ; ? an +1 ≤ 0 ? an +1 ≥ 0,

考点 3 等差数列的实际应用 【例 6】 某单位用分期付款的方式为职工购 340 套住房共需 1150 万元,购买当天先付 150 万元,以后每月的这一天均交付 50 万元,并加付欠款利息,月利率为 1%.

23

(1)若交付 150 万元后的第一个月作为分期付款的第一个月,问分期付款的第 10 个月应该付多少钱? (2)全部房款付清后,买这 40 套住房实际花了多少钱? 【解答】 (1)因为购房时付了 150 万元,所以实际还欠款 1000 万元,依题意可知,这 1000 万元欠款应分 20 次付清,记每次所付欠款的数额依次构成数列{an},则有 a1=50+1000×1%=60, a2=50+(1000-50)×1%=59.5; a3=50+(1000-50×2)×1%=59; ……
an = 50 + [1000 ? 50(n ? 1)] × 15 = 60 ? n ?1 . 2

1 所以数列{an}是以 60 为首项, ? 为公差的等差数列, 2 1 所以 a10 = 60 ? 9 × = 55.5 (万元) 2 20(a1 + a20 ) 1 (2)因为{an}共有 20 项,且 a20 = 50 万元,所以 S20 = = 1105 万元, 2 2

还要加上 150 万元共 1255 万元. 【题根法解读】 解决与数列有关的应用问题,要仔细弄清题意,搞清是等差数列还是等比 数列的问题, 是求某一项还是求和的问题以及项数是多少等等, 然后根据 有关公式进行计算.

巩固练习→挑战考点
1. 等差数列{an}的公差 d=-2,若 a1+a4+a7+…+a97=50,则 a3+a6+a9+…+a99=( ) ?A. -78 ?B. -82 ?C. -148 ?D. -182 S a 7n 2. 等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 n = ,则 5 =( ) T n n+3 b5 ?A. 7 ?B.
2 3

?C.

27 8

?D.

21 4

3. 若 a≠b,两个等差数列 a,x1,x2,b 与 a,y1,y2,y3,b 的公差分别为 d1 和 d2,那么

d1 d2

的值为___________. 4. 一凸 n 边形,各内角的度数成等差数列,公差为 10 °,最小内角为 100 °,则边数 n=___________. 5. 要在如下表所示的 5×5 正方形的 25 个空格中填入正整数,使得每一行,每一列都成等 差数列,问填进标有*号的空格的数是多少? * 74 2y 186 103

y

24

0

x

2x

6. 设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若首项 a1 =
3 ,公差 d=1,求满足 Sk 2 = ( Sk ) 2 的正整数 k; 2

(2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 Sk 2 = ( Sk ) 2 成立.

专题 8 等比数列
扫描考点→明确目标
1. 解等比数列的概念.? 2. 握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题.

梳理考点→理解目标
1. 比数列的定义 如果一个数列从____________起,每一项与它的前一项的______等于____________, 即
an +1 ,那么这个数列就叫做等比数列. = q (q 为常数,n∈N*) an

2. 比数列的通项公式 等比数列的通项公式是:___________,a1 为________,q 为________. 3. 比中项 如 果 a 、 G 、 b 成 等 比 数 列 , 那 么 G 叫 做 a 与 b 的 _________ , 即 G2=________ 或 G=____________. 4. 比数列的前 n 项和公式
? ______ ? Sn = ? ? ? ______ (q = 1) , (q ≠ 1)

5. 比数列的性质 (1)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) ,则___________. (2)若 m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则 am、an、ap 成___________. (3)在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*) ,则 (4)等比数列依次每 k 项之和为___________.
S偶 S奇

=________.

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 等比数列的概念 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1 = 1, an +1 =
n+2 Sn (n = 1,,3,?). n

25

求证: (1)数列 {

Sn } 是等比数列; n n+2 2n + 2 Sn . 即 Sn +1 = Sn . n n

(2)Sn+1=4an. 【解答】 (1)∵ an +1 = Sn +1 ? Sn ,∴ Sn +1 ? Sn = ∴

Sn +1 S S = 2i n . ∴数列 { n } 为等比数列,其公比为 2,首项为 1. n +1 n n Sn = 2 n ?1 ,即 S n = ni2 n ?1. 则 S n +1 = (n + 1)i2 n. n

(2)由(1)知 而 an =

n +1 n +1 Sn ?1 = (n ? 1)i 2n ? 2 = (n + 1)i2 n ? 2. n ?1 n ?1

∴ 4an = (n + 1)2 n. 因此 Sn +1 = 4an . 【题根法解读】 证明数列为等比数列的方法有: a (1)定义法:若 n +1 = q(n ∈ N* ) ? 数列{an}为等比数列. an
2 N* ) ? {an } 为等比数列. (2)等比中项法:若 an +1 = an i an + 2 (n ∈

(3)通项法:若 an = k iq n (k, q 为非零常数, n ∈ N* ) ? 数列{an}为等比 数列. 考点 2 等比数列的通项公式和前 n 项和公式

【例 2】 已知数列{an}为等差数列(公差 d≠0) ,{an}中的部分项组成数列 ak1 , ak2 ,? , akn , … 恰为等比数列,其中 k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+…+kn. 【解答】 由题意得 a52 = a1a17 , 即(a1 + 4d )2 = a1 (a1 + 16d ), ∴8a1d=16d2,
1 ∵ d ≠ 0,∴ d = a1 . 2

故在等比数列 ak1 , ak2 ,? , akn ,? 中公比 q =

a5 a1 + 4d = = 3. a1 a1

∵ akn 为上述等比数列的第 n 项,∴ akn = ak1 3n ?1 = a1 i3n ?1 , ∵ akn 为等差数列{an}中的第 kn 项,∴ akn = a1 + (k n ? 1)d = a1 + (k n ? 1)i ∴
kn + 1 a1 = a1 i3n ?1 ,即 kn = 2i3n ?1 ? 1. 2 a1 kn + 1 = a1 , 2 2

故 k1 + k 2 + ? = (2 × 1 ? 1) + (2 × 3 ? 1) + (2 × 32 ? 1) + ? + (2 × 3n ? 1)
1 ? 3n = 2(1 + 3 + 32 + ? + 3n ?1 ) ? n = 2i ? n = 3n ? n ? 1. 1? 3

【题根法解读】

本题的关键是利用方程的思想建立 kn 的方程,进而利用等比数列和知识

26

求解. 【例 3】 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2, …). (1)求 q 的取值范围;

3 (2)设 bn = an + 2 ? an +1 ,记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 与 Tn 的大小. 2 【解答】 (1)因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1 = S1 > 0, q ≠ 0.

当 q=1 时,Sn=na1>0;当 q≠1 时, Sn = 即

a1 (1 ? q n ) > 0, 1? q

?1 ? q < 0 1 ? qn > 0, (n = 1, 2,?) 等价于不等式组: ? , (n = 1, 2,?) ① n 1? q ?1 ? q < 0

?1 ? q > 0 或? , (n = 1, 2,?) n ?1 ? q > 0



解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数、可为偶数,得-1<q<1. 且 q≠0 综上,q 的取值范围是 (?1, 0) ∪ (0, +∞ ).
3 3 3 (2)由 bn = an + 2 ? an +1 得 bn = an (q 2 ? q ), Tn = (q 2 ? q ) S n . 2 2 2 3 1 于是 Tn ? Sn = Sn (q 2 ? q ? 1) = Sn ( q + )( q ? 2). 2 2 1 又因为 Sn>0, 且-1<q<0 或 q>0, 所以, 当 ?1 < q < ? 或 q>2 时, Tn-Sn>0, 即 Tn>Sn; 2 1 当 ? < q < 2 且 q≠0 时, ,Tn-Sn<0,即 Tn<Sn; 2 1 当 q = ? ,或 q=2 时,Tn-Sn=0,即 Tn=Sn. 2

【题根法解读】 等比数列的通项公式是分类给出的,解题时要特别注意到 q=1 的情形. 第 (2)问在作差后没有把 Sn 展开用 q 表示,而将 Sn 做为一个因式处理, 这 样解起来简捷明快. 考点 3 等比数列的实际应用 【例 4】 某县位于沙漠边缘地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到 1999 年底全县的绿 化率已达到 30%, 从 1999 年开始, 每年将出现这样的局面: 原有沙漠面积的 16% 被栽上树,改造成绿洲,而同时,原有绿洲面积的 4%又被侵蚀,变为沙漠. (1)设全县面积为 1,1999 年底绿洲面积 a1 =
3 ,经过一年 (指 2000 年底)绿 10

4 4 洲面积为 a2,经过 n 年绿洲面积为 an+1,求证: an +1 = an + . 5 25

(2)问至少经过多少年的努力,才能使全县绿面积超过 60%? (注:lg2≈0.3010) 【解答】 (1)设 1999 年底沙漠面积为 b1,经过 n 年,沙漠面积为 bn+1,则 a1+b1=1, 且 an+bn=1. ∵绿洲面积 an+1 由两部分组成:一部分是原有绿洲面积 an 减去被侵蚀的面积

27

an ?

4 96 16 an = an ,另一部分是新增绿洲面积 bn . 100 100 100 96 16 96 16 4 4 an + bn = an + (1 ? an ), 即 an +1 = an + . 100 100 100 100 5 25 4 4 4 4 4 = (a1 ? ), 令 cn = an ? , 则 cn +1 = cn . 5 5 5 5 5

∴ an +1 =

(2)∵ an +1 ?

4 4 4 4 1 4 ∴数列{cn}是公比为 的等比数列,故 cn = c1 i( )n ?1 = (a1 ? )( )n ?1 = (? )( )n ?1 . 5 5 5 5 2 5

∴ an = cn + 令 an ≤

4 4 1 4 n ?1 = ? ( ) . 5 5 2 5

60 4 1 4 3 4 1 4 4 2 4 < an +1 , 即 ? ( )n ?1 ≤ < ? ( )n 得 ( )n < ≤ ( )n ?1 两边取对数, 100 5 2 5 4 5 2 5 5 5 5

4 2 4 lg 0.4 lg 0.4 lg 0.4 2 lg 2 ? 1 得 n lg < lg ≤ (n -1) lg ,则 < n≤ + 1 ,而 = ≈ 4.1 , lg 0.8 lg 0.8 lg 0.8 3lg 2 ? 1 5 5 5

∴4.1<n≤5.1. 【题根法解读】 本题的数列模型是形如 an +1 = pan + q 形式的递推数列,题中化归为等比数 列求解通项公式的方法具有一般性.

巩固练习→挑战考点
1. 在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=( ?A. 33 ?B. 72 ?C. 84 ?D. 189 n 2. 已知数列{an}是等比数列,其前 n 项和 Sn=3 +k,则常数 k=( ) ?A. -1 ?B. 1 ?C. 0 ?D. 以上都不对 1-n 3. 若等比数列的通项公式为 an=2 ,则这个数列的前 n 项和 Sn=___________. 4. 在等比数列{an}中,a5+a6=3,a15+a16=6,则 a25+a26=___________. 5. 已知等比数列{an}满足 a1+a6=11,且 a3 a4 = (1)求数列{an}的通项公式;
2 4 2 (2)如果至少存在一个自然数 m,恰使 am ?1 , am , am +1 + 这三个数依次成等差数列,问这 3 9 32 . 9



样的等比数列{an}是否存在.若存在,求出通项公式;若不存在,说明理由. 6. 等 比 数 列 {an} 的 公 比 q>1 , 其 第 17 项 的 平 方 等 于 第 24 项 , 求 使 1 1 1 a1 + a2 + ? + an > + + ? + 成立的自然数 n 的取值范围. a1 a2 an

专题 9 数列的求和
扫描考点→明确目标
掌握一些简单的数列求和方法,并能应用数列求和解决一些数列问题. 数列求和虽然在教材中没有正式列入知识点, 但是数列求和问题能考查对数列的整体认 识,对通项公式的理解,能够体现等价转化这一重要的数学思想,因此数列求和一直被当成

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重点研究和训练的数学问题.

梳理考点→理解目标
数列求和的基本方法有: 1. 公式法 如果一个数列是等差数列或等比数列或可转化为等差数列或等比数列, 求其前 n 项和时 就可以利用等差数列或等比数列的前 n 项和公式求和. 2. 倒序相加法 一个数列如果距首末等距离的两项和相等, 那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法. 3. 拆项分组法 把一个数列拆成两个或多个可求和的数列进行求和. 4. 裂项相消法 把数列的每一项变为两数之差,以便大部分项能“正” “负”相消,再化简求和. 5. 错位相减法 错位相减法适用于{anbn}型的数列,其中{an}是等差数列,而 {bn}是等比数列.求其前 n 项和时可把其前 n 项和的两边乘以等比数列{bn}的公比后,再错位相减求出其前 n 项的和.

典例分析→点亮考点
考点 1 拆项分组求和 【例 1】 求下面数列的前 n 项和:
1 1 1 1 + 1, + 4, 2 + 7,? , n ?1 + 3n ? 2, ? a a a 1 1 1 【解答】 前 n 项和为 Sn = (1 + 1) + ( + 4) + ( 2 + 7) + ? + ( n ?1 + 3n ? 2) a a a = (1 + 1 1 1 + 2 + ? + n ?1 ) + [1 + 4 + 7 + ? + (3n ? 2)]. a a a 1 1 1 + 2 + ? + n ?1 , a a a

设 S1 = 1 +

当 a=1 时,S1=n;当 a≠1 时, S1 =
S2 = 1 + 4 + 7 + ? + (3n ? 2) =
(3n ? 1) n , 2

an ?1 , a ? a n ?1
n

∴当 a=1 时, Sn = S1 + S2 = n + 当 a≠1 时, Sn = S1 + S2 =

(3n ? 1) n (3n + 1) n = ; 2 2

an ?1 (3n ? 1) n + . n n ?1 a ?a 2

【题根法解读】 数列求和,首先考虑能否直接应用等差、等比数列的求和公式求和;若不 能,可从第 n 项入手考虑,得到 an 的表达式,再进一步考虑能否转化(通 过拆项等)成等差、等比数列再用公式求和,这是最重要的求和思路. 考点 2 【例 2】 裂项相消求和 求和: Sn =
22 42 (2n) 2 + +? + . 1i3 3i5 (2n ? 1)(2n + 1)

29

【解答】

ak =

(2k ) 2 1 1 1 1 = 1+ = 1+ ( ? ), (2k ? 1)(2k + 1) (2 k ? 1)(2 k + 1) 2 2 k ?1 2 k + 1

n 1 1 1 1 n 1 1 1 1 ∴ Sn = ∑ [1 + ( ? )] = n + ∑ ( ? ) = n + (1 ? ) 2 2k ? 1 2k + 1 2 k =1 2 k ? 1 2 k + 1 2 2n + 1 k =1

= n+

n 2n(n + 1) = 2n + 1 2n + 1

【题根法解读】

对于裂项后有明显相消项的一类数列,在求和时常采用“裂项求和法” , 分式的求和多利用此法, 可用待定系数法对通项公式进行拆项, 相消时应 注意消去项的规律,即消去了哪些项,保留哪些项.

考点 3 【例 3】

倒序相加求和
1 2 n 求和 Sn = Cn0 + 2Cn + 3Cn + ? + (n + 1)Cn .

0 1 2 n 【解答】 ∵ Sn = Cn + 2Cn + 3Cn + ? + ( n + 1)Cn ,



∴ Sn = (n + 1)Cnn + nCnn ?1 + ? + Cn0 ,
0 1 ∵ Cn = Cnn , Cn = Cnn ?1 ,?



1 ∴①+②得 2 Sn = ( n + 2)(Cn0 + Cn + ? + Cnn ),

∴ Sn = 【题根法解读】

n+2 n i2 = (n + 2)i2 n ?1. 2

考虑到性质 Cnm = Cnn ? m ,尝试倒序相加法,这种方法实际上是等差数列求 和公式推导方法的推广.

考点 4 【例 4】

错位相减求和 若公比为 c 的等比数列{an}的首项 a1=1 且满足 an = (1)求 c 的值; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Sn.
an +1 + an ? 2 (n = 3, 4,?). 2

【解答】 (1)由题设知,当 n≥3 时, an = c 2 an ? 2 , an ?1 = can ? 2 , an = 由题设条件可得 an-2≠0,因此 c 2 =

an ?1 + an ? 2 1 + c = an ? 2 . 2 2

1+ c 1 ,即 2c2-c-1=0. 解得 c=1 或 c = ? . 2 2

(2)由(1) ,需要分两种情况讨论. 当 c=1 时,数列{an}是一个常数列,即 an = 1(n ∈ N* ) . 这时,数列{nan}的前 n 项和 Sn = 1 + 2 + 3 + ? + n =
n(n + 1) . 2

1 1 1 当 c = ? 时,数列{an}是一个公比为 ? 的等比数列,即 an = (? ) n ?1 (n ∈ N* ) . 2 2 2

30

1 1 1 这时,数列{nan}的前 n 项和 Sn = 1 + 2(? ) + 3(? ) 2 + ? + n(? ) n ?1 , 2 2 2

① ②

1 1 1 1 1 1 ①式两边同乘 ? ,得 ? Sn = ? + 2(? )2 + ? + (n ? 1)(? )n ?1 + n( ? )n . 2 2 2 2 2 2

①式减去②式,得
1 1 1 1 1 (1 + ) S n = 1 + (? ) + (? ) 2 + ? + (? ) n ?1 ? n(? ) n = 2 2 2 2 2 1 3n + 2 所以 Sn = [4 ? (?1) n n ?1 ]( n ∈ N* ). 9 2 1 1 ? (? )n 2 ? n (? 1 ) n . 1 2 1+ 2

【题根法解读】 当通项是一个等差数列与等比数列的积时,常用错位相减法,化归为等比 数列的求和问题.

课后练习→挑战考点
1. 若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为( ?A. 2 + n ? 1
n
2

) ?D. 2n + n ? 2

?B. 2

n +1

+ n ?1

2

?C. 2

n +1

+n ?2

2

2. 数列 1, ?A.

1 1 1 , ,? , 的前 n 项和 Sn 等于( 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +? + n

) ?D.
4n n+3

3n ? 1 n +1

?B.

2n n +1

?C.

3n n +1

3. 数列的通项公式为 an = 2[n ? ( ?1) n ], S n = a1 + a2 + ? + an ,则 S10 ? S21 + S100 的值是__________. 4.
1 2 3 n ?1 n + + +? + + = __________.? 2! 3! 4! n ! (n + 1)!

?6n ? 5(n 为奇数) 5. 已知数列{an}的通项公式为 an = ? n 求其前 n 项的和 Sn. (n 为偶数) ?4

6. 在数列{an}中, an > 0, 2 S n = an + 1( n ∈ N + ). (1)求 Sn 和 an 的表达式; 1 1 1 1 (2)求证: + + + ? + < 2. S1 S2 S3 Sn

专题 10
扫描考点→明确目标

数列的综合应用

考试大纲和新课程标准中虽未对数列的综合应用作出明确具体的要求, 但作为 “在知识 网络的交汇点设计问题” 、 “为继续学习高等数学知识作准备”的良好素材,数列的综合应用 始终是教材重点、高考热点,同时也是教学难点.

梳理考点→理解目标
31

1. 数列知识综合问题 含有复合数列形式的数列问题是数列问题中的知识综合点, 而处理这一问题无疑是以等 差、等比数列的定义和性质为基础,考查数列的通项、前 n 项和等计算问题. 2. 数列知识与其它知识的联系 数列知识与函数、方程、三角、不等式等知识联系密切,它们之间相互渗透、组合, 无 形中加大了综合力度,常用的数学思想方法有: “函数与方程” 、 “数形结合” 、 “分类讨论” 、 “等价转化”等. 3. 运用数列知识解决实际问题? 运用数列知识解决实际问题主要有两大类: (1)有关增长率(降低率)的问题、存(贷)款利息问题、分期付款问题等. (2) 几何问题.处理这类问题要分清所涉及的量是第 n 项 an 还是前 n 项和 Sn, 要数清项 数.

典例分析→点亮考点
考点 1 等差数列与等比数列的综合 【例 1】 设数列{an}的首项为 a1=1, 前 n 项和 Sn 满足关系式 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t (t>0, n=2, 3,4, …). (1)求证:数列{an}是等比数列; 1 (2)设数列{an}的公比为 f(x),作数列{bn},使 b1 = 1, bn = f ( …) , ) (n=2,3,4, bn ?1 求 bn; (3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1. 【解答】 (1)由于 S1=a1=1, S2=a1+a2=1+a2 2t + 3 a2 2t + 3 ∴3t(1+a2)-(2t+3)=3t. ∴ a2 = ,∴ = . 3t a1 3t
?3tS ? (2t + 3) S n ?1 = 3t , 又? n ?3tS n ?1 ? (2t + 3) S n ? 2 = 3t .

化简得,3tan-(2t+3)an-1=0. a 2t + 3 ∴ n = (n = 3, 4,5,?). an ?1 3t 又
a2 2t + 3 2t + 3 的等比数列. = , ∴{an}是首项为 1,公比为 a1 3t 3t

( 2) f ( x ) =

2x + 3 1 , bn = f ( )= 3x bn ?1

2i

1 +3 bn ?1 2 + 3bn ?1 2 = = bn ?1 + , 1 3 3 3 bn ?1

∴{bn}成等差数列. b1 = 1, bn =

2n + 1 . 3 4(4n + 1) , 9

(3)令 cn = b2 n ?1b2 n ? b2 n b2 n +1 = b2 n (b2 n ?1 ? b2 n +1 ) = ? ∴ b1b2 ? b2 b3 + b3 b4 ? b4 b5 + ? + b2 n ?1b2 n ? b2 n b2 n +1

32

4 n(n + 1) 4 = ? (n × 1 + × 4] = ? (2n 2 + 3n). 9 2 9

【题根法解读】 处理等差数列与等比数列的综合问题,一是要熟练掌握定义,通项公式和 前 n 项和公式的基本知识,二是要灵活运用化归、方程、函数等数学思想 方法. 考点 2 数列与其它知识的综合 【例 2】 已知集合 A={(x,y)|x,y,2n-x-y 是三角形的三边之长,n∈N*},设 an 表示集 合 A 中整点(横、纵坐标均为整数)的个数. (1)写出 an 的通项公式; (2)求使得 an>2006 成立的 n 的最小值; (3)设数列{bn}满足:bn=n2-2an,n∈N*,其前 n 项和为 Sn.若对任意正整数 n, 不等式
Sn ≤ m 恒成立,求 m 的取值范围. 2n ?1

【解答】

?x > 0 ?x > 0 ?y > 0 ?y > 0 ? ? ? ? ( 1) ? x + y > 2 n ? x ? y , 即 ? y > ? x + n , ? x + 2n ? x ? y > y ?y < n ? ? ? ? ? y + 2n ? x ? x > x ?x < n

集合 A 所表示的区域为如图所示. ∴ an = 0 + 1 + 2 + ? + n ? 2 =
(n ? 2)(n ? 1) . 2

(2)∵an>2006, ∴(n-2)(n-1)>2006×2. 即 n(n-3)>2005×2, 令 t=x(x-3),当 x>3 时,该函数是增函数. 经检验 x=65 时,t=4030>4010, x=64 时,t=3904<4010. ∴n≥65,∴n 的最小值为 65. (3) bn = n 2 ? 2an = 3n ? 2, bn +1 ? bn = 3. ∴数列{bn}是以 1 为首项,公差为 3 的等差数列. ∴ Sn =
1 + 3n ? 2 3n 2 ? n n= . 2 2 3n 2 ? 7 n ? 2 , 2n

Sn 3n 2 ? n = = cn . n ?1 2 2n

则 cn +1 ? cn = ?

当 n≤2 时,cn+1>cn,即 c1<c2 ;n≥3 时,cn+1<cn,即 c3>c4>c5……

n=2 时,
【题根法解读】

S3 S2 5 = , n=3 时, 2 = 3, ∴m≥3. 2 2 2

本题将三角形、线性规划、函数单调性等知识与数列进行了有机的结合, 立意新颖,考查知识全面,不失为一道好题.
an . bn

【例 3】

已知数列{an}、{bn}且 a1=b1=1,an+1=an+3bn,bn+1=an+bn, xn = (1)求 xn+1 与 xn 的关系式; (2)判断数列 {| xn ? 3 |} 的单调性;

33

(3)求证: ∑ | xk ? 3 |< 3 + 1.
k =1

n

【解答】 (1)由题意得 xn +1 =
| xn +1 ? 3 | | xn ? 3 |

an +1 an + 3bn xn + 3 a ,其中 x1 = 1 = 1. = = bn +1 an + bn xn + 1 b1
= 3 ?1 . | xn + 1 |

( 2)

=

| xn + 3 ? 3xn ? 3 | | xn + 1 || xn ? 3 |

∵xn>0,∴ | xn +1 ? 3 |< ( 3 ? 1) | xn ? 3 |<| xn ? 3 | . ∴ {xn ? 3} 是递减数列. (3)由(2)知,当 n>1 时,
0 <| xn ? 3 |< ( 3 ? 1) | xn ?1 ? 3 |< ? < ( 3 ? 1) n ?1 | x1 ? 3 |= ( 3 ? 1) n .
n n

∴ ∑ | xk ? 3 |<∑ ( 3 ? 1) k =
k =1 k =1

( 3 ? 1)[1 ? ( 3 ? 1) n ] 1 ? ( 3 ? 1)

<

3 ?1 2? 3

= 3 + 1.

【题根法解读】 递推数列与不等式的综合是高考压轴题的一个新热点, 处理的基本策略是 类比“相等”问题的处理方法,但涉及到不等式的放缩,常有很强的技巧 性,需要扎实的基本功和必要的灵感. 考点 3 数列的实际应用 【例 4】 某林场有荒山 3250 亩.每年春季在荒山上植树造林,第一年植树 100 亩,计划每 年比上一年多植树 50 亩(假设全部成活). (1)问需几年,可将此山全部绿化; (2)已知新种树亩每亩的木材量是 2m3,树木每年自然增长率为 10%,设荒山全 部绿化后的年底的木材总量为 S,求 S 约为多少万 m3(精确到 0.1)? 【解答】 (1)每年植树的亩数构成一个以 a1=100, d=50 的等差数列,其和即为荒山的 总亩数,设需要 n 年可将此山全部绿化,
n n(n ? 1) Sn = a1n + (n ? 1)d = 100n + × 50 = 3250 2 2

解此方程,得 n=10(年). (2)第一年种植的树在第 10 年后的木材量 2a1(1+0.1)10 第二次种植的树在第 10 年后的木材量为 2a2(1+0.2)9 …… 第十年种植的树在年底的木材量为 2a10(1+0.1) 则 10 年后的木材量依次构成数列{bn}, 则其和为 T = b1 + b2 + ? + b10 = 200 × 1.110 + 300 × 1.19 + ? + 1100 × 1.1 = 9975(m3 ) 约为 1.0 万 m3 答:需要 10 年可将此山全部绿化,10 年底木材总量约为 1.0 万 m3. 【题根法解读】 先将实际问题归结为数列模型,然后利用数列知识解答,最后又回到实际 问题中来,这是解数列实际应用问题的一般步骤.

巩固练习→挑战考点
34

1. 设数列{an}是公比为 a(a≠1) ,首项为 b 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,对任意的 n∈N*,点(Sn,Sn+1) ( ) ?A. 在直线 y=ax-b 上 ?B. 在直线 y=bx+a 上 ?C. 在直线 y=bx-a 上 ?D. 在直线 y=ax+b 上
1 1 1 2. 在△ABC 中,三边长分别为 a,b,c,若 , , 成等差数列,则 b 所对的角为( a b c



?A. 锐角 ?B. 直角 ?C. 钝角 ?D. 不确定 3. 已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, 则 b2(a2-a1)等于___________. 4. 已知整数对的数列如下: (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,5) (2,4) …,则第 60 个数对是___________. 5. 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100. (1)求数列{bn}的通项 bn; 1 1 (2) 设数列{an}的通项 an = lg(1 + ) , 记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 试比较 Sn 与 lg bn +1 的 bn 2 大小,并证明你的结论. 6. 一列火车自 A 城驶往 B 城,沿途有 n 个车站(包括起点站 A 和终点站 B) ,车上有一邮政 车厢, 每停靠一站便卸下前面各站发往该站的邮袋各一个,同时又要装上该站发往后面各 站的邮袋各一个.设从第 k 站出发时,邮政车厢内共有邮袋 ak 个(k=1,2,3, …,n) ,试 求: (1)探索 ak 与 ak+1 之间的关系,并求{ak}的通项公式; (2)k 为何值时,ak 取最大值,并求出最大值.

专题 11 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
扫描考点→明确目标
1. 掌握同角三角函数的基本关系式 2. 掌握正弦、余弦的诱导公式.

梳理考点→理解目标
1. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:_______________; (2)商数关系:_______________; (3)倒数关系:_______________. 2. 常用诱导公式? (1)sin(α+k·360°)=_____、cos(α+k·360°)=______、tan(α+k·360°)=______(k∈Z); (2)sin(180°+α)=_______________、cos(180°+α)=_______________; (3)sin(-α)=_______________、cos(-α)=_______________; (4)sin(180°-α)=_______________、cos(180°-α)=_______________; (5)sin(360°-α)=_______________、cos(360°-α)=_______________; (6)sin(90°-α)=_______________、cos(90°-α)=_______________; (7)sin(90°+α)=_______________、cos(90°+α)=_______________;

35

(8)sin(270°-α)=_______________、cos(270°-α)=_______________; (9)sin(270°+α)=_______________,cos(270°+α)=_______________.

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 同角三角函数的基本关系式 已知
tan α = ?1 ,求下列各式的值; tan α ? 1 sin α ? 3cos α ; sin α + cos α

(1)

(2) sin 2 α + sin α cos α + 2.
1 【解答】 由已知, tan α = , 2 1 ?3 sin α ? 3cos α tan α ? 3 2 5 ( 1) = = =? ; 1 sin α + cos α tan α + 1 3 +1 2

(2) sin 2 α + sin α cos α + 2 = sin 2 α + sin α cos α + 2(cos 2 α + sin 2 α )
1 1 3( )2 + + 2 13 2 2 = . 1 2 5 ( ) +1 2

3sin 2 α + sin α cos α + 2 cos 2 α 3 tan 2 α + tan α + 2 = = = sin 2 α + cos 2 α tan 2 α + 1

【题根法解读】

形如 a sin α + b cos α 和a sin 2 α + b sin α cos α + c cos 2 α 的式子分别称为关于
sin α 、 cos α 的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常

【例 2】

有如上的整体代入方法可供使用. 已知 sinθ、cosθ是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两个根.

(1)求 sin 3 θ + cos3 θ 的值; (2)求 tan θ + cot θ 的值. 【解答】 依题意,方程判别式△≥0,即(-a)2-4a≥0, ∴a≤0, 或 a≥4. ?sin θ + cos θ = a, 且? ∴ (sin θ + cos θ ) 2 = 1 + 2sin θ cos θ = a 2 , sin θ i cos θ = a ; ? 即 a 2 ? 2a ? 1 = 0,∴ a = 1 ? 2(1 + 2舍去). 即 sin θ + cos θ = sin θ icos θ = 1 ? 2. (1)∴ sin 3 θ + cos3 θ = (sin θ + cos θ )(sin 2 θ ? sin θ cos θ + cos 2 θ )
= (1 ? 2)[1 ? (1 ? 2)] = 2 ? 2;

(2)∵ tan θ + cot θ =

sin θ cos θ 1 + = cos θ sin θ sin θ icos θ

∴ nθ + cot θ = ? 2 ? 1. 【题根法解读】 涉及实系数一元二次方程实根问题,欲求两根的某种组合式的值,则韦达 定理必被用上, 此题的解题关键在于根据韦达定理和同角三角函数关系式 先求出实数 a 来. 对 a = 1 + 2 的舍去, 既可依判别式大于等于零的条件考

36

1 1 1 虑,也可根据 a = sin θ icos θ = sin 2θ ∈ [? , ] 来确定. 一般来讲,与实根 2 2 2

条件相联系时,应主动思考判别式满足的条件,以免出错. 考点 2 【例 3】 诱导公式 已知 tan(π ? α ) = a 2 ,| cos(π ? α ) |= ? cos α ,求
1 的值. cos(π + α )

【解答】 ∵ tan(π ? α ) = a 2 , tan(π ? α ) = ? tan α , 若 a ≠ 0, tan α = ?a 2 < 0 ① 又 | cos(π ? α ) |= ? cos α , cos(π ? α ) = ? cos α , ∴ | cos α |= ? cos α ,∴ cos α ≤0 ② 由①、②知 α 为第二象限的角, cos α < 0. ∵ sin 2 α + cos 2 α = 1,∴ ∴
1 = 1 + tan 2 α = 1 + a 4 , cos 2 α

1 1 1 = ? 1 + a 4 ,∴ =? = 1 + a4 . cos α cos(π ? α ) cos α 1 = 1 = 1 + a4 . cos(π + α ) 1 = 1 + a4 . cos(π + α )

若 a=0 时, tan α = 0 ,又 cos α ≤0,∴ cos α = ?1, 此时

综上所述,

【题根法解读】 利用诱导公式将问题化归为同角三角函数的问题,利用平方关系时,要注 意符号的讨论和取舍. 【例 4】
π 1 π 8π 已知 sin( ? α ) = ,求 sin( + α )和 tan( + α ) 的值. 3 3 6 3 π π π ?α + +α = , 3 6 2

【解答】 ∵

π π π π ∴ sin( + α ) = sin[ ? ( + α )] = cos( ? α ), 6 2 3 3 π 1 π 2 由 sin( ? α ) = ,∴ cos( ? α ) = ± 2, 3 3 3 3

又(

8π π + α ) + ( ? α ) = 3π , 3 3 8π π π 1 + α ) = sin[3π ? ( ? α )] = sin( ? α ) = , 3 3 3 3 8π 2 +α) = ± ; 3 4

∴ sin(

∴ tan(

π 2 8π 2 即 sin( + α ) = ± 2, tan( + α ) = ± . 6 3 3 4 【题根法解读】 任意到已知角和所求角之间的特殊数量关系,直接利用诱导公式求解. 【题根法解读】 本题将三角形、线性规划、函数单调性等知识与数列进行了有机的结合, 立意新颖,考查知识全面,不失为一道好题.

37

巩固练习→挑战考点
1 3π 1. 已知 tan α = , 且α ∈ (π , ) ,则 sinα的值是( 2 2

) ? D. ?
2 5 5

?A. ?

5 5

?B.

5 5

?C.

2 5 5

2. 已知集合 M = {x | x = ?2 cos 之间的关系是( ) ?A. M ? N ? B. M? ≠ ≠N 3. 计算 sin

nπ 2n ? 3 , n ∈ Z} ,集合 N = {x | x = 2sin π , n ∈ Z} ,那么 M 与 N 3 6

?C. M ∩ N = ?

? D. M=N

4π 25π 5π cos tan(? ) =___________. 3 6 4

4 4. 锐角θ满足 log sin θ (tan θ + cot θ ) = ? ,则 log tan θ cos θ =_______________. 3

5. (1)化简:

sin(kπ ? α )icos[(k ? 1)π ? α ] (k ∈ Z); sin[(k + 1)π + α ]icos(kπ + α )

1 (2)已知 sin(π + α ) = , 求 sin(2π ? α ) ? cot(α ? π )icos α 的值. 2

6. 是否存在一个实数 k,使方程 8x2+6kx+2k+1=0 的两根是一个直角三角形的两个锐角的正 弦值.

第 12 讲
扫描考点→明确目标

两角和与差的三角函数

1. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式的正弦、余弦、正切. 2. 能正确运用上述公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

梳理考点→理解目标
? ? ? ? ? ? 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=____________ cos(α±β)=____________ tan(α±β)=___________ 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α=___________? cos2α=___________=___________=___________ tan2α=___________? 3. 二倍角余弦的几种变形形式 1+cosα=___________ 1-cosα=___________ sin2α=___________ cos2α=___________

?

典例分析→点亮考点
考点 1 两角和与差的正弦、余弦和正切

38

【例 1】

化简: [2sin 50? + sin10? (1 + 3 tan10? )] 2sin 2 80? .
cos10? + 3 sin10? ) 2 sin 80? cos10?

【解答】 原式 (2sin 50? + sin 10? i

1 3 cos10? + sin10? 2 2 = (2sin 50 + 2sin10 i ) 2 cos10? cos10?
? ?

= 2 2(sin 50? cos10? + sin10? cos 50? ) = 2 2 sin(50? + 10? ) = 2 2 × 3 = 6. 2 化弦和逆用公式是解决问题的两种主要变形手段,值得一提的是形如

【题根法解读】

a sin α + b cos α
cos ? =

的 三 角 式 可 化 为
,sin ? =

a 2 + b 2 sin(α + ? ) , 其 中

a a +b
2 2

b a + b2
2

.

【例 2】 【解答】

π 3 17π 7π 2sin x cos x + 2sin 2 x 若 cos( + x ) = , <x< ?,求 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x π π π π π π cos x = cos[( + x ? ] = cos( ? x) cos + sin( + x ) sin . 4 4 4 4 4 4



17π 7π 5π π <x< ,∴ < x + < 2π , 12 4 3 4

π 3 4 ∴ sin( + x ) = ? 1 ? ( )2 = ? , 4 5 5

∴ cos x = ∴ tan x =

2 3 4 2 2 2 7 2 ( ? )=? ,sin x = ? 1 ? (? ) =? , 2 5 5 10 10 10 sin x = 7. cos x 7 2 2 7 2 2 )(? ) + 2(? ) 28 10 10 10 =? . 1? 7 75

2(?

原式=

【题根法解读】 角的变换也是三角变换技巧之一,充分比较条件与结论中角的特点,寻找 角间的联系, 再正确选择公式就可使问题解决. 但注意在应用同角关系求 值时,必须考虑角的范围. 考点 2 二倍角的正弦、余弦和正切
π π cos 2 ( ? θ ) + cos 2 θ + cos 2 ( + θ ) 3 3 化简 2 π 2 2 π sin ( ? θ ) + sin θ + sin ( + θ ) 3 3

【例 3】

1 2π 1 1 2π 【解答】 分子 [1 + cos( ? 2θ )] + (1 + cos 2θ ) + [1 + cos( + 2θ )] 2 3 2 2 3

39

= = =

3 1 2π 2π 1 + [cos( ? 2θ ) + cos( + 2θ )] + cos 2θ 2 2 3 3 2 3 1 2π 2π 2π 2π 1 + (cos cos 2θ + sin sin 2θ + cos cos 2θ ? sin sin 2θ ) + cos 2θ 2 2 3 3 3 3 2 3 2π 1 3 + cos cos 2θ + cos 2θ = 2 3 2 2 3 2

分母=3-分子=

∴原式=1. 【题根法解读】 本题的关键是变形地运用二倍角余弦公式,达到降次的目的,化归为两角 和差的三角函数问题.

【例 4】

已知 A,B,C 是△ABC 三内角,向量 m = (?1, 3), n = (cos A,sin A) ,且 m·n=1 (1)求角 A; (2)若
1 + tan 2 B = ?3 ,求 tanC. cos 2 B ? tan 2 B

【解答】 (1)∵ m in = 1,∴ (?1, 3)i (cos A,sin A) = 1, 即 3 sin A ? cos A = 1, 故 2(sin Ai ∵ 0 < A < π,? ∴ A?
π π 5π < A? < , 6 6 6
3 1 π 1 ? cos Ai ) = 1,sin( A ? ) = , 2 2 6 2

π π π = ,∴ A = . 6 6 3
1 + 2 sin B cos B = ?3, cos 2 B ? sin 2 B

(2)由题知

整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2 cos 2 B = 0, ∵cosB≠0, ∴tan2B-tanB-2=0, ∴tanB=2 或 tanB=-1, 而 tanB=-1 使 cos2B-sin2B=0 舍去,∴tanB=2.
tan A + tan B 2 + 3 8+5 3 =? = . 1 ? tan A tan B 11 1? 2 3 【题根法解读】 不管是以向量为媒介,还是以三角形为框架,这类题实际上就是三角变换 tan C = tan[π ? ( A + B)] = ? tan( A + B) = ?

题, 只要牢固掌握三角变换的原则和方法就可大功告成. 三角变换的原则 是:消除差异、化繁为简;三角变换的方法是:从角入手、从名称入手、 从结构入手.

巩固练习→挑战考点
1. 已知α是第一象限的角,且 tan α = ?A.
3 4 24 α ,则 tan 的值为( 7 2

) ?D.
4 3

B. ?

4 3

?

C.

3 4 或? 4 3

40

2. 三角式 ?A. 3.
3 2

2 cos 55? ? 3 sin 5? 的值为( cos 5?

) C. 2 ?D. 1

? B.

3

?

cos(α ? 30? ) ? cos(α + 30? ) 的值为___________.? sin α 4m ? 6 ,则 m 的取值范围为___________. 4?m

4. 已知 sin α ? 3 cos α =

π 5 π 5. 已知 sin( ? α ) = , 且0 < α < ,求 3sin 2 α ? 4sin α cos α + cos 2 α 的值. 4 13 4

6. 求

2 cos10? ? sin 20? 的值. cos 20?

专题 13 扫描考点→明确目标

三角函数的图象

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和 函数 y=Asin(ωx+φ)的简图,理解 A,ω,φ的物理意义.? 三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映, 高考对这部分内容的考查主 要是三角函数图象的变换和解答式的确定以及通过图象的描绘、 观察、 讨论函数的有关性质, 题型设计常以选择题的形式出现,偶尔也有出现解答题的可能,也属比较容易的题.?

梳理考点→理解目标
1. 正弦曲线、余弦曲线和正切曲线 (1)正弦曲线

(2)余弦曲线

(3)正切曲线

41

2. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象 (1)五点作图法? ①列表:

x ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
②描出五点 (?

________ 0 0

________
π 2

________
π

________
3π 2

________


A

0

-A

0

? π ? π ? 3π ? 2π ? , 0) 、 ( ? , A) 、 ( ? , 0) 、 ( ? , ? A) 、 ( ? , 0) ; ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω

③用光滑曲线联结五点成图; ? ④根据定义域左、右延展即得函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. (2)图象变换方法 先把 y=sinx 的图象向_________(φ>0)或向_________(φ<0)平移|φ|个单位, 再把各点横 坐标_________(ω>1)或_________ (0<ω<1)到原来的
1 倍(纵坐标不变),再把各点的纵坐标 ω

_________ (A>1)或___________(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变); 即能得到函数 y=Asin(ω x+φ)的图象. (3)振动量及其概念 当 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈ [0,+∞] )表示一个振动量时, A 叫做振动的_________,
T=
2π 1 ω 叫做振动的_________, f = = 叫做振动的_________,ωx+φ叫做_________, ω T 2π

φ叫做_________.

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 正弦曲线、余弦曲线和正切曲线 作函数 y =
2 sin x 1 + cos 2 x , x ∈ (?π , π ) 的图象.

【解答】

y=

2 sin x 1 + cos 2 x

=

π π ? tan x, x ∈ ( ? , ), ? sin x ? 2 2 = =? π π 2 | cos x | | cos x | ? ? tan x, x ∈ ( ?π , ? ) ∪ ( ? π ). ? ? 2 2
2 sin x

42

其图象为:

考点 2 【例 2】

求 y=Asin(ωx+φ)的图象
x x 已知函数 y = 3 sin + cos ( x ∈ R ). 2 2

(1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅,周期及初相; (3)说明该函数的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到?
x π x π 【解答】 (1) y = 2 sin( + ), 令 X = + , 列表如下: 2 6 2 6 π 2
2π 3 3π 2 8π 3

X X y
描点连结

0
?

π
5π 3

2π 11π 3

π 3

0

2

0

-2

0

π (2)振幅 A=2,周期 T= 4π ,初相为 . 6

(3)将 y=sinx 图象上各点向左平移

π π 个单位,得到 y = sin( x + ) 的图象,再把 6 6

π y = sin( x + ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 6 x π x π y = sin( + ) 的图象. 最后把 y = sin( + ) 的图象上各点的纵坐标伸长到原 2 6 2 6 x π 来的 2 倍,即得函数 y = 2sin( + ) 的图象. 2 6

【题根法解读】

(1)用“五点法”作图应抓住四条: ① 化 为 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0)或y = A cos(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的 形 式;②求出周期 T =
2π ;③求出振幅 A;④列出一个周期内的五个特殊 ω

点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间的特殊点.(2)讨论

43

变换时一定要注意到相位变换和周期变换顺序的不同而产生的变化.
π 求函数 y = sin(2 x ? ) 的对称中心和对称轴方程. 6

【例 3】 【解答】

设 A = 2x ?

π π kπ π ,则子数 y=sinA 对称中心为 (kπ , 0) ,即 2 x ? = kπ , x = + , 对 6 6 2 12 π π π k = + kπ , x = + π . 6 2 3 2 π 所 以 y = sin(2 x ? ) 的 对 称 中 心 为 6

称 轴 方 程 为 2x ?
(

π k kπ π + , 0) ,对称轴为 x = + π (k ∈ Z). 2 12 3 2

【题根法解读】 本例中利用了两种方法求三角函数的对称轴与对称中心,这都是解决三角 问题的基本方法,要切实理解好. 【例 4】 如右图, 它是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),|φ|<π的图象, 由图中条件,写出该函数的解答式.? 【解答】 由图知 A=5,由 ∴W =
T 5π 3π = ?π = 得T = 3π . 2 2 2

2π 2 2 = . 此时 y = 5sin( x + ? ). T 3 3

下面介绍怎样求初相 ? . 方法一: (单调性法) ∵点 (π , 0) 在递减的那段曲线上,∴ 由 sin(
2π 2π + ? ) = 0得 + ? = 2k π + π , 3 3 2π π 3 + ? ∈ [2kπ + , 2 kπ + π ]( k ∈ Z). 3 2 2

∴ ? = 2k π +

π (k ∈ Z). 3 π . 3

∵ | ? |< π ,∴ ? =

方法二: (最值点法)
2 π 将最高点坐标 ( ,5) 代入 y = 5sin( x + ? ), 4 3

π π π 得 5sin( + ? ) = 5,∴ + ? = 2kπ + , 6 6 2

∴ ? = 2k π +

π (k ∈ Z). 3 π . 3

又 | ? |< π ,∴ ? =

方法三: (起始点法) 函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标 x 正是由 故只要找出起始点横坐标 x0, 就可以迅速求得角 ? . 由图象易 ω x + ? = 0 解得的,
2 π π π 得 x0 = ? . ∴ ? = ?ω x0 = ? (? ) = . 2 3 2 3

44

方法四: (平移法)
2 π 由图象知,将 y = 5sin x 的图象沿 x 轴向左移平移 个单位,就得到本题图象, 3 2 2 π 2 π 故所求函数解答式为 y = 5sin[ ( x + )] = 5sin( x + ). 3 2 3 3 【题根法解读】 比较以上四种方法不难发现,利用特殊点确定 ? 值时,关键是看这一点是 对应于“五点法”作图中的哪一点,如利用 (π , 0) 确定 ? 值时,它对应于

π “五点”中的第三点;利用 ( ,5) 确定 ? 值时,则对应于“五点”中的第 4 二点,只有抓住图象的本质,才能迅速求出 ? 值.

巩固练习→挑战考点
1 π 1. 函数 y = tan( x ? ) 在一个周期内的图象是( 2 3

)

2.





2 2 f ( x) = 3 cos x + sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是( 5 5

)? ?D.
5 π 2

?A.

5 π 4

?B. 5π

?C.

2 π 5

3. 已知 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭图形的 面积是____________. 4. 函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的 取值范围是____________.
1 3 5. 已知函数 y = cos 2 x + 问该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)经过怎样 sin x cos x + 1( x ∈ R ) , 2 2 的平移和伸缩变换得到?

6. 已知函数 f ( x) = A sin 2 (ω x + ? )( A > 0, ω > 0, 0 < ? < 对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 f(x). (2)计算 f(1)+f(2)+…+f(2008).

π 其图象相邻两 ) ,且 y=f(x)的最大值为 2, 2

45

专题 14 扫描考点→明确目标

三角函数的性质

1. 了解周期函数与最小正周期的意义. 2. 了解奇偶函数的意义. 3. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.

梳理考点→理解目标
三角函数的性质 解答式 图象 定义域 值域和最值 周期 奇偶性 单调性 _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________

y=sinx

y=cosx

y=tanx

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 三角函数的定义域 求函数 y = lg(2sin x ? 1) + 1 ? 2 cos x 的定义域.
1 ? sin x > , ? ? 2sin x ? 1 > 0, ? 2 即? ? 1 ? 2 cos x ≥ 0. ? ?cos x ≤ 1 . ? ? 2

【解答】

由右图知,原函数的定义域为 [2kπ + 【题根法解读】

π 5π , 2kπ + )(k ∈ Z). 3 6 π , k ∈ Z. 2

(1)求三角函数的定义域,既要注意一般函数的定义域的规律,又要注 意三角函数本身的特有属性, 如题中存在 tanx, 则一定有 x ≠ kπ +

考点 2 【例 2】

三角函数的值域
5 3 π 求函数 y = sin 2 x + a cos x + a ? (0 ≤ x ≤ ) 的最大值. 8 2 2

5 3 a a2 5 1 【解答】 ∵ y = 1 ? cos 2 x + a cos x + a ? = ?(cos x ? ) 2 + + a ? . 8 2 2 4 8 2

a a2 5 1 ∴当 0≤a≤2 时, cos x = , ymax = + a ? ; 2 4 8 2

当 a>2 时,cosx=1, ymax =

13 3 a? ; 8 2

5 1 当 a<0 时,cosx=0, ymax = a ? . 8 2
46

【题根法解读】

求三角函数的值域一般常有以下两种方法: (1)将所给的三角函数转化为二次函数通过配方法求值域; (2)利用 sinx、cosx 的三角函数的有界性,如
y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? )( x ∈ R). 其中
tan ? =

b , ? a2 + b2 ≤ y ≤ a2 + b2 . a

考点 3 三角函数的周期性 【例 3】 求下列函数的最小正周期 (1) y = (a sin x + cos x ) 2 (a ∈ R );
π (2) y = 2 cos x sin( x + ) ? 3 sin 2 x + sin x cos x; 3 π (3) y = 2 | sin(4 x ? ) | . 3

【解答】

1 ? cos(2 x + 2? ) ( 1 )∵ y = [ a 2 + 1sin( x + ? )]2 = (a 2 + 1) sin 2 ( x + ? ) = (a 2 + 1)i (? 为辅 2

助角). ∴此函数的最小正周期为
2π =π 2

1 3 (2)∵ y = 2 cos x( sin x + cos x) ? 3 sin x 2 + sin x cos x 2 2 = sin x cos x + 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x + sin x cos x π = sin 2 x + 3 cos 2 x = 2sin(2 x + ), 3

∴该函数的最小正周期 T =

2π = π. 2

π π 2π π ( 3)注意到 y = sin(4 x ? ) 的最小正周期 T = = . 结合 y = 2 | sin(4 x ? ) | 的 3 4 2 3
1 π π 图象,知其最小正周期为 × = . 2 2 4

【题根法解读】

求三角函数最小正周期的基本方法有两种:一是将所给函数化为 y = A sin(ω x + ? )[或y = A cos(ω x + ? )] 的形式;二是利用图象的基本特征求.

考点 4 三角函数的奇偶性 【例 4】 判断下列函数的奇偶性? ① f ( x) =| sin 2 x | ? x tan x; ③ f ( x) = 2sin 2 x + cos 2 x ? 1; 【解答】 ①定义域为 (kπ ?
7 ② f ( x) = cos( π + 3x ); 2

④ f ( x) =

1 + sin x ? cos x . 1 + sin x + cos x

π π , kπ + ), k ∈ Z , 2 2 且有 f (? x) =| sin(?2 x ) | ?(? x ) tan( ? x) =| sin 2 x | ? x tan x,

∴f(-x)=f(x),是偶函数.

47

7 ②定义域为 R,且 f ( x) = cos( π + 3x) = sin 3x ,是奇函数. 2

③定义域为 R 且 f ( x) = 2sin 2 x + cos 2 x ? 1 = 0. ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
π 2 ④ 1 + sin x + cos x ≠ 0 得 sin( x + ) ≠ ? . 4 2

即 x ≠ 2k π ?

π , 且x ≠ 2 kπ + π ( k ∈ Z). 2

f(x)的定义域不关于原点对称,所以是非奇非偶函数. 【题根法解读】 判断函数奇偶性时,必须先检查它的定义域是否关于原点对称,然后再判 断 f(-x)与 f(x)的关系.
考点 5 三角函数的单调性 【例 5】 比较下列各组中各个值的大小.
1 (1) sin 与 cos 5. 5

(2) sin

21π 19π 42π 、 tan 、 sin . 5 8 5

1 π 1 【解答】 (1)∵ sin = cos( ? ), cos 5 = cos(2π ? 5), 5 2 5 1 1 1 1 15π ? 48 而 π ? 与 2π ? 5 均为锐角,且 (2π ? 5) ? ( π ? ) = <0, 2 5 2 5 10 1 1 从而 π ? > 2π ? 5. 2 5 1 1 1 ∴ cos( π ? ) < cos(2π ? 5), 即 sin < cos 5. 2 5 5

(2)∵ sin

21π π 42π 2π π 2π π = sin ,sin = sin ,0 < < < , 5 5 5 5 5 5 2

21π 42π π 且 y=sinx 在 (0, ) 内单调递增,∴ sin < sin . 2 5 5

又 tan ∴ sin

19π 3π π π = tan = cot > cot = 1 8 8 8 4 21π 42π 19π < sin < tan . 5 5 8

【题根法解读】 比较三角数值大小的一般步骤是: (1)先判断正负; (2)不同名函数化为 同名函数; (3)自变量不在同一单调区间的化为同一单调区间.

巩固练习→挑战考点
1. 函数 y = cos(sin x) 的定义域是( ?A. [2kπ ?
π π , 2 kπ + ]( k ∈ Z) 2 2


π ?B. [2kπ , 2kπ + ](k ∈ Z) 2

48

?C. [2kπ ?

π , 2kπ ]( k ∈ Z) 2

?D. (-∞,+∞) )

2. 下列函数中,既在(0,π)内是增函数,又是以 2π为最小正周期的偶函数的是( ?A. y=|sinx| 3. 函数 y = tan x ? ?B. u = 1 ? cos 2
x ?C. y=2cosx 2

?D. y = tan

x 2

1 的最小正周期是___________. sin 2 x

π 4. 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数, 若 f(x)的最小正周期是π, 且当 x ∈ [0, ] 2

时,f(x)=sinx,则 f (

5π ) 的值为___________. 3

5. 已知函数 f ( x) = sin(ω x + ? )(ω > 0, 0 ≤ ? ≤ π ) 是 R 上的偶函数其图象关于点对称,且在区间
π [0, ] 上是单调函数,求φ和ω的值. 2

6. 水渠横断面为等腰梯形,如图所示,梯形面积为 S,渠道深为 h,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯形两腰及下底之和 达到最小,底角应该是多少?

专题 1 5 讲平面向量的数量积及运算律 扫描考点→明确目标
1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题. 3. 掌握向量垂直的条件.

梳理考点→理解目标
1. 向量数量积的定义 (1)向量 a 与 b 的夹角
??? ? ??? ? 已知两个非零向量 a 和 b,如图所示,作 OA = a , OB = b ,

则__________=θ(0≤θ≤ π )叫做向量 a 与 b 的夹角. 当θ=
π 时,a 与 b 垂直,记作__________; 2

当θ=0 时,a 与 b__________; 当θ=π时,a 与 b__________. (2)a 与 b 的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为θ,我们把数量______________叫做 a 与 b 的 数量积(或内积) ,记作 a·b,即 a·b=______________,并规定,零向量与任一向量的数 量积为_______. ??? ? ??? ? (3)如图, OA = a , OB = b ,过 B 作 BB1 垂直于直线 OA,垂足为 B1,则 OB1=|b|·cosθ.

49

|b|cosθ叫做______________. 当θ=0°时,它是_______; 当θ=180°时,它是_______. (4)平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与______________的乘积. 2. 向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ是 a 与 e 的夹角,则 (1)e·a=__________=__________. (2)a⊥b__________. (3)当 a 与 b 同向时,a·b=__________; 当 a 与 b 反向时,a·b=______________; 特别地,a·a=__________或|a|=_______. (4)cosθ=______________. (5)|a·b|__________|a|·|b|. 3. 向量数量积的运算律 (1)a·b=__________(交换律). (2) (λa) ·b=__________=__________. (3) (a+b) ·c=____________.

典例分析→点亮考点
考点 1 向量数量积的概念 【例 1】 (1)设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,给定下列命题: ①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b 与 c 垂直. 由这三个命题中的任意两个所构造的复合“或” 、 “且”命题中,真命题的个 数为__________. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)已知 O 是△ABC 所在的平面内的一点,满足 | OA |2 + | BC |2 =| OB |2 + | CA |2 ,则 O 点 A. 与 AB 边垂直的直线上 B. ∠A 平分线所在的直线上 C. AB 边中线所在的直线上 D. 上都不对 【解答】 (1)由于平面向量的数量积不满足结合律,所以①错;由于 a、b、c 相互不共 线,所以②正确;又 [(bic )a ? (c ia )b]ic = (bic )a ic ? (c ia )bic = 0 ,所以③正确,所以 “或”命题全为真命题,而“且”命题中仅有一个正确. 因而共有四个真命题, 故填 4. ??? ? ??? ? ???? (2)设 OA = a, OB = b, OC = c , 则有 | a |2 + | c ? b |2 =| b |2 + | a ? c |2 ,即 (a - b)ic = 0 ,
??? ? ???? ??? ? ???? 即 BAiOC = 0, 故 AB ⊥ OC ,即 O 在与 AB 边垂直的直线上,故选 A.

【题根法解读】 解答这类真假判断题的关键在于:一方面,要准确地理解平面向量的有关 概念,熟练地掌握平面向量的基本运算(加法、减法、实数与向量的积、 数量积) ;另一方面,要注意区分向量的基本运算的法则、运算律与实数 的相应运算之间的区别. 考点 2 向量数量积的运算

50

??? ? ??? ? (1)在△ABC 中,若∠C=90°,AB=BC=4,则 BAi BC =_______. ??? ? ??? ? ??? ? (2)已知平面上三点 A、B、C 满足 | AB |= 3,| BC |= 4,| CA |= 5 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 ABi BC + BC iCA + CAi AB 的值等于_______. 【解答】 (1)∵∠C=90°且 AC=BC=4,∴∠B=45°且 BA= 4 2 . ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ∴ BAi BC =| B A |i| BC | cos B = 4 × 4 2 × cos 45? = 16.

【例 2】

??? ? ??? ? ??? ? (2)由题可知,△ABC 为 Rt△,并且 AB⊥BC(∵ | AB |2 + | BC |2 =| CA |2 ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4 ∴ ABi BC = 0, BC iCA = ?CBiCA = ? | CB |i| CA | cos C = ?5 × 4 × = ?16, 5 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 3 CAi AB = ? AC i AB = ? | AC |i| AB |icos A = ?5 × 3 × = ?9 , 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 ABi BC + BC iCA + CAi AB = 0 ? 16 ? 9 = ?25. 【题根法解读】 求平面向量的数量积,关键在于:求两向量的模和夹角,这就需要充分挖 掘题目中的几何属性,利用几何知识来求解.

考点 3 两向量的夹角 【例 3】 已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 【解答】 由已知: (a + 3b)i(7a ? 5b) = 0, (a ? 4b)i(7a ? 2b ) = 0 即: 7a 2 + 16a ib ? 15b 2 = 0, 7a 2 ? 30a ib + 8b 2 = 0, 两式相减得: 2a ib = b 2
1 2 b a b i 1 代入其中任一式得:a2=b2,∴ cos θ = = 2 2 = ,∴θ = 60?. | a || b | | b | 2

考点 4 向量数量积的综合应用 【例 4】 已知 a,b 为不共线的向量,t∈R. (1)求|ta-b|的最小值及相应的 t 值; (2)求存在两个正数 t1,t2,且 t1≠t2,是使|t1a-b|=|t2a-b|的充要条件. 【解答】 (1) | ta ? b |= t 2 a 2 ? 2ta ib + b 2 = (t | a | ?
a ib 2 ( a i b) 2 (a ib) 2 2 ) + b2 ? ≥ b ? |a| | a |2 | a |2

= | b |2 ?

| a |2 | b |2 cos 2 θ =| b | sin θ , | a |2

其中 θ 为向量 a, b 的夹角,故当 t =

a ib | b | cos θ 时,|at-b|有最小值|b|sin θ . = | a |2 |a|

(2)由于 t>0,∴ cos θ > 0 ,即 a 与 b 夹角为锐角. 在此前提下, 存在 t1 , t2 ∈ R + , 且 t1 ≠ t2 的充要条件是 | b | sin θ <| ta ? b |<| b | 有两正解.
| b |2 sin 2 θ <| a |2 t 2 ? 2t | a || b | cos θ + | b |2 <| b | 2 .
51

2 ? ?(| a | t ? | b | cos θ ) > 0 即? 2 2 ? ?| a | t ? 2t | a || b | cos θ < 0.

? b cos θ ?t ≠ | a | ? 亦即 ? ?t ∈ (0, 2 | b | cos θ ) ? |a| ?

故所求充要条件为 a,b 成锐角,且 t ∈ (0,

|b| |b| 2|b| cos θ ) ∪ ( cos θ , cos θ ). |a| |b| |a|

【题根法解读】 向量的数量积是联系向量的形和数之间的桥梁,在根多几何问题中,直线 的位置关系都可以通过向量的数量积转化为代数问题来解决, 因而向量的 数量积作为一个数学工具应用于其他数学问题中.

巩固练习→挑战考点
1. 已知下列各式:①|a|2=a2;②
a ib b = ;③(a·b)2=a2·b2;④(a-b)2=a2-2a·b+b2,其中正 a2 a

确的有( ) A. 1 个? B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 已知|a|=2,|b|=1,且两个向量间的夹角为 120°,则 a·b=( ) A. -1 B. 1 C. ? 3 D. 3 3. 化简(2a-3b) · (a+b)-(a+3b) ·b=______________.? 4. 设向量 a, b, c 满足 a+b+c=0, (a-b) ⊥c, a⊥b.若|a|=1, 则|a|2+|b|2+|c|2 的值是__________. ??? ? ???? 5. 已知向量 a 和 b 的模都是 2,其夹角为 30°.又知 OP = 10a + 2b, OQ = ?2a + 10b .试求 P,

Q 两点间的距离.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6. 在四边形 ABCD 中,设 AB = a , BC = b, CD = c , DA = d ,且 a·b=b·c=c·d=d·a,判断四

边形 ABCD 的形状.

专题 16

平面向量的坐标运算

扫描考点→明确目标
1. 2. 3. 4. 理解平面向量坐标概念. 掌握平面向量的坐标运算. 掌握两点间距离公式及运用. 运用平面向量解决向量的平行、垂直和平面向量数量积等问题.

梳理考点→理解目标
1. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个_____________i、j 作为基

52

底,对任一向量 a,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj,则实数对__________叫做向量 a 的直角坐标,记作_____________,其中 x,y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标,a=(x,y) 叫做向量 a 的坐标表示, 相等的向量其__________相同, __________相同的向量是相等向量. 2. 平面向量的坐标运算 ??? ? ??? ? (1)已知点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB =_____________,| AB |=_____________. (2) 已知 a= (x1, y1 ) , b= (x2, y2) , 则 a+b=________, a-b=__________, λa=__________, a∥b(b≠0)的充要条件是_____________.? (3)非零向量 a=(x,y)的单位向量为_____________或_____________. 3. 平面向量数量积的坐标运算? (1)若 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,则 a·b=_____________,cos<a,b>=_____________. (2)若 a=(x,y) ,则|a|=_____________, (3)设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,则 a⊥b?_____________ ? _____________.

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 平面向量的坐标运算
??? ? ??? ? ??? ? 已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及 OP = OA + t AB, ,试问:

(1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说 明理由. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 【解答】(1) AB = (3,3), OP = OA + t AB = (1 + 3t , 2 + 3t ). 若 P 在 x 轴上, 则 2+3t=0, 解得 t = ? ; 3 ?1 + 3t < 0 1 若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t = ? ;若 P 在第二象限,则 ? , 解得 3 ?2 + 3t > 0
? 2 1 <t<? . 3 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ( 2 )∵ OA = (1, 2), PB = PO + OB = (3 ? 3t ,3 ? 3t ), 若四边形 OABP 为平行四边形, ??? ? ??? ? ?3 ? 3t = 1 则 OA = PB ,而 ? , 无解,∴四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?3 ? 3t = 2 【题根法解读】 利用平面向量的坐标表示可以将向量问题转化为代数问题, 它将向量与代 数联系一起, 更有利于我们解决向量问题,同时也可将向量问题转化为几 何问题来解决.

考点 2 平面向量平行 【例 2】 已知 a≠0,b≠0,且 a ? b,求证 a+b 与 a-b 不平行. a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 【解答】 设 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) 假设 (a + b) ? (a ? b) ,则 ( x1 + x2 )( y1 ? y2 ) ? ( y1 + y2 ) = ( x1 ? x2 ) = 0 整理得 x1 y2 ? x2 y1 = 0, 由 a ≠ 0 ,b ≠ 0 , ∴ a ? b . 这与已知矛盾,故 a+b 与 a-b 不平行. 【题根法解读】 利用两向量平行的等价条件的坐标关系, 我们易将其转化为方程或函数问 题. 考点 3 平面向量垂直

53

??? ? ??? ? ??? ? 四边形 ABCD 中, AB =(6,1) , BC =(x,y) , CD =(-2,-3). ??? ? ??? ? (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 的关系式; ???? ??? ? (2)满足(1)的同时又有 AC ⊥ BD ,求 x、y 的值及四边形 ABCD 的面积. ???? ??? ? ??? ? ??? ? 【解答】 (1) AD = AB + BC + CD = (6,1) + ( x, y ) + (?2, ?3) = ( x + 4, y ? 2).

【例 3】

??? ? ???? DA = ? AD = (? x ? 4, 2 ? y). ??? ? ??? ? ??? ? 又 BC ? DA, BC = ( x, y ).

∴ x(2 ? y ) ? ( ? x ? 4)i y = 0.即x + 2 y = 0. ???? ??? ? ??? ? (2)由于 AC = AB + BC = (6,1) + ( x, y ) = ( x + 6, y + 1).
??? ? ??? ? ??? ? BD = BC + CD = ( x, y) + (?2, ?3) = ( x ? 2, y ? 3). ???? ??? ? ???? ??? ? 又 AC ⊥ BD,∴ AC i BD = 0.

即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. ? x = ?6 ? x = 2 又 x+2y=0 代入,得 ? 或? . ?y = 3 ? y = ?1
???? ?? ? 当 x=-6,y=3 AC = (0, 4), BD = (?8, 0).

S 四边形 ABCD= | AC |i| BD |= 16.
???? ??? ? 当 x=2, y=-1 时, AC = (8, 0), BD = (0, ?4), ? 1 ???? ??? ∴S 四边形 ABCD= | AC |i| BD |= 16. 2

1 ???? 2

??? ?

【题根法解读】 借助于向量的数量积和坐标表示,我们常将垂直问题转化为代数问题而加 以解决. 考点 4 【例 4】 平面向量的模
3 已知向量 m=(1,1) ,向量 n 与向量 m 的夹角为 π ,且 m·n=-1. 4 (1)求向量 n;

(2)若向量 n 与向量 q=(1,0)的夹角为

π C ,向量 p= (cos A, 2 cos 2 ) ,其中 A、 2 2

C 为△ABC 的内角,且 A,B,C 依次成等差数列,试求|n+p|的取值范围. 【解答】 (1)设 n=(x, y),由 m·n=-1, 得 x+y=-1. ①
3 3 又 m 与 n 夹角为 π ,所以 m in =| m |i| n |icos π . 4 4 所以|n|=1,即 x2+y2=1. ② ? x = ?1, ? x = 0, 由①②,解得 ? 或? ?y = 0 ? y = -1.

即 n=(-1,0), 或 n=(0,-1);

54

(2)由 n 与 q 垂直,知 n=(0,-1). 由 2B=A+C,知 B = 若 n=(0,-1) , n + p = (cos A, 2 cos 2 所以 | n + p |2 = cos 2 A + cos 2 C =
1 π = 1 + cos(2 A + ). 2 3 2 π π 5 因为 0 < A < π , < 2 A + < π , 3 3 3 3

π 2 2π , A + C = π ,0 < A < . 3 3 3

C ? 1) = (cos A, csoC ). 2

1 + cos 2 A 1 + cos 2C 1 4 + = 1 + [cos 2 A + cos( π ? 2 A)] 2 2 2 3

π 1 所以 ?1 ≤ cos(2 A + ) < . 3 2
1 1 π 5 1 5 ≤ 1 + cos(2 A + ) < , 即 | n + p |2 ∈ [ , ), 2 2 3 4 2 4 2 5 , ). 2 2 【题根法解读】 本例从向量的数量积入手,将数量积化为方程问题,及将模的问题转化为

所以 | n + p |∈ [

三角问题,应用三角函数知识解决问题. 考点 5 向量的夹角 【例 5】 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα). ???? ??? ? (1)若 AC i BC = ?1 ,求 sin2α的值; ??? ? ???? ??? ? ???? (2)若 | OA + OC |= 13 |,且α∈(0,π),求 OB 与 OC 的夹角.
???? ??? ? 【解答】 (1)∵ AC = (cos α ? 3,sin α ), BC = (cos α ,sin α ? 3), ???? ??? ? 由 AC i BC = ?1, 得(cos α ? 3) cos α + sin α (sin α ? 3) = ?1, 2 ∴ cos α + sin α = , 3 4 5 两边平方,得 1 + sin 2α = ,∴ sin 2α = ? . 9 9 ??? ? ???? (2)∵ OA + OC = (3 + cos α ,sin α ),∴ (3 + cos α ) 2 + sin 2 α = 13,

π 3 1 ∴ cos α = , 又 α ∈ (0, π ),∴ α = ,sin α = , 2 3 2 ? ???? 1 3 ??? 1 3 3 3 ∴ C ( , ). OB iOC = (0,3)( , ) = . 2 2 2 2 2
3 3 ??? ? ???? OBiOC 3 π ? ???? = 2 = 设 OB 与 OC 的夹角为 θ ,则 cos θ = ??? ,∴θ = 即为所求. 3 2 6 | OB || OC |

【题根法解读】 利用向量的坐标表示来求两向量的夹角的好处在于将向量的几何特征转化 为代数特征,从而降低了思维难度.

55

巩固练习→挑战考点
1. 已知 a=(5,-2) ,b=(-4,-3) ,c=(x,y) ,若 a-2b+3c=0,则 c 等于(
8 A. (1, ) 3 13 8 B. ( , ) 3 3 13 4 C. ( , ) 3 3



D. (?

13 4 ,? ) 3 3

2. 若向量 a=(cosα,sinα) ,b=(cosβ,sinβ) ,则 a 与 b 一定满足( A. a 与 b 的夹角等于α-β B. a⊥b C. a∥b D.(a+b)⊥(a-b)



4 3 3. 已知平面上直线 l 的方向向量 e= (? , ) ,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分 5 5 ????? 别是 O1 和 A1,则 O1 A1 = λ e ,其中λ=( )?

A.

11 5

B. ?

11 5

C. 2

D. -2

4. 知向量 a=(1,1) ,且 a 与 a+2b 的方向相同,则 a·b 的取值范围是_____________.? 5. 知向量 a=(mx2,-1) ,b= ( 求实数 x 的取值范围. 6. 知向量 m= (cosθ, sinθ) 和 n= ( 2 ? sin θ , cos θ ), θ ∈ (π , 2π ) , 且|m+n|= 的值.
8 2 θ π , 求 cos( + ) 5 2 8 1 , x) (m 为常数) ,若向量 a 与 b 的夹角<a,b>为锐角, mx ? 1

专题 17

解斜三角形

扫描考点→明确目标
1. 掌握正弦定理和余弦定理. 2. 能熟练地运用正弦定理和余弦定理解斜三角形.

梳理考点→理解目标
1. 正弦定理: 在一个三角形中,__________和它所对的角的__________比相等,即在△ABC 中, __________=__________=__________=2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). 正弦定理的三种变形: ①a=2RsinA,b=__________,c=__________; ②sinA=
a ,sinB=__________,sinC=_______; 2R

③a∶b∶c=_____________. 2. 余弦定理 三角形任一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们__________的积的两倍, 即在△ABC 中: a2=__________,b2=__________,c2=__________

56

或 cosA=__________,cosB=_____________,cosC=_____________. 余弦定理的有关问题 ①勾股定理是余弦定理的特殊情况,在余弦定理表达式中分别令 A,B,C 为 90°,上 面关系式分别化为 a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2. ②在△ABC 中,若 a2<b2+c2,则__________,反之成立. 在△ABC 中,若 a2=b2+c2,则__________,反之成立. 在△ABC 中,若 a2>b2+c2,则__________,反之成立. 3. △ABC 的面积公式有:
1 ① S = ai ha ( ha 表示__________); 2

②S=________=___________=_________=
1 ③ S = r ( a + b + c) (r 为_________). 2

abc ; 4R

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 正弦定理及应用 在△ABC 中,已知 a = 2, b = 3, A = 45? ,求 B、C 及 c.
a b = , sin A sin B

【解答】 由正弦定理

b 3 3 2 3 ∴ sin B = sin A = × sin 45? = × = , a 2 2 2 2 ∵b>a, ∴B>A=45°,∴B 有两解. ∴B=60°或 120°. ①当 B=60°时,C=180°-(45°+60°)=75°,
a 2 6+ 2 isin C = sin 75? = . ? sin A sin 45 2 ②当 B=120°时,C=180°-(45°+120°)=15°, c= c= a 2 6? 2 isin C = sin15? = . sin A sin 45? 2

【题根法解读】 在已知三角形两边及其中一边的对角, 求该三角形的其他边、 角的问题时, 首先必须判别是否有解,若有解,是一解还是两解. 考点 2 【例 2】 余弦定理及应用 在△ABC 中,已知 AB =
BD = 5 ,求 sinA 的值.
4 6 6 , cos B = ,AC 边上的中线 3 6 1 2 6 AB = , 设 BE=x. 2 3

【解答】 如图, 设 E 为 BC 中的中点, 连结 DE, 则 DE∥AB 且 DE =

在△BDE 中应用余弦定理可得 BD2=BE2+ED2-2BE·ED∠BED,
8 2 6 6 ∴ 5 = x 2 + + 2i i x, 3 3 6

57

7 解得 x=1 或 ? (舍去). 3

故 BC=2, ∴AC2=AB2+BC2-2AB·BccosB=

28 2 21 即 AC = . 3 3

30 2 又 sin B = . 故 = 6 sin A

2 21 3 ,∴ sin A = 70 . 14 30 6

【题根法解读】

利用题设条件,构造余弦定理应用的环境是解决本题的突破点.

考点 3 正弦定理和余弦定理的综合运用 【例 3】 在△ABC 中,A 最大,C 最小,且 A=2C,a+c=2b, 求此三角形三边之比. 【解答】 由正弦定理得: 即 cos C =
a sin A sin 2C = = = 2 cos C , c sin C sin C

a a 2 + b 2 ? c 2 (a + c)(a ? c) + b 2 ,由余弦定理 cos C = = 2c 2ab 2ab
2b(a ? c) + b i

∵a+c=2b, ∴ cos C =
2(a ? c) + 2a

a+c a+c 2(a ? c) + 2 = 2 , 2ab 2a

a = 2c

a+c 2 .

3 整理得:2a2-5ac+3c2=0,解得 a=c 或 a = c. 2

∵A=2C,∴a=c 不成立,
3 c+c a+c 2 5 ∴b = = = c, 2 2 4 3 5 ∴ a : b : c = c : c : c = 6 : 5 : 4, 2 4

故此三角形三边之比为 6︰5︰4. 【题根法解读】 在应用正、余弦定理解决三角形的问题时,根据需要用到三角函数的有关 公式,如本题用到正弦二倍角公式. 【例 4】 已知在△ABC 中.sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小. 【解答】 解法 1:由 sinA(sinB+cosB)-sinC=0 得 sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0, 所以 sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0, 即 sinB(sinA-cosA)=0, 因为 B ∈ (0, π ) ,所以 sin B ≠ 0 ,从而 cosA=sinA. 由 A ∈ (0, π ), 知A = 从而 B + C =
3π . 4

π . 4

58

由 sinB+cos2C=0 得 sin B + cos 2(

3π ? B ) = 0. 4

即 sinB-sin2B=0. 亦即 sinB-2sinBcosB=0.
1 π 5π 由此得 cos B = , B = , C = . 2 3 12

所以 A =

π π 5π , B = ,C? = . 4 3 12
3π ? 2C ). 2

解法 2:由 sinB+cos2C=0 得 sin B = ? cos 2C = sin( 由 0<B、C<π,所以 B = 即 B + 2C =
3π π ? 2C 或 B = 2C ? , 2 2

3π π 或2C ? B = . 2 2

由 sinA(sinB+cosB)-sinC=0 得 sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0, 所以 sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0, 即 sinB(sinA-cosA)-0, 因为 sinB≠0, 所以 cosA=sinA. 由 A ∈ (0, π ), 知A = 从而 B + C =
π . 4

3π 3π 不合要求. , 知B + 2C = 4 4

再由 2C ? B = 所以 A = 【题根法解读】 【例 5】

π π 5π , 得B = , C = . 2 3 12

π π 5π , B = ,C = . 4 3 12

解三角形的题目,一般都要用到三角形内角和定理以及角的范围的限制.

在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于 城市 O(如图)的东偏南 θ (θ = arccos
2 ) 方向 300 km 的 10

海面 P 处,并以 20 km/h 的速度向西偏北 45°方向移动.台风 侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60 km,并以 10 km/h 的 速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 【解答】 设在时刻 t(h)台风中心为 Q, 此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km). 若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则 OQ≤10t+60. 由余弦定理知 OQ2=PQ2+PO2-2·PQ·POcos∠OPQ. 由于 PO=300,PQ=20t, cos∠OPQ=cos(θ-45°)= cos θ cos 45? + sin θ sin 45? =
2 2 2 2 4 × + 1? 2 × = , 10 2 10 2 5

4 故 OQ 2 = (20t )2 + 3002 ? 2 × 20t × 300 × = 202 t 2 ? 9600t + 3002 . 5

因此 202t2-9600t+3002≤(10t+60)2, 即 t2-36t+288≤0, 解得 12≤t≤24. 答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.

59

【题根法解读】 应用三角知识解有关应用问题,不仅要注意三角函数的有界性,还要注意 图形及实际问题的限制, 对于实际问题中的有关名词、 术语, 要理解清楚, 如坡度、俯角、仰角、视角、方位角、方向角等.

巩固练习→挑战考点
1. 在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则此三角形必是( ) A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 已知△ABC 的三个内角分别为 A、B、C 所对的三边分别为 a、b、c,若△ABC 的面积为

S=a2-(b-c)2,则 tan
A.
1 2

A 等于( 2

)? C.
1 8

B.

1 4

D. 1

3 在一幢 20m 高的楼顶测得对面一塔吊的仰角为 60°,塔基的俯角为 45°,则这座塔吊的 高是( ) A. 20(1 +
3 )m 3

B. 10( 6 + 2)m

C. 20(1 + 3)m

D. 20( 6 + 2)m

4. 在△ABC 中,若 sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8.则∠B 的大小是__________.
1 5. 在△ABC 中,已知 tan B = 3, cos C = , AC = 3 6 ,求△ABC 的面积. 3

6. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 B; (2)若 b = 13, a + c = 4 ,求△ABC 的面积.

cos B b =? . cos C 2a + c

专题 18

直线与平面平行和平面与平面平行

扫描考点→明确目标
1. 了解直线与平面、平面与平面的位置关系; 2. 掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理; 3. 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.

梳理考点→理解目标
1. 直线与平面的位置关系 (1)空间的一条直线和一个平面的位置关系,按它们的公共点的个数来分类为:①直 线和平面平行——____________公共点; ②直线与平面相交——____________公共点; ③直 线在平面内——____________公共点. (2)直线与平面____________或____________统称为直线在平面外. 2. 直线与平面平行的判定与性质? (1)直线与平面平行的判定定理简述为:若 __________平行,则__________平行;用 符号语言表示为:__________,__________,__________,则 a∥α. (2)直线与平面平行的性质定理简述为:若 __________平行,则__________平行;用

60

符号语言表示为:a∥α,__________,__________,则 a∥b. 3. 平面与平面的位置关系 (1)两个平面平行的定义:如果两个平面____________,就称这两个平面互相平行. (2)两个平面的位置关系:①两个平面平行——____________;②两个平面相交—— ____________. 4. 平面与平面平行的判定与性质 (1)平面与平面平行的判定定理简述为: ____________平行,则____________平行; 用 符 号 语 言 表 示 为 : ____________ , ____________ , ____________ , ____________ , ____________,则α∥β,其推论为:如果一个平面内有__________________分别平行于另 一个平面内的____________,那么这两个平面平行. (2)平面与平面平行的性质定理简述为: ____________平行,则____________平行; 用符号语言表示为:α∥β,__________,__________,则 a∥b.

典例分析→点亮考点
考点 1 直线与平面、平面与平面的位置关系 【例 1】 给出下列命题: (1)如果两条直线平行,则一条直线平行于经过另一条直线的任 何平面; (2)平行于同一个平面的两条直线平行; (3)a、b 为两条异面直线, 则存在一个经过 a 且平行于 b 的平面; (4)平行于同一个平面的两个平面互相平 行.其中正确的命题个数为( ) A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【解答】 (1)错误. 因为当平面正好是两条平行直线所确定的平面时,则直线在平面内; (2)错误. 因为平行同一个平面的两条直线仍有三种位置关系:平行、相交或 异面. (3)正确. 在直线 a 上任取一点 P,过 P 作 a ′ ? b ,因为 a、b 异面,所以 a 与 a ′ 相交,故 a 与 a ′ 可确定一个平面 α ,又 a、b 异面,所以 b 一定在平面 α 外, 于是有 b ? α ,即平面 α 经过直线 a 且与直线 b 平行. (4)正确. 设 α ? γ , β ? γ ,在平面 γ 内取两条相交直线 a、b,记 a ∩ b = O. 过 a、

b 分别作平面与 α 相交,设交线为 a1, b1, 由 α ? γ , 则 a ? a1 , b ? b1 且 a1 与 b1 必 相交,记为 a1 ∩ b1 = O1 ,再过 a、b 分别作平面与 β a ′ 相交,设交线为 a2, b2, 由 β ? γ ,则 a ? a2 , b ? b2 ,∴ a1 ? a2 , b1 ? b2 , a1 、 a2 ? α , b1 、 b2 ? β , a1 ∩ b1 = O1 , ∴α ? β .
综上所述,只有(3) 、 (4)正确,故选 B. 【题根法解读】 要判定直线与平面、平面与平面的位置关系,一是要理解好各种位置关系 的定义,二是要熟练地掌握各种位置关系的判定方法. 考点 2 直线与平面平行的判定 【例 2】 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在 同一平面内, P 、 Q 分别是对角线 AE 、 BD 上的点,且 AP=DQ. 求证:PQ∥平面 CBE. 【解答】 证法 1:如图(1) ,作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于点 N, 则 PM∥QN. ∴
PM EP QN BQ = , = . AB EA CD BD

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∵AP=DQ,∴EP=BQ,

(1) (2) 又∵AB=CD,EA=BD,∴PM=QN. 又∵PM∥QN,∴四边形 PMNQ 是平行四边形. ∴PQ∥MN. ∵ PQ ? 平面 CBE,MN ? 平面 CBE,∴PQ∥平面 CBE. 证法 2:如图(2) ,延长 AQ 交 BC 或其延长线于 G,连 EG. AQ DQ ∵AD∥CB,∴ = , QG QB 又 AP=DQ,AE=DB,∴
AQ AP = , ∴PQ∥GE. QG PE

又 PQ ? 平面 CBE,GE ? 平面 CBE,∴PQ∥平面 CBE. 【题根法解读】 证明线面平行可先证线线平行, 但要注意, 一条线在面外, 一条线在面内, 关键是找到面内的线. 考点 3 直线与平面平行的性质 【例 3】 如图,已知 a,b 是两条异面直线,点 A,B 在 a 上,点 C、 D 在 b 上,E、F 分别是 AC,BD 的中点,平面α过 EF, 且 a∥α. (1)求证:b∥α; (2)若 AB=4,CD=2,EF= 7 ,求 a,b 所成的角. 【解答】 (1)连 BC 交 α 于 G,连 EG,GF. ∵ a ? 平面 ABC,平面 ABC ∩α = EG , a ? α ,∴ AB ? EG. ∵E 是 AC 的中点,∴G 与是 BC 的中点,又 F 是 BD 的中点,∴GF∥CD. 又 CD ? α , GF ? α ,∴ CD ? α , 即直线 b ? α . (2)∵EG∥AB,GF∥CD,∴∠EGF(或其补角)即为 a, b 所成的角. ∵ EG =
1 1 AB = 2, GF = CD = 1, EF = 7. 2 2

∴ cos ∠EGF =

EG 2 + GF ? EF 2 1 =? 2i EG iGF 2

∴∠EGF=120°,∴a 与 b 所成角为 60°. 【题根法解读】 应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面和已知平面的 交线. 考点 4 平面与平面平行的判定 【例 4】 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点, 求证: (1)AP⊥MN; (2)平面 MNP∥平面 A1BD. 【解答】 (1)连 BC1、B1C,则 B1C⊥BC1,BC1 是 AP 在面 BB1C1C 上的射影.

62

∴AP⊥B1C. 又 B1C∥MN,∴AP⊥MN. (2)证法 1:连结 B1D1,B1C. ∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点,∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN ? 面 A1BD,∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD,又 PN ∩ MN = N , ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 证法 2:连 AC1、AC,如图, ∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体, ∴AC⊥BDI. 又 CC1⊥面 ABCD,∴AC 为 AC1 在面 ABCD 上的射影, ∴AC1⊥BD. 同理可证 AC1⊥A1B, ∴AC1⊥平面 A1BD. 同理可证 AC1⊥平面 PMN,∴平面 PMN∥平面 A1BD. 【题根法解读】 (2)的证明体现了证明面面平行的两种常用的方法,解决此类问题关键 是选择或添加适当的辅助线(或面) ,使问题得以转化. 考点 5 平面与平面平行的性质 【例 5】 如图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之 间.点 A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E.
AB DE = ; BC EF (2)设 AF 交β于 M,AC ? DF,α与β间距离 h′,

(1)求证:

α与γ间距离为 h,当

h′ 的值是多少时, h

S△BEM 的面积最大? 【解答】 (1)连结 BM、EM、BE, ∵ β ? γ ,平面 ACF 分别交 β 、 γ 于 BM、CF,
∴BM∥CF,∴ 同理:
AB AM = , BC MF

AM DE AB DE = ,∴ = . MF EF BC EF BM AB h′ = = , CF AC h

(2)由(1)知 BM∥CF, ∴ 同理

ME h ? h′ 1 h′ h′ = ,∴ S ?BEM = CF i AD (1 ? ) sin ∠BME. AD h 2 h h 据题意知,AD 与 CF 异面,只是 β 在 α 、 γ 间变化位置,故 CF、AD 是常量,

sin∠ BME 是 AD 与 CF 所成角的正弦值,也是常量,令 h′ : h = x. 只要考查函数

y=x(1-x)的最值,显然当 x =
所以当 【题根法解读】

h′ 1 1 时, = 时,y=-x2+x 有最大值. 2 h 2

h′ 1 = 时,即 β 在 α 、 γ 两平面的中间时,△MBE 面积最大. h 2

已知面面平行,可构造平面使之与两平行平面相交,从而得到线线平行.

巩固练习→挑战考点
63

1. a、b 为不重合的直线,α、β为不重合的平面,给出下列 4 个命题: a ?α? a ⊥α? a ?α ? a⊥β? ① ? ? b ? α ;② ? ? b ? α ;③ ? ? b ? α ;④ ?? a ?α . a?b? a ⊥b? a ⊥ b? α ⊥ β? 其中正确命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知直二面角α—l—β,直线 a?平面α,直线 b?平面β,且 a、b 与 l 均不垂直,那 么( ) A. a 和 b 不可能垂直,也不可能平行 B. a 和 b 不可能垂直,但可能平行 C. a 和 b 可能垂直,但不可能平行 D. a 和 b 可能垂直,也可能平行 3.α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( ) A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三点到平面β的距离相等 C. l、m 是平面α内的直线,且 l∥β,m∥β D. l、m 是两条异面直线,且均与平面α、β平行 4. 空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 上的点,它们共面并且 AC∥面 EFGH, BD∥面 EFGH, AC=m, BD=n, 当 EFGH 为菱形时, AE∶ EB=__________. 5. 如图,点 P 在平行四边形 ABCD 所在平面外,E、F、G 分别是 AB、CD、DP 的中点.求 证:PE∥平面 AFG. ? 6. 如图, 在直角三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AC=3, BC=4, AB=5, AA1=4, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值;

图 52-8

专题 19

直线与平面垂直和平面与平面垂直

扫描考点→明确学习目标
1. 掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理; 2. 了解正射影的有关概念,掌握三垂线定理和逆定理; 3. 掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理.

梳理考点→理解目标
1. 直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线 l 和一个平面α内的____________,那么就说这条直线 l 与平 面α互相垂直.

64

(2)直线与平面垂直的判定定理简述为: ____________垂直,则____________垂直; 用 符 号 语 言 表 示 为 : ____________ , ____________ , ____________ , ____________ , ____________,则 l⊥α. 如果两条平行线中的一条__________________,那么另一条也____________. 2. 正射影和三垂线定理 (1)如果一条直线和一个平面 ____________,但不和这个平面____________,那么这 条 直 线 叫 做 这 个 平 面 的 斜 线 , 斜 线 和 平 面 的 交 点 叫 ____________ , 斜 线 上 一 点 与 ____________间的线段叫做____________.过斜线上一点作平面的垂线,连结____________ 和____________的直线叫做这条斜线在这个平面内的射影. (2) 三垂线定理: 在____________的一条直线, 如果它和这个平面的一条____________ 垂直,那么它也和这条____________垂直. ( 3 )三垂线定理的逆定理:在 ____________的一条直线,如果它和这个平面的一条 ____________垂直,那么它也和这条____________垂直. 3. 两个平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的____________,就称这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理用符号语言表述为: ____________,____________, 则α⊥β. ( 3 ) 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 用 符 号 语 言 表 示 为 : ① α ⊥ β , α ∩ β =m , ____________, ____________,则 l⊥α,②α⊥β, P∈β,P∈b,b⊥α, 则____________.

课后练习→挑战考点
考点 1 直线与平面垂直的判定 【例 1】 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形, 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°, CD (1)证明:C1C⊥BD;(2)当 的值为多少时,能使 CC1

A1C⊥面 C1BD,并证明. 【解答】 (1)证明:如图所示,连结 A1C1、AC,AC 和 BD 交于点 O,连结 C1O. 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,BC=CD. 又因为∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C, 所以△C1BC≌△C1DC.所以 C1B=C1D. 因为 DO=OB,所以 C1O⊥BD. 又 AC⊥BD,AC∩C1O=O, 所以 BD⊥平面 AA1C1C.又 C1C 平面 AA1C1C,所以 C1C⊥BD. CD (2)当 = 1 时,能使 A1C⊥平面 C1BD. CC1
证法一:因为
CD = 1 ,所以 BC=CD=C1C. CC1

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,由此可推得 BD=C1B=C1D. 所以三棱锥 C—C1BD 是正三棱锥.设 A1C 与 C1O 相交于点 G, 因为 A1C1∥AC,且 A1C1∶OC=2∶1,所以 C1G∶GO=2∶1. 又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线, 所以点 G 是正三角形 C1BD 的中点. 所以 CG⊥平面 C1BD. 即 A1C⊥平面 C1BD. ?

65

证法二:由(1)知,BD⊥平面 AA1C1C.因为 A1C 平面 AA1C1C,所以 BD⊥A1C. CD 当 = 1 时,平行六面体的六个面是全等的菱形,同 BD⊥A1C 的证法, CC1 可得 BC1⊥A1C.又 BD∩BC1=B.所以 A1C⊥平面 C1BD.? 【题根法解读】 证明垂直问题可用分析法找思路,要证线线垂直,先证线面垂直;而要证 线面垂直, 先证线线垂直, 利用线面垂直的判定定理和性质定理实现: “线
??? “线面垂直”的转化,使垂直关系不断推陈出新. 线垂直” ???

考点 2 直线与平面垂直的性质 【 例 2】 如图,已知矩形 ABCD ,过 A 作 SA ⊥平面 AC ,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E,过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面 AEF 交 SD 于 G,求证:AG⊥SD. 【解答】 (1)∵SA⊥平面 AC,BC ? 平面 AC,∴SA⊥BC. ∵矩形 ABCD,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面 SAB. ∴BC⊥AE.又 SB⊥AE,∴AE⊥平面 SBC,∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC,∴SC⊥平面 AEF,∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC,∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC,∴DC⊥平面 SAD,∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG ? 平面 AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥面 SDC,∴AG⊥SD. 【题根法解读】 证明线线垂直问题,常常转化为线面垂直问题,即证明其中一条直线垂直 于另一条所在的平面. 考点 3 三垂线定理及逆定理 【例 3】 如图所示,点 D 是正三角形 ABC 所在平面外一点,且 DA=DB=DC,又 E、F、 G、 H 分别是线段 BC、 AD、 AB、 CD 的中点.求证: EF=GH. 【解答】 ∵E、F、G、H 分别是 BC、AD、AB、CD 的中点,
? 1 BD,FG ? 1 BD. ∴EH = = 2 2

? FG,即 EHFG 为平行四边形. ∴EH =

过点 D 作 DO⊥平面 ABC 于点 O, 连结 BO 并延长交 AC 于点 M, ∵△ABC 为正三角形且 DA=DB=DC,? ∴O 为△ABC 的中心, ∴BO⊥AC. 又 BO 为 DB 在平面 ABC 上的射影,由三垂线定理知 AC⊥BD. 又 AC∥GE,GF∥DB,∴GE⊥GF.? ∴四边形 EHFG 为矩形. ∴EF=GH.? 【题根法解读】 三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题 .对于同一 平面内的两直线垂直问题也可用“平移法” ,将其转化为空间两直线的垂 直问题,用三垂线定理证明. 考点 4 平面与平面垂直的判定

66

【例 4】 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=3,BB1=4,连结 B1C,过 B 作 BE ⊥B1C 交 CC1 于 E,交 B1C 于 F. (1)求证平面 A1BCD1⊥平面 BDE; (2)求 A1B 与平面 BDE 所成角的余弦值. 【解答】 (1)连结 AC, ∵ABCD—A1B1C1D1 是长方体, ∴A1A⊥ABCD. AC 是 A1C 在面 ABCD 上的射影, 又 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. 由三垂线定理得 A1C⊥BD,又 A1B1⊥面 B1BCC1, 且 B1C 是 A1C 在面 B1BCC1 上的射影? BE⊥B1C,故 A1C⊥BE, ∴A1C⊥面 BDE. 又 A1C ? 面 A1BCD1,∴平面 A1BCD1⊥平面 BDE. (2)设 A1C∩面 BDE=O,连 BO,由(1)知, ∠A1BO 是 A1B 与面 BDE 所成的角, ∵AB=3=BC,B1B=4,∴A1C= 34 , 在 Rt△A1BC 中,BO=
3 34 . 34

A1 B i BC 15 34 = , A1C 34

∴cos∠A1BO=

【题根法解读】 证明面面垂直,利用面面垂直的判定定理即是寻找一个平面的垂线,而这 个垂线又在另一个平面内,而寻找平面的垂线往往转化线线垂直.? 考点 5 平面与平面垂直的性质 【例 5】 如图所示,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在的平面互相垂直,两个正方形的边 长均为 2 ,M、N 分别是 AC 和 BF 上的点,且 AM=FN=x. (1)求证:MN∥平面 BCE; (2)设 MN=y,求函数 y=f(x); (3)当 MN 最短时,求 MN 与 AC 和 MN 与 FB 所成的角. 【解答】 (1)过 M 作 MP⊥AB,垂足为 P,连结 NP ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,∴MP⊥平面 ABEF 又∵BC⊥AB,∴BC⊥平面 ABEF,所以 MP∥BC. 利用平行线段截得比例线段定理知 又 AM=FN,AC=FB,所以
AP AM = , AB AC

AP FN , = AB FB

从而 PN∥AF∥BE,故平面 MPN∥平面 BCE.? ∵MN?平面 MPN,∴MN∥平面 BCE.? (2)∵AM=x,∴MP=AP= 又 PN=PB= 2 ?
x , 2 x . 2

又从 MP⊥平面 ABEF,知 MP⊥PN. ?

67

? x ? ? 2? x ? 2 ∴ MN = MP 2 + PN 2 = ? ? +? ? = x ? 2 x + 2. ? 2? ? 2 ?

2

2

即 y = x 2 ? 2 x + 2(0 < x < 2). (3)从 y = MN = ( x ? 1) 2 + 1 知当 x=1 时,MN 的最小值为 1, 此时 M、N 分别是两个正方形的中心. ∵
AM AM 1 = = ,∴MN∥CE. AC AE 2

所以 MN 与 AC 所成角为∠ACE,易知△ACE 为等边三角形,故 MN 与 AC 所成 角为 60°,同理 MN 与 BF 所成角也是 60°. 【题根法解读】 面面垂直的性质是将面面垂直转化到线面垂直,进而得到线线垂直,也就 将空间几何问题转化为平面几何问题,进行能顺利解决问题.

巩固练习→挑战考点
1. 已知直线 l、 m 与平面α、 β、 γ满足: l=β∩γ, l∥α, m ? α, m⊥γ, 那么必有 ( A. α⊥γ,且 l⊥m B. α⊥γ,且 m∥β C. m∥β,且 l⊥m D. α∥β,且α⊥γ 2. 下列命题中正确的是( ) a?b ? a ⊥α? a ⊥α? a ?α ? ① ② ③ ④ ?b ⊥ α ; ?a ? b ; ?b ? α ; ?b ⊥ α . a ⊥α? b ⊥α? a⊥b? a ⊥ b? )

A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 3. 在三棱锥 A—BCD 中,AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么必有( ) A. 面 ABD⊥面 ADC B. 面 ABD⊥面 ABC C. 面 ADC⊥面 BCD D. 面 ABC⊥面 BCD 4. 如图,五个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其在棱的中点, 能得出 l⊥面 MNP 的图形的序号是____________.(写出所有符合要求的图形的序号)

5. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD. 6. 已知:正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 (1)求证:B1D⊥BC1;

68

(2)求证:B1D⊥面 ACD1; (3)若 B1D 与面 ACD1 交于 O,求证 DO∶OB1=1∶2.

专题 20 扫描考点→明确目标

空间角

1. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的概念; 2. 会计算空间角的大小,并能解决其相关问题.

梳理考点→理解目标
1. 异面直线所成的角 已知两条异面直线 a、b,经过空间任意一点 O,作____________,____________,把 ____________与____________所成的____________ (或____________)叫做异面直线 a 与所 成的角(或____________) ,其范围是____________. 2. 直线与平面所成的角 一个平面的斜线和它在这个平面内的____________的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或 ____________) ,它是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中____________. 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是 ____________ ;如果直线 ____________或____________,就说直线和平面所成的角是 0°的角. 直线和平面所成角的范围是:____________. 3. 二面角 (1)从一条直线出发的两个 ____________所组成的____________叫做二面角,这条直 线叫做二面角的____________,每个____________叫做二面角的面. (2)一个平面垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线是两条 ____________,这两 条___________所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的大小可用它的 ____________来衡量,如果当二面角的两个面重合时,规 定二面角大小是 ____________ ,当二面角的两个面合成一个平面时,规定二面角大小是 ____________,那么二面角大小范围是____________.

典例分析→点亮考点
考点 1 两条异面直线所成的角 【例 1】 如图,在棱长都为 a 的四面体 ABCD 中,E、F 分 别为 AD、BC 的中点. (1)求证:EF 是 AD 和 BC 的公垂线,并求 EF 的长. (2)求异面直线 AF 与 CE 所成的角. 【解答】 (1)连结 BE、CE, ∵ABCD 是正四面体,E 为 AD 中点,∴BE=CE. 又 F 为 BC 中点,∴EF⊥BC,同理 EF⊥AD. ∴EF 为 AD 和 BC 的公垂线. 又 CE =
3 1 2 a, CF = a,∴ EF = CE 2 ? CF 2 = a. 2 2 2

69

2 a. 2 (2)解法 1:取 FD 中点 G,则 EG∥AF,连 CG.

故异面直线 AD 和 BCD 的距离为

∴∠CEG 为异面直线 AF 与 CE 所成的角或其补角. 在△CEG 中, CE = ∴ cos ∠CEG =
23 1 3 7 , EG = AF = a, CG = FG 2 + FC 2 = a. a 2 4 4

CE 2 + EG 2 ? CG 2 2 = . 2CE i EG 3

2 故异面直线 AF 与 CE 所成的角为 arccos . 3 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? 解法 2:∵ FA = FC + CA = BC + CA = ? CB + CA, CE = CA + CD, 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? ??? ? ? ? 1 ??? ? 1 ??? ?? ∴ FAiCE = ? ? CB + CA ?i? CA + CD ? 2 ? 2 ? ?2 ? ???? ? ? ??? ? 1 ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? = ? CBiCA + CA2 ? CBiCD + CAiCD 4 2 4 2 1 1 1 1 1 = ? a 2 cos 60? + a 2 ? a 2 cos 60? + a 2 cos 60? = a 2 . 4 2 4 2 2 1 2 ??? ? ??? ? a ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 FAiCE 2 而 | FA |=| CE |= ? ??? ? = 2 = , a. ∴ cos < FA, CE >= ??? 2 | FA || CE | 3 a 2 3 4 2 ∴异面直线 AF 与 CE 所成的角为 arccos . 3

【题根法解读】 求两异面直线所成的角,既可以利用其定义求角,也可以将其转化为空间 向量来求角. 考点 2 直线与平面所成的角 【例 2】 如图,在三棱锥 P—ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA, 点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC. (1)求证 OD∥平面 PAB ; (2)当 k =
1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; 2

(3)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的 重心? 【解答】 解法 1: (1)∵O、D 分别为 AC、PC 的中点, ∴OD∥PA ,又 PA ? ≠ 平面 PAB ,∴OD∥平面 PAB . (2)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC. 又∵OP⊥平面 ABC,∴PA=PB=PC. 如图,取 BC 中点 E,连结 PE, 则 BC⊥平面 POE. 作 OF⊥PE 于 F,连结 DF, 则 OF⊥平面 PBC, ∴∠ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角. 又 OD∥PA ,∴PA 与平面 PBC 所成角的大小等于∠ODF. 在 Rt△ODF 中, sin ∠ODF =
OF 210 = , OD 30

70

∴PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin

210 . 30

(3)由(2)知,OF⊥平面 PBC,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影. ∵D 是 PC 的中点,若点 F 是△PBC 的重心,则 B、F、D 三点共线, ∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD. ∵OD⊥PC,∴PC⊥BD,∴PB=BC,即 k=1. 反之,当 k=1 时,三棱锥 O—PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心. 解法 2: (1)∵OP⊥平面 ABC,OA=OC,AB=BC, ∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP. 以 O 为原点,射线 OP 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系 O—xyz(如图),
? 2 ? ? ? ? ? 2 2 设 AB=a,则 A ? ? 2 a, 0, 0 ? ?, B? ? 0, 2 a, 0 ? ?, C ? ? ? 2 a, 0, 0 ? ?. ? ? ? ? ? ?

设 OP=h,则 P(0,0,h).
???? ? 2 1 ? ∵D 为 PC 的中点,∴ OD = ? ? ? 4 a, 0, 2 h ? ?, ? ? ??? ? ? 2 ? ? ???? 1 ??? 又 PA = ? ? 2 a, 0, ? h ? ? ,∴ OD = ? 2 PA. ? ? ???? ??? ? ∴ OD ? PA. ,∴OD∥平面 PAB .

(2)∵ k =

7 1 ,即 PA =2a,∴ h = a, 2 2

??? ? ? 2 7 ? ∴ PA = ? ? 2 a, 0, ? 2 a ? ?, ? ? ? 1? 可求得平面 PBC 的法向量 n = ? ?1, ?1, ? 7 ? ? ? ? ??? ? ??? ? PAin 210 ? ∴ cos < PA, n >= ??? = . 30 | PA |i| n | ??? ? 210 设 PA 与平面 PBC 所成的角为 θ ,则 sin θ =| cos < PA, n >|= , 30

∴PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin

210 . 30

? 2 2 1 ? (3)△PBC 的重心 G ? ? ? 6 a, 6 a, 3 h ? ?. ? ? ???? ? 2 2 1 ? ∴ OG = ? ? ? 6 a, 6 a, 3 h ? ?. ? ?

71

???? ??? ? ∵OG⊥平面 PBC,∴ OG ⊥ PB. ??? ? ? ? 1 2 1 2 ? ???? ??? 2 又 PB = ? ? 0, 2 a, ?h ? ? ,∴ OG i PB = 6 a ? 3 h = 0. ? ? 2 a. ∴ PA = OA2 + h2 = a ,即 k=1. 2 反之,当 k=1 时,三棱锥 O—PBC 为正三棱锥,

∴h =

∴O 在平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心. 【题根法解读】 求直线与平面所成角常利用定义,转移为求直角三角形某锐角;或者利用 向量转化为求直线的方向向量与射影向量的夹角或直线的方向向量与平 面的法向量的夹角. 考点 3 二面角 【例 3】 如图(a),在三棱锥 A—BCD 中,AB⊥平面 BCD,BC=CD,且∠BCD=90°,AD 与平面 BCD 成 30°角,E、F 分别为 AC、AD 中点. (1)求证:平面 BEF⊥平面 ABC; (2)求平面 BEF 和平面 BCD 所成角.

(a) (b) 【解答】 (1)如图(b),以 B 为坐标原点, BD、BA 所在直线为 y 轴、z 轴,过点 B 且与 面 ABD 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系. 由条件知,∠ADB 是 AD 与面 BCD 所成角,∠ADB=30°. 设 BA=4a,由 BC=CD,BC⊥CD,E、F 为 CA、DA 中点 知 A(0,0,4a) 、D(0, 4 3a ,0) 、C( 2 3 a,0) 、C( 2 3a , 2 3a ,0) 、

E( 3a, 3a, 2a ) 、F( 0, 2 3a, 2a )
??? ? ??? ? ??? ? 所以 EF == (? 3a, 3a, 0), BA = (0, 0, 4 a), BC = (2 3a, 2 3a, 0) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 EF i BA = 0 + 0 + 0 = 0, EF i BC = ?6a 2 + 6a 2 + 0 = 0,

EF ⊥ BA, EF ⊥ BC , EF ⊥ 面 ABC.

所以面 BEF⊥面 ABC; (2)解法 1:先找出两面的交线,过点 B 作直线 l∥CD,则 l ? 面 BCD,另一方 面,由 E、F 为 CA 、DA 中点知,EF∥CD∥l,因此, l ? 面 BEF ,从而 l 是面 BCD 和面 BEF 的交线. 由于 AB⊥CD,CD⊥CB,所以 CD⊥面 ABC,l⊥面 ABC,l⊥面 ABC, 从而 l⊥BE,l⊥BC,∠EBC 是二面角 F—l—D 的平面角. 由(1)知 AB=4a, BD = 4 3a, BC = 2 6a, AC = 2 10 a. 所以 BE = EC = 10a, cos ∠EBC = cos ∠ECB =
2 6a 2 10a = 15 15 .∠EBC = arccos . 5 5

72

因此,面 BEF 和面 BCD 所成角为 arccos

15 . 5

解法 2:由 AB⊥面 BCD 知,n=(0,0,1)是面 BCD 的一个法向量. ??? ? ??? ? 下面求面 BEF 的法向量. 设 m= (x, y, z) 是面 BEF 的法向量, 则 m ⊥ BE , m ⊥ EF ,
??? ? ??? ? 又 BE = ( 3a, 3a, 2a), EF = ( ? 3a, 3a, 0) ??? ? 所以, m i BE = 3ax + 3ay + 2az = 0, ??? ? 且 m i EF = ? 3ax + 3ay + 0 = 0.

所以, 3 x + 3 y + 2 z = 0且 ? x + y = 0 ,即 y = x, z = ? 3 x. 因此, m = (1,1, ? 3) 是平面 BEF 的一个法向量. 因为 cos < m , n >=
m in ? 3 15 = =? . | m || n | 1i 5 5
15 . 5

所以面 BEF 和面 BCD 所成角为 arccos

【题根法解读】 利用平面的法向量求二面角的大小时,要细心观察和分析二面角的面的法 向量的方向,以便准确地求出二面角的大小.

巩固练习→挑战考点
1. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 为 AB 的中点, F 为 CC1 的中点, 则异面直线 EF 与 AC1 所成角的余弦值是( ) A.
2 3

B.

2 2 3

C.

3 4

D.

3 6

2. △ABC 的顶点 B 在平面α内,A、C 在α的同一侧,AB、BC 与α所成的角分别是 30°和 45°. 若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5,则 AC 与α所成的角为( ) A. 60° B. 45° C. 30° D. 15° 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,对于下列结论:①AC⊥BD;②△ADC 是正 三角形;③AB 与 CD 成 60°角;④AB 与平面 BCD 成 60°角. 其中正确结论的个数是 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AC 中点,直线 AB1 与平面 BCC1B1 所成角为 30°, 则 直线 AB1 与 BD 所成角的大小为____________. 线段 AB 的两个端点分别在直二面角α—CD—β的两个面内, 且与这个面都成 30°的角, 求异面直线 AB、CD 所成的角. 四棱锥 M—ABCD 底面是边长为 a 的正方形,MA 垂直底面于 A 且 MA=a,求二面角 B— MC—D 的大小.

3.

4. 5. 6.

专题 21

空间距离
73

扫描考点→明确目标
1. 掌握异面直线的距离、点到平面的距离、直线和平面间的距离、两平行平面间距离 的概念; 2. 熟练地掌握点面、线面、面面距离的计算方法; 3. 会计算在给出公垂线段或在坐标表示下的两异面直线的距离.

梳理考点→理解目标
1. 点到平面的距离:一点到它在一个平面内的 ____________的距离叫做这一点到这个 平面的距离. 2. 直线到与它平行平面的距离:一条直线上的 ____________ 到与它平行的平面的 ____________,叫做这条直线到平面的距离. 3. 两个平行平面的距离:两个平行平面的 ____________的长度,叫做两个平行平面的 距离. 4. 两条异面直线间的距离:两条异面直线的____________的长度,叫做两条异面直线

典例分析→点亮考点
考点 1 两点间的距离 【例 1】 把长、宽分别为 2 3 、2 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 60°角的二面角,求顶点 B 和 D 的距离. 【解答】 解法 1:如图,在平面 ADC 内,作 DH⊥AC 于 H, 在平面 ABC 内,作 EH⊥AC, 过 B 作 BH∥AC 交 EH 于点 H,连结 DH. 则∠DEH 为二面角 B—AC—D 的平面角,即∠DEH=60°. 且 AC⊥平面 DEH. ∴AC⊥DH,又∵BH∥AC,∴BH⊥DH. 在△ACD 中,AD=2, CD= 2 3 ,∴ DE = 同理 EH 即是 B 到 AC 的距离,故 EH= 3. 在△DEH 中, DE = EH = 3, ∠DEH=60°,∴ DH = 3 , ∴ BD = DH 2 + BH 2 = 7. 解法 2: 如图, 过 D 作 DE⊥AC, 垂足为 E, 过 B 作 BF⊥AC,垂足为 F. ∵ AB = 2 3, AD = 2,∴ DE = BF = 3, EF = 2.
???? ??? ? 又二面角 D—AC—B 为 60°,DE⊥AC,BF⊥AC,则 < DE , FB >= 120? ,

AD × CD = 3, AE = 1. AC

∵ DB = DE + EF + FB , ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ∴| DB |2 = ( DE + EF + FB )2 =| DE |2 + | EF |2 + | FB |2 +2 DE i EF + 2 EF i FB + 2 DE i FB

????

???? ??? ? ??? ?

74

= 3 + 4 + 3 + 2 × 3 × 3 × cos120? = 7. ??? ? ∴ | DB |= 7.

【题根法解读】 利用向量法求两点距离关键是构造封闭的向量图形,利用向量的模求两点 间的距离. 考点 2 点到直线的距离 【例 2】 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,过 A1、B、C1 三点的平面和平面 ABC 的交线为 l. (1)判定直线 A1C1 和 l 的位置关系,并加以证明; (2)如果|AA1|=1,|AB|=4,|BC|=3,∠ABC=90°,求点 A1 到直线 l 的距离. 【解答】 (1)∵A1C1∥AC,∴A1C1∥ABC, 又 l=面 A1C1B ∩ 面 ABC,∴l∥面 A1C1. (2)解法 1:如图所示,作 AE⊥l,垂足为 E,连结 A1E. 由直三棱柱 ABC—A1B1C1 知 A1A⊥平面 ABC ∴由三垂线定理知 A1E⊥l ∴A1E 长即点 A1 到直线 l 的距离 ∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面 ABC,∴A1C1∥l,∴AC∥l. ∴AE 长即为△ABC 边 AC 的高. ∴ AE =
AB × BC 12 = . AC 5
12 2 13 ) = . 5 5

∴在 Rt△A1AE 中, A1 E = AA12 + AE 2 = 12 + ( ∴点 A1 到 l 的距离为
13 . 5

解法 2:如图所示,建立直角坐标系 A—xyz, 则 B(4,0,0) ,C(4,3,0) ,A1(0,0,1) ,C1(4,3,1) , ???? ????? A1 B = (4, 0, ?1), A1C1 = (4,3, 0) ,作直线 BH⊥A1C1 于 H, 由( 1)知, l∥A1C1,所以 BH 即为点 A1 到直线 l 的距 离. ???? ????? ???? ????? ???? ? A1 B i A1C1 16 ∵ A1 B i A1C1 = 16.∴| A1 H |= ????? = , 5 | A1C1 |
???? ???? ???? ? 13 ∴ | BH |= | A1 B |2 ? | A1 H |2 = , 5

即 A 到直线 l 的距离为 【题根法解读】

13 . 5

???? 本例用向量时也可以先求向量 A1 B 在直线 l 的射影,再利用勾股定理即可

求出点 A1 到 l 的距离. 考点 3 点到平面的距离 【例 3】 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别 是 AB、 AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求 点 B 到平面 EFG 的距离.?

75

【解答】 解法 1:由 E、F 为 AB、AD 的中点知 EF∥BD, ∴BD∥平面 EFG, 则 B 到平面 EFG 的距离可转化为 BD 的中点 O 到平面 EFG 的距离. ∵BD⊥AC,∴EF⊥AC. 又 CG⊥面 ABCD, ∴EF⊥CG, ∴EF⊥面 GCH,又 EF ? 平面 EFG, ∴平面 EFG⊥平面 GCH. 过 O 作 OK⊥HG 于 K,则 OK⊥平面 EFG, ∴OK 为 O 到平面 EFG 的距离, 即 B 到平面 EFG 的距离. ∵ OH =
1 AC = 2, GH = GC 2 + CH 2 = 22, 4

又△HOK∽△HGC,则

OH OK 2 11 = ,∴ OK = . GH GC 11
2 11 . 11

∴点 B 到平面 EFG 的距离为

解法 2:如图,以 C 为原点,CB、CD、CG 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系 C—xyz. 由题知各点坐标 C(0,0,0) ,A(4,4,0) ,B(4,0,0) ,D(0,4,0) , E(4,2,0) ,F(2,4,0) ,G(0,0,2) , ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 由上可得 BE = (0, 2, 0), BF = (?2, 4, 0), BG = (?4, 0, 2), GE = (4, 2, ?2), EF = ( ?2, 2, 0). ???? ? 设向量 BM ⊥ ∴平面 GEF,垂足为 M,则 M、G、E、F 四点共面, ???? ? ??? ? ??? ? ???? 故存在实数 x、y、z,使 BM = xBE + yBF + zBG,
???? ? 即 BM = x(0, 2, 0) + y (?2, 4, 0) + z (?4, 0, 2) = (?2 y ? 4 z , 2 x + 4 y, 2 z ). ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 由 BM ⊥ 平面 GEF,得 BM ⊥ GE , BM ⊥ EF , ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 于是 BM iCE = 0 , BM i EF = 0 , ?(?2 y ? 4 z , 2 x + 4 y , 2 z )i(4, 2, ?2) = 0, ? 即 ?(?2 y ? 4 z , 2 x + 4 y , 2 z )i(?2, 2, 0) = 0, ? x + y + z = 1, ? 15 ? ? x = 11 , ? x ? 5 z = 0, ? 7 ? ? 即 ? x + 3 y + 2 z = 0, 解得 ? y = ? , 11 ? x + y + z = 1, ? ? 3 ? ? z = 11 . ? ???? ? ?2 2 6? ∴ BM = (?2 y ? 4 z , 2 x + 4 y, 2 z ) = ? , , ? . ? 11 11 11 ? ???? ? 2 2 6 2 11 ∴ | BM |= ( )2 + ( )2 + ( )2 = . 11 11 11 11

76

2 11 . 11 【题根法解读】 用向量法求点到平面的距离,垂线段常常不必作出来,只需设出垂线段对

即点 B 到平面 GEF 的距离为

应的向量或平面的法向量, 利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向 量. 考点 4 直线与平面、平面与平面间的距离 【例 4】 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是菱形,AB=4, ∠ABC=60°, PA ⊥平面 ABCD,且 PA =4,E 是 PA 的中点. (1)求证:平面 BED⊥平面 PAC ; (2)求 PC 与平面 BED 间的距离; 【解答】 解法 1: (1)证明:∵PA ⊥ABCD,∴BD⊥PA . 又 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,∴BD⊥面 PAC , ∴面 BED⊥面 PAC . (2)解:连结 EO 则 EO∥PC,∴PC∥面 BED,作 EF⊥PC 于 F, 则 EF⊥EO,EF⊥面 BDE, ∴EF 的长为 PC 到平面 BED 的距离, PE = 2, PC = 4 2,∴ EF = 2. 即 PC 与平面 BED 间的距离为 2 . 解法 2:如图,以 A 为原点,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴建立空间直角坐标系, 由 AB=4,∠ABC=60°,PA =4,E 为 PA 中点知:

A(0,0,0) 、B( 2 3 ,-2,0) 、C( 2 3 ,2,0) 、 D(0,4,0) 、P(0,0,4) 、E(0,0,2). (1)设平面 BED 的法向量 n1 = ( x, y , z )
??? ? ???? 又 BD = (?2 3, 6, 0), DE = (0, ?4, 2),

??? ? ? ??2 3x + 6 y = 0 ?n1 i BD = 0 ? ∴ ? ???? ?? ??4 y + 2 z = 0 ?n1 i DE = 0 ? ?

令 y=1 得 n1 = ( 3,1, 2). 同理可得平面 PAC 的法向量 n2 = (1, ? 3, 0) ∵ n1 in2 = 3 × 1 + 1× (? 3) + 2 × 0 = 0 ∴ n1 ⊥ n2 , ∴平面 BED⊥平面 PAC . (2)设 AC ∩ BD = O ,则 OE∥PC, ∴PC∥平面 BED ∴PC 到平面 BED 的距离 d 即是 P 点到平面 BED 的距离. ??? ? ??? ? | n1 i PE | 4 ∵ PE = (0, 0, ?2),∴ d = = = 2 即为所求的距离. | n1 | 8 【题根法解读】 求线面距离和面面距离可转化为点面距离,反之求点面距离也可转化为线 面距离或面面距离,再转化为点面距离,因此点到面距离是重中之重. 考点 5 异面直线间的距离

77

如图,在正方体 ABCD — A1B1C1D1 中, M、N 分别为棱 A1A , BB1 的中点,O 为 BD1 的中点,正方体棱长为 1. (1)求 OM 与 D1N 所成角的余弦; (2)求证:OM 为异面直线 AA1 与 BD1 的公垂线; (3)求异面直线 AA1 与 BD1 的距离. 【解答】 解法 1: (1)如图,连结 BD,取 BD 中点 O′ ,连结 O′O , ∵BB1∥DD1,∴D1N ? 平面 BDD1, 又∵O、 O′ 分别是 BD1、BD 的中点, 【例 5】
? 1 DD1 ? 1 AA1 ∴ ? 1 AM ,∴ AO′ ∥OM ∴ OO′ = = 2 = 2 2

∵DD1⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形 ∴DD1⊥ AO′, AO′ ⊥ BD,∴ AO′ ⊥ 平面 BDD1 ∴ AO′ ⊥ D1 N ,∴ OM ⊥ D1 N ,即 OM 与 D1N 所成角为 90°. (2)由(1)知 AO′ ⊥ 平面 BDD1,∴ AO ′ ⊥ BD1 又∵AA1⊥平面 ABCD,∴AA1⊥ AO′ ∵OM∥ AO′ ,∴OM⊥BD1,OM⊥AA1 ∴OM 为异面直线 AA1 与 BD1 的公垂线 (3)由(1)知 OM = AO ′ =
2 . 2 2 . 2

∴异面直线 AA1 与 BD1 的距离为

解法 2: (1)以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间
1? 1? ?1 1 1? ? ? 直角坐标系,则 O ? , , ? , M ? 1, 0, ? , D1 ( 0, 0,1) , N ?1,1, ? . 2? 2? ?2 2 2? ? ? ???? ? ? 1 1 ? ????? ? 1? OM = ? , ? , 0 ? , D1 N = ?1,1, ? ? , 2? ?2 2 ? ? 1 ? 1? ? 1? 1× + 1× ? ? ? + ? ? ? × 0 ???? ? ????? 2 ? 2? ? 2? ∴ cos < OM i D1 N >= = 0. 2 3 × 2 2

∴OM 与 D1N 所成的角为 90°. (2)∵B(1,1,0) ,D1(0,0,1) ,O 为 BD1 中点, ???? ? ? 1 1 ? ??? ? ??? ? ?1 1 1? ∴ O ? , , ? , ∴ OM = ? , ? , 0 ? , AA1 = (0, 0,1), BD1 = ( ?1, ?1,1). ?2 2 2? ?2 2 ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ∴ OM i AA1 = 0, OM ⊥ BD1 = 0. ∴OM⊥AA1,OM⊥BD1,∴OM 为异面直线 AA1 与 BD1 的公垂线. (3)OM 是异面直线 AA1 与 BD1 的距离. ???? ? 1 1 2 | OM |= ( ) 2 + (? )2 + 0 = . 2 2 2 【题根法解读】 利用向量法求公垂线段长的关键是利用公垂线的定义及向量共线和向量垂 直的条件建立方程组求出公垂线段所代表向量.

巩固练习→挑战考点
78

1. 如图,在直二面角α—l—β中,A,B∈l,AC?α,AC⊥l,BD β, BD⊥ l,AC=6, AB=8,BD=24,则线段 CD 的长是( ) A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 2. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,E 是 CC1 的中点,则 E 到 A1B 的距离是( ) A.
3 a 3

B.

6 a 2

C.

5 a 2

D.

3 2 a 4

3. 已知 Rt△EFG 的直角顶点 E 在平面α内,斜边 FG∥α,且 FG=6 cm,EF、EG 与平面 α分别成 30°和 45°角,则 FG 到平面α的距离是( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 2 3 cm D. 2 6 cm 4. 已知线段 AB 在平面 M 内,AB=4,斜线 AD=3 且 AD⊥AB,AD 与平面 M 成 30°角,BC ⊥平面 M,BC=3,且 C、D 在 M 的两侧,则 CD 的长为____________. 5. 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a. (1)证明:AB 和 A1C 是异面直线; (2)求 AB 和 A1C 所成的角及距离. 6 在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=4,AA1=2,E、F 分别是 AB、C1D1 的中点. (1)求证:A1B1⊥EF; (2)求直线 A1B1 与截面 A1EF 所成角的正切值; (3)求点 B 到截面 A1EF 的距离.

专题 22 扫描考点→明确目标

棱柱与棱锥

1. 了解多面体、正多面体的概念; 2. 了解棱柱和棱锥的概念,会画正棱柱和正棱锥的直观图; 3. 掌握棱柱和正棱锥的几何性质、侧面积和体积公式.

梳理考点→理解目标
1. 多面体 (1)由若干个平面____________围成的____________叫做多面体. (2)每个面都有____________的正多边形,每个顶点为端点都有 ____________的凸多 面体,叫正多面体. ( 3 )正多面体只有正 __________ 面体、正 __________ 面体、正 __________ 面体、正 __________面体、正__________面体五种. 2. 棱柱与棱锥 (1)棱柱的定义:如果一个多面体有两个面 ____________,而其余____________,这 样多面体叫做棱柱; 侧棱____________底面的棱柱叫斜棱柱;侧棱____________底面的棱柱 叫直棱柱;底面是____________的直棱柱叫正棱柱. (2) 棱锥的定义: 如果一个多面体的一个面是____________, 其余各面是____________, 那 么 这 个 多 面 体 叫 棱 锥 ; 如 果 一 个 棱 锥 的 底 面 是 ____________ , 并 且 顶 点 在 底 面 的 ____________是____________,这样的棱锥叫正棱锥.

79

3. 棱柱和棱锥的性质 (1)棱柱的性质: ①棱柱的侧面是___________,侧棱都____________;直棱柱的侧面是____________; 正棱柱的各个侧面都是____________. ②两底面与平行于底面的截面是____________的全等多边形. ③过不相邻的两条棱的截面是____________. (2)棱锥的性质:平行底面的截面和底面 ____________,它们面积比等于截得棱锥的 高和已知棱锥高的____________. (3)正棱锥的性质:各侧棱 ____________,各侧面都是____________三角形,各侧面 的底边上的高(即 ____________) ____________;正棱锥的 ____________ 、 ____________ 和 ____________ 在底面内的射影组成一个直角三角形, ____________ 、 ____________ 和 ____________在底面上的射影也组成一个直角三角形. 4. 平行六面体 (1)底面是____________的四棱柱叫平行六面体;侧棱与 ____________的平行六面体 叫直平行六面体; 底面是____________的直平行六面体叫长方体;____________的长方体叫 正方体. (2)性质:平行六面体的对角线 ____________,并且在交点处____________;若长方 体的长、宽、高分别为 a、b、c,对角线长为 l,则 l2=____________. 5. 棱柱与棱锥的体积公式 (1) 棱柱的体积 V 棱柱等于它的底面面积 S 与高 h 的__________, 即 V 棱柱?=__________. (2)棱锥的体积 V 棱锥等于它的底面面积 S 与高 h 的____________的____________, 即 V 棱锥?=__________________.

典例分析→点亮考点
考点 1 棱柱和棱锥的概念 【例 1】 下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥; ④侧棱与底面所成的角都相等, 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正 三棱锥. 其中,真命题的编号是____________(写出所有真命题的编号). 【解答】 根据正三棱锥的定义,即底面是等边三角形,顶点在底面的射影为底面的几何中 心.对于①来说,侧面与底面所成的二面角都相等,易知此二面角皆为锐二面角, 故顶点在底面的射影为底面三角形的内心,故①正确;对于②来说,只有一条棱 长为 1,其余棱长皆为 2,符合条件,但不是正三棱锥,故②错误;对于③来说, 顶点在底面的射影可能是三角形的内心, 亦可能是旁心, 即顶点在底面的射影可 能在三角形内亦可能在三角形外,故③错误;对于④来说,侧棱与底面所成角都 相等?顶点在底面的射影应为底面三角形的外心; 侧面与底面所成角都相等?顶 点在底面的射影应为底面三角形的内心,故④正确.故填①④. 【题根法解读】 准确理解棱柱或棱锥的有关概念是顺利解题的关键,其中要通过线面关系 将其转化为概念中所必要的条件. 考点 2 棱柱或棱锥的性质

80

【例 2】 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一 起组成一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是? A. 77 cm B. 7 2 cm C. 5 5 cm D. 10 2 cm 【解答】 将两个长方体的 5×4 的面重叠在一起组成的长方体的对角线长为
52 + 42 + 62 = 77 cm,同理可得将另两个面 5×3 和 3×4 的面重合在一起组

成的长方体对角线长分别为 102 + 42 + 32 = 5 5 cm, 52 + 82 + 32 = 98 cm.故选 C. 【题根法解读】 长方体的对角线长的平方等于其一个顶点的三条棱长的平方和这一性质应 用广泛,我们必须熟练地掌握它 .如由它还可以推出:长方体的一条对角 线与其一个顶点的三条棱所成的角分别为 考点 3 棱柱或棱锥中的线面关系 【例 3】 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA ⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:CD⊥PD; (2)求证:EF∥平面 PAD ; (3)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时, 直线 EF⊥平面 PCD? 【解答】 以 A 为原点, 以 AB、 AD、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 A—xyz, 设 AB=a, AD=b, AP=h,则 A(0,0,0) ,B(a, 0,0) ,D(0,b,0) ,P(0,0, h) ,C(a, b, 0). ??? ? ??? ? (1)∵ CD = (? a, 0, 0), PD = (0, b, ? h),
??? ? ??? ? ∴ CDi PD = (? a) × 0 + 0 × b + 0 × (? h) = 0,

∴CD⊥PD. (2)∵E、F 分别是 AB、PC 的中点. ? ? b h? ?a ? ? a b h ? ??? ∴ E ? , 0, 0 ? , F ? , , ? , EF = ? 0, , ? ?2 ? ?2 2 2? ? 2 2?
? b h? 设 PD 的中点为 G,则 G ? 0, , ? ; ? 2 2? ???? ? b h ? ??? ? ???? 即 AG = ? 0, , ? ,∴ EF = AG, 即 EF∥AG. ? 2 2? ∵ EF ? 平面 PAD ,AG ? 平面 PAD ,∴EF∥平面 PAD . (3)由(1)知 CD⊥PD,由已知底面为矩形知 CD⊥AB, ∴∠PDA 为二面角 P—CD—A 的平面角. ??? ? ??? ? ∵EF⊥平面 PCD,∴EF⊥PD,∴ EF i PD = 0. ??? ? ? b h ? ??? ? 而 EF = ? 0, , ? , PD = (0, b, ?h), ? 2 2?

b h ∴ 0 × 0 + × b + i( ?h) = 0 ,即 b=h. 2 2

∴ tan ∠PDA =

AP h = = 1, 即∠PDA=45°. AD b

81

从而当二面角 P—CD—A 为 45°时,EF⊥平面 PCD. 【题根法解读】 在棱柱或棱锥中讨论空间的线面关系,要注意题设条件和棱柱或棱锥的性 质. 考点 4 棱柱与棱锥中角与距离 【例 4】 如图,在三棱柱 ABC — A1B1C1 中, AB ⊥侧面 BB1C1C ,E 为棱 CC1 上异于 C 、 C1 的一点, EA ⊥ EB1. 已知 AB= 2 , π BB1=2,BC=1,∠BCC1= ,求: 3 (1)异面直线 AB 与 EB1 的距离; (2)二面角 A—EB1—A1 的平面角的正切值. 【解答】 (1)∵AB⊥面 BB1C1C,∴AB⊥BE. 又 EB1⊥EA,且 EA 在面 BCC1B1 内的射影为 EB, 由三垂线定理的逆定理知 EB1⊥BE, 因此,BE 是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线. 在平行四边形 BCC1B1 中,设 EB=x,则 EB1 = 4 ? x 2 , 如图,作 BD⊥CC1 交 CC1 于 D,则 BD = BC isin
π 3 = . 3 2

1 1 3 在△BEB1 中,由面积关系得 x 4 ? x 2 = i2i , 即( x 2 ? 1)( x 2 ? 3) = 0. 2 2 2

解得 x = ±1, x = ± 3 (负根舍去). 当 x = 3 时,在△BCE 中, CE 2 + 12 ? 2CE icos
π = 3, 3

解得 CE=2,故此时 E 与 C1 重合,由题意舍去 x = 3. 因此 x=1,即异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1. (2)过 E 作 EG∥B1A1,则 GE⊥面 BCC1B1, 故 GE⊥EB1,且 GE 在面 A1B1E 内,又已知 AE⊥EB1, 故∠AEG 是二面角 A—EB1—A 的平面角. 因 EG∥B1A1∥BA,∠AEG=∠BAE, 故 tan ∠AEG = 【题根法解读】
BE 1 2 = = . AB 2 2 利用棱柱或棱锥其特殊的几何体的线面关系,寻求空间角或空间距离, 就

易于计算角与距离. 考点 5 棱柱与棱锥的侧面积和体积 【 例 5】 如图,在长方体 ABCD — A1B1C1D1 中, E 、 P 分别是 BC、A1D1 的中点,M、N 分别是 AE、CD1 的中点,AD =AA1=a,AB=2a. (1)求证:MN∥面 ADD1A1; (2)求二面角 P—AE—D 的大小; (3)求三棱锥 P—DEN 的体积. 【解答】 (1)取 CD 的中点 K,连结 MK、NK. ∵M、N、K 分别为 AE、CD1、CD 的中点,∴MK∥AD,NK∥DD1, ∴MK∥面 ADD1A1,NK∥面 ADD1A1.

82

∴面 MNK∥面 ADD1A1,∴MN∥面 ADD1A1. (2)设 F 为 AD 的中点,∵P 为 A1D1 的中点,∴PF∥D1D,∴PF⊥面 ABCD. 作 FH⊥AE,交 AE 于 H,连结 PH,则由三垂线定理得 AE⊥PH. 从而∠PHF 为二面角 P—AE—D 的平面角.
a 17 在 Rt△AEF 中, AF = , EF = 2a, AE = . 2 2 a i2a AF i EF 2a FH = = 2 = . AE 17 17 a 2

在 Rt△PFH 中, tan PHF =

PF DD1 17 = = , FH FH 2
17 . 2

故二面角 P—AE—D 的大小是 arctan (3) S?NEP =

1 1 1 5 2 S矩形ECD1P = BC iCD1 = i ai a 2 + 4a 2 = a . 2 4 4 4 作 DQ⊥CD1,交 CD1 于 Q,由 A1D1⊥面 CDD1C1,得 A1D1⊥DQ,

∴DQ⊥dm BCD1A1. 在 Rt△CDD1 中, DQ =
CDi DD1 2ai a 2 = = a, CD1 5a 5

1 1 5 2 a3 ∴ VP ? DEN = VD ? NEP = S?NEP i DQ = i a 2 i = . 3 3 4 5 6 【题根法解读】 求棱柱或棱锥的侧面积或体积时,主要是计算空间距离和运用相应的面积 与体积公式.

巩固练习→挑战考点
1. 平行六面体成为直平行六面体的充要条件是( ) A. 有两个侧面是矩形 B. 一侧棱垂直于底面,底面为矩形 C. 有两相邻侧面都是矩形 D. 有两条侧棱都垂直于底面一边 2. 用一个平面去截一个正四棱柱,截法不同,所得截面的形状不一定相同,在各种截法中, 边数最多的截面的形状为( ) A. 边形 B. 边形 C. 边形 D. 边形 3. 个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为 1∶2,则此棱锥的高被 分成的两段之比为( ) A. 1︰2 B. 1︰4 C. 1︰ 2 + 1 D. 1︰ 2 ? 1 4. 一块长为 12 cm,宽为 8 cm 的矩形纸板,折成一个正四棱柱的侧面,则这个正四棱柱的 对角线长为____________. 5. 图 58-8,正三棱锥 S—ABC 的底面边长为 a,侧棱与底面成 45°角,求此正三棱锥的侧 面积.

图 58-8 83

6. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D;? (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为
π . 4

专题 23 扫描考点→明确目标



1. 了解球的有关概念,掌握球的性质; 2. 掌握球的表面积、体积公式.

梳理考点→理解目标
1. 球面和球的概念 与定点的距离___________或___________的点的集合,叫做球体,简称为___________; 定点叫做____________, 定长叫做____________; 与定点的距离____________的点的集合叫 做球面. 2. 球的截面的性质 (1)用一个平面去截球,截面是_________;球面被经过球心的平面截得的__________ 叫做____________,被不经过球心的平面截得的____________叫做____________. (2)球心与截面圆心的连线____________截面.? (3)球心到截面的距离 d,球的半径 R 和截面圆的半径 r,存在关系____________. 3. 球面距离 球面上两点之间的 ____________的长度,就是经这两点的 ____________在这两点间的一段 ____________的长度,称作两点的球面距离. 4. 球的表面积和体积公式 半径为 R 的球的表面积 S=____________,体积 V=____________.

典例分析→点亮考点
考点 1 球及球面的概念 【例 1】 下列结论中正确的是( ) A. 过球面上两点,可确定球的一个大圆 B. 过球直径的三等分点的平面,不可能平分球面 C. 过球面上三点,可确定球的一个大圆 D. 若 A、B、C 是球面上三点,则过三点的球的截面圆周是△ABC 的外接圆 【解答】 A 错.因为这两点可能是球的直径的两个端点;B 错.因为这个平面可能经过这条 直径;C 错.因为球的小圆上三点也是球面上三点,它不是大圆,而这三点不共 线,只能确定一个平面;D 正确.因为球的截面是一个圆,而这三点在这个圆上, 故是△ABC 的外接圆,故选 D.

84

【题根法解读】

正确理解球的有关概念,抓住球的截面的本质.

考点 2 球的面积与体积 【例 2】 如图,在球面上的四个点 P、A、B、C,如果 PA 、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积与体 积.? 【解答】 如图,由 PA ⊥PB,可知 P、A、B 确定一个平面,设它与球 O 的交线为⊙O1,由于 PA ⊥PB,所以 AB 为⊙O1 的直径, 且 AB = AP 2 + BP 2 = 2a. ∵PC⊥PA ,PC⊥PB,∴PC⊥平面 PAB . 又 OO1⊥平面 PAB ,∴OO1∥PC. 过 OO1、PC 作平面 α ,平面 α 与球面的交线为大圆 O, 设⊙O 与⊙O1 的另一交点为 D, 则 PD 为平面 α 和平面 PAB 的交线, 点 O1 ∈ PD , 连结 CD,在⊙O 中,∵PC⊥PD,∠CPD 为直角,∴CD 为⊙O 的直径. 设⊙O 的半径为 R,也即球 O 的半径为 R, 在 Rt△CPD 中, CD = PC 2 + PD 2 = a 2 + 2a 2 = 3a. 即 2 R = 3a, R =
3 3 a,∴ S球 = 4π R 2 = 4π i a 2 = 3π a 2 . 2 4

4 4π 3 3 3 3 3 V球 π R3 = i a = πa . 3 3 8 2 【题根法解读】 根据条件作出球的截面圆是把空间问题转化为平面问题的主要方法.

考点 3 球的截面性质 【例 3】 如图,A、B、C 是表面积为 48π的球面上三点,AB=2, BC=4, ∠ABC=60°, O 为球心, 则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 A. arcsin C. arcsin
3 6 3 3

B. arccos D. arccos

3 6 3 3

【解答】 设球的半径为 R, O′ 为截面圆的圆心, 则 OO′ ⊥ 平面 ABC,连结 AO′ ,则 ∠OAO′ 即为所求, 由题可知, 4π R 2 = 48π ? R = 2 3. 在△ABC 中,∠B=60°,AB=2,BC=4, 易证△ABC 为直角三角形且∠CAB=90°,则 BC 过 O′ 点 ? AO ′ = ∴ cos ∠OAO′ = 【题根法解读】
1 BC = 2. 2

O′A 2 3 3 ,故选 D. = = ? ∠OAO′ = arccos OA 2 3 3 3 球的截面问题最重要是利用截面的性质,而计算中,最常用的公式是
d = R2 ? r 2 .

考点 4 球面距离 【例 4】 如图,已知地球半径为 R,地面上三点 A、B、C 的经纬度 分别是:A(东 20°,北 60°) ,B(东 140°,北 60°) ,

85

C(东 140°,南 30°) ,试求 A、B 两点与 B、C 两点及 A、C 两点的球面距离. 【解答】 因为 A、B 纬度相同,所以 A、B 在同一纬线上, 设经过 A、B 点的纬线圆心为 O1,则∠AOiB=120°. 因为平面 ABO1 与赤道平面平行,
所以∠OAO1=∠OBO1=60°,所以 O1 A = O1 B = R cos 60? =
1 R. 2 3 2 R . 4

在△AO1B 中,由余弦定理,得 AB 2 = O1 A2 + O1 B 2 ? 2O1 AiO1 B cos120? = 在△AOB 中, cos ∠AOB =
AO 2 + BO 2 ? AB 2 5 = . 2 AOi BO 8

5 所以 A、B 两点的球面距离等于 R arccos . 8

因为 B、C 两点在同一经线上,设经过 C 点的纬线圆心为 O2,经度差为 90°, 即∠BOC=90°,所以 B、C 两点的球面距离为 又 O1、O、O2 三点共线, 所以 O1O2 = O1O + OO2 = R sin 60? + R sin 30? =
3 +1 3 R , O2C = R cos 30? = R. 2 2

π R. 因为纬度圆面互相平行, 2

连结 AC,则可知 A、C 两点经度差为 θ = 120? , 根据异面直线两点间的距离公式, 可得 AC 2 = O1O2 2 + O1 A2 + O2C 2 ? 2O1 AiO2C icos120? =
8+3 3 2 R . 4 8+3 3 2 R 3 3 4 =? . 2 2R 8

R2 + R2 ?

所以在△AOC 中,由余弦定理,得 cos ∠AOC = 所以 ∠AOC = π ? arccos
3 3 . 8

? 3 3? 所以 A、C 两点的球面距离为 ? π ? arccos ? R. ? 8 ? ? ?

【题根法解读】 求球面上两点的球面距离关键是求这两点与球心连线的夹角,而夹角又是 通过这两点和球心组成的三角形来求解的. 考点 5 与球有关的组合体 【例 5】 面体 A—BCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球,求球 O1 的体积. 【解答】 如图,设球 O 的半径为 R,球 O1 的半径为 r,易知 AG = AE 2 ? GE 2 =
6 a?R R 6 3 又因△AOF∽△AEG,∴ = ?R= a. 12 3 3 a a 6 2 6 a, 3

86

6 a ? 2R ? r r 6 ∵ ?AO1 H ? ?AOF ,∴ 3 = , 即r = a. R 24 6 a?R 3

∴ V球O1 【题根法解读】

4 4 ? 6 ? 6 = π r3 = π ? a? = π a3 . ? ? 3 3 ? 24 ? 1728

3

求球的体积最关键的是求出球的半径,若球与一条直线或一个平面相切, 则连结球心与切点所得的直线与已知直线或平面垂直, 利用这一条性质可 以解决许多与球相切有关的问题.

巩固练习→挑战考点
1. 知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为
π ,则球心 2

O 到平面 ABC 的距离为(
A.
1 3

) C.
2 3

B.

3 3

D.

6 3

2. 形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B—AC—D,则四面 体 ABCD 的外接球的体积为( ) A.
125 π 12

B.

125 π 9

C.

125 π 6

D.

125 π 3

3. 球面上三点 A、B、C 的截面和球心的距离是半径的一半,且 AB=6,BC=8,AC=10,则 球的表面积是( ) A. 100π B. 300π C.
100 π 3

D.

400 π 3

4. 120°的二面角内放一个半径为 5 的球,使球与两个半平面各有且仅有一个公共点,则这 两个点之间的球面距等于____________. 5. 半径为 15 的球内有一底面边长为 12 3 的内接正三棱锥,求此正三棱锥的体积. 6. 如图,球 O 的半径为 2,AC 是球的直径,AB⊥BC,球 O 的截面 BDC 把球的直径分成 3∶ 1 两部分,BC 是截面圆的直径,D 是截面圆周上一点,且满足 BD 、 DC 的弧长之比为 1∶2. (1)证明:平面 ABD⊥平面 ADC;? (2)求异面直线 AC 和 BD 所成的角.

专题 24 扫描考点→明确目标

排列与组合

87

1. 理解排列的意义,掌握排列数的计算公式,并能用它解决一些简单的排列应用题; 2. 理解组合的意义,掌握组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它解决一些简单 的组合应用题.

梳理考点→理解目标
1.排列与排列数 (1)排列:从 n 个__________中,任取 m(m≤n)个元素,按照__________,叫做从 n 个__________中取出 m 个元素的一个排列. ( 2)排列数:从 n 个 __________中取出 m 个元素的 __________ 的个数,叫做从 n 个 __________中取出 m 个元素的排列数,记作__________. ( 3 )排列数公式:当 m<n 时,排列称为选排列,排列数为 Anm =______=______; 当

m=n 时,排列称为_______,排列数为 Ann =_______=_______,规定 O!=_________.
2. 组合与组合数 (1)组合:从 n 个__________中,任取 m(m≤n)个元素并__________,叫做从 n 个 __________中取出 m 个元素的一个组合.? (2)组合数:从 n 个__________中取出 m(m≤n)个元素的__________的个数,叫做 从 n 个__________中取出 m 个元素的组合数,记作__________.? (3)组合数公式 Cnm =__________=__________=__________,规定? Cn0 =__________.? (4)组合数的性质:① Cnn ? m =__________,② Cnm + Cnm ?1 =__________.

典例分析→点亮考点
考点 1 【例 1】 排列数公式和组合数公式 计算: (1)
5 6 2 A7 ? A6 ; 6!+ 5! 98 97 3 (2) (C100 + C100 ) ÷ A101 ;

2 17 ? n 3n (3) C22 + C32 + ? + C10 ; (4 ) C 2 + C13 n +n .

2 A5 6 A5 2 6 2 6 2 7 × 6 6 36 【解答】 (1)原式 = × 7 ? × 5 = C75 ? = C72 ? = × ? = . 7 5! 7 5! 7 7 7 7 7 2 7 7 1 1 98 3 3 3 3 (2)原式 = C101 ÷ A101 = C101 ÷ (C101 A3 )= 3 = . A3 6
2 3 2 (3)原式 = C33 + C32 + C42 + C52 + ? + C10 = C4 + C42 + C52 + ? + C10

3 2 3 = ? = C10 + C10 = C11 = 165.

?0 ≤ 17 ? n ≤ 2n, (4)依题意 n 必须满足 ? ?0 ≤ 3n ≤ 13 + n. * ∴5.7≤n≤6.5,而 n ∈ N ,∴n=6.
11 18 ∴原式 = C12 + C19 = 31.

【题根法解读】 排列数和组合数的计算要熟记公式,对于组合数的计算,还要抓住题目式

88

子的结构特征,灵活地运用组合数的性质,达到顺利解题的目的. 考点 2 排列应用题 【例 2】 有 3 名男生,4 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数. (1)选其中 5 人排成一行; (2)全体排成一行,其中甲只能在中间或两端位置; (3)全体排成一行,甲、乙必须在两端; (4)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (5)全体排成一行,男女生各站在一起;? (6)全体排成一行,其中男生必须排在一起;? (7)全体排成一行,男女生各不相邻;? (8)全体排成一行,男生不能排在一起;? (9)全体排成一行,甲、乙、丙 3 人由左至右顺序不变;? (10)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人;? (11)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人.?
5 【解答】 (1)选 5 人来排为选排列,即有 A7 =7×6×5×4×3=2520 种.

1 6 (2)甲为特殊元素应先排甲,有中间、两端三个位置可选,故有 A3 i A6 =2160 种.

(3)甲、乙为特殊元素,先排甲、乙在两端位置有 A22 种,其余 5 人有 A55 种排 法,∴共有 A22 i A55 =240 种.? (4)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置. 解法 1:特殊元素法. 甲在最右边时,其余的可全排,有 A66 种.
1 甲不在最右边时,可以从余下的 5 个位置中任选一个,有 A5 种;而乙可排在除

1 1 1 5 去右边位置后剩余的 5 个位置中的一个上, 有 A5 种, 其余人全排列, 共有 A5 i A5 i A5

1 1 5 种,所以由分类计数原理知,共有 A66 + A5 i A5 A5 =3720 种.

解法 2:间接法. 7 个人全排,共有 A77 种,其中,不符合条件的有甲在最左边时有 A66 种,乙在最 右边时 A66 种,其中包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情形,有 A55 种,∴共 有 A77 ? 2 A66 + A55 =3720 种. (5)男、女生各站在一起,先把男、女生各看成一个整体,分别全排,最后两 个整体全排,∴共有 A33 i A44 i A22 =288 种.? (6)将男生看成一个整体,先进行全排,再与女生进行全排即可, ∴共有 A33 i A55 =720 种.
89

(7)男、女生相间排列,先排好男生,然后将女生排入空出的四个位置中, ∴共有 A33 i A44 =144 种.? (8)这里男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,然后在空出的五个 空位中任选三个排男生,∴共有 A44 i A53 =1440 种. (9)解法 1:7 个人的全排列可看成由下面两步完成: 第一步:固定甲、乙、丙三人自左至右的顺序排列总数记为 N; 第二步:对甲、乙、丙进行全排.? A7 由乘法原理得 A77 = N i A33 ,∴ N = 73 = 840 种. A3 解法 2:甲、乙、丙顺序固定,可先排其余 4 人,从 7 个位置中选 4 个位置排列 的方法有 A74 种,再排甲、乙、丙三人只有 1 种,故共有 A74 =840 种.?
3 (10)分两步来完成,先选三人排在前排有 A7 种,余下四人放在后排有 A44 种,

3 4 ∴共有 A7 i A4 =5040 种.?

事实上,本题即为 7 个人的全排,无任何限制条件.? (11)把甲、乙两人及中间 3 人可看做一个整体,第一步先排这个整体有 A22 i A53 种,第二步该整体与剩余 2 人进行全排列有 A33 种,∴共有 A22 i A53 i A33 =720 种.? 【题根法解读】 用直接法解有限制条件的排列问题时,要按“特殊元素特殊对待,特殊位 置优先安排”的原则,但分类标准必须一致,即要么以特殊元素为主线, 要么以特殊位置为主线, 用排除法解这类问题时, 对不合条件的也应采用 这一原则. 考点 3 组合应用题 【例 3】 20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中,要求每个盒内的球数不 小于它的编号数,则不同的放法种数是 A. 560 B. 364 C. 120 D. 91 【解答】 解法一:将“球放入盒中”转化为“插空法”由此进行求解. 首先按每个盒子的编号各放入 1 个,2 个,3 个小球,而后将剩余的 14 个小球, 排成一排,如图,有 15 个空档,其中小球用“○”表示,空档用“|”表示.将求 小球装入盒中的方案数,转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数.对应关系: 以插入两个空档的小盒之间的“○”个数,表示右侧空档上的小盒所装有的小球 个数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒 ,而其余空档只可插入一个小盒,最右 侧的空档必插入小盒.于是,若有两个小盒插入最左侧的空档,有 C32 种;若恰有一
1 2 个小盒插入最左侧空档,有 C32YC13 ;若没有小盒插入最左侧空档,有 C13 种.由分类

1 1 2 计数原理,有 N = C32 + C3 C13 + C13 = 120 种,即有 120 种放法.选 C.

|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|

90

解法二:本题也可由反面入手,采用排除法求解. 将 20 个小球排成一排,其中小球用“○”表示,用“|”表示小球之间的空档, 小盒进入的位置,如
2 解答一的对应法则.于是每个小盒内都有球的放法种数是 C19 ;编号为 2 的小盒中

1 恰有一球(即编号为 2 的小盒插入到左“1”空档位置) ,有 C18 种;编号为 3 的

1 小盒中恰有两个球(即编号为 3 的小盒插入到左“2”的空档位置) ,有 C17 种;

又编号 2 与编号 3 的盒中同时装一球,对应两个排列(编号 2 盒进“左 1”且编 号 3 盒进“左 2”或编号 3 盒进“左 1”且编号 2 盒进“左 2” ) ;编号 2 的盒中 一球且编号 3 的盒中 2 球, 对应两个排列 (编号 2 盒进 “左 1” 且编号 3 盒进 “左
2 1 1 3” 或编号 3 盒进 “左 2” 且编号 2 盒进 “左 3” ) .所以, 共有 N = C19 + 2C18 ? C17 +2

种方法.选 C. 【题根法解读】 在选择是用排列还是组合问题时,要弄清题意,看问题是“选”还是“排” , 也就是选出的元素是否有顺序. 考点 4 排列组合综合应用 【例 4】 有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,现在要把球全部放入盒内. (1)共有几种放法? (2)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (3)恰有 1 个盒放 2 个球,共有几种放法? (4)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法? 【解答】 (1)每只球可有 4 种独立的放法,由分步计数原理,放法共有 44=256 种. (2)为保证恰有 1 个盒子不放球,先从 4 个盒子中任意拿出 1 个,再将 4 个球 分成 2,1,1 三组,有 C42 种分法;然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球, 其
1 2 1 余 2 个球,2 个盒子,全排列即可,故有 C4 iC4 iC3 i A22 =144 种.

( 3) “恰有 1 个盒子放 2 个球”即另外的 3 个盒子,每个盒子至多放 1 个球, 即 另外 3 个盒子中恰有 1 个空盒,因此同(2)完全一样,故也有 144 种. (4)先从 4 个盒子中任意拿走 2 个,问题转化为“4 个球,2 个盒子,每盒必放 球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1)、(2,2)两类.第一类:可从
3 1 4 个球中先选 3 个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 C4 iC2 种放法;

3 1 2 第二类:有 C42 种放法.因此共有 C4 iC2 + C4 =14 种.由分步计数原理得“恰

有 2 个盒子不放球”的放法有 C42 i14 =84 种. 【题根法解读】 排列组合综合问题的处理方法一般是先选后排,同时也要与两个计数原理 结合处理. 考点 5 排列组合中的数字问题 【例 5】 用 0,1,2,3,4,5 六个数字,可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数 字的四位数:

91

(1)奇数; (2)偶数; (3)大于 3125 的数.
1 1 2 【解答】 (1)先排个位,再排首位,共有 A3 i A4 i A4 =144 个.

1 1 2 (2)以 0 结尾的四位偶数有 A53 个,以 2 或 4 结尾的四位偶数有 A2 i A4 i A4 个,

1 1 2 共有 A53 + A2 i A4 i A4 =156 个.?

(3)要比 3125 大,4、5 作千位时有 2 A53 个,3 作千位,2、4、5 作百位时有 3 A42 个,
1 1 3 作千位 1 作百位时有 2 A3 个,所以共有 2 A53 + 3 A42 + 2 A3 =162(个).?

【题根法解读】 在排列组合数字问题中,它既有一般排列组合应用题的共性,又有其特殊 性.因而在处理它时, 既要考虑其共性,也要考虑其特殊性, 而它的特殊性 往往是题设条件或目标条件. 考点 6 排列组合中的分组问题 【例 6】 现有六本不同的书, (1)甲、乙、丙三人每人两本,有多少种不同的分配方法? (2)分成三堆,每堆两本,有多少种分堆方法?(3)分成三堆,一堆 1 本, 一 堆 2 本,一堆 3 本,有多少种不同的分堆方法?(4)分给甲、乙、丙三人,一 人 1 本,一人 2 本,一人 3 本,有多少种不同的分配方法?(5)分成三堆,有 两堆各 1 本,另一堆 4 本,共有多少种分法?? 【解答】 (1)在六本书中,先取 2 本给甲,再从剩下四本书中取 2 本给乙,最后两本给丙, 共有 C62 C42 C22 =90(种)分配方法; (2)六本书平均分成 3 堆,用上述分法重了 A33 倍,故共有
C62 C42 =15(种)分堆方法; A33

(3)从六本书中,先取 1 本作为一堆,再在剩下的 5 本中取 2 本作为一堆,最后 3
1 2 3 本作为一堆,共有 C6 C5 C3 =60(种)分堆方法;(4)在(3)的分堆中,甲、乙、丙三人

1 2 3 3 任取一堆,共有 C6 C5 C3 A3 =360(种)分配方法;(5)先从六本书中取 4 本作为一堆,

剩下的 2 本正好一堆一本,则共有 C64 =15(种)分法. 【题根法解读】 分组问题含有均匀分组、非均匀分组、混合分组三种形式,处理此类问题 时的关键是要充分考虑是否与顺序有关,避免产生重复计数.

巩固练习→挑战考点
1. 北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三 班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( ) 12 4 4 C C C8 12 4 12 4 12 4 3 A. C14 B. C14 C. 14 12 D. C14 C12 C84 A12 A84 C12 C84 A3 A33 2. 有 6 名男同学和 4 名女同学,自左至右站成一排,其中女同学不相邻而且最右端必须是 女同学的排法种数为( ) A. A66 A44
1 3 6 ?B. C4 A6 A6 1 3 6 ?C. C4 C6 A6

?D. A66 A63

92

3. 在由数字 1、2、3、4、5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有( ) ? A. 56 个 ?B. 57 个 ?C. 58 个 ?D. 60 个 4. 10 级楼梯,分八步走完,可一步走一级,也可一步走两级,则共有 ________种不同的走 法. 5. 在一张节目表上原有 6 个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去 3 个节 目,求共有多少种安排方法? 6. 在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另外 2 人既能当钳工又能当车工, 现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人当车工,问有多少种不同选法?

专题 25 扫描考点→明确目标

二项式定理

掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 二项式定理是高考中必考的内容, 考题一般以选择题和填空题, 但也可以出现在与其它 知识综合的解答题中, 主要考查考生对二项展开式中的特定项或特定项的系数,以及二项式 定理的应用.

梳理考点→理解目标
1. 二项式定理 对于 n∈N*, (a+b)n=_____________,这个公式所表示的定理叫做 _____________,右 边的多项式叫做(a+b)n 的__________,二项展开式的通项公式为 Tr+1=_____________. 二项展开式中的 Cnr (r=0,1,2,…,n)叫做_____________,要分清展开式中某一项的 系数与该项的二项式系数. 2. 二项式系数的性质 ( 1 ) 对 称 性 : 在 二 项 展 开 式 中 , ____________ , 即
0 n 1 n ?1 2 n?2 r n?r Cn = Cn , Cn = Cn , Cn = Cn , ? , Cn = Cn .

(2)增减性与最大值:二项式系数 Cnk ,当 k < 当k >
n +1 时,二项式系数是__________. 2

n +1 时,二项式系数是__________; 2

当 n 是偶数时,_____________取得最大值. 当 n 是奇数时,_____________且同时_____________. (3)各二项式系数的和 (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于__________,即________________. ( 4 )二项展开式中,偶数项的二项式系数的和 _____ 奇数项的二项式系数的和,即 ______.

典例分析→点亮考点
考点 1 二项式定理

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【例 1】 (1) 若(x+2)n=xn+…+ax3+bx2+cx+2n(n∈N, n≥3), 且 a∶b=3∶2, 则 n=__________.
1 2 2 2 3 11 12 12 12 (2)若 a=3-2i,化简: 1 ? C12 a + C12 a ? C12 a + ? + ?C12 a + C12 a =__________.

【解答】 (1)由题知 a = Cnn ? 3 i 2n ? 3 , b = Cnn ? 2 i 2n ? 2 ,∴ a : b = Cnn ? 3 : 2Cnn ? 3 = 3 : 2 , 解得 n=11,故填 11. (2)原式= (1 ? a)12 = ( ?2 + 2i )12 = 212 [( ?1 + i ) 2 ]6 = 212 ( ?2i ) 6 = ?218. ,故填-218. 【题根法解读】 二项式定理是解决二项式定理的有关问题的基础, 因而首先必须要熟记二 项式定理. 考点 2 二项展开式的项 【例 2】 已知 ( x ?
1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有有理项.
1 1 1 1 1 1 【解答】 依题意,前三项系数的绝对值是 1, Cn ( ), Cn2 ( ) 2 , 且 2Cn i = 1 + Cn2 ( ) 2 , 2 2 2 2 2 即 n ? 9n + 8 = 0, ∴n=8(n=1 舍),
8?r r 3r ? C r 16 ? ? 1 ? 1 ∴ Tr +1 = C8r ( x )8? r ? ? 4 ? = (? ) r C8r i x 2 i x 4 = (?1) r i 8 ix 4 r 2 2 ? 2 x?

r

(1)若 Tr +1 为常数项,当且仅当

16 ? 3r = 0 ,即 3r=16. 4 16 ? 3r 为整数, 4 35 1 ?2 x, T9 = x . 8 256

∵ r ∈ Z ,∴这不可能,∴展开式中没有常数项. (2)若 Tr +1 为有理项,当且仅当 ∵0≤r≤8, r ∈ Z ,∴r=0, 4, 8, 即展开式中的有理项共有三项,它们是: T1 = x 4 , T5 =

【题根法解读】 此类问题一般由通项公式入手分析,要注意系数和二项式系数,常数项和 有理项的概念区别. 考点 3

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