【精品】湖北省黄冈市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题-含解析

黄冈市 2017 年春季高二年级期末考试

数学试题（文科）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知复数

，若 是纯虚数，则实数 等于（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】 是纯虚数，则

且

.....................

解得 ,选 B

2. 已知集合 A＝{－1， }，B＝{|m－1＝0}，若 A∩B＝B，则所有实数 m 组成的集合是( )

A. {－1,2} B. {－，0,1} C. {－1,0,2} D. {－1,0， }

【答案】C

【解析】（1） ，则

（2）

，则

，解得

综上，

选C

点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、

数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互

异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.

(3)防范空集.在解决有关

等集合问题时，往往忽略空集的情况，

一定先考虑 是否成立，以防漏解.

3. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程

有有理根，那么

中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）

A. 假设

都是偶数 B. 假设

都不是偶数

C. 假设

至多有一个是偶数 D. 假设

至多有两个是偶数

【答案】B

【解析】“若整系数一元二次方程

有有理根，那么

中至少有一个是偶数”的反证假设是“假设

都不是偶数” 选 B

4. 设

，则（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

，

，

选B

5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】（1）=0,S=100,不成立 （2）=1,S=99,不成立 （3）=2,S=97,不成立 （4）=3,S=93,不成立 （5）=4,S=85,不成立 （6）=5,S=69,不成立 （7）=6,S=37,不成立 （8）=7,S=-27,成立选 C 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流 程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、 循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是 求和还是求项.

6. 函数

单调递增区间是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

-

0

+

则单调增区间为

选C

7. 函数

的零点所在的大致区间是 ( )

A. （0，1）
【答案】B

B. （1，2）

C. （2，3）

D. （3，4）

【解析】试题分析：

，所以函

数零点在区间（1，2）内 考点：函数零点存在性定理

8. 观察式子：

，…，则可归纳出式子

为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A
【解析】右边分子 ，则

，则分子为 ，而分母为

选A

9. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )

A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D 【解析】试题分析：对于 A，消耗升 汽油，乙车行驶的距离比 千米小得多，故错；对于 B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于 C, 甲车以 千米/ 小时的速度行驶 小时，消耗 升汽油, 故错；对于 D,车速低于 千米/小时，丙的燃油效率 高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选 D. 考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.
10. 函数 f()=ln-2 的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】定义域为

，

舍去 取极大值 选B

11. 若不等式 2﹣a+a＞0 在（1，+∞）上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. [0，4] B. [4，+∞） C. （﹣∞，4） D. （﹣∞，4] 【答案】C 【解析】不等式 2﹣a+a＞0 在（1，+∞）上恒成立，则

原题转为

恒成立，即

设

则 为 在（1，+∞）上最小值，

则 选C

12. 函数 是定义在 上的偶函数，且满足

.若在区间

上方程

取值范围是（ ）

.当

时，

恰有四个不相等的实数根，则实数 的

A.

B.

C.

D.

【答案】A
【解析】由

可知 是周期为 2 的偶函数

由当

时，

和偶函数知当

时，

令

，则问题转化为

在区间

有四个交点

由下图得 图象在直线 AB 与 AC 之间时

有四个交点

直线 AB 斜率，直线 AC 斜率，故

选A

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数 的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、 极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单 调性、周期性等． 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）

13. 若 a10=，am= ，则 m=______．

【答案】5

【解析】

14. 某单位为了了解用电量 y（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量 与当天气温（如表），并求得线性回归方程为 =－2+60．不小心丢失表中数据 c，d，那么由 现有数据知 2c+d=______．

c

13

10

－1

y

24

34

38

d

【答案】100 【解析】

点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两 个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接 根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 .

15. 若函数

在区间

恰有一个极值点，则实数 的取值范围为___

【答案】[1,5)

【解析】试题分析：由题意，

，则

，解得

．

考点：函数在某点取得极值的条件． 点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．

16. 已知函数

，则函数

的所有零

点之和是___________. 【答案】

【解析】试题分析：由

可得

或

或

.当

时可得

,所以由 或

可得

,解之得

；

当

时可得

或

,解之得

,故所有零点之

和为

,应填

.

考点：复合函数的零点和计算． 【易错点晴】函数的图像和性质是高中数学中的重要知识点之一,也高考和各级各类考试的 重要内容和考点.函数的零点问题一直是高中数学教与学的难点内容.本题以分段函数为背 景,重点考查的是函数的零点的概念及解指数方程、分式方程、二次方程等有关知识和方法. 求解时,充分借助分段函数的对应关系和条件分类求解,并进行合理取舍,从而问题简捷巧 妙地获解.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。）

17. 命题 关于 的不等式

的解集为 ；命题 函数

是增函数，若

为真，求实数 的取值范围．

【答案】 【解析】试题分析：分别求出命题 P,Q 为真时实数 的取值范围，再根据 假 Q 真，解不等式组得实数 的取值范围．

为真得 P

试题解析：解：

或；

或，

若

为真，则 真且 真，∴

18. 已知函数 h()＝(m2－5m＋1)m+1 为幂函数，且为奇函数． (I)求 m 的值；

(II)求函数 g()＝h()＋

，∈

的值域．

【答案】（1）m＝0（2）
【解析】试题分析：（1）根据幂函数定义得 m2－5m＋1＝1，解得 m＝0 或 5，再根 据幂函数为奇函数得 m＝0（2）换元将函数化为一元二次函数，结合自变量取值范围与
定义区间位置关系确定函数最值，得函数值域
试题解析：解：(1)∵函数 h()＝(m2－5m＋1)m＋1 为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，.

解得 m＝0 或 5
又 h()为奇函数，∴m＝0
(2)由(1)可知 g()＝＋

，∈ ，

令

＝t，则＝－ t2＋ ，t∈[0,1]，

∴f(t)＝－ t2＋t＋ ＝－ (t－1)2＋1∈

，故 g()＝h()＋

，∈

的

值域为

.

19. 某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定大于 或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知

在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 .

优秀 非优秀 合计

甲班 10

乙班

30

合计

110

(I)请完成上面的列联表; (II)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关 系”; (III)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人;把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号. 试求抽到 9 号或 10 号的概率.

【答案】（1）见解析（2）不能认为（3）

【解析】试题分析：

思路分析：此类问题（1）（2）直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论。

（3）是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值。

解：（1）

4分

优秀

非优秀

合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80

110

（2）根据列联表中的数据，得到 2= ≈7.487＜10.828．因此按 99.9%的

可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

8分

（3）设“抽到 9 或 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（，y）．所

有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共 36 个．事件 A 包含的基本事

件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共 7 个．所以 P(A)= ，

即抽到 9 号或 10 号的概率为 ． 12 分
考点：“卡方检验”，古典概型概率的计算。 点评：中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论。古典 概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏。 20. 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从 上午 6 点到中午 12 点，车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出：

求从上午 6 点到中午 12 点，通过该路段用时最多的时刻． 【答案】上午 8 点 【解析】试题分析：分别求三段对应函数最大值，最后取三个最大值的最大值.三段分别对 应三次函数、一次函数、二次函数，对应求最值方法为导数法，单调性法以及对称轴与定 义区间位置关系数形结合法. 试题解析：解：①当 6≤t＜9 时，
y′＝－ t2－ t＋36＝－ (t＋12)(t－8)．
令 y′＝0，得 t＝－12(舍去)或 t＝8. 当 6≤t＜8 时，y′>0，当 8<t<9 时，y′<0，

故 t＝8 时，y 有最大值，yma＝18.75.

②当 9≤t≤10 时，y＝ t＋ 是增函数，

故 t＝10 时，yma＝16. ③当 10＜t≤12 时，y＝－3(t－11)2＋18， 故 t＝11 时，yma＝18. 综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点．

21. 已知函数

.

（I）求函数 的单调区间；

（II）若函数

上是减函数，求实数 a 的最小值．

【答案】（1）

时，增区间

；

时，单调减区间

（2）

【解析】试题分析：（1）求出导函数 ，解不等式

得增区间，解不等式

得减区间；（2）题意说明

在

上恒成立，即不等式

恒成

立，

，因此问题转化为求

的最大值．

试题解析：由已知函数

的定义域均为

,且

.

（1）函数

当

且 时,

;当

所以函数 的单调减区间是

时, ,增区间是

. .

（2）因 f()在

上为减函数，故

在

所以当

时，

．

上恒成立．

又

，

故当

，即

时，

．

所以

于是

，故 a 的最小值为．

考点：导数与单调性，导数的综合应用．

【名题点睛】在导数的应用中，用导数求单调区间是常见问题，常用方法是角不等式

得增区间，解不等式

得减区间，但如果已知 在区间 上是增函

数，则所用结论变为

在

时恒成立（同样，如果已知 在区间

上是减函数，则所用结论变为

在

时恒成立），主要是

点对单调性没有影响．在等价转化时要注意，否则易漏解.

22. 选修 4-4：坐标系与参数方程

的孤立零

设直线 l 的参数方程为

（t 为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2θ =4cosθ ． （I）把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （II）设直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，点 A（1，0），求

的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】试题分析：（1）根据

将曲线 C 的极坐标方程化为直角

坐标方程，（2）由直线参数方程几何意义得

，再将直

线参数方程代入曲线 C，利用韦达定理代入化简得结果
试题解析：解：（1）由曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2θ =4cosθ ，即 ρ 2sin2θ =4ρ cosθ ， 可得直角坐标方程：y2=4．

（2）把直线 l 的参数方程

（t 为参数）代入曲线 C 的直角坐标方程可得：3t2

﹣8t﹣16=0， ∴t1+t2= ，t1t2=﹣ ．

∴|t1﹣t2|=

=

=．

∴

+

=

=

=1．

23. 选修 4-5：不等式选讲

已知函数 f（）=|2＋1|+|2－a|．

（I）若 f（）的最小值为 2，求 a 的值；

（II）若 f（）≤|2－4|的解集包含[－2，－1]，求 a 的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式可得函数 f（）的最小值为|a+1|，再解方程

|a+1|=2，可得 a 的值；（2）即∈[﹣2，﹣1]时，f（）≤|2﹣4|恒成立，化简得|2﹣a|≤5

恒成立，即﹣5+2≤a≤5+2 恒成立，可得 a 的取值范围．

试题解析：解：（1）∵函数 f（）=|2+1|+|2﹣a|≥|2+1﹣（2﹣a）|=|a+1|，且 f（）的最 小值为 2，∴|a+1|=2，∴a=1 或 a=﹣3． （2）f（）≤|2﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，即∈[﹣2，﹣1]时，f（）≤|2﹣4|恒成立， 即|2+1|+|2﹣a|≤|2﹣4|恒成立，即﹣2﹣1+|2﹣a|≤4﹣2 恒成立，

即|2﹣a|≤5 恒成立，即﹣5+a≤2≤5+a 恒成立，即

，

∴﹣7≤a≤1 点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式 的解集为 R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集?的对立面(如 f()＞m 的解集是空集，则 f()≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f()＜a 恒 成立?a＞f()ma，f()＞a 恒成立?a＜f()min.