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高中数学第7章解析几何初步72直线的方程两点式截距式教案湘教版必修3(数学教案)

直线的方程-两点式、截距式 ●教学目标 1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围; 2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. ●教学重点 直线方程的两点式 ●教学难点 两点式推导过程的理解 ●教学方法 学导式 ●教学过程 1、创设情境 直线 l 过两点 A(1,2) ,B(3,5) ,求直线 l 的方程。 回忆:直线方程的点斜式、斜截式 直线方程的点斜式: y ―y1 =k( x ―x1) 直线的斜截式:y = kx + b 解:∵直线 l 过两点 A(1,2) ,B(3,5) ∴直线 l 的斜率 k = (5―2)/(3―1) ∴直线 l 的方程是 y ―2 = [(5―2)/(3―1)](x―1) 即:(y ―2)/ (5―2)= (x―1)/ (3―1) 2、提出问题: 直 线 l 过 两 点 A ( x1,y1 ), B ( x2,y2 ), (x1 ≠ x2) 求 直 线 l 的 方 程 。 y? y x ? x1 猜想: 1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1 推导:因为直线 l 经过点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,并且 x1≠x2,所以它的斜率 k ? y 2 ? y1 .代入 x2 ? x1 点斜式, 得 y ? y1 ? 3、解决问题 直线方程的两点式: y 2 ? y1 ( x ? x1 ) . x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1 其中( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) 是直线两点的坐标. 说明:①这个方程由直线上两点确定; ②当直线没有斜率( x1 ? x 2 )或斜率为 0( y1 ? y 2 ) 时,不能用两点式求出它的方程. 两点式的变形式:(x2―x1)(y―y1) = (y2―y1)(x―x1). 特殊情况,若直线 l 过点(a,0) , (0,b) ,(ab≠0)则直线 l 的方程是什么? -1- y?0 x?a x y ? ,整理得 ? ? 1 b?0 0?a a b x y 直线方程的截距式: ? ? 1 ,其中 a,b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上截距. a b 分析:代入两点式有 说明:①这一直线方程由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式; ②求直线在坐标轴上的截距的方法: 令 x = 0 得直线在 y 轴上的截距;令 y= 0 得直线在 x 轴上的截距。 4、 反思应用: 例 1 三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3) 、C(0, 2 ) , 求这个三 角形三边所在直线的方程. 解:直线 AB 过 A(-5,0)、B(3,-3)两点,由两点式 得 y?0 x ? (?5) ? ? 3 ? 0 3 ? (?5) 整理得: 3x ? 8 y ? 15 ? 0 ,即直线 AB 的方程. 直线 BC 过 C(0,2),斜率是 k ? 2 ? (?3) 5 ?? , 0?3 3 由点斜式得: y ? 2 ? ? ( x ? 0) 整理得: 5x ? 3 y ? 6 ? 0 ,即直线 BC 的方程. 直线 AC 过 A(-5,0),C(0,2)两点,由截距式得: 5 3 x y ? ?1 ?5 2 整理得: 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,即直线 AC 的方程. 变:三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3) 、C(0,2),求这个三角形三边上的中线所在直线 的方程. 分析:∵A(-5,0)、B(3,-3)∴AB 的中点是(-1,-3/2) ∴AB 边上的中线所在的直线方程是 y?2 x?0 ? ? 3/ 2 ? 0 ?1? 0 即 y = 3x/2 + 2 同理 BC 边的中线所在的直线方程是 y =―x/13―5/13 AC 边的中线所在的直线方程是 y =―4x/11―9/11 说明:例 1 中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起 注意. 巩固训练 P41 练习 1、2 例 2 直线 l 在 y 轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线 2x-y-1=0 的倾斜角的 2 倍,求 直线 l 的方程。 分析:选用直线方程的形式-点斜式 解:设直线 2x-y-1=0 的倾斜角是α ,则直线 l 的倾斜角是 2α 。 2 ∵tanα = 2, ∴tan2α = 2tanα /(1-tan α ) = -4/3 又直线 l 在 y 轴上的截距为-1, ∴直线 l 的方程是 y = ―4x/3―1 -2- 例 3 直线 l 过点(1,2) ,且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程。 分析:选用截距式,行吗?为什么? 截距式要求 ab≠0。题目中只告诉我们截距相等,并没有说它们不等于 0,故需分类讨 论。 解:当直线 l 在两坐标轴上的截距都为 0 时,直线过原点,此时方程为 y=2x; 当直线 l 在两坐标轴上的截距相等且不为 0 时,可设方程为 x/a+y/a=1 将点(1,2)代入得 a=3,此时方程为 x+y=3。 故直线 l 的方程为 y = 2x 或 x+y-3=0 例 4 已知直线 l 的斜率为 1/6,且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形,求直线 l 的方程。 解:设直线 l 的方程为:y = x/6 + b, 则它在两坐标轴上的截距分别为-6b 与 b. 2 由题意知|-6b |/2 = 3,解得 b = ±1 ∴直线 l 的方程是 y = x/6±1,即 x-6y±6 = 0 ●归纳总结 数学思想:数形结合、特殊到一般 数学方法:公式法 知识点:点斜式、斜截式、两点式、截距式 ●作业 P44 习题 7.2 4,5,6,7 思考题:直线 l 过点 P(2,1)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,当|PA|·|PB| 取到最小值时,求直线 l 的方程。