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计数原理与排列组合、概率及概率分布知识概述


知识梳理:计数原理与排列组合、概率及概率分布
一、计数原理与排列组合 解决计数应用题时,要认真审题,弄清楚问题的背景:① 搞清问题是否 “有序” ,即 不同元素间是否有先后顺序、位置差异或识别区分,从而分清是排列问题还是组合问题;② 弄清目标的实现是该分步实行还是需要分类研究,复杂的问题一般是先按元素的性质分类, 再按事件发生的连续过程分步,操作上一般遵循先选元素(组合)后排列的原则.分类时要 明确标准,做到不重复不遗漏,类与类之间是“互斥”关系,而分步时要注意各步间的连续 性;③ 准确分清弄清题目中的关键字眼,如“在”与“不在”“相邻”与“不相邻”“至 , , 少”与“至多”“有”与“恰好有”等.复杂的计数问题常常通过枚举试验、列表画图(树 , 形图) 、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解题途径;或者利用转化的思想,把问 题转化为若干简单的基本问题后再用两个原理去求解. 由于结果的正确性难以直接检验, 因 而常需要用不同的方法求解来获得检验,例如, “正面算”与“反面剔”等.提倡一题多解. 常见的解题策略有: ⑴ 特殊元素特殊位置优先安排 ⑵ 相邻元素捆绑法(内部先排,团体与其他元素一起再排) (不全相邻,排除处理) ⑶ 不相邻问题插空法(其他元素先排得空,不相邻元素插空) (相间排列,定位处理) ⑷ 顺序一定问题他人先坐法 (只要先将其他元素安排就座, 顺序一定元素再依序入座) 或者,顺序一定问题用“除法” (先全体元素全排,再除以顺序一定元素的全排) ⑸ 多面手问题集合法(画出韦恩图,按某一类的元素入选情况分类) ⑹ “至多”“至少”问题分类处理或间接排除 、 ⑺ 分排问题直排处理;混合问题先选后排; 复杂问题穷举画图,分类讨论,间接排除,构造处理 ⑻ 有序分组(组有标识区别或个数有差异)依次分配; 无序均分(组无区分)先分配再除法; (防止重复,体会“分步乘法即有序” ) 各组元素个数不定问题先依次分配再乘法处理. ⑼ 个数不定的分类组合(每组至少一个)问题,隔板处理 ⑽ 相同元素隔板处理(无限制要求的一字排开,隔板(代表限制元素)插空) (或者把无限制元素理解成顺序一定) 二、古典概型 古典概型的特征:⑴ 基本事件是有限的;⑵ 基本事件都是等可能的.解决古典概型的 基本步骤:明确所有基本事件,确定它们是等可能的,确定它们的个数 n ,确定事件 A 包含
1

的基本事件的个数 m ,利用古典概型的概率计算公式 P( A) ?

m 计算概率. n

在古典概型中,难点之一是从怎样的角度看基本事件,选择最优的方式解决;难点之二 是计数问题,涉及到是排列还是组合的问题. 古典概型的解题规范: ① 建立计数模型,并确定总的(等可能)基本事件数; (建模方法:标识编号并枚举/列图表/画树形图/排列组合模型) ② 交代等可能性: “每个基本事件的发生是等可能的” ; ③ 标记所求事件 A ,并确定事件 A 包含的基本事件数; ④ 由古典概型的概率计算公式,计算 P( A) 的值; ⑤ 答:所求事件 A 发生的概率是 P( A) . 三、几何概型 几何概型的特征:⑴ 基本事件是无限的;⑵ 基本事件都是等可能的;几何概型的概率 计算公式 P ( A) ?
d的测度 .在几何概型中,应紧紧抓住“基本事件是点”这条主线,难点 D的测度

是将一些实际问题转化成几何概型问题. 解题中要关注等可能的切入维度, 关注随机点需要 几个变量来控制(一维线段长度、二维平面区域面积、三维空间体积) . 几何概型的解题规范: ① 标记所求事件 A ; ② 建立几何模型,交代随机点出现在区域内任一点处是等可能的; ③ 确定几何区域 D 和 d (当且仅当随机点落在区域 d 内时事件 A 发生) ; ④ 计算 D 和 d 的测度,由几何概型的概率计算公式,计算概率 P( A) ; ⑤ 答:所求事件 A 发生的概率是 P( A) . 四、互斥事件与对立事件 互斥(对立)事件的概率解题规范:
2 ? n ; ① 标识相关互斥事件 A 、 B 等(常标识至每个单位互斥事件 Ai (i ? 1, , , ) )

② 交代事件 A 、 B 等彼此互斥; ③ 计算出各相关互斥事件的概率 P( A) 、 P( B) 等; ④ 标记所求和事件 A ? B ,由互斥事件的概率加法公式计算 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ; 或者,标记所求对立事件 A ,由对立事件的概率公式,计算 P( A) ? 1 ? P( A) ;

2

⑤ 答:所求事件 A 发生的概率是 P( A) . 五、随机变量的概率分布列 随机变量是随机事件的数量化,把随机实验的每一个可能出现的结果(基本事件)对应 于一个实数, 即用一个数来表示一个结果, 这样就建立了从随机实验的每一个可能的结果的 集合到实数集的映射. 引进随机变量后, 了解随机现象的规律转化为了解随机变量的所有可 能取值以及随机变量取各个值的概率(也就是随机变量的概率分布列) . 由于随机现象所有可能的结果的集合 ? 对应的事件是一个必然事件,概率是 1 ,而每一 次实验结果是 ? 的一个“元素” ,故随机变量所有取值对应的概率和为 1 . 求随机变量的概率分布列的步骤: ① 明确随机变量的所有取值; ② 指出随机变量取每个值所表示的意义; ③ 利用古典概型的知识求出随机变量取每个值的概率; ④ 按规范给出随机变量的概率分布(列)表. 六、超几何分布 超几何分布模型的特征: ① 研究的是两类对象,一类看作正品,一类看作次品(与要发生的事件相关,数目较 少) ; ② 每类对象的数目确定(次品 M 件,正品 N ? M 件,总产品共 N 件) ; ③ 从中抽取 n 件,即无放回的抽样考察; ④ 研究取出某类对象的个数的概率分布 (随机变量 ? 为抽到次品的件数, 求恰好抽到 k 件次品的概率 P(? ? k ) ? H (k;n,M ,N ) ?
k n CM CN? kM ? (k ? 0,,2, ,min{n,M }) ) 1 ? ; n CN

⑤ 若 ? ? H (n,M,N ) ,在公式中,分子两组合数的上标之和等于分母组合数的上标, 分子两组合数的下标之和等于分母组合数的下标,这也是判断一个随机变量是否服 从超几何分布的一个方面. 超几何分布模型的解题规范: ① 标识各类产品及具体数目(将多少件什么看作一批产品,多少件什么看作正品,多 少件什么看作次品)从中(不放回)随机抽取多少件; ② 引进随机变量,交代随机变量服从怎样的超几何分布; ③ 标记所求事件,并用超几何分布的概率表示所求事件的概率;
3

④ 答(按题目要求详细、明确回答) . 例题(2006 山东文改编)盒中装着标有数字 1 , 2 , 3 , 4 的蓝色卡片 4 张,标有数字 1 , 2 ,
3 , 4 的红色卡片 4 张,现从盒中任意任取 3 张,每张卡片被抽出的可能性都相等,设

取到一张求红色卡片记 2 分, 取到蓝色卡片记 1 分, X 表示抽出的 3 张卡片的总得分, 以

Y 表示抽出的 3 张卡片上最大的数字,求 X 和 Y 的概率分布.
解:① 设盒中 8 张卡片为一批产品,其中蓝色的为不合格品,依题意,随机变量 X 的 可能取值为 3 , 4 , 5 , 6 ,相应地,蓝色卡片被抽出的张数 Z 为 3 , 2 , 1 , 0 .由题意,
8) 随 机 变 量 Z ? H (3,4, . P( X ? 3) ? P( Z ? 3) ? H (3; ,4, ? 3 8)
3 0 C4 C4 4 , P( X ? 4) ? 3 C8 56

? P( Z ? 2) ? H (2; ,4, ? 3 8)

2 1 C4 C4 24 C1C 2 24 ? 3 8) , P( X ? 5) ? P( Z ? 1) ? H (1; ,4, ? 4 3 4 ? , 3 C8 56 C8 56

P( X ? 6) ? P(Z ? 0) ? H (0; ,4, ? 3 8)

0 3 C4 C4 4 ? .故 X 的概率分布为: C83 56

X
P

3

4
24 56

5

6

4 56

24 56

4 56

② 由于 Y 表示抽出的 3 张卡片中的最大数字,则随机变量 Y 可能的取值为 2 , 3 , 4 . 当 Y ? 2 时,表示抽出的 3 张卡片中最大数字为 2 ,它包含两种情况: 2 张 2 , 1 张 1 ; 或 1 张 2 , 2 张 1 .所以,由古典概型,得 P(Y ? 2) ?
1 2 2 1 C2C2 ? C2 C2 1 ? ; C83 14

当 Y ? 3 时,表示抽出的 3 张卡片中最大数字为 3 ,它包含两种情况: 2 张 3 ,1 张为 1 或

2 ;或 1 张 3 ,另两张为 1 或 2 .所以,由古典概型,得 P(Y ? 3) ?

2 1 1 2 C2 C4 ? C2C4 2 ? ; 3 C8 7

当 Y ? 4 时,表示抽出的 3 张卡片中最大数字为 4 ,它包含两种情况:2 张 4 ,1 张为 1 或

2 或 3 ;或 1 张 4 ,另两张为 1 或 2 或 3 .由古典概型,得 P(Y ? 4) ?
所以,随机变量 Y 的概率分布为:

1 2 1 C2C62 ? C2 C6 9 ? . C83 14

Y
P
七、条件概率

2
1 14

3

4
9 14

2 7

4

条件概率 P( B | A) (在事件 A 已发生的条件下事件 B 发生的概率) 条件概率是指当试验结果的一部分信息已知 (即在原随机试验的条件上, 再加上一件事 已发生的条件)求另一件事在此条件下发生的概率.一般不放回问题常可用条件概率解决.
P ( B | A) ? P ( AB ) ; P( AB) ? P( A) P( B | A) ; P( ABC ) ? P( A) P( B | A) P(C | AB) ; P ( A)

当 B , C 互斥时,有 P(( B ? C ) | A) ? P( B | A) ? P(C | A) . 条件概率问题的解题规范: ① 标识各相关事件(一般第 i 次(步)抽到什么为事件 Ai ) ; ② 说明所求事件可以转化为什么样的条件概率; ③ 利用条件概率的相关公式求其概率; ④ 答(按题目要求详细、明确回答) . 八、事件的独立性 事件 A 与 B 独立,是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响,即
P( A | B) ? P( A) ? P( AB) ? P( A) P( B) .有放回问题多为独立事件模型.

若事件 A , B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 之间也相互独立. 独立事件问题的解题规范: ① 标识各相关事件( A , B 等) ; ② 交代它们相互独立; ③ 标识所求事件,并用独立事件表示; ④ 利用乘法公式求概率; ⑤ 答(按题目要求详细、明确回答) . 例题(2009 湖南文)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、 民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的

1 1 1 、 、 . 2 3 6

现有 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:⑴ 他们选择的项目所属类别互 不相同的概率;⑵ 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率. 解:记第 i 工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
3) Ai , Bi ,C i (i ? 1,2, .由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立,C1 ,C2 ,

C3 相互独立, Ai, j, k (i,j, ? 1 2,, i,j, 互不相同) 相互独立,且 P( Ai ) ? B C k , 3 且 k

1 , 2

5

1 1 BC ⑴ “他们选择的项目所属类别互不相同” 为事件 A , A ?A 1 2 3 则 P( Bi ) ? , (Ci ) ? . 记 P 3 6

?

A1B3C2 ? A2 B1C3 ? A2 B3C1 ? A3 B1C2 ? A3 B2C1 , P( A) ? 6 ? P( A1B2C3 ) ? 6 ? P( A1 ) ? P( B2 ) ? P(C3 )

1 1 1 1 ⑵ “至少有 1 人选择民生工程项目” 为事件 B , PB) ? ?( 1 2 )3 则 ( 1 PBBB ? 6? ? ? ? . 记 2 3 6 6 1 19 . ? 1 ? P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) ? 1 ? (1 ? )3 ? 3 27
九、二项分布 (伯努利试验) 要从三个方面考虑: 一是每次试验在相同条件下进行; n 次独立重复试验 二是每次实验相互独立,即每次试验与前后其他各次试验的结果无关,不受影响.从而,确 保事件 A 在相同条件下发生的概率 P( A) ? p ? 0 保持不变;三是每次实验的结果只有两种对 立状态,即要么事件 A 发生,要么事件 A 发生.在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次 数为 X ,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p (0 ? p ? 1) ,那么在 n 次独立重复试验中,设
k 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P( x ? k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k , k ? 0,, , , ) ,此时称随机变 ( 1 2 ? n

量 X 服从二项分布,记作 X ? B(n,p) . 二项分布问题的解题规范: ① 标识事件 A ,求出事件 A 发生的概率 p ; ② 指出每次试验(事件 A 发生一次)相互独立,引进随机变量 X , X ? B(n,p) ; ③ 将所求事件用随机变量的取值表示; ④ 用二项分布概率公式计算概率; ⑤ 答(按题目要求详细、明确回答) . 十、随机变量的均值和方差 随机变量的概型
0 ? 1 分布

期望 E ( x)

方差
p(1 ? p)
nM ( N ? M )( N ? n) N 2 ( N ? 1)

p
nM N

超几何分布 ? ? H (n,M,N ) 二项分布 X ? B(n,p)
Y ? aX ? b
n

np
E (Y ) ? aE ( X ) ? b
n

np(1 ? p)

V (Y ) ? a2V ( X )

i ? 均值(数学期望) E ( x) ? ? ( xi ? pi ) (? pi ? 1,pi ≥ 0, ? 1,2, ,n) ; :
i ?1 i ?1

方差: V ( x) ? ?{[ xi ? E ( x)]2 ? pi } (? pi ? 1,pi ≥ 0) .
i ?1 i ?1

n

n

6


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