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中考试题分类汇编-相似三角形应用


中考试题分类汇编 相似三角形
二、填空题 1、 (2008 江苏盐城)如图, D,E 两点分别在 △ ABC 的边 AB,AC 上,DE 与 BC 不平行,当满足 条件 (写 出一个即可)时, △ ADE ∽△ ACB . 2、 (2008 上海市)如果两个相似三角形的相似比是 1: 3 ,那 么这两个三角形面积的比是 . 3、 (2008 上海市)如图 5,平行四边形 ABCD 中, E 是 边 BC 上的点, AE 交 BD 于点 F ,如果 那么

A

D
E B
A F B C E 图5

C
D

BE 2 ? , BC 3

BF ? FD



4、 (2008 泰州市)在比例尺为 1︰2000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5cm,则 AB 两地间的实际距离为 m. C 5、 (2008 年杭州市)在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,CD⊥AB 于点 D, BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ; 并写出它的面积比 .
A D B

6、 (2008 年江苏省南通市)已知∠A=40°,则∠A 的余角等于=________度. 7、 (08 浙江温州)如图,点 A ,A2,A3,A4 在射线 OA 上,点 1 B B3 B2 4 B1 1 O A1 A2 A3 A4 A (第 16 题图)

B1,B2,B3 在射线 OB 上,且 A1B1 ∥ A2 B2 ∥ A3 B3 , A2 B1 ∥ A3 B2 ∥ A4 B3 .若 △A2 B1B2 , △A3 B2 B3 的面积分
别为 1,4,则图中三个阴影三角形面积之和 为 .

8、 (2008 年荆州)两个相似三角形周长的比为 2:3,则其对应的面积比为___________. 9、 (2008 年庆阳市) 两个相似三角形的面积比 S1:S2 与它们对应高之比 h1:h2 之间的关系 为 .

A
D B E

10、 (2008 年庆阳市) 如图 8,D、E 分别是 △ ABC 的边 AB、AC 上的点,则使 △ AED ∽ △ ABC 的条件是 .

C
图8

11、 (2008 年?南宁市)如图 4,已知 AB⊥BD,ED⊥BD,C 是线 段 BD 的中点,且 AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么 AB=

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A D B (第 12 题) E C

12、(2008 年福建省福州市)12.如图,在 △ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 的中点,若 DE ? 5 ,则 BC 的长是 .

13、(2008 年广东梅州市) 如图 3,要测量 A、B 两点间距离,在 O 点打桩,取 OA 的
中点 C,OB 的中点 D,测得 CD=30 米,则 AB=______米.

图3 14、 (2008 新疆建设兵团)如图,一束光线从 y 轴上点 A(0,1)发出,经过 x 轴上点 C 反 射后,经过点 B(6,2) ,则光线从 A 点到 B 点经过的路线的长度为 . (精确到 0.01)

15、如图, △ ABC 中, AB ? AC , D,E 两点分别在边 AC,AB 上,且 DE 与 BC 不平 行.请填上一个 你认为合适的条件: ,使 △ ADE ∽△ABC . .. (不再添加其他的字母和线段;只填一个条件,多填不给分! )

16、 (2008 大连)如图 5,若△ABC∽△DEF,则∠D 的度数为_____________.. 17、 (2008 上海市)如果两个相似三角形的相似比是 1: 3 ,那么 这两个三角形面积的比是 . 18、 (2008 上海市)如图,平行四边形 ABCD 中, E 是边 BC 第 2 页 共 29 页

A F B E C

D

上的点, AE 交 BD 于点 F ,如果

BE 2 BF ? ,那么 ? BC 3 FD



一、选择题 1、 (2008 湖北襄樊)如图 1,已知 AD 与 VC 相交于点 O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为( ) A.60° B.70° C.80° D.120° C O A 图1 D D B A E

B

C

2、 (2008 湘潭市) 如图,已知 D、E 分别是 ?ABC 的 AB、 AC 边上的点, DE ??BC , 且 ) S? ADE ? S四边形DBCE ? 1 ? ?? 那么 AE : AC 等于( A.1 : 9 C.1 : 8 B.1 : 3 D.1 : 2

3、(2008 台湾)如图 G 是?ABC 的重心,直线 L 过 A 点与 BC 平行。若直线 CG 分别与 AB、 L 交于 D、 E 两点, 直线 BG 与 AC 交于 F 点, 则?AED 的面积: 四边形 ADGF 的面积=?( )

(A) 1:2 (B) 2:1 (C) 2:3 (D) 3:2
E D B G A F C B E C D L A F

4、 (2008 台湾) 图为?ABC 与?DEC 重迭的情形, 其中 E 在 BC 上, AC 交 DE 于 F 点, AB // DE。若?ABC 与?DEC 的面积相等,且 EF=9,AB=12,则 DF=?( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。



5、 (2008 浙江金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平 的平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处, 已知 AB⊥BD, CD⊥BD,且测得 AB=1.2 米,BP=1.8 米,PD=12 米, 那么该古城 A 墙的高度是( A、6 米 ) 米 B、8 米 C、18 米 D、24 B A D OA A F

E A A 第 18 题图

C

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6 、 (2008

青海 ) 如图, △DEF 是由 △ ABC 经过位似变换得到的,点 O 是位似中心, D,E,F 分别是 OA,OB,OC 的中点,则 △DEF 与 △ ABC 的面积比是( ) A. 1 : 6 B. 1 : 5 C. 1 : 4 D. 1 : 2

7、 (2008 青海 西宁)给出两个命题:①两个锐角之和不一定是钝角;②各边对应成比例 的两个多边形一定相似.( ) A.①真②真 B.①假②真 C.①真②假 D.①假②假

8、 (2008 海南省)如图 2 所示,Rt△ABC∽Rt△DEF,则 cosE 的值等于( A.



1 2

B.

2 2

C.

3 2
A

D. D

3 3

F
60°

E

M F

B

C

D 图2

E

B

C (第 2 题图)

9、 (2008 湖北荆州)如图,直角梯形 ABCD 中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E 为梯形 内一点,且∠BEC=90°,将△BEC 绕 C 点旋转 90°使 BC 与 DC 重合,得到△DCF,连 EF 交 CD 于 M.已知 BC=5,CF=3,则 DM:MC 的值为 ( ) A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

10、 (2008 贵州贵阳)如果两个相似三角形的相似比是 1 : 2 ,那么它们的面积比是( A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 1: 2 D. 2 :1



11、 (2008 湖南株洲)4.如图,在 ?ABC 中, D 、 E 分别是 AB 、 AC 边的中点,若 BC ? 6 ,则 DE 等于 A.5 B.4 C.3 D.2 A D B E C 第4题 第 4 页 共 29 页

12、 (2008 青海)如图, △DEF 是由 △ ABC 经过位似变换得到的,点 O 是位似中心, D,E,F 分别是 OA,OB,OC 的中点,则 △DEF 与 △ ABC 的面积比是( ) A. 1 : 6 B. 1 : 5 C. 1 : 4 D. 1 : 2 A D OA A F

B A

E A A 第 18 题图

C

13、 (2008 青海西宁)给出两个命题:①两个锐角之和不一定是钝角;②各边对应成比例的 两个多边形一定相似.( ) A.①真②真 B.①假②真 C.①真②假 D.①假②假 14、已知 △ ABC ∽△DEF ,相似比为 3,且 △ ABC 的周长为 18,则 △DEF 的周长为 ( ) A.2 B.3 C.6 D.54 15、 (2008 山东潍坊)如图,Rt△ABAC 中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PE⊥AB 于 E,PD⊥AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=( ) A.

x 5

?3

B. 4 ?

x 5

C.

7 2

D.

12 x 12 x 2 5
?

25

16、 (2008 山东烟台)如图,在 Rt△ABC 内有边长分别为 a, b, c 的三个正方形,则 a, b, c 满足的关系式是( ) A、 b ? a ? c B、 b ? ac C、 b ? a ? c
2 2 2

D、 b ? 2a ? 2c

17、 (2008 年广东茂名市)如图,△ ABC 是等边三角形,被一平行于 BC 的矩形所截, AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ ABC 的面积的 ( A. ) D.

1 9

B.

2 9

C.

1 3

4 9

A E H
D A E

F B

G C

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B

C

( (第 10 题图)

18、(2008 江苏 常州)如图,在△ABC 中,若 DE∥BC, A.8cm B.12cm C.11cm

AD 1 = ,DE=4cm,则 BC 的长为( ) DB 2

D.10cm )

19、 (2008 江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是(

(第 7 题)

A.

B.

C.

D.

20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的相似比为 2︰3,则 S△ABC︰S△DEF 为() A、2∶3 21、(2008 湖南 B、4∶9 C、 2 ∶ 3 D、3∶2

长沙)在同一时刻,身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米,一棵 ) D、10 米

大树的影长为 4.8 米,则树的高度为( A、4.8 米 B、6.4 米

C、9.6 米

22、 (2008 江苏南京)小刚身高 1.7m,测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧接着他把 手臂竖直举起,测得影子长为 1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶 A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 33、 (2008 湖北黄石)如图,每个小正方形边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分) 与左图中 △ ABC 相似的是( ) A B C A. B. C. D.

三、解答题 1、 (2008 广东)如图 5,在△ABC 中,BC>AC, 点 D 在 BC 上,且 DC=AC,∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F,点 E 是 AB 的中点,连结 EF. (1)求证:EF∥BC. (2) 若四边形 BDFE 的面积为 6, 求△ABD 的面积.

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2、 (2008 山西太原)如图,在 ? ABC 中, ?BAC ? 2?C 。 (1)在图中作出 ? ABC 的内角平分线 AD。 (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写证明) (2)在已作出的图形中,写出一对相似三角形,并说明理由。 提示: (1)如图,AD 即为所求。

3、 (2008 湖北武汉) (本题 6 分)如图,点 D,E 在 BC 上,且 FD∥AB,FE∥AC。 求证:△ABC∽△FDE. A

F B D E C

4、 (2008 年杭州市) (本小题满分 10 分) 如图:在等腰△ABC 中,CH 是底边上的高线,点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一 点,连接 AP 交 BC 于点 E,连接 BP 交 AC 于点 F. (1) 证明:∠CAE=∠CBF; (2) 证明:AE=BF; (3) 以线段 AE,BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG(点 E 与点 F 重合于点 G) ,记△ABC 和△ABG 的面积分别为 S△ABC 和 S△ABG,如果存在点 P,能使得 S△ABC=S△ABG,求∠C 的取之范围。 C F E

P

A H

B

5、 (2008 佛山 21)如图,在直角△ABC 内,以 A 为一个顶点作正方形 ADEF,使得点 E 落在 BC 边上. (1) 用尺规作图,作出 D、E、F 中的任意一点 (保留作图痕迹,不写作法和证明. 另外 两点不需要用尺规作图确定,作草图即可); (2) 若 AB = 6,AC = 2,求正方形 ADEF 的边长. C

第 7 页 共 29 页 A 第 21 题图

B

6、 (2008 年陕西省)阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵 树底部可以到达,顶部不易到达) ,他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、 小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种 测量方案. .. (1)所需的测量工具是: ; (2)请在下图中画出测量示意图; (3)设树高 AB 的长度为 x ,请用所测数据(用小写字母表示)求出 x .

第 20 题图

7、 (2008 年江苏省南通市)如图,四边形 ABCD 中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 F,DE 与 AB 相交于点 E. (1)求证:AB·AF=CB·CD (2)已知 AB=15cm,BC=9cm,P 是射线 DE 上的动点.设 DP=xcm(x>0) ,四边形 BCDP 2 的面积为 ycm . D ①求 y 关于 x 的函数关系式; ②当 x 为何值时,△PBC 的周长最小,并求出此时 y 的值.

P C F
8、(2008 湖南 怀化)如图 10,四边形 ABCD、DEFG 都是正 方形,连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M,CG 与 AD 相交于点 N. 求证: (1) AE ? CG ; (2) AN ? DN ? CN ? MN .

A

E

B

9、(2008 湖南 益阳)△ABC 是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形 DEFG, 使正方形的一条边 DE 落在 BC 上,顶点 F、G 分别落在 AC、AB 上.

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Ⅰ.证明:△BDG≌△CEF;
A

G

F

B

D

图 (1)

E

C

Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱ a 和Ⅱ b 的两个问题中选择一个你喜欢的 .... . .. . .............. 问题解答 . a 的解答记分 . .... .如果两题都解,只以Ⅱ .......... . ..... Ⅱa. 小聪想:要画出正方形 DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出 BD 和 CE 的长,从而确定 D 点和 E 点,再画正方形 DEFG 就容易了. 设△ABC 的边长为 2 ,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表 示,不要求分母有理化) .
A

G

F

B

D

图 (2)

E

C

Ⅱb. 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是: ①在 AB 边上任取一点 G’,如图作正方形 G’D’E’F’; ②连结 BF’并延长交 AC 于 F; ③作 FE∥F’E’交 BC 于 E,FG∥F′G′交 AB 于 G,GD∥G’D’交 BC 于 D, 则四边形 DEFG 即为所求. A 你认为小明的作法正确吗?说明理由.
G G′ B F′ F

10、(2008 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为 2,若?ABC 固定不动, ?AFG 绕点 A 旋转,AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m,CD=n. (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明. (2)求 m 与 n 的函数关系式,直接写出自变量 n 的取值范围. (3)以?ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴,BC 边上的高所在的直线为 y 轴,建立平面直 第 9 页 共 29 页

C E D′ D E′ 图 (3) 湖北 恩施) 如图 11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG

角坐标系(如图 12).在边 BC 上找一点 D,使 BD=CE,求出 D 点的坐标,并通过计算验证

BD 2 +CE 2 =DE 2 .
(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD +CE =DE 是否始终成立,若成立,请证明,若 不成立,请说明理由. y A A
2 2 2

B

D

E

G

C

B

D

O

E G

C

x

F

F

? 11、 (08 浙江温州)如图,在 Rt△ ABC 中, ?A ? 90 , AB ? 6 , AC ? 8 , D,E 分

别是边 AB,AC 的中点,点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动,过点 P 作 PQ ? BC 于 Q , 过点 Q 作 QR ∥ BA 交 AC 于 R ,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ ? x ,

QR ? y .
(1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长; (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) ; (3)是否存在点 P ,使 △PQR 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x 的值; 若不存在,请说明理由. D P A R E

C B 12、 (08 山东省日照市)在△ABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3H ,MQ 是 AB 上的动点(不与 A, (第 1 题图) B 重合) , 过 M 点作 MN∥BC 交 AC 于点 N. 以 MN 为直径作⊙O, 并在⊙O 内作内接矩形 AMPN. 令 A AM=x. (1)用含 x 的代数式表示△MNP 的面积 S; N M O (2)当 x 为何值时,⊙O 与直线 BC 相切? P y 关于 x 的 (3)在动点 M 的运动过程中,记△MNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y,试求 C 函数表达式,并求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?B
图 1

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13、(2008 安徽)如图,四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中 点, BR 分别交 AC,CD 于点 P,Q . (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1 除外) ; (2)求 BP : PQ : QR . B A P O D R E

C 第 20 题 图

14、 (2008 山东 临沂)如图,□ABCD 中,E 是 CD 的延长线上一点,BE 与 AD 交于点 F,

DE ?

1 CD 。 2
A F D

⑴求证:△ABF∽△CEB; ⑵若△DEF 的面积为 2,求□ABCD 的面积。

E

B 第 21 题图

C

15、 (2008 浙江 丽水)为了加强视力保护意识,小明想在长为 3.2 米,宽为 4.3 米的书 房里挂一张测试距离为 5 米的视力表.在一次课题学习课上,小明向全班同学征集“解 决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖, 构思巧妙. (1)甲生的方案:如图 1,将视力表挂在墙 ABEF 和墙 ADGF 的夹角处,被测试人站 立在 对角线 AC 上,问:甲生的设计方案是否可行?请说明理由. (2)乙生的方案:如图 2,将视力表挂在墙 CDGH 上,在墙 ABEF 上挂一面足够大的平 面镜,根据平面镜成像原理可计算得到:测试线应画在距离墙 ABEF 米处. (3)丙生的方案:如图 3,根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距 为 3m 的小视 力表.如果大视力表中“ E ”的长是 3.5cm,那么小视力表中相应“ E ”的长是多少 cm?
C

H

H
B

3.5 ㎝

F A

D
5m

3m

第 11 页 共 29 页
(图 1) (第 22 题) (图 2) (图 3)

16、 (2008 年福建宁德)如图,E 是□ABCD 的边 BA 延长线上一点,连接 EC,交 AD 于 F.在 不添加辅助线的情况下,请找出图中的一对相似三角形,并说明理由.
E A F D

B

C

17、(2008 黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点 C (?3, 0) ,点 A,B 分别在 x 轴, y 轴 的正半轴上,且满足 OB ? 3 ? OA ? 1 ? 0 .
2

(1)求点 A ,点 B 的坐标. (2)若点 P 从 C 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 运动,连结 AP .设 △ ABP 的面积为 S ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围. (3)在(2)的条件下,是否存在点 P ,使以点 A,B,P 为顶点的三角形与 △ AOB 相 似?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. y

B

C

O

A

x

18、在△ ABC 中,∠A=90° ,AB=4,AC=3,M 是 AB 上的动点(不与 A,B 重合) ,过 M 点作 MN∥BC 交 AC 于点 N.以 MN 为直径作⊙O,并在⊙O 内作内接矩形 AMPN.令 AM=x. (1)用含 x 的代数式表示△ MNP 的面积 S; (2)当 x 为何值时,⊙O 与直线 BC 相切? (3)在动点 M 的运动过程中,记△ MNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y,试求 y 关于 x 的函数表达式,并求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?
A M O P B 图 1 C B 图 D 2 C B P 图 3 C N M O A N O A

M

N

19、 (08 中山)将两块大小一样含 30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边 AB 重合,直角边不重合,已知 AB=8,BC=AD=4,AC 与 BD 相交于点 E,连结 CD. 第 12 页 共 29 页

(1)填空:如图 9,AC= ,BD= ;四边形 ABCD 是 梯形. (2)请写出图 9 中所有的相似三角形(不含全等三角形). (3)如图 10,若以 AB 所在直线为 x 轴,过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴建立如图 10 的平面直角坐标系,保持Δ ABD 不动,将Δ ABC 向 x 轴的正方向平移到Δ FGH 的位 置,FH 与 BD 相交于点 P,设 AF=t,Δ FBP 面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式, 并写出 t 的取值值范围. y D . A 图9 E B A F 图10 10 C D C E P B G x H

20、(2008 年福建省福州市)(本题满分 13 分) 如图,已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发,分 别沿 AB、BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是 2cm/s,当点 Q 到达点 C 时,P、Q 两点都停止运动,设运动时间为 t(s) ,解答下列问题: (1)当 t=2 时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为 S(cm2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)作 QR//BA 交 AC 于点 R,连结 PR,当 t 为何值时,△APR∽△PRQ?

(第 21 题) 21、(2008 年广东梅州市)本题满分 8 分. 如图 8,四边形 ABCD 是平行四边形.O 是对角线 AC 的中点,过点 O 的直线 EF 分 别交 AB、DC 于点 E 、 F ,与 CB、AD 的延长线分别交于点 G、H. (1)写出图中不全等的两个相似三角形(不要求证明) ; (2)除 AB=CD,AD=BC,OA=OC 这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段, 请选出其中一对加以证明.

第 13 页 共 29 页 图8

22、(2008 年广东梅州市)本题满分 8 分. 如图 10 所示,E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点, EF⊥DE 交 BC 于点 F. (1)求证: ? ADE∽ ? BEF; (2)设正方形的边长为 4, AE= x ,BF= y .当 x 取什么值时, y 有最大值?并求出 这个最大值.

23.(2008 扬州)如图,在△ABD 和△ACE 中,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,连结 BC、DE 相交于点 F,BC 与 AD 相交于点 G. (1)试判断线段 BC、DE 的数量关系,并说明理由 (2)如果∠ABC=∠CBD,那么线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗?为什么?
E

A

C

F G

B

D

24、 (2008 徐州)如图 1,一副直角三角板满足 AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠ EDF=30° 【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上,再将三角板 绕 ....DEF . . . . 点 旋转 ,并使边 DE 与边 AB 交于点 P,边 EF 与边 BC 于点 Q .E . .. 【探究一】在旋转过程中, (1)如图 2,当

CE =1 时,EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?并给出证明. EA CE =2 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?,并说明理由. EA
第 14 页 共 29 页

(2)如图 3,当

(3)根据你对(1) 、 (2)的探究结果,试写出当

CE =m 时,EP 与 EQ 满足的数量关系式 EA
2

为_________,其中 m 的取值范围是_______(直接写出结论,不必证明) 【探究二】若,AC=30cm,连续 PQ,设△EPQ 的面积为 S(cm ),在旋转过程中: (1)S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由. (2)随着 S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化?不出相应 S 值的取值范围.
A
A(D)

A E

F

E P B Q F C

P D B Q C F

B

C(E)

D

(图 1)

(图 2)

(图 3)

25、 (2008 遵义) (14 分)如图(1)所示,一张平行四边形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,BD=8, 沿对角线 BD 把这张纸片剪成△AB1D1 和△CB2D2 两个三角形(如图(2)所示), 将△AB1D1 沿直 线 AB1 方向移动(点 B2 始终在 AB1 上,AB1 与 CD2 始终保持平行),当点 A 与 B2 重合时停止 平移,在平移过程中,AD1 与 B2D2 交于点 E,B2C 与 B1D1 交于点 F, (1)当△AB1D1 平移到图(3)的位置时,试判断四边形 B2FD1E 是什么四边形?并证明你 的结论; (2)设平移距离 B2B1 为 x,四边形 B2FD1E 的面积为 y,求 y 与 x 的函数关系式;并求出 四边形 B2FD1E 的面积的最大值; (3)连结 B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离 B2B1 的值是多少时,△ B1B2F 与△ B1CF 相似?

D A B

C D1(D2) A B1(B2)

C

D2 E A

D1 F B2 C B1

第 15 页 共 29 页

参考答案 一、选择题 1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、A 9、C 11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C 18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B 二、填空题 1、∠ADE=∠ACB(或∠AED=∠ABC 或错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ) 2、 1: 9

10、B

2 3、 3

4、100

5、

6、50

7、10.5

8、4:9

S ?h ? 9、 1 ? ? 1 ? S2 ? h2 ?

2

10、∠AED ? ∠B ,或∠ADE ? ∠C ,或 11、4 18、 12、10 13、60 14、6.71

AD AE ? AC AB
16、30° 17、 1: 9

15、

2 3

三、解答题 1、 (1)证明:

? CF 平分?ACB ,
∴ ?1 ? ? 2 . 又∵ DC ? AC , ∴ CF 是△ACD 的中线, ∴ 点 F 是 AD 的中点. ∵ 点 E 是 AB 的中点, ∴ EF∥BD, 即 EF∥BC. (2)解:由(1)知,EF∥BD, ∴ △AEF∽△ABD , ∴

S?AEF AE 2 ?( ) . S?ABD AB
1 AB , 2

又∵ AE ?

S?AEF ? S?ABD ? S四边形BDFE ? S?ABD ? 6 ,


S?ABD ? 6 1 2 ?( ) , S?ABD 2

∴ S?ABD ? 8 , ∴ ?ABD 的面积为 8. 2、 (2) ? ABD ?? CBA ,理由如下: 第 16 页 共 29 页

AD 平分 ?BAC , ?BAC ? 2?C , 则 ?BAD ? ?BCA , 又 ?B ? ?B ,故 ? ABD ?? CBA 。

3、证明:略 4、 (1)∵△ABC 为等腰三角形 ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA 又∵CH 为底边上的高,P 为高线上的点 ∴PA=PB ∴∠PAB=∠PBA ∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ∠CBF=∠CBA-∠PBA ∴∠CAE=∠CBF (2)∵AC=BC ∠CAE=∠CBF ∠ACE=∠BCF ∴△ACE~△BCF(AAS) ∴AE=BF (3)若存在点 P 能使 S△ABC=S△ABG,因为 AE=BF,所以△ABG 也是一个等腰三角形,这两个三 角形面积相等,底边也相同,所以高也相等,进而可以说明△ABC~△ABG,则对应边 AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以 0°≤∠C<90° 5、解:⑴ 作图:作∠BAC 的平分线交线段 BC 于 E; ??????4 分 (痕迹清晰、准确,本步骤给满分 4 分,否则酌情扣 1 至 4 分;另外两点及边作的是 否准确,不扣分) C ⑵ 如图,∵ 四边形 ADEF 是正方形, E ∴ EF∥AB,AD = DE = EF = FA. 5 分 F ∴ △CFE ∽△CAB. ∴

EF CF ? .??????6 分 BA CA
A D 第 21 题图

∵ AC = 2 ,AB = 6, 设 AD = DE = EF = FA = x, ∴

B

x 6? x ? . ???????7 分 2 6 3 3 ∴ x= .即正方形 ADEF 的边长为 . ?????8 分 2 2
(本题可以先作图后计算,也可以先计算后作图;未求出 AD 或 AF 的值用作中垂线的方法 找到 D 点或 F 点,给 2 分) B 6、解: (1)皮尺、标杆. (2)测量示意图如右图所示. (3)如图,测得标杆 DE ? a , D 树和标杆的影长分别为 AC ? b , EF ? c . 第 17 页 共 29 页 F E C A

(第 20 题答案图)

?△DEF ∽△BAC , DE FE ? ? . BA CA a c ? ? . x b ab ?x ? . c
7、 (1)证明:∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE 垂直平分 AC ∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF. ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,∴∠DCF=∠DAF=∠B 在 Rt△DCF 和 Rt△ABC 中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B ∴△DCF∽△ABC ∴

CD CF CD AF ? ? ,即 .∴AB·AF=CB·CD AB CB AB CB

(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°, ∴AC= ∴y?

AB2 ? BC2 = 152 ? 92 =12,∴CF=AF=6
1 ( x ? 9) ×6=3x+27(x>0) 2

②∵BC=9(定值) ,∴△PBC 的周长最小,就是 PB+PC 最小.由(1)可知,点 C 关于直 线 DE 的对称点是点 A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求 PB+PA 最小. 显然当 P、A、B 三点共线时 PB+PA 最小.此时 DP=DE,PB+PA=AB. 由(1) ,∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,地△DAF∽△ABC. EF∥BC,得 AE=BE=

1 9 15 AB= ,EF= . 2 2 2

∴AF∶BC=AD∶AB,即 6∶9=AD∶15.∴AD=10. Rt△ADF 中,AD=10,AF=6,∴DF=8. ∴DE=DF+FE=8+ ∴当 x=

9 25 = . 2 2

129 25 时,△PBC 的周长最小,此时 y= 2 2

8、证明: (1)? 四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形

? AD ? CD, DE ? DG, ?ADC ? ?EDG ? 90? ,
??ADE ? ?CDG,? △ADE ≌△CDG,
? AE ? CG
(2)由(1)得 ?ADE ? ?CDG,? ?DAE ? ?DCG, 又?ANM ? ?CND,

AN MN ? ,即AN ? DN ? CN ? MN CN DN ∴ ? AMN∽ ? CDN ?
第 18 页 共 29 页

9、Ⅰ.证明:∵DEFG 为正方形, ∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90° ∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS) Ⅱa.解法一:设正方形的边长为 x,作△ABC 的高 AH,
A

求得 AH ? 3
F

G

由△AGF∽△ABC 得:

x ? 2

3?x 3

B

D

解图 (2)

H

E

C

解之得: x ?

2 3 2? 3

(或 x ? 4 3 ? 6 )

解法二:设正方形的边长为 x,则 BD ? 在 Rt△BDG 中,tan∠B= ∴
x ? 3 2? x 2
2 3 2? 3

2? x 2

GD , BD

解之得: x ?

(或 x ? 4 3 ? 6 )

解法三:设正方形的边长为 x, 则 BD ?
2? x , GB ? 2 ? x 2 2? x 2 ) 2

由勾股定理得: (2 ? x) 2 ? x 2 ? ( 解之得: x ? 4 3 ? 6 Ⅱb.解: 正确 由已知可知,四边形 GDEF 为矩形 ∵FE∥F’E’ , ∴
FE FB , ? ? ? FE F ?B
B

A

G G’ F’

F

D’ D E’ E 解图 (3)

C

同理 ∴

FG FB , ? F ?G ? F ?B

FE FG ? F ?E ? F ?G ?

又∵F’E’=F’G’, ∴FE=FG 因此,矩形 GDEF 为正方形 10、解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA 第 19 页 共 29 页

∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴?ABE∽?DCA (2)∵?ABE∽?DCA ∴

BE BA ? CA CD

由依题意可知 CA=BA= 2 ∴

m 2
2 n

?

2 n

∴m=

自变量 n 的取值范围为 1<n<2. (3)由 BD=CE 可得 BE=CD,即 m=n ∵m=

2 n

∴m=n= 2 ∵OB=OC=

1 BC=1 2

∴OE=OD= 2 -1 ∴D(1- 2 , 0) ∴BD=OB-OD=1-( 2 -1)=2- 2 =CE, DE=BC-2BD=2-2(2- 2 )=2 2 -2 ∵BD +CE =2 BD =2(2- 2 ) =12-8 2 , DE =(2 2 -2) = 12-8 2 ∴BD +CE =DE
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(4)成立 证明:如图,将?ACE 绕点 A 顺时针旋转 90°至?ABH 的位置,则 CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°. A

H B D E G C

F 第 20 页 共 29 页

连接 HD,在?EAD 和?HAD 中 ∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD. ∴?EAD≌?HAD ∴DH=DE 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD +HB =DH
2 2 2 2 2

即 BD +CE =DE

2

11、解: (1)? ?A ? Rt? , AB ? 6 , AC ? 8 ,? BC ? 10 .

? 点 D 为 AB 中点,? BD ?

1 AB ? 3 . 2

? ?DHB ? ?A ? 90? , ?B ? ?B .
?△BHD ∽△BAC , DH BD BD 3 12 ? ? ?AC ? ? 8 ? . ,? DH ? AC BC BC 10 5
(2)? QR ∥ AB ,??QRC ? ?A ? 90 .
?

? ?C ? ?C ,? △RQC ∽△ABC ,

A D P 1 M 2 H Q R E C

?

RQ QC y 10 ? x ? ,? ? , AB BC 6 10 3 x ? 6. 5

即 y 关于 x 的函数关系式为: y ? ? (3)存在,分三种情况:

B

①当 PQ ? PR 时,过点 P 作 PM ? QR 于 M ,则 QM ? RM .

? ?1 ? ?2 ? 90? , ?C ? ?2 ? 90? ,
??1 ? ?C .

? cos ?1 ? cos C ?

8 4 QM 4 ? ,? ? , 10 5 QP 5
A D B H A D B H EP R 第 21 页 共 29 页 Q C P E Q

1? 3 ? ? ? x ? 6? 4 2 5 ? ? ,? x ? 18 . ? ? 12 5 5 5
②当 PQ ? RQ 时, ?

R C

3 12 x?6? , 5 5

? x ? 6.
③当 PR ? QR 时,则 R 为 PQ 中垂线上的点,

于是点 R 为 EC 的中点,

1 1 CE ? AC ? 2 . 2 4 QR BA ? tan C ? ? , CR CA 3 ? x?6 15 6 ? 5 ? ,? x ? . 2 2 8 18 15 综上所述,当 x 为 或6或 时, △PQR 为等腰三角形. 5 2 ? CR ?
12、解: (1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴ △AMN ∽ △ABC.

x AN ∴ AM ? AN ,即 ? . 4 3 AB AC 3 ∴ AN= x. ?????2 分 4
∴ S = S ?MNP ? S ?AMN ?

1 3 3 ? x ? x ? x2 . (0< x <4) ?????3 分 2 4 8
1 MN. 2

(2)如图 2,设直线 BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AO,OD,则 AO =OD = 在 Rt△ABC 中,BC = AB2 ? AC 2 =5. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC.

x MN ∴ AM ? MN ,即 ? . 4 5 AB BC

A M O N

5 x, 4 5 ∴ OD ? x . 8
∴ MN ?

???????5 分
B Q D 图 2 C

5 过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q,则 MQ ? OD ? x . 8
在 Rt△BMQ 与 Rt△BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ∽△BCA. ∴ BM ? QM . BC AC

5 5? x 8 ? 25 x , AB ? BM ? MA ? 25 x ? x ? 4 . ∴ BM ? 24 3 24
96 . 49 96 ∴ 当 x= 时,⊙O 与直线 BC 相切.?????????????7 分 49 (3)随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,则 O 点为 AP 的中点. ∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC. ∴ △AMO ∽ △ABP.
∴ x= 第 22 页 共 29 页

∴ AM ? AO ? 1 . AM=MB=2. AB AP 2 故以下分两种情况讨论:
M

A N

3 ① 当 0< x ≤2 时, y ? SΔPMN ? x 2 . 8
∴ 当 x =2 时, y最大 ?

O B 图 P 3

C

3 2 3 ? 2 ? . ???8 分 8 2

② 当 2< x <4 时,设 PM,PN 分别交 BC 于 E,F. ∵ 四边形 AMPN 是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x. 又∵ MN∥BC, M ∴ 四边形 MBFN 是平行四边形. ∴ FN=BM=4-x. ∴ PF ? x ? ? 4 ? x ? ? 2x ? 4 . 又△PEF ∽ △ACB. ∴ ? ∴
B

A

O

N C

E P 图

F 4

S?PEF ? PF ? . ? ? S?ABC ? AB ?
S ?PEF ?

2

3 2 ? x ? 2? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 2 3 3 9 2 y ? S?MNP ? S?PEF = x 2 ? ? x ? 2 ? ? ? x 2 ? 6 x ? 6 . ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 分 8 2 8
2

9 2 9? 8? 当 2< x <4 时, y ? ? x ? 6 x ? 6 ? ? ? x ? ? ? 2 . 8 8? 3?
8 时,满足 2< x <4, y最大 ? 2 . ????????11 分 3 8 综上所述,当 x ? 时, y 值最大,最大值是 2. ??????????12 分 3
∴ 当x ?

13.、解(1) △BCP ∽△BER , △PCQ ∽△PAB , △PCQ ∽△RDQ ,
△PAB ∽△RDQ .
( 2 ) ? 四 边 形 A B C D和 四 边 形 A C E D都 是 平 行 四 边 形 , ? BC ? AD ? CE ,

AC ∥ DE ,? PB ? PR ,

PC 1 ? .又? PC ∥ DR ,? △PCQ ∽△RDQ . RE 2

? 点 R 是 DE 中点,? DR ? RE .?

PQ PC PC 1 ? ? ? .?QR ? 2PQ . QR DR RE 2

又? BP ? PR ? PQ ? QR ? 3PQ ,? BP : PQ : QR ? 3:1: 2 . 14、解:⑴证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, 第 23 页 共 29 页

∴∠A=∠C,AB∥CD, ∴∠ABF=∠CEB, ∴△ABF∽△CEB. ⑵∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥ =CD, ∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF, ∵ DE ?

1 CD , 2
2 2



S ?DEF ? DE ? 1 S 1 ? DE ? ?? ? ? , ?DEF ? ? ? ? , S ?CEB ? EC ? 9 S ?ABF ? AB ? 4

∵ S ?DEF ? 2 , ∴ S ?CEB ? 18 , S ?ABF ? 8 , ∴ S四边形BCDF ? S ?BCE ? S ?DEF ? 16, ∴ S四边形ABCD ? S四边形BCDF ? S ?ABF ? 16 ? 8 ? 24 15、解: (1)甲生的设计方案可行.
2 2 2 2 2 根据勾股定理,得 A . C ? A D ? C D ? 3 . 2 ? 4 . 3 ? 2 8 . 7 3

∴A . C ? 2 8 . 7 3 ? 2 5 ? 5 ∴甲生的设计方案可行. (2) 1 .8 米. (3)∵ FD ∥ BC ∴△ ADF ∽△ ABC .

FD AD . ? BC AB FD 3 ? . ∴ 3 .5 5 ∴F ( cm ) . D ? 2 . 1
∴ 答:小视力表中相应 2.1cm 16.答案不惟一,△EAF∽△EBC,或△CDF∽△EBC,或△CDF∽△EAF. 若△EAF∽△EBC. 理由如下: 在□ABCD 中, ∵AD∥BC,∴∠EAF=∠B. 又∵∠E=∠E,∴△EAF∽△EBC 17、解: (1)? OB ? 3 ? OA ? 1 ? 0
2

第 24 页 共 29 页

?OB 2 ? 3 ? 0 , OA ? 1 ? 0

?OB ? 3 , OA ? 1

? 点 A ,点 B 分别在 x 轴, y 轴的正半轴上
? A(1 ,, 0) B(0,3)
(2)求得 ?ABC ? 90
?

? ?2 3 ? t (0 ≤ t ? 2 3) S ?? ? ?t ? 2 3 (t ? 2 3)
(3) P , 0) ; P2 ? ?1, 3 ? ; P3 ?1, 3 ? ; P4 (3, 2 3) 1 (?3 18.、解: (1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴ △AMN ∽ △ABC.

? ?

2 3

? ?

? 4 ? 3

? ?

A O P N

x AN ∴ AM ? AN ,即 ? . 4 3 AB AC 3 ∴ AN= x. 4
∴ S = S ?MNP ? S ?AMN ?

M

B 图 1

C

1 3 3 ? x ? x ? x2 . (0< x <4) 2 4 8

(2)如图 2,设直线 BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AO,OD,则 AO =OD = 在 Rt△ABC 中,BC = AB2 ? AC 2 =5. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC.

1 MN. 2

x MN ∴ AM ? MN ,即 ? . 4 5 AB BC

A M O B Q D 图 2 N

5 x, 4 5 ∴ OD ? x . 8
∴ MN ?

C

5 过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q,则 MQ ? OD ? x . 8
在 Rt△BMQ 与 Rt△BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ∽△BCA. ∴ BM ? QM . BC AC

5 5? x 8 ? 25 x , AB ? BM ? MA ? 25 x ? x ? 4 . ∴ BM ? 24 3 24
第 25 页 共 29 页

96 . 49 96 ∴ 当 x= 时,⊙O 与直线 BC 相切. 49 (3)随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,则 O 点为 AP 的中点. A ∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC. ∴ △AMO ∽ △ABP.
∴ x= ∴ AM ? AO ? 1 . AM=MB=2. AB AP 2 故以下分两种情况讨论:
B 图 M O P 3 N

C

3 ① 当 0< x ≤2 时, y ? SΔPMN ? x 2 . 8
∴ 当 x =2 时, y最大 ?

3 2 3 ?2 ? . 8 2
A

② 当 2< x <4 时,设 PM,PN 分别交 BC 于 E,F. ∵ 四边形 AMPN 是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x. M 又∵ MN∥BC, ∴ 四边形 MBFN 是平行四边形. ∴ FN=BM=4-x. E B ∴ PF ? x ? ? 4 ? x ? ? 2x ? 4 . 又△PEF ∽ △ACB.
P 图

O

N C

F 4

S?PEF ? PF ? ∴ ? . ? ? S?ABC ? AB ?
∴ S ?PEF ?

2

3 2 ? x ? 2? . 2 3 3 9 2 y ? S?MNP ? S?PEF = x 2 ? ? x ? 2 ? ? ? x 2 ? 6 x ? 6 . 8 2 8
2

9 2 9? 8? 当 2< x <4 时, y ? ? x ? 6 x ? 6 ? ? ? x ? ? ? 2 . 8 8? 3?
8 时,满足 2< x <4, y最大 ? 2 . 3 8 综上所述,当 x ? 时, y 值最大,最大值是 2. 3
∴ 当x ? 19、解: (1) 4 3 , 4 3 ,??????????1 分 等腰;??????????2 分 (2)共有 9 对相似三角形.(写对 3-5 对得 1 分,写对 6-8 对得 2 分,写对 9 对得 3 分) ①△DCE、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD, △DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有 5 对) ②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有 2 对) 第 26 页 共 29 页

③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有 2 对) 所以,一共有 9 对相似三角形.????????????????5 分

y
(3)由题意知,FP∥AE, ∴ ∠1=∠PFB, 又∵ ∠1=∠2=30°, ∴ ∠PFB=∠2=30°, ∴ FP=BP.??????????6 分 过点 P 作 PK⊥FB 于点 K,则 FK ? BK ? ∵ AF=t,AB=8, ∴ FB=8-t, BK ?

D

C

H

1 FB . 2
1 A F

E P 2

1 (8 ? t ) . 2

K
图10

B

G

x

在 Rt△BPK 中, PK ? BK ? tan ?2 ?

1 3 (8 ? t ) tan 30? ? (8 ? t ) . ?????7 分 2 6

∴ △FBP 的面积 S ?

1 1 3 ? FB ? PK ? ? (8 ? t ) ? (8 ? t ) , 2 2 6

∴ S 与 t 之间的函数关系式为:

S?

3 3 2 4 16 (t ? 8)2 ,或 S ? t ? t? 3 . ?????????????8 分 12 12 3 3

t 的取值范围为: 0 ? t ? 8 . ??????????????????????9 分 20、解:(1)△BPQ 是等边三角形,当 t=2 时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 0 所以 BQ=BP.又因为∠B=60 ,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过 Q 作 QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t·sin60 = 3 t,由 AP=t,得 PB=6-t,
0

所以 S△BPQ=

1 1 3 2 ×BP×QE= (6-t)× 3 t=- t +3 3 t; 2 2 2
0 0 0

(3)因为 QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60 ,∠RQC=∠B=60 ,又因为∠C=60 , 所以△QRC 是等边三角形,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQ·cos60 =
0

1 ×2t=t, 2

所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP∥QR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形, 所以 PR=EQ= 3 t,又因为∠PEQ=90 ,所以∠APR=∠PRQ=90 .因为△APR~△PRQ,
0 0

所以∠QPR=∠A=60 ,所以 tan60 =

0

0

QR 6 6 ? 2t ? 3 ,所以 t= , ,即 PR 5 3t

6 时, △APR~△PRQ 5 21、解: (1) ? AEH 与 ? DFH. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
所以当 t= 第 27 页 共 29 页

(或 ? AEH 与 ? BEG, 或 ? BEG 与 ? CFG ,或 ? DFH 与 ? CFG) (2)OE=OF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ? AB ∥CD, AO ? CO · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∴ ?EAO ? ?FCO , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∵ ?AOE ? ?COF , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ∴ △ AOE ≌ △ COF , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ∴ OE ? OF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 22、证明: (1)因为 ABCD 是正方形,所以 ∠DAE=∠FBE= 90 , 所以∠ADE+∠DEA= 90 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 又 EF⊥DE,所以∠AED+∠FEB= 90 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 所以∠ADE=∠FEB, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? 所以 ADE∽ BEF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)解:由(1) ? ADE∽ ? BEF,AD=4,BE=4- x ,得
? ? ?

y 4? x ? ,得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 x 4 1 1 1 y = (? x 2 ?4 x) ? [?( x ? 2) 2 ? 4] = ? ( x ? 2) 2 ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 4 4 4 所以当 x =2 时, y 有最大值, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 y 的最大值为 1.
23、 解: (1)BC、DE 的数量关系是 BC=DE 理由如下:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD AC=AE ∴△ABC≌△ADE (SAS) ∴BC=DE (2)线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项 理由如下:∵△ABC≌△ADE ∴∠ABC=∠ADE ∵∠ABC=∠CBD ∴∠ADE=∠CBD 又∵∠BFD=∠DFG ∴△BFD∽△DFG ∴ 24、(略) 25、解:(1) 四边形 B2FD1E 是矩形。 因为△AB1D1 平移到图(3)的,所以四边形 B2FD1E 是一个平行四边形,又因为在平行 四边形 ABCD 中,AB=10,AD=6,BD=8,则有∠ADB 是直角。所以四边形 B2FD1E 是矩形。 (2)因为三角形 B1B2F 与三角形 AB1D1 相似,则有 B2F=

BF DF ? DF GF

∴FD =FG·FB

2

3 4 B1 B 2 =0.6X,B1F= B1 B 2 =0.8x 5 5

第 28 页 共 29 页

所以

sB FD E=B F×D F=0.6X × (8-0.8x)=4.8x-0.48x
2 1

2

2

1

即 y=4.8x-0.48x =12-0.48(x-5) 当 x=5 时,y=12 是最大的值。 (3)要使△ B1B2F 与△ B1CF 相似,则有 解之得:x=3.6

2

B2 F B1 F ? B1 F FC



0.6X 0.6X ? 0.8X (6 - 0.6X)

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