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北师大版高一数学必修2第一章测试题


第一章立体几何初步单元测试
姓名:_______班级:______成绩:_______ 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长 为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰 三角形.则该几何体的体积为( ) (A)48 (B)64 (C)96 (D)192 2.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ) A.

3

B. 2 3

C. 3 3

D. 4 3

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个 球的表面积是( A. 25? ) B. 50? C. 125?

D.都不对

4、已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于 ( D) 3

(A) 2 2

(B)

2 3 3

(C)

4 2 3

(D)

4 3 3

5、若 l 、m、n是互不相同的空间直线,α 、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的 是( ) B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ?

AB , 6、 如图, 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E,F,G,H 分别为 AA 1,

D1

BB1 , B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于(

A.45° B.60° C.90° 7.已知两个平面垂直,下列命题 E ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; A ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. D1 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 8、如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° 9、平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; A1

) D.120°

A1
D
F

H

C1

B1
G
B

C

C1 B1

D D.90° ) B.直线 a// ? ,a// ? A B

C

C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行 10、如图,一个封闭的立方体,它的六个表面各标有 A,B,C,D,E,F 这六个字母之一,现放置 成如图的三种不同的位置,则字母 A,B,C 对 D B 面的字母分别为( ) A) D ,E ,F B) F ,D ,E

B C

C

A

C

E

A

C) E, F ,D

D) E, D,F

选择题答题表 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 已 知 直 线 b// 平 面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

? , 平 面 ? // 平 面 ? , 则 直 线 b 与 ? 的 位 置 关 系
P

为 . 12.正方体的内切球和外接球的半径之比为_____

13 如图,△ABC 是直角三角形,? ACB= 90? ,PA ? 平面 ABC, 此图形中有 个 直角三角形 14. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结 A 论: (1)AC⊥BD; (2)△ACD 是等边三角形 (3)AB 与平面 BCD 所成的角为 60°; (4)AB 与 CD 所成的角为 60°。则正确结论的序号为____ 三、解答题(15、16、17 题分别为 8 分、10 分、12 分,共 30 分) 15.如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC 求证:AB⊥BC P

C B

A B

C

16.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DA ? DC ? 4, 面直线 A1 B 与 B1C 所成角的余弦值 。.

DD1 ? 3 ,求异

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD,

?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ)证明 AE ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值.

P E A B D

C

答案:1、B
3.B 长

2.A

因为四个面是全等的正三角形, 则 S表面积 ? 4S底面积 ? 4 ?

3 ? 3 4










线









l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2, 2 R ? 5 2, R ?

5 2 , S ? 4? R 2 ? 50? 2

4.D 5、C 6、B 7、C 8、A 9、D 10、D 11、平行或在平面内; 12、正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a

a ? 2r内切球,r内切球 ?

a 3a , 3 a? r 2 r , :r ? : 1 外接球,r 外接球 ? 2 2 内切球 外接球

3

13、4 14、 (1) (2) (4) 15、证明:过 A 作 AD⊥PB 于 D,由平面 PAB⊥平面 PBC ,得 AD⊥平面 PBC,故 AD⊥BC, 又 BC⊥PA,故 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AB 16、连接 A1 D , ? A1 D // B1C , ? ?BA1 D 为异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角. 连接 BD ,在△ A1 DB 中, A1 B ? A1 D ? 5, 则 cos ?BA1 D ?

BD ? 4 2 ,

25 ? 25 ? 32 9 . ? 2?5?5 25 17 、 (Ⅰ)解:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,故 PA ? AB . 又 AB ? AD ,PA ? AD ? A , 从而 AB ? 平面 PAD . 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA , 从而∠ APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. P ? M 在 Rt△PAB 中, AB ? PA ,故∠APB ? 45 . E ?
所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 .
?

A1 B ? A1 D ? BD 2 ? A1 B ? A1 D
2 2

2

A

D

(Ⅱ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, C B 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 CD ? PA . 由条件 CD ? AC , PA ? AC ? A ,? CD ? 面 PAC .又 AE ? 面 PAC ,? AE ? CD .
? 由 PA ? AB ? BC ,∠ABC ? 60 ,可得 AC ? PA .? E 是 PC 的中点,? AE ? PC ,

? PC ? CD ? C .综上得 AE ? 平面 PCD . (Ⅲ)解:过点 E 作 EM ? PD ,垂足为 M ,连结 AM .由(Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD ,

AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 AM ? PD .
? 因此∠AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角.由已知,得∠CAD ? 30 .设 AC ? a ,得

PA ? a , AD ?

21 2 3 2 a , AE ? a , PD ? a. 3 3 2

在 Rt△ ADP 中,? AM ? PD ,? AM ?PD ? PA?AD ,则

PA?AD AM ? ? PD

2 3 a? a 2 7 AE 14 3 a .在 Rt△ AEM 中, sin AME ? ? 7 AM 4 21 a 3


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