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#《金版新学案》数学新课标人教A版必修1教学教学课件:2. 2. 1. 2 第2课时 对数的运算_图文

2.2 对数函数

第2课时 对数的运算

1.已知 a23=49(a>0),则 log23a=________. 解析: 设 log23a=x,则 a=????23????x, 又 a23=49, ∴????????23????x????23=????23????2,即????23????23x=????23????2, ∴23x=2,解得 x=3.
答案: 3

?3x,x≤1, 2.已知函数 f(x)=??-x,x>1. 若 f(x)=2,则 x=________.
解析: 当x≤1时,f(x)=2,即为3x=2, ∴x=log32 当x>1时,f(x)=2,即为-x=2, ∴x=-2矛盾(舍去). 故应填log32. 答案: log32

1.对数的运算性质 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么, (1)loga(MN)=_lo_g_a_M__+__l_o_g_a_N_.
(2)logaMN =_lo_g_a_M__-__l_o_g_a_N_. (3)logaMn=_n_l_o_g_a_M__(n∈R).

2.对数换底公式
logab=llooggccba(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1); 特别地:logab·logba=_1_(a>0,a≠1,b>0,b≠1).

1.下列式子中成立的是(假定各式均有意 义)( ) A.logax·logay=loga(x+y) B.(logax)n=nlogax
C.longax=logan x D.llooggaaxy=logax-logay
答案: C

2.计算 log225·log32 2·log59 的结果为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

解析:







lg 25 lg 2

·lglg2

2 3

·llgg

9 5



3 2llgg25·2llgg32·2llgg53=6.

答案: D

3.lg 8+3lg 5的值为________. 解析: lg 8+3lg 5=lg 8+lg 53=lg(8×53) =lg 1 000=3. 答案: 3

4.求下列各式的值:

(1)(lg 5)2+lg 50·lg 2;

(2)lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18.

解析:

(1)原式=(lg 5)2+lg(10×5)lg

10 5

=(lg 5)2+(1+lg 5)(1-lg 5)

=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1.

(2)















lg(2×7)



2lg

7 3



lg

7-

lg(32×2)

=lg 2+lg 7-2(lg 7-lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)

=0

方法二:原式=lg 14-lg????73????2+lg 7-lg 18 =lg????731????42××178=lg 1=0.

对数运算性质的应用

计算下列各式的值.

(1)log48+lg 25+lg 4+6log62-(-8.6)0;

(2)lg 2 + lg 5 ; (3)log345 - log35 ;

(4)log2(23×45);

lg (5)

27+lg 8-lg lg 1.2

1 000;

(6)(lg 5)2+lg 2·lg 50.

由题目可获取以下主要信息:①(1)题中对数底 数不同(2)(5)(6)是常用对数;②对数式含有积、 幂、根式的形式.,解答本题可利用对数运算性 质进行计算.

[解题过程] (1)原式=log4432+lg(25×4)+2+1 =32+lg 102+3 =32+2+3=123. (2)lg 2+lg 5=lg( 2× 5)=lg 10=lg 1012=12;

(3)log345-log35=log3455=log39=log332=2;

(4)log2(23×45)=log223+log245=3+5log24=3+ 5log222 =3+5×2=13.

(5)原式=32llgg33++23llgg22--132=23(llgg

3+6lg 3+2lg

22--31)=32.

(6)原式=(lg 5)2+lg 2·(lg 2+2lg 5)

=(lg 5)2+2lg 5·lg 2+(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=1.

[题后感悟] (1)在应用对数运算性质时应注意 保证每个对数式都有意义,应避免出现lg(- 5)2=2lg(-5)等形式的错误,同时应注意对数
性质的逆用在解题中的应用.譬如在常用对数 中,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2的运用.

(2)对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的 对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). (3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真 数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实 际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.

1.计算下列各式的值. (1)log2 478+log212-12log242; (2)12lg3429-43lg 8+lg 245.

解析:

(1)原式=log2

7×12 48× 42

=log2 12=-12.

(2)原式=12(5lg 2-2lg 7)-43×32lg 2+12(2lg 7+

lg 5)

=52lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12lg 5

=12lg 2+12lg 5

=12(lg 2+lg 5)=12lg 10=12.

换底公式的应用 求值:(1)log927;(2)log89·log2732; (3)(log23 + log49 + log827 + … +
log2n3n)×log9n 32.

[解题过程] (1)方法一(换成以 10 为底): log927=llgg297=llgg 3332=32llgg33=32. 方法二(换成以 3 为底):log927=lloogg33297=lloogg333332 =32lloogg3333=32. 方法三(利用 loganbm)=mn (logab):
log927=log3233=32log33=32.

(2)log89·log2732



lg lg

9 8

lg ·lg

32 27



lg lg

32 23

lg ·lg

25 33



2lg 3lg

3 5lg 2·3lg

23=190.

(3)原式 =????log23+22lloogg2232+33lloogg2232+…+nnlloogg2232????

×log9n 32

=(log23+log23+log23+…+log23)×log9n 32 =n×log23×n5×12log32=52.

[题后感悟] (1)应用换底公式时,究竟换成以 什么为底? ①一般全都换成以 10 为底的对数.如(1)的方 法一与(2)的解法. ②根据情况找一个底数或真数的因子作为 底.如(1)的方法二与(3). (2)直接利用换底公式的下面几个推论,加快解 题速度.
logab=log1ba,loganbm=mn logab,loganbn=logab.

2.计算: (1)(log23+log89)(log34+log98+log32);
1 11 (2)log2125·log332·log53.

解 析 : (1) 原 式 = (log23 + log2332)(log322 +

log3223+log32)

=????53log23????????92log32????=125·log132·log32=125.

(2)log21125·log3312·log513=log25-3·log32-5·log53-1

=-3log25·(-5log32)·(-log53)=

-15·llgg

5 lg 2·lg

2 lg 3·lg

3 5

=-15.

已知 log189=a,18b=5,用 a、b 表示 log3645.
已知对数和指数的底数都是18,需求值的对数 底数为36,因此既可以将需求的对数化为与已 知对数同底后再求解,也可以将已知与需求值 的对数都换为同一底数后再求解.

[解题过程] 方法一:由 18b=5,得 log185=b,

又 log189=a,

所以

log3645



log1845 log1836



log18(9×5) 18×2×9
log18 9



log189+log185 log18182-log189

=a2+-ba.

方法二:a=log189=llgg198=lg

2lg 3 2+2lg

, 3

所以 lg 2=2(1-aa)lg 3①,



18b=5,则

b=log185=llgg158=lg

lg 5 2+2lg

3,

所以 lg 5=2ablg 3②,

log3645=llgg 4356=2llgg 92+ +l2glg53=22llgg23++2llgg53,

将①、②两式代入上式并化简整理,得 log3645 =a2+-ba.

方法三:设 log3645=x,则 36x=45,即 62x=5×9, 从而有 182x=5×9x+1,对这个等式的两边都取
以 18 为底的对数, 得 2x=log185+(x+1)log189,又 18b=5,所以 b=log185. 所以 2x=b+(x+1)a,
解得 x=a2+ -ba,即 log3645=a2+ -ba.

[题后感悟] 解决这一类问题的关键在于抓住 所求的对数与已知对数之间的联系,选择恰当 的底数和真数的对数作为它们之间联系的中 介.在这个过程中,灵活运用换底公式和对数 运算性质是重要的.而运用指数、对数的互化, 也是解决这类问题应予以考虑的方法.在这些 方法的选择中,运用解方程(组)的思想会使问 题的求解思路更清晰,运算目标更明确.

3.保持题目条件不变,用 a、b 表示 log3036 的值.
解析: ∵18b=5,∴log185=b, ∴log3036=lloogg11883360=lloogg1188158++lloogg118862 =log11+85+(lo(glo18g11881-8-loglo18g91)83) =b+2-1-a a2=22+(22-b-a)a.

对数式的证明问题 已知 x,y,z 为正数,3x=4y=6z,2x=py. (1)求 p; (2)求证:1z-1x=21y. [策略点睛]

[解题过程] (1)设 3x=4y=6z=k(显然 k>0,且 k≠1), 则 x=log3k,y=log4k,z=log6k, 由 2x=py,得 2log3k=plog4k=p·lloogg33k4, ∵log3k≠0,∴p=2log34. (2)证明:1z -1x=log16k-log13k=logk6-logk3= logk2 =12logk4=21y, ∴1z-1x=21y.

[题后感悟] 对数式的证明和对数式的化简的 基本思路是一致的,就是根据对数的运算性质 对对数式进行变换,实现从等式的一端过渡到 另一端.

4.设 a,b,c 为正数,且满足 a2+ b2=c2.
求证:log2????1+b+a c????+log2????1+a-b c????=1. 证明: 左边=log2????????1+b+a c????·????1+a-b c???????? =log2(a+ba)b2-c2 =log2(a+b)2-ab(a2+b2) =log22=1=右边; ∴原式成立.

1.正确运用对数的运算性质 (1)在运算过程中避免出现以下错误: loga(MN)=logaM·logaN.
logaMN =llooggaaMN . logaNn=(logaN)n. logaM±logaN=loga(M±N). (2)要特别注意它的前提条件:a>0,a≠1,M>0, N>0,尤其是 M,N 都是正数这一条件,否则 M,N 中有一个小于或等于 0,就导致 logaM 或 logaN 无意义,另外还要注意,M>0,N>0 与 M·N>0 并不等价.

2.关于换底公式 (1)对数换底公式的证明 设 x=logab,化为指数式为 ax=b,两边取以 c 为底的对数,得 logcax=logcb,即 xlogca=logcb. 所以 x=llooggccba,即 logab=llooggccba. (2)对数换底公式的选用 ①在运算过程中,出现不能直接用计算器或查
表获得对数值时,可化成以 10 为底的常用对数 进行运算;
②在化简求值过程中,出现不同底数的对数不
能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数
为底的对数,再根据运算法则进行化简与求值.

[注意] 在使用换底公式时,底数的取值不唯一, 应根据实际情况选择. (3)关于换底公式的另外两个结论: ①logac·logca=1;②logab·logbc·logca=1.

◎设 x,y 为非零实数,a>0,a≠1,则下列式

子中正确的个数为( )

(1)logax2=2logax;(2)logax2=2loga|x|;(3)loga|xy|

=loga|x|·loga|y|;(4)loga????xy????=llooggaa||xy||.

A.1

B.2

C.3

D.4

【错解】 D

【错因】 产生错解的主要原因是没有准确掌 握对数的运算性质. (1)logax2=2logax,不能保证 x>0; (3)(4)虽保证了真数大于零,但是公式应用有误. 正确表达式应该是 loga|xy|=loga|x|+loga|y|, loga????xy????=loga|x|-loga|y|. 【正解】 A

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