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2 定积分的基本性质_图文


Nove. 30 Wed.

Review

1. 定积分的概念:分割、近似、求和、取极限

?a f ( x )dx ? lim ? f (? k )?xk ? ?0 k ?1
b

n

2. 定积分的几何意义:曲边梯形的面积;

3. 定积分的基本性质: 1). 线性性质

?a [k1 f ( x ) ? k2 g( x )]dx ? k1 ?a f ( x )dx ? k2 ?a g( x )dx .
2). 积分区间可加性

b

b

b

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c

b

c

b

f ( x )dx .

§2 定积分的基本性质
? ?

可用等式表出的性质; 可用不等式表出的性质。

一. 可用等式表出的性质
说明: 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小. 性质1

?a [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx .

b

b

b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
性质2

?a kf ( x )dx ? k ?a f ( x )dx ,

b

b

( k 为常数)

性质3
b

假设a ? c ? b
c b

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c

f ( x )dx .

补充:不论 a , b, c 的相对位臵如何, 上式总成立. 例 若 a ? b ? c,

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?b f ( x )dx
b c

c



?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?b f ( x )dx
? ?a f ( x )dx ? ?c f ( x )dx .
c b

b

c

c

(定积分对于积分区间具有可加性)

二. 可用不等式表出的性质
性质4
若在 [a , b] 上, 恒有 f ( x ) ? g ( x ),则

?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx .
证明: ? f ( x ) ? g( x )
? 对? k ? [ xk ?1 , xk ], k ? 1,2,?n 及分割,均有: f (? k ) ? g(? k ), k ? 1,2,?n, 从而

b

b

? f (? k )?xk ? ? g(? k )?xk
k ?1 k ?1

n

n

令 ? ? 0,由 f ( x ), g( x ) 可积,得到

lim ? f (? k )?xk ? lim ? g(? k )?xk
? ?0
k ?1
b

n

n

? ?0

k ?1

即 ? f ( x )dx ? ? g ( x )dx .
a a

b

性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ? 0 ,
则 ? f ( x )dx ? 0 . ( a ? b )
a b

例 1 比较积分值?0 e dx 和?0 xdx 的大小.
x

?2

?2

解: 令 f ( x ) ? e x ? x , 则
? ? ( e x ? x )dx ? 0
?2 x 0

f ( x ) ? 0, x ? [?2,0]

??2e
0

0

dx ? ? xdx
?2 ?2 0

0

? ? xdx ? ? e x dx

?2

性质6

设 M 及m 分别是函数
b

f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值,
则 m (b ? a ) ? ?a f ( x )dx ? M (b ? a ) .

(此性质可用于估计积分值的大致范围) 证明: 连续函数可积,所以 Mdx 与 mdx 存在,且 ? ?
b b a a

?a mdx ? lim ? m?xk ? m lim ? ?xk ? m(b ? a ) ? ?0 ? ?0 k ?1 k ?1
b

n

n

m (b ? a ) ? ? mdx ? ? f ( x )dx ? ? Mdx ? M (b ? a )
a a a

b

b

b

性质7 若 f ( x ) 在 [a , b] 上可积,则 | f ( x ) | 在[a , b] 上也可积,且

?a f ( x )dx ? ?a
证明: | f ( x ) | 可积,且

b

b

f ( x )dx .

? | f ( x ) |? f ( x ) ?| f ( x ) |

由性质4,有
? ? | f ( x ) | dx ? ? f ( x )dx ? ? | f ( x ) | dx
a a a b b b

?

?a f ( x )dx ? ?a | f ( x ) | dx

b

b

例1. 利用积分性质估计 ? e
0

2

x2 ? x

dx 的值;
x2 ? x

解: f ( x ) ? e

x2 ? x

在 [0,2] 上连续, 而 f ?( x ) ? ( 2 x ? 1)e

1 令 f ?( x ) ? 0, 则 x ? 为极值点. 2 1 ? 1 2 ? f (0) ? 1, f ( 2) ? e , f ( ) ? e 4 2 1 ?比较 f (0), f ( 2), f ( ) 得 2 1
m ? e 4 , M ? e 2 , 从而有
?

2e

?

1 4

?? e
0

2

x2 ? x

dx ? 2e 2 .

例2 估计定积分 ?

? / 2sin

x

? /4

x

dx 的值;

sin x 设 , 先求出 f ( x ) 在区间 [? / 4, ? / 2] 上 解: f ( x ) ? x 的最大值 M 与最小值 m .
x cos x ? sin x ( x ? tan x ) ? cos x ? f ?( x ) ? ? 2 x x2 而 tan x ? x , x ? [? / 4, ? / 2]

? f ?( x ) ? 0,

x ? [? / 4,? / 2]

从而 f ( x ) 在 [? / 4, ? / 2] 上严格单调下降,于是

m ? f (? / 2) ?

sin

?
2? 2

?
2

?

, M ? f (? / 4) ?

sin

?
4?2 2

?
4

?

则由积分性质,得到:
? / 2sin x 2 ? ? 2 2 ? ? ( ? )? ? dx ? ( ? ) ? /4 x ? 2 4 ? 2 4
? / 2sin x 1 2 即 ?? dx ? 2 ? /4 x 2

例3 证明 Cauchy ? Shwarz 不等式( inequality ):

?? f ( x) g( x)dx? ? ? f ( x)dx ? g ( x)dx
b 2 b 2 b 2 a a a

证明: 由于 [?f ( x ) ? g ( x )]2 ? 0, 其中 ? ? 0,
故 [? f ( x ) ? g ( x )]2 dx ? 0, 即 ?
a b b

?

2

?a

f ( x )dx ? 2? ? f ( x ) g ( x )dx ? ? g 2 ( x )dx ? 0
2 a a

b

b

B A C 左端为 ? 的二次多项式,故判别式不大于零,即

B 2 ? 4 AC
? 4[ ? f ( x ) g ( x )dx ] ? 4 ? f ( x )dx ? ? g 2 ( x )dx ? 0
2 2 a a a b b b

? [ ? f ( x ) g( x )dx ] ? ? f ( x )dx ? ? g 2 ( x )dx
2 2 a a a

b

b

b

性质8(积分第一中值定理)
设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续,g ( x ) 在 [a , b] 上可积,且在 [a , b] 上不变号,则在[a , b] 上至少存在一点?,使得:

?a f ( x ) g( x )dx ?

b

f (? )? g ( x )dx .
a

b

证明: f ( x ), g( x ) 可积 ? f ( x ) ? g( x ) 可积.
f ( x ) ? C [a , b],所以 f ( x ) 在 [a , b] 上有最大值 M 和 最小值 m,即

M ? f ( x ) ? m , x ? [a , b ]

不妨设 g( x ) ? 0, 从而有:

mg( x ) ? f ( x ) g( x ) ? Mg( x )
m ? g ( x )dx ? ? f ( x ) g ( x )dx ? M ? g ( x )dx
若 ? g ( x )dx ? 0,则由上式知 ? f ( x ) g ( x )dx ? 0
a a

b

b

b

a b

a

a

b

对 ?? ? [a , b], 等式都成立。

若 ? g ( x )dx ? 0,则 ? g ( x )dx ? 0, 因此
a a

b

b

?a f ( x ) g( x )dx ? M m? b ?a g( x )dx

b



?a f ( x ) g( x )dx , ?? b ?a g( x )dx
?a f ( x ) g( x )dx ?
b

b

则m ? ? ? M

由介值定理,? ? ? [a , b], 使 f (? ) ? ?
既有 f (? )? g ( x )dx .
a b

推论(定积分中值定理)
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ? ,

使 ?a f ( x )dx ? f (? )( b ? a ) .

b

(a ? ? ? b)

有时写为:

积分中值公式

?a


a?h

f ( x )dx ? h ? f (a ? ? ? h) (0 ? ? ? 1)

1 a?h f (a ? ? ? h) ? ? f ( x )dx h a

积分中值公式的几何解释:

y
f (? )

o

a ?

在区间[a , b] 上至少存在一 个点? ,使得以区间[a , b] 为 底边, 以曲线 y ? f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 b x 等于同一底边而高为 f (? ) 的一个矩形的面积。

1 b f (? ) ? ?a f ( x )dx b?a f ( x ) 在 [a , b] 的积分平均值

例 设 a1 , a2 ,?, an 为个常数,试求阶梯函数 ?a1 , 0 ? x ? 1, ? a , 1 ? x ? 2, ? 2 ? f ( x ) ? ?? ? ? ?a , n ? 2 ? x ? n ? 1, ? n ?1 ? an , n ? 1 ? x ? n ? 在区间 [0, n] 上的积分平均值。

解: 积分平均值为:
1 b 1 n f (? ) ? ?a f ( x )dx ? n ? 0 ?0 f ( x )dx b?a
2 n 1 1 ? [ ? a1dx ? ? a2dx ? ? ? ? andx ] 1 n ?1 n 0

a1 ? a2 ? ? ? an ? n
正是 a1 , a2 ,?, an 的算术平均值。

小结
1.定积分的性质
(注意估值性质、积分中值定理的应用)

2.典型问题
(1)估计积分值; (2)不计算定积分比较积分大小. hw:p233 6(2,4),7,8(3,4,5).

§3 微积分基本公式
变速直线运动中位臵函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动,已知速度v ? v (t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上t 的一个连续函数,且v ( t ) ? 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为

?T

T2
1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )

? ? v ( t )dt ? s(T2 ) ? s(T1 ). 其中 s?( t ) ? v ( t ). T
T2
1

定理 设 f ( x ) 在 [a , b] 可积,F ( x ) 在 [a , b] 上连续,且
F ( x ) 在 (a , b ) 上是 f ( x ) 的原函数,即 F ?( x ) ? f ( x ), x ? (a , b ),则

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )。
也可记为

b

?a f ( x )dx ? F ( x )

b

b a

例 1. ?a e dx; 2. ?0 sin xdx;
x

b

?

3. 设f ( x )连续,且f ( x ) ? x ? ? f ( t )dt,求f ( x );
0

1

? 1 ? x ? 1, 4. 设 f ( x ) ? ? 1 ? x , ?1 ? e 5. 求 ?
?
0

x?0 2 ,求 ? f ( x ? 1)dx; 0 x?0

1 ? sin xdx;

例 6. 利用积分中值定理求极限 lim ?

n?!

n? ? n

x e dx;

2 x2

1 7. 求极限 lim[ 2 ? ??? ]; 2 2 2 n? ? n ?1 n ?2 n ?n 1 ? 2? ( n ? 1)? 8. lim [sin ? sin ??? ]; n? ? n n n n p p p 1 ? 2 ??? n 9. lim 。 p ?1 n? ? n

1

1


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