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高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 1.1集合


2014 年高考一轮复习热点难点精讲精析:1.1 集合
一、集合的基本概念 1、相关链接 (1)由元素与集合的关系,可以分析集合中元素的特征:确定性、互异性和无序性。 (2)在解决集合的概念的问题时,要注意养成自学使用符号的意识和能 力,运用集合的观点分析、 处理实际问题。 (3)集合的表示方法:有列举法、描述法和 Venn 图,在解题时要根据题目选择合适的方法。 注:①要特别注意集合中的元素所代表的特征。 如:A={y|y=x +2},B={(x,y)|y=x +2}.其中 A 表示数集,B 表示二次函数 y=x +2 的图象 上所有点组成 的集合,二者不能混淆。
2 2 2

②注意集合中元素的互异性 对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. ③常见集合的意义 集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}

不 等 式 集合的 方程 f(x)=0 的 函数 y=f(x) 函数 y=f(x) 函 数 y=f(x) 的 f(x)>0 的 解 意义 解集 的定义域 的值域 图象上的点集 集

2、例题解析 例 1. (1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6}, 则 P+Q 中元素的个数是( ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 (2)已知-3∈A={a-2,2a2+5a,12},则 a=______. 【解题指导】(1)从 P+Q 的定义入手,可列表求出 a+b 的值. (2)-3 是 A 中的元素,说明 A 中的三个元素有一个等于-3,可分类讨论. 解析:(1)选 B.根据新定义将 a+b 的值列表如下:

1

由集合中元素的互异性知 P+Q 中有 8 个元素,故选 B. 2 (2)∵-3∈A,∴a-2=-3 或 2a +5a=-3, ∴a=-1 或 a ? ? .
2 3

当 a=-1 时,a-2=2a +5a=-3,不合题意; 当 a ? ? . 时,A={ ?
2 3 3 2 3 2 7 2

2

,-3,12},符合题意,

故a ? ? .

答案: a ? ? . 例 2.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a 2 ? ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值 为 A.0 答案 D 解析 ∵ A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a 2 ? , A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ∴ ? 例 3.下列集合中表示同一集合的是( C )
? a ? 16
2

( B.1 C.2 D.4

)

? a?4

∴ a ? 4 ,故选 D.

A.M = {(3,2)},N = {(2,3)} C.M = {4,5},N = {5,4} 答案:C

B.M = {(x,y)|x + y = 1},N = {y|x +y = 1} D.M = {1, 2},N = {(1,2)}

解析:由集合中元素的特征(确定性、无序性、唯一性)即得。 二、集合间的基本关系和运算 1、相关链接 (1)子集与真子集的区别与联系:集合 A 的真子集一定是其子集,而集合 A 的子集不一定是其真子集; 若集合 A 有 n 个元素,刚其子集个数为 2 ,真子集个数为 2 -1,非空真子集个数为 2 -2. (2)全集是一个相对概念,一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集,是我们为研究集合关系临 时选定的一个集合. (3)集合 A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集. (4)集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意 Venn 图及补集思想的应用。 (5)集合的简单性质: ① A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A;
2
n n n

② A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; , A ? ? ? A , A ? A ? B , B ? A ? B ③ ( A ? B ) ? ( A ? B ); ④ A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; ⑤ C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B) , 。 ⑥ 若A ? B, B ? C , 则A ? C ;若 A (6)方法指导: ①解决集合相等问题的一般思路 若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组 求解,要注意挖掘题目中的隐含条件. ②判断两集合关系的常用方法: <1>化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系; <2>用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. ③集合运算的常用方法 <1>集合元素离散时借助 Venn 图运算; <2>集合元素连续时借助数轴运算,借助数轴运算时应注意端点值的取舍. B,B C,则 A C

2、例题解析 例 1:(1)(2011·山东高考)设集合 M={x|x +x-6<0}, N={x|1≤x≤3},则 M∩N=( (A)[1,2) (B)[1,2] (C)(2,3] (D)[2,3] )
2

)

(2)(2011·湖南高考)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩ ?U N ={2,4},则 N=( (A){1,2,3} (B){1,3,5} (C){1,4,5} (D){2,3,4}

(3)(2011· 辽宁高考)已知 M , 为集合 I 的非空真 子集, M, 不相等, N∩ ?I M =?, M∪N=( N 且 N 若 则 (A)M (B)N (C)I (D)?

)

【解题指导】(1)化简集合 M,借助数轴求解. (2)借助于 Venn 图知 ?U N ? M, 从而 M ? 痧N ? U ( 3)借助于 Venn 图寻找集合 M,N 的关系. 解析:(1)选 A.∵M={x|-3<x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}. (2)选 B.∵U=M∪N, ? 痧N ? M,? M ? U
U
U

N.

N?

U

N ? ?2, 4? ,

3

? 3, 又 N ? ?U N ? U, N ? ?1, 5? .

(3)选 A.如图,∵N∩ ?I M =?,∴N? M,∴M∪N=M.

例 2: 已知集合 A={ y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y -6y+8≤0},若 A∩B≠φ ,则实数 a 的取值范围 为( ) . 分析:解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运 算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.从反面考虑问 题在集合中的运用主要就是运用补集思想.本题若直接求解,情形较复杂,也不容易得到正确结果,若我 们先考虑其反面,再求其补集,就比较容易得到正确的解答. 解:由题知可解得 A={y|y>a +1 或 y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当 A∩B=φ 时 a 的范围.如 图 由?
?a ? 2 ?a ? 1 ? 4
2
2

2

2

2

2

,得 ?

?a ? 2 ?a ? 3或a ? ? 3

a 2

4 a2+1

∴a ? ? 3 或 3 ? a ? 2.

即 A∩B=φ 时 a 的范围为 a ? ? 3 或 3 ? a ? 2 .而 A∩B≠φ 时 a 的范围显然是其补集,从而所求范围 为 ? | a ? 2或 ? 3 ? a ? a
3 .

?

注: (1)一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解, 这就是“补集思想” . (2)解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论 思想的应用 。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导致错解。 三、集合与其他知识的综合应用 例 1: (本小题满分 13 分) 已知集合 A ? {a1 , a 2 , a3 , ? , a n } ,其中 ai ? R (1 ? i ? n, n ? 2) ,l ( A) 表示和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数.

4

(Ⅰ)设集合 P ? {2,4,6,8} , Q ? {2,4,8,16} ,分别求 l (P ) 和 l (Q) ; (Ⅱ)若集合 A ? {2,4,8, ? ,2 n } ,求证: l ( A) ?
n( n ? 1) 2



(Ⅲ) l ( A) 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由? 解: (Ⅰ)由 2 ? 4 ? 6,2 ? 6 ? 8,2 ? 8 ? 10,4 ? 6 ? 10,4 ? 8 ? 12,6 ? 8 ? 14, 得 l ( P) ? 5 . 由 2 ? 4 ? 6,2 ? 8 ? 10,2 ? 16 ? 18,4 ? 8 ? 12,4 ? 16 ? 20,8 ? 16 ? 24, 得 l (Q) ? 6 .--------------------5 分
2 (Ⅱ)证明:因为 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 最多有 C n ?

n( n ? 1) 2

个值,所以 l ( A) ?

n( n ? 1) 2

.

又集合 A ? {2,4,8, ? ,2 } ,
n

任取 ai ? a j , a k ? al (1 ? i ? j ? n,1 ? k ? l ? n), 当 j ? l 时,不妨设 j ? l ,则 ai ? a j ? 2a j ? 2 即 ai ? a j ? a k ? al .[
j ?1

? al ? a k ? al ,

当 j ? l , i ? k 时, ai ? a j ? a k ? al . 因此, 当且仅当 i ? k , j ? l 时, ai ? a j ? a k ? al . 即所有 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 的值两两不同, 所以 l ( A) ?
n( n ? 1) 2 .

---------------9 分

(Ⅲ) l ( A) 存在最小值,且最小值为 2n ? 3 . 不妨设 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n , 可得
a1 ? a 2 ? a1 ? a 3 ? ? ? a1 ? a n ? a 2 ? a n ? ? ? a n ?1 ? a n ,

所以 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中至少有 2n ? 3 个不同的数,即 l ( A) ? 2n ? 3. 事实上,设 a1 , a 2 , a3 , ? , a n 成等差数列, 考虑 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) ,根据等差数列的性质,

5

当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? a1 ? ai ? j ?1 ; 当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? ai ? j ? n ? a n ;[

因此每个和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 等于 a1 ? a k (2 ? k ? n) 中的一个,或者等于 al ? a n (2 ? l ? n ? 1) 中的一个. 所以对这样的 A, l ( A) ? 2n ? 3 ,所以 l ( A) 的最小值为 2n ? 3 . ---------------13 分 例 2: (本小题满分 12 分)已知集合 A ? ? x x 2 ? x ? 12 ? 0? ,集合 B ? ?x x ? 2 x ? 8 ? 0?,集合
2

C ? ?x

x ? 4ax ? 3a ? 0, a ? 0? ,
2 2

(Ⅰ)求 A ? (CR B ) ;

(Ⅱ)若 C ? ( A ? B ) ,试确定实数 a 的取值范围.
? 3 ? x ? 4? , B ? ? x x ? ?4

解答: (Ⅰ)依题意得: A ? ? x (Ⅱ)∴

或 x ? 2? , A ? (C

R

B ) ? ( ?3, 2]

???4 分 ?6 分

A ? B ? ? x 2 ? x ? 4? ①若 a ? 0 ,则 C ? ? x x ? 0? ? ?
2

不满足 C ? ( A ? B)
4 3 ?a?2

∴a ?0

②若 a ? 0 ,则 C ? ? x a ? x ? 3 a? ,由 C ? ( A ? B) 得 ? ③若 a ? 0 ,则 C ? ? x 3a ? x ? a? ,由 C ? ( A ? B) 得 ? 综上,实数 a 的取值范围为
4 3 ?a?2

?a ? 2 ?3a ? 4

?

????????8 分 ???????10 分 ??????12 分

?3a ? 2 ?a ? 4

? a ??

6


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