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2014年高考广东卷第20题的解题分析及教学思考


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 2014 年高考广东卷第 20 题的解题分析及教 学思考 作者:陈荣芬 来源:《速读· 上旬》2014 年第 06 期 2014 年的高考已经落下帷幕,对高考题的分析和探究是一线教师永恒的话题,笔者想就 广东卷文理科的 20 题谈谈自己的解法及对教学的思考。 1 试题评析 2014 年高考广东卷(文理科)20 题:已知椭圆[C]:[x2a2+y2b2=1]([a>b>0])的一个焦 点为[( 5, 0 )],离心率为[53].(1)求椭圆[C]的标准方程;(2)若动点[P( x0, y0 )]为椭圆外 一点,且点[P]到椭圆[C]的两条切线互相垂直,求点[P]的轨迹方程. 本题文字叙述简单明了,问题设置由浅入深,给考生的感觉是“似曾相识”,入手容易,有 做下去的信心和勇气;该题可以说是“平常之中不平淡,入手容易高分难”,相对于前两年的广 东解析几何题而言,该题算不上“创新”,但是在求“变”。不过,本题如果把“且点[P]到椭圆[C] 的两条切线互相垂直”这句话改为“过点 P 作椭圆 C 的两条切线,且这两条切线互相垂直”更有 利于学生理解此题。 本题的背景是蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则两切线的交点位于一个与椭圆同 心的圆上,称为蒙日圆,该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。此定理是 法国数学家 G.Monge(1745-1818)最先发现的。 2 解题分析 第(1)小题比较基础,使得大部分考生都能获得基本分,有利于考生的正常发挥。其解 答如下:由[c=5],[e=ca=53],得[a=3],从而[b=2],所以椭圆[C]的标准方程是[x29+y24=1]; 第(2)小题学生解答的易错点是没有讨论切线斜率是否存在。 解法一: 当其中一条切线的斜率不存在,则另一条切线的斜率为零,此时点[P]的坐标为[P( 3, 2 )], 或[P( 3, -2 )],或[P( -3, 2 )],或[P( -3, -2 )]. 设点[P]到椭圆[C]的切线的斜率存在并且不为零时,设其中一条切线的方程为[y=kx+b], 则另一条切线的方程为[y=-1kx+c],由[y=kx+bx29+y24=1 ]得[( 9k2+4 )x2+18kbx+9b236=0],因为相切,故[Δ=182k2b2-4( 9k2+4 )(9b2-36 )=0],化简得[9k2+4=b2],因为[ b=y0-kx0] 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 所以[9k2=y20-2kx0y0+k2x20-4]①,同理可得[9=k2y20+2kx0y0+x20-4k2]②, ①[+]②化简得[13( k2+1 )=( x20+y20)( k2+1 )],因为[A,B],所以[-5,0,5,0].又[AM,BM], [M],[-49],[M]也满足[x20+y20=13].综上所述,点[P]的轨迹方程是[x20+y20=13]. 解法二: 设点[P]到椭圆[C]的切线斜率存在,且不为零时,设切线方程为[y-y0=k( x-x0 )],由[yy0=k( x-x0)x29+y24=1 ] 得[( 9k2+4 )x2+18k( y0-kx0)x+9( y0-kx0)2-36=0], [Δ=182k2( y0-kx0)2-4( 9k2+4 )[9( y0-kx0)2-36 ]=0],化简得 [9k2+4=( y0-kx0)2],即[( x20-9 )k2-2x0y0k+y20-4=0],因为点[P]到

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