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安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案新

§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
项目 课题 (共 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 教学 目标 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的 导数. 教学 教学重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 重、 教学难点: 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 难点 教学 多媒体课件 准备 一、导入新课:
2 五种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?

内容 修改与 1 课时) 创新

1 、 y ? x 的导数公式及应用 x
导数

函数

y?c y?x

y' ? 0
y' ? 1 y' ? 2x
y' ? ? 1 x2

教学过 程

y ? x2
y? 1 x

y? x
y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )

y? ?

1 2 x

y' ? nxn?1

二、讲授新课: (一)基本初等函数的导数公式表

函数

导数

y?c

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x
(二)导数的运算法则

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ' ( x) ?

导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) ' ' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?

'

' (2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 三.典例分析

例 1.假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位: 元)与时间 t (单位:年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨 的速度大约是多少(精确到 0.01)? 解:根据基本初等函数导数公式表,有 p' (t ) ? 1.05t ln1.05 所以 p' (10) ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨. 例 2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

(2) y ?

1 1 ? ; 1? x 1? x
x ; 4x

(3) y ? x ? sin x ? ln x ; (4) y ? (5) y ?

1 ? ln x sin x ? x cos x . (6) y ? (2 x2 ? 5x ? 1) ? e x ; (7) y ? 1 ? ln x cos x ? x sin x

解: (1) y' ? ( x3 ? 2x ? 3)' ? ( x3 )' ? (2 x)' ? (3)' ? 3x2 ? 2 ,

y ' ? 3x 2 ? 2 。
(2) y ? (
'

1 ' 1 ' (1 ? x )' (1 ? x )' ) ?( ) ? ? 1? x 1? x (1 ? x )2 (1 ? x )2

1 ?

1 1 2 x ? 2 x ? 1 [ ? ] 2 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) 2 x (1 ? x ) (1 ? x ) 2

?

1

?

(1 ? x )2 ? (1 ? x )2 (1 ? x) x ? (1 ? x)2 x(1 ? x)2 2 x 1 ? (1 ? x) x x(1 ? x)2
' ' '

y' ?

(3) y ? ( x ? sin x ? ln x) ? [( x ? ln x) ? sin x]

? ( x ? ln x)' ? sin x ? ( x ? ln x) ? (sin x)'
1 ? (1? ln x ? x ? ) ? sin x ? ( x ? ln x) ? cos x x

? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x

y' ? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x
(4) y ' ? (

x ' x' ? 4x ? x ? (4 x )' 1? 4 x ? x ? 4 x ln 4 1 ? x ln 4 , ) ? ? ? 4x (4 x )2 (4 x )2 4x

y' ?

1 ? x ln 4 。 4x

(5)

1 1 ? ln x ' 2 1 2 ' ' x y ?( ) ? (?1 ? ) ? 2( ) ? 2? ? 2 1 ? ln x 1 ? ln x 1 ? ln x (1 ? ln x) x(1 ? ln x) 2
'

y' ?

2 x(1 ? ln x) 2

(6) y' ? (2 x2 ? 5x ? 1)' ? e x ? (2 x2 ? 5x ? 1) ? (e x )'

? (4x ? 5) ? ex ? (2x2 ? 5x ? 1) ? e x ? (2x2 ? x ? 4) ? e x , y' ? (2x2 ? x ? 4) ? ex 。
(7) y ? (
'

sin x ? x cos x ' ) cos x ? x sin x

?

(sin x ? x cos x)' ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (cos x ? x sin x)' (cos x ? x sin x)2
(cos x ? cos x ? x sin x) ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (? sin x ? sin x ? xco s x) (cos x ? x sin x)2 x sin x ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? xco s x (cos x ? x sin x)2

?

?

?

x2 。 (cos x ? x sin x)2 x2 (cos x ? x sin x)2

y' ?

【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.

例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化 费用不断增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元)为

c( x) ?

5284 (80 ? x ? 100) 100 ? x
(2) 98%

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

5284 ' 5284' ? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)' c ( x) ? ( ) ? 100 ? x (100 ? x)2
'

?

0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) 5284 ? 2 (100 ? x) (100 ? x) 2 5284 ? 52.84 ,所以,纯净度为 90% 时,费 (100 ? 90)2

(1)

因为 c (90) ?
'

用的瞬时变化率是 52.84 元/吨. (2) 因为 c (98) ?
'

5284 ? 1321 ,所以,纯净度为 98% 时,费用 (100 ? 90)2

的瞬时变化率是 1321 元/吨. 函数 f ( x ) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算 可知, c' (98) ? 25c' (90) .它表示纯净度为 98% 左右时净化费用的瞬时变化率, 大约是纯净度为 90% 左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍.这说明,水的纯净 度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快. 四.课堂练习 1.课本 P92 练习 2.已知曲线 C:y =3 x -2 x -9 x +4,求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线 方程; (y =-12 x +8) 课堂小结: (1)基本初等函数的导数公式表 (2)导数的运算法则 布置作业:P85. 4,5,6
4 3 2

§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (一)基本初等函数的导数公式表

函数

导数

y?c

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
板书设 计

y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ' ( x) ?

(二)导数的运算法则 导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) ' ' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
例 1、例 2、例 3 基本初等函数的导数公式和导数的运算法则只给出结论,不要求学生把握它们的推 导过程。这些公式要求学生能熟练记忆,并会应用它们进行求导。求较复杂的函数积、商 教学反 的导数,必须要细心、耐心。 思 用具体实例,让学生体会学习这一内容的意义,并会解决相关的其他实际问题,提高 学生学习的兴趣和积极性。

'

你曾落过的泪,最终都会变成阳光,照亮脚下的路。 (舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风)我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中,我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁,你翩若惊鸿的身影, 和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看,这条路是这样的:它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花,在每个花蕊上,都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人 和日月星辰对话,和江河湖海晤谈,和每一棵树握手,和每一株草耳鬓厮磨,你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白,为什么不管做了多么明智合理的选择,在结 果出来之前,谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的,只是坚信那个选择,尽量不留下后悔而已。看不见的,是不是就等于不存在?记住的,是不是永远不会消失?每一个黄昏过后, 大家焦虑地等待,却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来,海洋凝固成一面漆黑的水镜,没有月亮的夜晚,世界变得清冷幽寂.但是,最深的黑夜即将过去,月亮出来了……记忆的冰 川在岁月的侵蚀下,渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事,已经越来越稀少。 灼灼其华,非我桃花。苍苍蒹葭,覆我其霜。芦荻不美,桃花艳妖。知我怜我,始觉爱呵。只要春天还在我 就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在 我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独,寂静,在两条竹篱笆之中,篱笆上开满了紫色的牵牛花,在每个花蕊上,都落了一只蓝蜻蜓。 一袭粉色拖地蝶园纱裙,长发垂至脚踝, 青丝随风舞动。眸若点漆,水灵动人,冰肤莹彻,气质脱俗,眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙,迎风而立的她,宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎,其实是太渴望那消息 真实。 原来时间也会失误和出现意外,并因此迸裂,在某个房间里留下永恒的片段。尘世里,总有些什么,让我们不自觉地微笑,使我们的坚硬,在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓,幼童的稚 语,夕阳下相互搀扶的老人.......那天黄昏,紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调,嫣红、水红、玫瑰红,转瞬便消失在天涯尽头;草原被铅灰色的暮霭垄断了,苍茫沉静。 孔明灯真的很漂亮,就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择,又何必去问为什么选择。 原来岁月太长,可以丰富,可以荒凉。能忘掉结果,未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海 勾勒这样的景象:黄昏。风。无垠的旷野。一棵树。----就那么一棵树,孤零零的。风吹动它的每一片叶子,每一片叶子,都在骨头里作响。天高路远,是永不能抵达的摸样...... 孤单时,仍要 守护心中的思念,有阴影的地方,必定有光 最好的时光,是经由记忆粉饰的过往。我们会不由自主地忘记伤痛,欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事,在前行的途中偶尔显身于记忆,又 不可挽留地悄然远去。谁也阻止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天,明明是最火热的季节,却承载着最盛大的离别。睡着你的秘密,醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗,有清风徐徐穿 过。人生有很多选择,一个选择又决定下个选择,所以,选择的时候只要是自己内心所想的,也值了,怕的就是,明明不愿意,又不得不选择。人生最遗憾的,莫过于轻易地放弃了不该放弃 的,固执地坚持了不该坚持的 早春二月,乍暖还寒的时候,鹅黄隐约,新绿悄绽,昭示着生命的勃勃,那是旭日般的青春;阳春三月,杏花春雨时节,桃红柳绿,柔风扶雨,飘扬着自然的伟 力,那是如火的中年;晚春四月,芳菲渐尽之际,远山幽径,柳暗花明,辉煌着黄昏的执著,这是晚晴的暮年……人都说顺其自然,其实一点都不是,而是实在别无选择的选择。 有个地方, 名为汴梁,那年桃花肆意,旧年,桃花消散在汴梁。桃花十八年,繁华再现,桃花盛开三千夜,只需花颜亦墨离。那个汴梁有个童谣:桃花屋外飞满天,桃花谷里醉缠绵。桃花屋内冷桃茶, 夭夭桃花葬桃恋。问桃花十八为几年,不谈墨离负花颜,江河暗流痴情魂,温柔十里桃花人。竹马青梅,亦是无猜,满眼繁花,只为那十八年的傻傻等候,公子俊秀,书画幔纱,唯有流逝一 瞬,继过千年。 1、起地你出小起时,我们手牵手,看过声地你一棵树的叶子,闻过声地你一朵花香。夏日如格成我实每我们一实每吃孩把发一冰激凌一实每在绿茵道上玩会也嬉闹。我们不 实把发一零食和啤酒,坐在广时说的大草作把上看电影。冬日午实每好如我躺在在作腿上晒把发一太阳的慵懒时光我躺在在作怀如格成我实每,风着一格光透格成我就为吃孩风着一格玻璃窗, 温暖一格那他的开清亮。实每好如来作把图上几公分的距离,成了我们那他也也天过却法跨越的海角开天觉涯。 小小的白纸上记录着我们的曾经 虽然有的时候真的相信的未必开花结果可是那本子里记录的快乐与我们的青春与泪水与那时的我们,还谈论着自己的青春、年少与梦想记得那一年你的离开我在夜里痛哭了一场那天,你的作 文被贴在最显眼的地方当我们蜂拥来到你的作文旁却只得到你要走了的消息可你却不彻底磨灭我们的希望你说过你会回来我相信你所以我就傻傻的等着一年又一年,就这样两年时光飞逝正当 我要忘记你时,你回来了那时我真的很高兴好像冲上讲台,拥抱一下你问问你,这几年过得好吗本上的荷花提醒着我们要出淤泥而不染更要濯清涟而不妖是你让我懂得了友情的可贵我们一定 会再见的“你想要我追那只风筝给你吗?” 他的喉结吞咽着上下蠕动。风掠起他的头发。我想我看到他点头“为你,千千万万遍。 ”我听见自己说。然后我转过身,我追。它只是一个微笑,没有别的了。它没有让所有事情恢复正常。它 没有让任何事情恢复正常。只是一个微笑,一件小小的事情,像是树林中的一片叶子,在惊鸟的飞起中晃动着。但我会迎接它,张开双臂。因为每逢春天到来,它总是每次融化一片雪花;而 也许我刚刚看到的,正是第一片雪花的融化。我追。一个成年人在一群尖叫的孩子中奔跑。但我不在乎。我追。风拂过我的脸庞,我唇上挂着一个像潘杰希尔峡谷那样大大的微笑。我追。 一 个安静的夜晚,我独自一人,有些空虚,有些凄凉。坐在星空下,抬头仰望美丽天空,感觉真实却又虚幻,闪闪烁烁,似乎看来还有些跳动。美的一切总在瞬间,如同“海市蜃楼”般,也只 是刹那间的一闪而过,当天空变得明亮,而这星星也早已一同退去……夕阳已去,皎月方来。 ----朱自清月光如流水一般,静静地泻在这一片叶子和花上。薄薄的青雾浮起在荷塘里。叶子和 花仿佛在牛乳中洗过一样;又像笼着轻纱的梦。虽然是满月,天上却有一层淡淡的云,所以不能朗照;但我以为这恰是到了好处酣眠固不可少,小睡也别有风味的。月光是隔了树照过来的, 高处丛生的灌木,落下参差的斑驳的黑影,峭愣愣如鬼一般;变变的杨柳的稀疏的倩影,却又像是画在荷叶上。塘中的月色并不均匀;但光与影有着和谐的旋律,如梵婀玲上奏着的名曲。东 风里, 掠过我脸边, 星呀星的细雨, 是春天的绒毛呢。好久不见,你们还好吗?一直觉得学校最神圣的能力,就是把一些原本毫无瓜葛的人聚在了一间教室里,并在他们最美好的年纪,留 下了一生中最珍贵的记忆。然后不经意间,也决定了很多人这一生中最好的朋友是谁。许多年过去,我们已经渐渐长大,也渐渐散落在天涯。那些白衣飘飘的年代仿佛还在昨天,那些风华正 茂的人呐,仿佛还是少年……将清晨化成钥匙,扔到水井去。慢慢走,我心爱的月亮,慢慢走,让朝阳忘记从东方升起,慢慢走,我心爱的月亮