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数学人教B必修2自主训练:1-1-6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1-1-7柱、锥、台和球的体积 含解析 精品

自主广场 我夯基 我达标 1.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比 为( ) A. 3 16 B. 9 16 C. 3 8 D. 9 32 思路解析:设球的半径为 R,过球的一条半径的中点, 作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得 S 3 一个半径为 R 的圆,所以 1 ? S2 2 ?( 3 2 R) 3 2 ? . 2 16 4?R ) D.1∶9 答案:A 2.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( A.1∶ 3 B.1∶3 C.1∶3 3 思路解析:设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为 1 3 a,它的外接球的半径为 a,故 2 2 所求的比为 1∶3 3 ,选 C. 答案:C 3.如图 11-(6,7)-5,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P—ABCDEF,则此正六棱锥的侧面 积是____________. 图 11-(6,7)-5 思路解析:显然正六棱锥 P—ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆,于是可求得底面边 长为 2.依题意可得正六棱锥 P—ABCDEF 的高为 2,以此可求得侧面积为 6 7 . 答案: 6 7 4.如图 11-(6,7)-6,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,所有棱长均为 1,则点 B1 到平面 ABC1 的 距离为___________. 图 11-(6,7)-6 思路解析:利用等体积法,易知 VB1 ? ABC1 ? 7 1 3 , h ? V正三棱柱ABC? A1B1C1 ? 12 3 12 所以点 B1 到平面 ABC1 的距离为 h= 21 . 7 答案: 21 7 5.正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,则其体积为__________________. 思路解析:如图, 在△OPA 中, 因为 PA=3,OA= 2 2 ,所以正四棱锥的高 h= 3 ? ( 2 2 ) =1, 2 2 故正四棱锥的体积为 V= 1 16 Sh= . 3 3 图 11-(6,7)-7 16 答案: 3 6.一块长方体木料,长、宽、高分别为 8 厘米、4 厘米、6 厘米,把它切削成一个体积最大的圆 柱体,求这个圆柱体的体积是多少?(π 取 3.14) 思路分析:根据此题提供的条件,削成圆柱体有三种情况,要按条件比较一下哪一种削法削成 的圆柱体最大. 解: (1)以长 8 厘米,宽 4 厘米的面为底,6 厘米为高,圆柱的体积为 V=π×( (2)以长 8 厘米,宽 6 厘米的面为底,4 厘米为高,圆柱的体积为 V=π×( 4 2 ) ×6=24π(立方厘米). 2 6 2 ) ×4=36π(立方厘米). 2 4 (3)以长 6 厘米,宽 4 厘米的面为底,8 厘米为高,圆柱的体积为 V=π×( )2×8=32π(立方厘米). 2 通过比较,以长 8 厘米,宽 6 厘米的面为底,以 4 厘米为高,削出的圆柱体体积最大, Vmax=π×( 6 2 ) ×4=36π=113.04(立方厘米). 2 7.在正四棱台内作一个内接棱锥,该棱锥以这个棱台的上底面正方形作底,以下底面正方形 的中心作顶点.如果棱台上、 下底面的边长分别为 a 和 b, 棱台和这个内接棱锥的侧面积相等, 求这个内接棱锥的高,以及本题有解的限制条件. 思路解析:可以根据侧面积相等建立方程,解方程或者根据方程判断解的情况即可得出结论. 解:设内接棱锥的高为 x,则棱锥的斜高 h1= x ? ( ) ,棱台的斜高 h2= x ? ( 2 2 2 a 2 a ?b 2 ) .由 2 的 方 程 棱 台 和 内 接 棱 锥 的 侧 面 积 相 等 可 得 关 于 x 1 1 a 2 1 a ?b 2 2 2 · 4a· x ? ( ) = · 4(a+b)· x ? ( ) .解方程可得 x= 2 2 2 2 2 答:这个内接棱锥的高为 b( 2 a 2 ? b 2 ) . 2a ? b 1 2 b( 2 a 2 ? b 2 ) .当 a,b 满足 0<a<b< 2 a 时,本题有解. 2a ? b 我综合 我发展 8.图 11-(6,7)-8 所示图形是一个底面直径为 20 厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着 一个底面直径为 6 厘米、 高为 20 厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几 厘米?(π=3.14) 图 11-(6,7)-8 思路分析:因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际上是一个小圆柱,这个 圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为 20 厘米的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的 体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度. 1 6 ×π×( )2×20=60π(立方厘米). 3 2 20 2 设水面下降的高度为 x,则小圆柱的体积为 π×( ) ×x=100πx(立方厘米). 2 解:因为圆锥形铅锤的体积为 所以有下列方程 60π=100πx,解此方程得 x=0.6(厘米). 答:铅锤取出后,杯中水面下降了 0.6 厘米. 9.有位油漆工用一把长度为 50 cm,横截面半径为 10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为 10 m2 的木板涂油漆, 且圆柱形刷子以每秒 5 周的速度在木板上匀速滚动前进, 则油漆工完成任务 所需的时间是多少?(精确到 0.01 秒) 思路分析:本题虽然是实际问题,但是通过仔细分析后,还是归为圆柱的侧面积问题.解决此 题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积, 即 滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解. 解:圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积, ∵圆柱的侧面积为 S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m2, 又∵圆柱形刷子以每秒 5 周匀速滚动, ∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为 0.5π. 因此油漆工完成任务所需的时间 t=

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