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2.3.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用


第2课时 双曲线方程及性质的应用

1.复习巩固双曲线的标准方程及其几何性质.(重点) 2.会根据已知条件,求简单的双曲线的方程.(重点)

3.了解直线和双曲线的位置关系.(重点)
4.能根据双曲线的标准方程研究一些与此相关的简单应用

题.(难点)

探究点1 由双曲线的性质求双曲线的方程
思考1:如果双曲线的两条渐近线方程为Ax±By=0, 如何设出双曲线的方程? 提示:如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么可设 双曲线的方程为(Ax+By)(Ax-By)=λ(这里λ为待定 常数,其值可由题中的已知条件确定).

思考2:利用双曲线的性质求双曲线的标准方程时最 常见的方法是什么? 提示:利用双曲线的性质求双曲线方程时最常见的方 法是待定系数法,即根据焦点位置,设出双曲线的标 准方程,然后利用已知条件求得a2,b2,即可得双曲线

的标准方程.

例1

已知双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,焦距

4 为16,离心率为 ,求双曲线的方程. 3

解: 根据题意知,
c 4 2c ? 16, ? , a 3 a ? 6, c ? 8,

解得

则b 2 ? c 2 ? a 2 ? 82 ? 62 ? 28.
因为双曲线的中心在原 点,焦点在y轴上, 所以所求双曲线的方程 为 y 2 x2 ? ?1. 36 28

【变式练习】 求以2x±3y=0为渐近线,且过点(1,2)的双曲线方程.

解:方法一:
设所求双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),点 (1,2)在双曲线上,将点(1,2)的坐标代入方程可得 λ=-32,故所求的双曲线方程为4x2-9y2=-32,
9y 2 x 2 即 ? ? 1. 32 8

2 方法二:渐近线为 y=± x, 3 设双曲线的焦点在 x 轴上,标准方程为 x2 y2 - =1, a2 b2 2 b 则有 =a. ① 3 又因为双曲线过点(1,2), 1 4 所以 2- 2=1. a b ②

? ?2=b, ?3 a 由①②联立方程组得? 4 ?1 2- 2=1, ? a b ?

无解.

y2 x2 设双曲线的焦点在 y 轴上,标准方程为 2- 2=1, a b ? ? 42- 12=1, ? 2 32 ?a = , ?a b 9 由题意知? ?? ?2 a ?b2=8. = ? ? ?3 b 9y2 x2 所以双曲线的方程为 - =1. 32 8

探究点2

直线与双曲线的位置关系
y

种类
O x

种类: 相离; 相切; 相交 (两个交点, 一个交点)

位置关系与交点个数
y

相交:两个交点

相切:一个交点
O x

相离: 0个交点
y

与渐近线平行的直线
O x

相交:一个交点

提升总结: 代数法求解

方程组解的个数

交点个数

两个交点

一个交点

0 个交点

相交 相 切 相 交

相离

> 0 < 0
= 0

两个交点 0 个交点 一个交点

相 交 相 离

?

相 切 相 交

思考1:若直线与双曲线有一个公共点,则直线与双

曲线一定相切吗?
提示:不一定,当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线只有一个交点,而此时直线与双曲线 相交. 思考2:若直线与双曲线相交,则交点的个数有多少 个? 提示:当直线与双曲线渐近线平行时,交点只有 1个; 当直线与双曲线的渐近线不平行时,交点有2个.

请判断下列直线与双曲线之间的位置关系

x y (1 ) l : x ? 3 , c : ? ?1 9 16
4 x2 y2 (2)l : y ? x ? 1 , c : ? ?1 3 9 16

2

2

相切
相交 相离

5 x2 y2 (3)l : y ? x , c : ? ?1 4 25 16

例2

以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的

一条弦AB,求直线AB的方程.

解:(1) 当过P点的直线AB和x轴垂直时,直线
被双曲线截得的弦的中点不是P点. (2) 当过P点的直线AB和x轴不垂直时,设其斜 率为k.则直线AB的方程为y-8=k(x-1).
? ? y - 8 = k ? x -1? , 由? 2 得 2 ? ? y - 4x = 4,

2 2 k 4 x ? ? + 2k ?8 - k ? x + ?8 - k ? - 4 = 0. 2

?1?

设A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则x1, x2是方程?1?的两个不等实根. 因为弦AB的中点是P ?1,8? ,
2 ? > 0. 所以Δ = 4k ?8- k ? -4 ? k 2 -4 ? ? 8k -4 ? ? ? ? 2 2

?2 ?

所以由中点坐标公式与根与系数的关系
k ? 8- k ? 得- 2 =1, ? 3? k -4 1 由? 2 ? ? 3 ? 得k = , 2 1 所以直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? , 2 即直线AB的方程为x-2y+15 = 0.

变式练习

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>1,b>0)的焦距为2,直线l a b 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点
(-1,0)到直线l的距离之和s≥ 4 c,求双曲线的离心 率e的取值范围.
5

x y 解:直线l的方程为 ? ? 1 , a b
即bx+ay-ab=0,

由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线 b(a ? 1) l的距离 dl= , 2 2 a ?b b(a ? 1) , 同理点(-1,0) 到直线l的距离d2= a 2 ? b2

4 2ab 4 由s≥ c,得 ≥ c,即 5a c2 ? a 2 ≥ 2c 2 . 5 c 5
解不等式得

2ab ? . s = d 1+ d 2= 2 2 c a ?b

2ab

5 2 ≤e ≤5, 4

由e>1,

所以e的取值范围是

5 ≤ e ≤ 5. 2

探究点3 实际生活中的双曲线 例3 一双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分 绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小直径为24 m,上 口直径为26 m,下口直径为50 m,高为55 m,在所给 的直角坐标系中,求此双曲线的近似方程(虚半轴长 精确到0.1 m).
C' C A' O A

B'

B

解:在给定的直角坐标系中,设双曲线的标准方程为
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0). 2 a b 由已知冷却塔的最小直径AA′=24 m,上口直径 CC′=26 m,下口直径BB′=50 m,可知a=12,点B, C 的横坐标分别为25,13. 设B,C 的纵坐标分别为y1,y2,其中y1<0, y2>0,因为B(25,y1),C(13,y2)在双曲线上,

? 252 y12 ? 2 ? 1, ? 2 ? 12 b 解得 所以 ? 2 2 y 13 ? 2 ? ? 1, 2 2 ? ? 12 b

b 481 2 2 y1 ? ? 25 ? 12 ? ? b, 12 12

b 5 2 2 y2 ? 13 ? 12 ? b, 12 12

因为塔高为55m,所以y2-y1=55,即

5 481 b? b ? 55, 12 12
因此双曲线的近似方程是

解得b≈24.5,

x y ? ? 1. 2 2 12 24.5

2

2

1 1.过点(1,3),且渐近线为y ? ? x 的双曲线方程是 2 4y x
? ?1 35 35 _______________.
2 2

2.求下列双曲线的标准方程 x2 y2 ?1? 与椭圆 + =1共焦点,且过点(?2,10) . 16 25 2 2
x2 y2 2) ? 2 ? 与双曲线 - =1有公共焦点,且过点(3 2,. 16 4 2 2
x y =1 12 8

y x =1 5 4

x2 y2 3.过点P(1,1)与双曲线 ? ? 1 只有一个交点的 9 16 Y 直线共有_______ 条. 4
(1,1)

·

O

X

x2 y2 3.过点P(1,1)与双曲线 ? ? 1 只有一个交点的 9 16 Y 直线共有_______ 条. 4
(1,1)


O

X

4.已知双曲线的渐近线方程为y=± 4 x ,并且焦点都在 3 2 2 圆x +y =100上,求双曲线的方程. 解:当焦点在x轴上时,设双曲线的方程是

x y ? 2 ? 1(a>0,b>0). 2 a b
因为焦点都在圆x2+y2=100上,所以c=10.

2

2

4 又双曲线的渐近线方程为y=± x, 3

所以 b ? 4 ,

a

3

?a 2 ? b 2 ? 100, 由 ? ? b 4 ? , ? ? a 3
2

解得

?a ? 36, ? 2 ?b ? 64.

所以双曲线的方程是

x y ? ? 1. 36 64

2

2

当焦点在y轴上时,设双曲线的方程是 因为焦点都在圆x2+y2=100上, 所以c=10,

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b

4 又双曲线的渐近线方程为y=± x, 3
所以
2 2 ? a ? b ? 100, a 4 ? , 由 ? 解得 ? a 4 b 3 ? , ? ? b 3

?a 2 ? 64, ? 2 ? b ? 36.

y x 所以双曲线的方程是 ? ? 1. 64 36

2

2

回顾本节课你有什么收获? (1)求双曲线的方程.

(2)双曲线方程的实际应用.
(3)直线与双曲线的方程的关系.

不要拿小人的错误来惩罚自己,不要在这些 微不足道的事情上折磨浪费自己的宝贵时间.


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