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江苏省西亭高级中学2009届高三数学专项训练(10)

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江苏省西亭高级中学 2009 届高三数学专项训练 10 直线与圆
一.填空题(共大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1、若直线 l 的一个方向向量为(-1,2),倾斜角为α ,则 tan2α = . 2、若直线 l 经过点 P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线 l 的方程为 ___. 3、设点 A(1,0),B(-1,0),若直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是 ______. 4、光线从点 A(1,1)出发,经 y 轴反射到圆 C:(x-5)2+(y-7)2=4 上的最短路程为 ______. 5、若圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2)的圆方程为 ______. 6、若直线 l1:2x-5y+20=0 和直线 l2:mx-2y-10=0 与坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则实数 m 的值等于_______________. 7、过点 P(1,2)的直线 l 与两点 A(2,3),B(4,-5)的距离相等,则直线 l 的方程为______. 8、圆(x-1)2+(y-3)2=1 关于直线 2x+y+5=0 对称的圆方程是________________. 9、圆(x-4)2+(y-1)2=5 内一点 P(3,0),则过 P 点的最短弦的弦长为_______,最短弦所在直线的方 程为______________________. 10、 已知三条直线 2x+3y+5=0,4x-3y+1=0,mx-y=0 不能构成三角形, 则实数 m 的取值集合为______. 2 2 2 2 11、两圆 x +y -6x+6y-48=0 与 x +y +4x-8y-44=0 公切线的条数是_______.
2 12、直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是_____.

13、已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA,PB 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,A,B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为______. 14、已知 M (a, b)(ab ? 0) 是圆 O: x ? y ? r 内一点,现有以 M 为中点的弦所在直
2 2 2

线 m 和直线 l : ax ? by ? r ,则下列说法中正确的序号是_________(填写一个说法
2

正确的序号) (1) m // l ,且 l 与圆相交; (2) l ? m ,且 l 与圆相交; m // l ,且 l 与圆相离; (3) (4) l ? m ,且 l 与圆相离. 二.解答题 15. (1)求经过点 A(5,2) ,B(3,2) ,圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程; (2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与直线 x-y+1=0 相交的 弦长为 2 2 ,求此圆的方程。

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16. 设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1。在满足条件①、 ②的所有圆中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程。

专项训练 10. 直线与圆 1、

4 3

2、 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 3、 [?2,2] 6、-5

4、 6 2 ? 2

5、 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 8 8、 ( x ? 7) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

7、 3x ? 2 y ? 7 ? 0 或 4 x ? y ? 6 ? 0 10、 ??

9、 2 3; y ? ? x ? 3

? 2 4 ? , ,1? ? 3 3 ?

11、2 条 12、 b ? ? 2 或 ? 1 ? b ? 1 15.(1) 法一:从数的角度

13、 2 2

14、(3)

若选用标准式:设圆心 P(x,y) ,则由|PA|=|PB|得:x0-5) +(y0-2) =(x0-3) +(y0-2) 又 2x0-y0-3=0
?x ? 4 两方程联立得: ? 0 ,|PA|= 10 ?y 0 ? 5
2 2

2

2

2

2

∴ 圆标准方程为(x-4) +(y-5) =10 若选用一般式:设圆方程 x +y +Dx+Ey+F=0,则圆心( ?
2 2

D E ,? ) 2 2

? 2 ?5 ? 2 2 ? 5D ? 2E ? F ? 0 ? ∴ ?3 2 ? 2 2 ? 3D ? 2E ? F ? 0 ? D E ?2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 ? 0 2 2 ?

? D ? ?8 ? 解之得: ?E ? ?10 ?F ? 31 ?

法二:从形的角度
?2 x ? y ? 3 ? 0 AB 为圆的弦,由平几知识知,圆心 P 应在 AB 中垂线 x=4 上,则由 ? 得圆心 P(4, ?x ? 4

5)

∴ 半径 r=|PA|= 10

(2)设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’ 由已知 AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴 x+2y=0 过圆心 则 R=|PA|=(-2a-2) +(a-3)
| ?2a ? a ? 1 | 2
2 2

设圆心 P(-2a,a) ,半径为 R 又弦长 2 2 ? 2 R 2 ? d 2 , d ? ∴ 4(a+1) +(a-3) =2+
2 2

∴ R2 ? 2 ?

(3a ? 1) 2 2

(3a ? 1) 2 2

∴ a=-7 或 a=-3

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当 a=-7 时,R= 52 ;当 a=-3 时,R= 244 ∴ 所求圆方程为(x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244 16. 解法一:设圆的圆心为 P (a, b) ,半径为 r ,则点 P 到 x 轴,y 轴距离分别为 | b |, | a | . 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90 ,知圆 P 截 x 轴所得的弦长为 2r ,故 r 2 ? 2b 2 ,
0 2 2 2 2

又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r ? a ? 1. 从而得 2b ? a ? 1.
2 2 2 2

又点 P (a, b) 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ?

| a ? 2b | 5
2

,
2 2 2 2

所以 5d ?| a ? 2b | ? a ? 4b ? 4ab ? a ? 4b ? 2(a ? b ) ? 2b ? a ? 1,
2 2 2 2 2
2 当且仅当 a ? b 时上式等号成立,此时 5d ? 1 ,从而 d 取得最小值.

由此有 ?

? a ? b, ?a ? 1, ?a ? ?1, 解此方程组得 ? 或? 2 2 ?2b ? a ? 1. ?b ? 1; ?b ? ?1.
2

由于 r ? 2b 知 r ?
2

2.
2 2 2 2

于是,所求圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2, 或( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2. 解法二:同解法一得 d ?

| a ? 2b | 5

, ? a ? 2b ? ? 5d ,得 a 2 ? 4b 2 ? 4 5bd ? 5d 2 , (1)

将 a ? 2b ? 1 代入(1)式,整理得 2b 2 ? 4 5bd ? 5d 2 ? 1 ? 0,
2 2

(2)
2 2

把它看作 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 ? ? 8(5d ? 1) ? 0, 得5d ? 1.

所以

5d 2 有最小值 1,从而 d 有最小值

5 . 5

2 将其中代入(2)式得 2b ? 4b ? 2 ? 0. 解得 b ? ?1.

2 2 2 2 2 将 b ? ?1 代入 r ? 2b , 得r ? 2. r ? a ? 1得a ? ?1. 综上 a ? ?1, b ? ?1, r ? 2. 由 2

由 | a ? 2b |? 1知a, b 同号。 于是,所求圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2, 或( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2.
2 2 2 2


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