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高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大版4教案


2.5

从力做的功到向量的数量积
整体设计

教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义 ,因此利用向量运算可以讨论一 些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘 法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、 线、 面)之间 度量关系的基本量.

图1 我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系 .众所周知,向量概 念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产 生位移 s(如图 1),那么力 F 所做的功 W=|F||s|cosθ . 功 W 是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有关.熟悉的数 的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a?b=|a||b|cosθ . 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、 分配律等),而且还可以用它 来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、 减法、 数乘运算一样,它也有明显的 物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 三维目标 1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性 质及运算律. 2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件. 3.通过问题的解决,培养学生观察问题、 分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交 流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 重点难点 教学重点:平面向量数量积的定义. 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段 等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系, 将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、 更清晰,并且向量知识不仅是解决 物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题, 可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、 速度、 加速度、 位移等都是向量, 这些物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W 可由下式计算:W=|F||s|cosθ ,
1

其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是 一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除 (除数不为零)运算,就自然地会 想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? 推进新课 新知探究 提出问题 ①a?b 的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算, 它是否满足实数的乘法运算律? 2 2 2 2 2 ③我们知道,对任意 a,b∈R,恒有(a+b) =a +2A.b+b ,(a+b)(a-b)=a -b .对任意向量 a、b, 是否也有下面类似的结论? 2 2 2 (1)(a+b) =a +2a?b+b ; 2 2 (2)(a+b)?(a-b)=a -b . 活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cosθ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cosθ (0≤θ ≤π ). 其中 θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ (|b|cosθ )叫作向量 a 在 b 方向上(b 在 a.方向上) 的投影.如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ ≤180°.

图2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦 的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a?0=0; (3)符号“?”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“?”代替; (4)当 0≤θ < <θ ≤π 时,cosθ <0,从而 a?b<0. 2 2 与学生共同探究并证明数量积的运算律. 已知 a,b,c 和实数 λ ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a?b=b?a(交换律); ②(λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b)(数乘结合律); ③(a+b)?c=a?c+b?c(分配律). 特别是:(1)当 a≠0 时,由 a?b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为任一与 a 垂直的非 零向量 b,都有 a?b=0. (2)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即 a?b=b?c 不能推出 a=c.由图 3 很容易看出,虽然 a?b=b?c,但 a≠c.

?

时,cosθ >0,从而 a?b>0;当

?

2

图3 (3)对于实数 a、b、c 有(a?b)c=a(b?c);但对于向量 a、b、c,(a?b)c=a(b?c)不成立.这 是因为(a?b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b?c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不 一定共线,所以(a?b)c=a(b?c)不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积. ②数量积满足 a?b=b?a.(交换律); (λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b)(数乘结合律); (a.+b)?c=a?c+b?c(分配律). 2 ③1°(a+b) =(a+b)?(a+b) 2 2 =a?a+a.?b+b?a+b?b=a +2a?b+b ; 2 2 2°(a.+b)?(a.-b)=a.?a.-a.?b+b?a.-b?b=a. -b . 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系? ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗? 活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定 义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影” 的概念,如图 4.

图4 定义:|b|cosθ 叫作向量 b 在 a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量; 2°当 θ 为锐角时投影为正值;当 θ 为钝角时投影为负值;当 θ 为直角时投影为 0;当 θ =0° 时投影为|b|;当 θ =180°时投影为-|b|. 教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|Cosθ 的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个 实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1°e?a=a?e=|a|cosθ . 2°a⊥b ? a?b=0. 3°当 a 与 b 同向时,a?b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b=-|a||b|. 特别地 a?a=|a| 或|a|= a ? a .
2

4°cosθ =

a?b . | a || b |

5°|a?b|≤|a||b|. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证 ,教师给予必要的补充和提示,在推

3

导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘 积. 应用示例 思路 1 例 1 已知|a.|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角 θ =150°,求 a?b. 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a?b=|a||b|cosθ =3?4?cos150°=12?(点评:直接利用向量数量积的定义. 例 2 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=2,| BC |=1,| CA |=3, 求
3 )=-6 3 . 2

AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的值.

活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解 ,先分析题设然后找到所 需条件.因为已知 AB 、 BC 、 CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的 夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,| BC | +| CA | =| AB | ,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°,
3 1 ,sin∠BAC= 2 2 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.
2 2 2

从而 sin∠A.BC=

∴ AB 与 BC 的夹角为 120°, BC 与 CA 的夹角为 90°, CA 与 AB 的夹角为 150°. 故 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB =2?1?cos120°+1? 3 cos90°+ 3 ?2cos150°=-4. 点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简 单地看成两条线段的夹角,如例题中 AB 与 BC 的夹角是 120°,而不是 60°. 变式训练 已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60°,求(a+2b)?(a-3b). 解:(a+2b)?(a-3b)=a?a-a?b-6b?b 2 2 =|a| -a.?b-6|b| 2 2 =|a| -|a||b|cosθ -6|b| 2 2 =6 -6?4?cos60°-6?4 =-72. 例 3 已知|a|=3,|b|=4,且 a.与 b 不共线,当 k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直? 解:a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+kb)?(a-kb)=0, 2 2 2 即 a -k b =0. 2 2 2 2 2 ∵a =3 =9,b =4 =16,∴9-16k =0.

4

∴k=±

3 4

3 时,a+kb 与 a.-kb 互相垂直. 4 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练 (007 海南三亚)设 a、b、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a.?b)?c=a.?(b?c) 2 2 2 B.|a.-b| =|a.| -2|a.||b|+|b| C.若|a.|=|b|=|a.+b|,则 a 与 b 的夹角为 60° D.若|a|=|b|=|a.-b|,则 a.与 b 的夹角为 60° 解析:设 θ 是 a.和 b 的夹角,∵|a|=|b|, 2 2 2 2 ∴|a-b| =(a-b) =a -2a?b+b 2 2 =2|a| -2a?b=|a| .
也就是说,当 k=±

1 . 2 又∵0≤θ ≤180°,∴θ =60°. 答案:D 例 4 在△A.BC 中,设边 BC,CA.,A.B 的长度分别为 a,b,c. 2 2 2 证明 a =b +c -2bcCosA., 2 2 2 b =c +a -2cacosB, 2 2 2 c =a +b -2acosC.
∴cosθ =

图5 证明:如右图,设 AB =c, BC =a, AC =b,则 a =|a| =| BC | = BC ? BC
2 2 2

=( AC - AB )?( AC - AB ) =(b-c)?(b-c) =b?b+c?c-2b?c 2 2 =|b| +|c| -2|b||c|cosA. 2 2 =b +c -2bccosA. 同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义. 思路 2 例 1 已知在四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b, CD =c, DA =d,且 a?b=c?d=b?c=d?a.,试问 四边形 ABCD 的形状如何? 解:∵ AB + BC + CD + DA =0, 即 a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d).

5

由上可得(a+b) =(c+d) , 2 2 2 2 即 a +2a?b+b =c +2c?d+d . 2 2 2 2 又∵a?b=c?d,故 a +b =c +d . 2 2 2 2 同理可得 a +d =b +c . 2 2 2 2 由上两式可得 a =c ,且 b =d , 即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即 A.B=CD,且 BC=DA., ∴四边形 A.BCD 是平行四边形. 故 AB =- CD ,即 a=-c. 又 a?b=b?c=-a.?b, 即 a?b=0,∴a⊥b,即 AB ⊥ BC . 综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合 四边形的特点进而判断四边形的形状. 例 2 已知 a,b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求向量 b 与 a-b 的夹角. 活动 : 教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则 , 画出以 a,b 为邻边的 A.BCD, 若
AB =a, BC =b,则 CA =a+b, DB =a-b 由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b 与 DB 所成角是

2

2

150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量 b 与 a-b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识, 我们采用另外一种角度来思考问题 , 教师给予必要的点拨和指导 , 即由 cos 〈 b,a.-b 〉 b ? ( a ? b) = 作为切入点,进行求解. | b || a ? b | 解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a.|,∴b =(a+b) . 2 2 2 ∴|b| =|a| +2a?b+|b| . ∴a?b=2 2

1 2 |b| . 2
2

而 b?(a-b)=b?a-b =2 2 2

1 3 2 2 2 |b| -|b| =- |b| ,① 2 2
2

由(a-b) =a -2a?b+b =|b| -2?(而|a-b| =(a-b) =3|b| , ∴|a-b|=3|b|.② b ? ( a ? b) ∵cos〈b,a.-b〉= , | b || a ? b | 代入①②,得 cos〈b,a-b〉=2 2 2

1 2 2 2 )|b| +|b| =3|b| , 2

| b |2 3 3 . ?? 2 2 |b|? 3 |b|

5? . 6 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题 ,解完后教师及时引导学生对 本解法进行反思、总结、体会. 变式训练
又∵〈b,a-b〉∈[0,π ],∴〈b,a-b〉= 设向量 c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2 2 ,|c|=4,a.⊥c,b?c=-4,且 b 与 c 的夹角为 120°,
6

求 m,n 的值. 解:∵a⊥c,∴a?c=0. 又 c=ma+nb,∴c?c=(ma+nb)?c, 2 2 即|c| =ma?c+nb?c∴|c| =nb?c. 2 由已知|c| =16,b?c=-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而 c=ma-4b. ∵b?c=|b||c|cos120°=-4,

1 )=-4.∴|b|=2. 2 2 由 c=ma-4b,得 a?c=ma -4a?b, ∴8m-4a?b=0,即 a?b=2m.① 2 再由 c=ma-4b,得 b?c=ma?b-4b ∴ma?b-16=-4,即 ma?b=12.② 2 2 联立①②,得 2m =12,即 m =6.
∴|b|?4?(∴m=± 6 .故 m=± 6 ,n=-4. 例 3 证明菱形的两条对角线互相垂直.

图6 证明:菱形 ABCD 中, AB = AD (如图 6), 由于 AC = AD + AB , BD = AD - AB , 可得 AC ? BD =( AD + AB )?( AD - AB ) =( AD ) -( AB ) =| AD | -| AB | =0, 所以 AC ⊥ BD , 即菱形的两条对角线互相垂直. 例 4 已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,求向量 a=e1+e2,b=e2-2e1 的夹角. 解:由单位向量 e1、e2 的夹角为 60°,得 e1?e2=cos60°= 所以 a?b=(e1+e2)?(e2-2e1) =-2e1?e1-e1?e2+e2?e2 =-22 2 2

2

1 , 2

1 +1 2

7

3 .① 2 2 2 2 2 又|a| =|e1+e2| =|e1| +2e1?e2+|e2| =3, 2 2 2 2 |b| =|e2-2e1| =4|e1| -4e1?e2+|e2| =3,
=所以|a|=|b|= 3 .②
3 ? a?b 2 ? ? 1 又 0<θ <π ,所以 θ =120°. 由①②可得 cosθ = ? | a || b | 2 3? 3

知能训练 课本本节练习 1—5. 课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积 的运算律. 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、 定义法、 数形结合等.在领悟数学思想方 法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业 课本习题 2—53、5. 设计感想 本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定 义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角 ,因此向量夹角 定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向 量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应 用的时候才能得心应手. 备课资料 一、向量的向量积 在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类 问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量 a.与 b 的向量积是一个新的向量 c: (1)c 的模等于以 a.及 b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面; (3)其指向使 a.、b、c 三向量成右手系——设想一个人站在 c 处观看 a.与 b 时,a.按逆时针 方向旋转一个小于 180°的角而达到 b,如图 8.

图8 向量 a 与 b 的向量积记作 a?b. 设 a 与 b 两个向量的夹角为 θ ,则|a.?b|=|a||b|sinθ . 在上面的定义中已默认了 a、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a?b=0. 向量的向量积服从以下运算律: (1)a?b=-b?a;

8

(2)a?(b+c)=a?b+a?c; (3)(ma)?b=m(a?b). 二、备用习题 1.已知 a,b,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ①|a?b|=|a||b ? |a∥b②a 与 b 反向 ? a?b=-|a||b| ③a⊥b ? |a+b|=|a-b| ④|a|=|b| ? |a?c|=|b?c| A..1 B.2 C.3 2.有下列四个命题: ①在△ABC 中,若 AB ? BC >0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若 AB ? BC >0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ? BC =0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是 AB ? BC ≠0.

)

D.4

其中为真命题的是( ) A..① B.② C.③ D.④ 3.设|a|=8,e 为单位向量,a 与 e 的夹角为 60°,则 a 在 e 方向上的投影为( ) A..4 3 B.4 C.4 2 D.8+
3 2

4.设 a,b,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题: ①(a?b)c-(c?a.)b=0;②|a|-|b|<|a.-b|; 2 2 ③(b?c)a-(c?a)b 不与 c 垂直;④(3a+2b)?(3a-2b)=9|a| -4|b| . 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④
2 2 5.在△A.BC 中,设 AB =b, AC =c,则 (| b || c |) ? (b ? c ) 等于(

D.②④

)

1 S△ABC C.S△ABC D.2S△ABC 2 6.设 i、j 是平面直角坐标系中 x 轴、y 轴方向上的单位向量,且 a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j, 如果(a+b)⊥(a-b),则实数 m=_____________. 7. 若 向 量 a,b,c 满 足 a+b+c=0, 且 |a|=3,|b|=1,|c|=4, 则 a?b+b?c+c?a=________________. 8.设|a|=3,|b|=4,a.与 b 的夹角为 150°,求: (1)(a-3b)?(2a+b); (2)|3a-4b|.
A..0 B. 9.已知|a|= 2 ,|b|=3,a 与 b 的夹角为 45°,且向量 λ a+b 与 a+λ b 的夹角为锐角,求实数 λ 的取值范围. 10.解:已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 解答: 1.C 2.B

?
3

,求向量 m=2a+b 与 n=a-4b 的夹角的余弦值.

3.B

4.D

5.D

9

6.-2

7.-13

8.(1)-30+30 3 ;(2) 337 ? 144 3 . 9.{λ |λ <
? 11 ? 85 ? 11 ? 85 或? ? }. 6 6

10.解:由向量的数量积的定义,得 a?b=2?1?cos
2 2 2

?
3

=1.

∵m=2a+b,∴m =4a. +b +4a.?b=4?4+1+4?1=21.∴|m|= 21 . 又∵n=a-4b,∴n =a. +16b -8a.?b=4+16-8=12. ∴|n|=2 3 . 设 m 与 n 的夹角为 θ ,则 m?n=|m||n|cosθ .① 2 2 又 m?n=2a -7a?b-4b =2?4-7-4=-3. 把 m?n=-3,|m|= 21 ,|n|=2 3 代入①式,得-3= 21 ?2 3 cosθ , ∴cosθ =7 7 ,即向量 m 与向量 n 的夹角的余弦值为. 14 14
2 2 2

10


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