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测试题:高中数学必修4三角恒等变换测试题


一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 12 3? ? 1.已知 cos ? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos (? ? ) ? 4 13 2 A.
5 2 13





B.

7 2 13

C.

17 2 26

D.

7 2 26

2.若均 ? , ? 为锐角, sin? ?
2 5 5
? sin

2 5 3 , sin (? ? ? ) ? , 则cos? ? ( 5 5



A.

B.

2 5 25

C.

2 5 2 5 或 5 25
) ? A.

D. ?
3 B. 2

2 5 5
? 1 2

3. (cos

?
12
0

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

?

C.

1 2

D.

3 2

4. tan70 ? tan50 ? 3tan70 tan50 ? A.
0 0 0

3

B.

3 C. 3
tan2?

?

3 3

D.

? 3

2sin2? cos2? ? ?( 5. 1 ? cos2? cos2?



A.

tan ?

B.

C. 1 D.

1 2

6.已知 x 为第三象限角,化简 1 ? cos 2 x ? ( A.



2 sin x

B. ?

2 sin x

C.

2 cos x

D. ?

2 cos x


7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于

4 ,则这个三角形底角的正弦值为( 5
C.

A.

10 10

B. ?

10 10

3 10 10

D. ?

3 10 10

8. 若 3 sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ),? ? (?? .? ) ,则 ? ? (



5? ? 5? C. D. ? 6 6 6 6 1 8 9. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? A. ? 3 9
A.

?

?

B.

B. ?

1 2

C.

1 2
B.

D.

8 9

?? 10. 已知 cos 2
D.1

2 2 4 4 ,则 cos ? ? sin ? 的值为 A . ? 3 3

2 3

C.

4 9

11. 求 cos 0

?
11

cos

2? 3? 4? 5? cos cos cos ?( 11 11 11 11

) A.

1 25

B.

1 24


C. 1 D.

x x ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 11 5? 5? A. x ? ? B. x ? C. x ? ? 3 3 3 二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
12. 函数 y ? sin



D. x ? ?

?
3

13.已知 ? , ? 为锐角, cos? ?

1 10

, cos? ?

1 5

, 则? ? ?的值为



14 . 在 ?ABC 中 , 已 知 tanA ,tanB 是 方 程 3x 2 ? 7x ? 2? 0 的两个实根,则
tan C ? . ? 3 ? 4 15.若 sin ? , cos ? ? ,则角 ? 的终边在 2 5 2 5

象限.


16.代数式 sin15o cos 75o ? cos15o sin105o ? 三.解答题(共 6 个小题,共 74 分)

3 5 17. (12 分)△ABC 中,已知 cosA ? , cosB ? , 求sinC的值 . 5 13 ? 3? 12 3 , cos (? ? ? ) ? , sin (? ? ? ) ? ? , 求sin2? . 18. (12 分)已知 ? ? ? ? ? 2 4 13 5

sin(? ? ) 15 4 ,求 19. (12 分)已知 α 为第二象限角,且 sinα= 的值. 4 sin 2? ? cos 2? ? 1

?

? 1 1 20. (12 分)已知 ? ? (0, ), ? ? (0, ? ), 且 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? , 4 2 7
求 tan(2? ? ? ) 的值及角 2? ? ? . 21. (12 分)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1 , x ? R . (1)求证 f ( x) 的小正周期和最值; (2)求这个函数的单调递增区间.

22. (14 分) 已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3),

n ? (cos A,sin A), 且 m.n=1
(1)求角 A; (2)若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC . cos 2 B ? sin 2 B

《数学必修 4》三角恒等变换测试题答 案
一、选择题(12×5 分=60 分)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D B A B B C C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 3? 3 13、 14、 ? 15、第四 16、 3 4 2 三、解答题(共 6 个小题,满分 74 分)

1 C

11 A

12 B

3 4 17.解 : 在?ABC中, cos A ? ,? sin A ? 5 5 5 12 3 又由sin B ? , 可得 cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? ,? sin A ? ? A ? 600 13 13 2 12 12 若 cos B ? ? ,? B ? 1200 , 这时A ? B ? 1800 不合题意舍去 , 故 cos B ? , 13 13 4 12 3 5 63 ? sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

19.解 : ?

?
2

?? ? ? ?

?0 ? ? ? ? ?

?

3? 4

4 5 4 ? sin(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? 13 5 ? sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) 3 12 4 5 56 ? ? ? ? (? ) ? ? ? 5 13 5 13 65

,? ? ? ? ? ?

3? 2

sin 2 x cos2 x sin 4 x ? cos4 x 20.证明 : 左边 ? ? ? ? cos2 x sin 2 x sin 2 x cos2 x 2(2 ? 2 ?

1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2 x 2 ( ) ?( ) 2 2 1 2 sin 2 x 4

?

2 ? 2 cos 2 x ? 1 ? cos 4 x 2
2

1 ? cos 4 x ) 2(3 ? cos 4 x) 2 ? ? 右边 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x

1 ? 20.解 : ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 7 2 ?0 ? ? ?

?
4

? ?? ? 2? ? ? ? 0 tan(2? ? 2 ? ) ? tan ? 1 ? tan(2? ? 2 ? ) tan ?

? tan(2? ? ? ) ? tan[( 2? ? 2 ? ) ? ? ] ? 4 1 ? ? 3 7 ?1 4 1 1? ? 3 7 3? ? 2? ? ? ? ? 4

21.解: (1) y ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1

?

cos 2 x ? 1 3 sin 2 x 1 3 1 ? ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 1 2 2 2 2 2

? sin

?
6

cos 2 x ? cos

?
6

sin 2 x ?

? 3 3 ? sin(2 x ? ) ? 6 2 2

(2)因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? ? 由(1)知 y ? sin(2 x ?

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 ? 2 ?

?
6

)?

??

?
3

? k? ? x ?

?

3 ? ? ? ,故 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 2 2 6 2

故函数 y ? sin(2 x ?

?

3 ? ? ) ? 的单调递增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) 6 2 3 6

6

? k? ( k ? Z )

三角恒等变换测试题
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列表达式中,正确的是( )A

A. sin ?? ? ? ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? B. sin(? ? ? ) ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? C. co s(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? D. cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? 设计意图:主要考查学生对公式结构的掌握情况。 2.表达式 sin(45 ? A) ? sin(45 ? A) 化简后为( A. ? 2 sin A C. B. )B

2 sin A
1 sin A 2
)A D.1

1 sin A 2

D. ?

设计意图:主要考查学生对正弦的和、差公式的掌握和应用。 3. 函数 y ? sin x ? cos x ? 2 的最小值是( A. 2 ? 2 B. 2 ? 2 C.0

设计意图:主要考查学生辅助角公式的应用以及三角函数的最值问题。 4. 已知 ? 是第三象限的角,若 sin ? ? cos ? ?
4 4

5 ,则 sin 2? 等于( 9
D. ?

)A

A.

2 2 3

B. ?

2 2 3

C.

2 3

2 3

设计意图:主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 5.已知 ? ? ( A.

?

1 7

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于( 2 5 4 1 B. 7 C. ? 7
)B B.关于 y 轴对称 D.关于直线 x ?

) A D. ?7

设计意图:主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 6. 函数 y ? 1 ? cos x 的图象( A.关于 x 轴对称 C.关于原点对称

?

2 2 7. (2006 高考)若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A ? ( 3

对称

) A

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3
)B

8. (2006 高考)函数 y ? 4sin ? 2 x ? A.

? ?

?? ? ? 1 的最小正周期为( ??
C. 2 ? D. 4 ?

? ?

B. ?

设计意图:主要考查三角函数的性质。

9. cos D. ?1 10. tan

2

?
8

? sin 2

?
8

等于 (

)A

A.

2 2

B.1

C. ?

2 2

?
2

不能用下列式表达的是 (

)D

A. ? C.

1 ? cos ? 1 ? cos ?

B.

sin ? 1 ? cos ?
sin ? 1 ? cos ?
)D

1 ? cos ? sin ?

D.

11. tan15 ? tan 30 ? tan15 tan 30 等于 (

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.1

12. 当 ?? ? x ? 0 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 最小值为( A. ?1 B. ?2 C. ? 3 D.0

)B

二.填空题(共 4 个小题,每小 4 分,共 16 分) 13. 已知 sin(

?
4

? x)sin(

?

1 ? ? x) ? , x ?( , ?) ,则 sin 4 x ? ____ 4 6 2

14. 设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 角形是______三角形. 15.(05 高考) 若 sin ?

3 ? 3 tanA tanB , sin A cos A ?

3 ,则此三 4

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? = ?6 ? 3 ? 3 ?

.

16.(06 高考 ) 若 f ( x) ? a sin( x ? ( a , b )可以是

?

) ? b sin( x ? )(ab ? 0) 是偶函数 ,则有序实数对 4 4

?

. (写出你认为正确的一组数即可).

三.解答题(共 6 个小题,74 分;写出必要的文字说明或解题步骤) 17.(本小题 12 分) 已知 sin(

?
4

? x) ?

12 ? , 0 ? x ? ,求 13 4

cos 2 x cos( ? x) 4

?

18.(本小题 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

19.(2006 高考) (本小题 12 分)

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3 (1)求 tan ? 的值;
已知

5sin 2
(2)求

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos2

?
2

?8
的值.

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

20. (2006 高考) (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R .

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

21. (本小题 12 分) 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇

形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积. 22. (本小题 14 分) 已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3),

n ? (cos A,sin A), 且 m n ? 1.
(1)求角 A; (2)若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC . cos 2 B ? sin 2 B


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