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江苏省无锡一中2013届高三开学检测数学试题 2


江苏无锡一中 2013 届高三开学检测

数 学 试 题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答卷纸上. ) 1.若全集 U ? R ,集合 M ? x x 2 ? x ? 0 ,则集合?U M=

?

?



2.若复数错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。为虚数单 位)是纯虚数,则实数错误!未找到引用源。的值为 . 3.某校高一、高二、高三学生共有 3200 名,其中高三 800 名,如果通过分层抽样的方法从 全体学生中抽取一个 160 人的样本,那么应当从高三的学生抽取的人数是 4.在平面直接坐标系 xOy 中,角 ? 的始边与 x 轴的正半轴重合,终 边在直线 y ? ? 3x 上,且 x ? 0 ,则 sin ? ?



5. 从集合 A ? {?1,1,2} 中随机选取一个数记为 k ,从集合 B ? {?2,1,2} 中随机选取一个数记为 b , 则直线 y ? kx ? b 不经过第三象限的概率 为 . .

6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为 7. “ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ?

2x ? a 在其定义域上为奇函数”的 2x ? a



件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8.已知实数 x , y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? y ? ax (a ? R) ,若 z 取 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是 9.已知 F 是双曲线 C : .

x2 y2 ?1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点, B1B2 是双曲线的虚轴, M 是 ? a 2 b2

OB1 的中点,过 F , M 的直线交双曲线 C 于点 A ,且 FM ? 2MA ,则双曲线 C 的离心
率是 .

10.若正实数 a, b, c 满足 3a ? 2b ? c ? 0 ,则

ac 的最大值是 b



11. 已知数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, 其中 a1 ? 3 , b1 ? 1 , a2 ? b2 , {bn} 是等比数列, 若存在常数 u , v 对任意正整数 n 都有 an ? 3logu bn ? v , 则u ?v ? 3a5 ? b3 , 12.如图,线段 EF 的长度为 1,端点 E , F 在边长不小于 1 的正方形
A


D

ABCD 的四边上滑动, 当 E , F 沿正方形的四边滑动一周时,EF 的
中点 M 所形成的轨迹为 G ,若 G 的周长为 l ,其围成的面积为 S , 则 l ? S 的最大值为

E M B



F

C

13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是第一象限内曲线 y ? ? x3 ? 1 上的一个动点,点 P 处 的切线与两个坐标轴交于 A, B 两点,则 △ AOB 的面积的最小值为 .

14.记 F (a,? ) ?

a 2 ? 2a sin? ? 2 ,对于任意实数 a,? , F (a,? ) 的最大值与最小值的和 a 2 ? 2a cos? ? 2

是 . 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分)

( 2x ? 已知函数 f ( x) ? cos

2? ) ? cos 2 x ( x ? R) 3

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

(2) ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? ? 且 a ? b ,试求角 B 和角 C .

B 2

3 ,b ?1,c ? 3 , 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中, EA ? EB , AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD . (Ⅰ)求证: AB ? ED ; E EA F DF BCE (Ⅱ)线段 上是否存在点 ,使 // 平面 ?若存在, 求出

EF 的值;若不存在,说明理由. EA

B C D

A

17. (本小题满分 14 分) 如图,现有一个以 ?AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB .现欲在 弧 AB 上取不同于 A, B 的点 C ,用渔网沿着弧 AC (弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上) 、半 径 OC 和线段 CD (其中 CD // OA ) ,在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和 养殖区域Ⅱ. 若 OA ? 1cm , ?AOB ?

?
3

, ?AOC ? ? .

(1)用 ? 表示 CD 的长度; (2)求所需渔网长度(即图中弧 AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (? 2,0) , F2 ( 2,0) ,点 a 2 b2

M (1, 0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

B 两点,设点 N (3, 2) , BN (Ⅱ) 过点 M (1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , 记直线 AN ,
的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值.

19. (本小题满分 16 分)
2 已知:函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0, b ? 1) ,在区间 [2,

3] 上有最大值 4,最

小值 1,设函数 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值及函数 f ( x) 的解析式; (2)若不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [? 1, 1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)如果关于 x 的方程 f ( 2 x ? 1 ) ? t ? (

4 2x ?1

? 3) ? 0 有三个相异的实数根,求实数

t 的取值范围.
20. (本小题满分 16 分)
2 已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {an } 的前 n 项和为 Tn ,满足

a1 ? 1, Tn ?

4 1 ? ( p ? Sn )2 . 3 3

(1)求 p 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)①问是否存在正整数 n, m, k (n ? m ? k ) ,使得 an , am , ak 成等差数列?若存在, 指出 n, m, k 的关系,若不存在,请说明理由. ②若 an , 2x an?1 , 2 y an?2 成等差数列,求正整数 x , y 的值.

数学Ⅱ(附加题) 注意事项:考试时间 30 分钟,由选考物理的考生作答。 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作 ....... ........... 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .

?1 B. 已知矩阵 M ? ? ?2
量.

2? 的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一个特征向 x? ?

C. 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴

? 4

? x ? t, 的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,判断直线 ? y ? 1 ? 2t
l 和圆 C 的位置关系.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 , a, a (0 ? a ? 1) ,三人各射击一次, 击中目标的次数记为 ? . (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(? ? i) ( i =0,1,2,3)中, 若 P(? ? 1) 的值最大, 求实数 a 的取值范围.

1 2

23. (本小题满分 10 分) 已知 f n ( x) ? (1 ?

x )n ,n∈N*.

(1) 若 g ( x) ? f 4 ( x) ? 2 f5 ( x) ? 3 f6 ( x) ,求 g ( x) 中含 x 项的系数;
2

(2) 若 pn 是 f n ( x) 展开式中所有无理项的系数和, 数列 {an } 是各项都大于 1 的数组成的 数列,试用数学归纳法证明: pn (a1a2 ?an ? 1) ≥(1+ a1 )(1+ a2 )…(1+ an ).

参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答卷纸上. )

1. ; 2. ? 6 ; ( 0,1 )

3.40; 4. ?

2 3 ; 5. ; 6.126; 7.充分不必要; 9 2

1 , ? ?) 8. ( ;

9.

5 33 2 5 3 ; 10. ; 11.6; 12. ? ; 13. ; 14.4 2 4 3 4

二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分)

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EA ? EB ,所以 EO ? AB . ……………2 分 因为 AB ∥ CD , AB ? 2CD , 所以 BO ∥ CD , BO ? CD . 又因为 AB ? BC ,所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB ? DO . 因为 EO ? DO ? O ,所以 AB ? 平面 EOD . 所以

…………4 分 …………6 分 …………7 分

AB ? ED .

(Ⅱ) 解: 点 F 满足

EF 1 ? , 即 F 为 EA 中点时, 有 DF // 平面 BCE . …………8 EA 2
……………9 分

分 证明如下:取 EB 中点 G ,连接 CG , FG .

1 因为 F 为 EA 中点,所以 FG ∥ AB , FG ? AB . 2 1 因为 AB ∥ CD , CD ? AB ,所以 FG ∥ CD , FG ? CD . 2

所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DF ∥ CG . 因为 DF ? 平面 BCE , CG ? 平面 BCE , 所以 DF // 平面 BCE . 17. (本小题满分 14 分) π 解:(1) 由 CD∥OA,∠AOB= ,∠AOC=θ,得∠OCD=θ, 3 2π π ∠ODC= ,∠COD= -θ. 3 3 在△ OCD 中,由正弦定理, π ? π 2 -θ ,θ∈?0, ?(6 分) 得 CD= sin? ? 3? 3 ?3 ? (2) 设渔网的长度为 f(θ).由(1)可知, π ? 2 -θ f(θ)=θ+1+ sin? 3 ?.(8 分) ? 3 所以 f′(θ)=1-

……………12 分 ……………13 分 ………14 分

π ? π π 2 π -θ ,因为 θ∈?0, ?,所以 -θ∈?0, ?, cos? 3 3 3? ? ? ? ? ? 3 3

π ? 3 π π π 令 f′(θ)=0,得 cos? ?3-θ?= 2 ,所以3-θ=6,所以 θ=6. θ f′(θ) f(θ)

?0,π? ? 6?
+ ?

π 6 0 极大值

?π,π? ? 6 3?
- ?

? π+6+2 3?. 所以 f(θ)∈?2, ? 6 ? ? ? π+6+2 3?.(14 分) 故所需渔网长度的取值范围是?2, ? 6 ? ?
18. (本小题满分 16 分) 解:(Ⅰ)依题意,由已知得 c ? 解得 a ? 3 .

2 , a 2 ? b2 ? 2 ,由已知易得 b ? OM ? 1,
…………………3 分

则椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

………………4 分

? x ? 1, 6 ? (II) ①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x 2 解得 x ? 1, y ? ? . 2 3 ? ? y ?1 ?3
2? 6 6 2? 3 ? 3 ? 2 为定值. ………6 分 2 2

6 6 设 A(1, ) , B(1, ? ) ,则 k1 ? k2 ? 3 3

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) .

将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1整理化简,得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 .…7 分 3

依题意,直线 l 与椭圆 C 必相交于两点,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 3 , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

……………………9 分

又 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , 所以 k1 ? k2 ?

2 ? y1 2 ? y2 ? 3 ? x1 3 ? x2

………………………10 分

?

(2 ? y1 )(3 ? x2 ) ? (2 ? y2 )(3 ? x1 ) (3 ? x1 )(3 ? x2 ) [2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) ? [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 12 ? 2( x1 ? x2 ) ? k[2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 6] 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2

?

?

?

12 ? 2( x1 ? x2 ) ? k[2 ?

3k 2 ? 3 6k 2 ? 4 ? ? 6] 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 6k 2 3k 2 ? 3 9 ? 3? 2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1
.…….………………15 分

12(2k 2 ? 1) ? ? 2. 6(2k 2 ? 1)
综上得 k1 ? k2 为常数 2. 19. (本小题满分 16 分) 解: (1) g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ,由题意得:
2

.…….………………16 分

?a ? 0 ?a ? 1 ? 1? ? g (2) ? 1 ? b ? 1 得? 或 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 4 ?b ? 0 ?
(舍)

?a ? 0 ?a ? ?1 ? 2 ? ? g ( 2) ? 1 ? b ? 4 得? ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 1 ?b ? 3 ? 1 ?

? a ? 1,b ? 0
1 ? 2 …………4 分 x 1 x x x x (2)不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 ,即 2 ? x ? 2 ? k ? 2 , 2

g ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 , f ( x) ? x ?

?k ? (

1 2 1 ) ? 2 ? ( x ) ?1 x 2 2 1 1 设 t ? x ? [ , 2] ,? k ? (t ? 1) 2 ,? (t ? 1) 2 min ? 0 ,? k ? 0 …………10 分 2 2
(3) f ( 2 x ? 1 ) ? t ? (

4 2 ?1
x

? 3) ? 0 ,即 2 x ? 1 ?

1 2 ?1
x

?

4t 2 ?1
x

? 3t ? 2 ? 0 .

x 令 u ? 2 ? 1 ? 0 ,则 u 2 ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ? 0 (?)

记方程 (?) 的根为 u 1 、 u 2 ,当 0 ? u1 ? 1 ? u 2 时,原方程有三个相异实根, 记 ? (u) ? u 2 ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ,由题可知,

? ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ? 或 ?? (1) ? t ? 0 .…………14 分 ? ?? (1) ? t ? 0 ? 3t ? 2 ?0 ? ?1 2 ?
??
1 ? t ? 0 时满足题设.…………16 分 4

20. (本小题满分 16 分)

4 1 4 1 ? ( p ? S1 ) 2 ,即 1 ? ? ( p ? 1) 2 ,? p ? 0或2 . 3 3 3 3 4 1 2 4 1 1 2 2 当 p ? 0 时, Tn ? ? S n .将 n=2 代入,得 1 ? a2 ? ? (1 ? a2 ) .? a2 ? 0或- . 3 3 3 3 2
解: (1)n=1 时, T1 ? 与条件 an ? 0 矛盾. ? p ? 0

4 1 ? (2 ? S n ) 2 .① 3 3 4 1 1 1 2 2 将 n=2 代入,得 1 ? a2 ? ? (1 ? a2 ) .? a2 ? , a2 ? a1 . 3 3 2 2 4 1 2 由①,得 Tn ?1 ? ? (2 ? S n ?1 ) ② 3 3 1 2 2 2 ②-①,得 an ?1 ? ? [(2 ? Sn ?1 ) ? (2 ? S n ) ] 3
当 p ? 2 时, Tn ? 则 3an?1 ? (4 ? Sn?1 ? Sn )(Sn?1 ? Sn ) ,即 3an?1 ? (4 ? Sn?1 ? Sn )an?1
2 2

? an ? 0 ? an?1 ? 0 .则 3an?1 ? 4 ? Sn?1 ? Sn ③
则 3an?2 ? 4 ? Sn?2 ? Sn?1 ④ ④-③,得 3an ? 2 ? 3an ?1 ? ?an ?1 ? an ? 2 ,? an ? 2 ?

1 an ?1 (n ? N *) 2

? a2 ?

1 1 a1 ,? 数列 {an } 是等比数列,则 an ? n ?1 ,符合题意. 2 2

…………8 分

(2) ①假设存在正整数 n, m, k (n ? m ? k ) ,使得 an , am , ak 成等差数列.

1 1 ? k ?1 , 即2k ? m?1 ? 2k ? n ? 1 , 当且仅当 k ? n ? 0, 且 k ? m ? 1 ? 1 成立. n ?1 2 2 2 即 k ? m ? n 时取等号,与 n ? m ? k 矛盾.

m ?1

1

?

? 假设不成立,则不存在正整数 n, m, k (n ? m ? k ) ,使得 an , am , ak 成等差数列.
②若 an ,2x an?1,2 y an?2 成等差数列,即 an , an?1? x , an?2? y 成等差数列. 由①知, 1 ? x ? 0, 2 ? y ? 0,? x ? 1, y ? 2 分 附加题答案 21. B.解:矩阵 M 的特征多项式为 …………16

f (? ) ?

? ?1
?2

?2 = (? ? 1)(? ? x) ? 4 ………………………1 分 ??x

因为 ?1 ? 3 方程 f (? ) ? 0 的一根,所以 x ? 1 ………………………3 分 由 (? ? 1)(? ? 1) ? 4 ? 0 得 ?2 ? ?1 ,…………………………………5 分 设 ?2 ? ?1 对应的一个特征向量为 ? ? ? ? ,

?x ? ? y?

则?

?? 2 x ? 2 y ? 0 得 x ? ? y …………………………………………8 分 ?? 2 x ? 2 y ? 0

令 x ? 1, 则y ? ?1 , 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 ? ? ?

?1 ? ? ………10 分 ?? 1?

C.消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 1 ;…………… 2 分

? ? ? 2 2(sin? ? ) 即 ? ? 2(sin ? ? cos? ) ,
4
两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? 2 , …………………… 6 分 圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

| 2 ? 1 ? 1| 2 ?1
2 2

?

2 5 ? 2, 5

所以直线 l 和⊙ C 相交. …………………………………………………… 10 分 22. (1) P (? ) 是“ ? 个人命中, 3 ? ? 个人未命中”的概率.其中 ? 的可能取值为 0,1,2,3.
1? 0 0? 2 1 2 P(? ? 0) ? C1 ?1 ? ? C2 (1 ? a) ? (1 ? a) , 2 ? 2? 1 0 1? 1 1 2 0? P(? ? 1) ? C1 (1 ? a 2 ) , 1 ? C 2 (1 ? a ) ? C1 ?1 ? ? C 2 a(1 ? a) ? 2 2 ? 2? 1 1 1? 2 2 1 0? 2 P(? ? 2) ? C1 1 ? C 2 a (1 ? a ) ? C1 ?1 ? ? C2 a ? (2a ? a ) , 2 2 2 ? ?
2 2 P (? ? 3) ? C1 1 ? C2 a ?

1

2

a2 . 2
0

所以 ? 的分布列为

?

1
1
2

2
1 2

3

P
? 的数学期望为

1 2

(1 ? a)

2

(1 ? a 2 )

(2a ? a2 )

a2 2 4a ? 1 . 2

E? ? 0 ? (1 ? a ) 2 ? 1 ? (1 ? a 2 ) ? 2 ? (2a ? a 2 ) ? 3 ?
2 2 2

1

1

1

a2
2

?

……………5 分

(2) P(? ? 1) ? P(? ? 0) ?

1 ??1 ? a2 ? ? (1 ? a)2 ? ? a(1 ? a) , ? 2? 1 1 ? 2a , P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? (1 ? a2 ) ? (2a ? a2 ) ? ? ? ? 2 2 1 1 ? 2a 2 2 2 ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) ? ? (1 ? a ) ? a ? . ? 2? 2

? ? a (1 ? a ) ? 0, ? 1 ? 1 ? 2a ? 1? ? 0, 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ? ,即 a 的取值范围是 ? 0, ? . 由? 2 ? 2? ? 2 ? 1 ? 2a 2 ?0 ? ? 2

…… 10 分

4 4 23. (1) 解:g(x)中含 x2 项的系数为 C4 4+2C5+3C6=1+10+45=56.(3 分) - (2) 证明:由题意,pn=2n 1.(5 分) ① 当 n=1 时,p1(a1+1)=a1+1,成立; ② 假设当 n=k 时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立, 当 n=k+1 时, - (1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k 1(a1a2…ak+1)(1+ak+1) - =2k 1(a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1).(*) ∵ ak>1,a1a2…ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即 a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1, 代入(*)式得(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k(a1a2…akak+1+1)成立. 综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1) (1+a2)…(1+an)对任意 n∈N*成立. (10 分)


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