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高考数学专题二第5讲(一)导数及其应用复习课件理


§5 导数及其应用(一) 真题热身 ( A ) 1.(2011· 重庆)曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为 A.y=3x-1 C.y=3x+5 B.y=-3x+5 D.y=2x 解析 ∵y′=-3x2+6x,∴y′|x=1=3. ∴曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为 y-2=3(x-1), 即 y=3x-1. 2.(2011· 福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于 A.2 C.6 解析 B. 3 D.9 f′(x)=12x2-2ax-2b,∵f(x)在 x=1 处有极值, ( D ) ∴f′(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6. 又 a>0,b>0,∴a+b≥2 ab,∴2 ab≤6, ∴ab≤9,当且仅当 a=b=3 时等号成立, ∴ab 的最大值为 9. 3.(2011· 江西)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为 ( C ) A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) 4 解析 由题意知 x>0,且 f′(x)=2x-2- x, 2 2x -2x-4 即 f′(x)= >0,∴x2-x-2>0, x 解得 x<-1 或 x>2.又∵x>0,∴x>2. 4.(2011· 湖南)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象 分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为( A.1 5 C. 2 y=t2-ln t(t>0). ) 1 B. 2 2 D. 2 解析 由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出|MN|= 2 2 2(t+ 2 )(t- 2 ) 2 1 2t -1 y′=2t- = = . t t t 2 当 0<t< 时,y′<0,可知 y 在此区间内单调递减; 2 2 2 当 t> 2 时, y′>0, 可知 y 在此区间内单调递增. 故当 t= 2 时, |MN|有最小值. 答案 D 考点整合 1.导数的几何意义 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在 点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k=f′(x0). (2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t). 2.基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈N*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0 且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax (a>0 且 a≠1) f(x)=ln x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn -1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=axln a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a 1 f′(x)=x (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)± v(x)]′=u′(x)± v′(x). ②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). u′(x)v(x)-u(x)v′(x) u(x) ③[ ]′= (v(x)≠0). v(x) [v(x)]2 (3)复合函数求导 复合函数 y=f(g(x))的导数和 y=f(u),u=g(x)的导数之间 的关系为

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