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安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《抛物线及其标准方程》(北师大版选修2-1)


理解教材 新知
§2

知识点一 知识点二 考点一

第 三 章

2.1

把握热点 考向

考点二 考点三

应用创新演练

如图,我们在黑板上画一条直线 EF,然后取一个三角板,将一条拉链

AB固定在三角板的一条直角边上,并
将拉链下边一半的一端固定在C点,将 三角板的另一条直角边贴在直线EF上, 在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三 角板,粉笔会画出一条曲线.

问题1:曲线上点D到直线EF的距离是什么? 提示:线段DA的长.

问题2:曲线上点D到定点C的距离是什么?
提示:线段DC的长.

问题3:曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系?
提示:相等.

抛物线的定义 定义 焦点 准线 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)

距离相等 的点的集合叫作抛物线 定点F
定直线l

已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上),且定

点到l的距离为6,曲线上的点到定点距离与到定直线l的
距离相等.在推导曲线的方程的过程中,由建系的不同, 有以下点和直线. A(3,0),B(-3,0),C(0,3),D(0,-3); l1:x=-3,l2:x=3,l3:y=-3,l4:y=3.

问题1:到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什 么?并指出曲线开口方向. 提示:y2=12x. 向右. 问题2:到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什

么?曲线开口向哪?
提示:y2=-12x. 么?曲线开口向哪? 提示:x2=12y. 么?曲线开口向哪? 提示:x2=-12y. 向下. 向上. 向左. 问题3:到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什

问题4:到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什

抛物线的标准方程 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程
p x=- 2

y2=2px(p>0)

?p ? ? ,0? ?2 ?

y2=-2px(p>0)

? p ? ?- ,0? ? 2 ?

x= p 2

图像

标准方程

焦点坐标

准线方程

x2=2py(p>0)

? p? ?0, ? 2? ?

p y=- 2

x2=-2py(p>0)

? p? ?0,- ? 2? ?

p y= 2

1.平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的 集合是抛物线,定点F不在定直线上,否则点的轨迹是 过点F垂直于直线l的直线. 2.抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标

原点,焦点在坐标轴上.

[例 1]

指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并

说明抛物线开口方向. 1 2 (1)y=4x ;(2)x=ay2(a≠0). [思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪

一种类型,求出p.再写出焦点坐标和准线方程.

[精解详析]

1 2 (1)抛物线 y=4x 的标准形式为 x2=4y,

∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是 y=-1.抛物线 开口向上. 1 (2)抛物线方程的标准形式为 y =ax,
2

1 ∴2p=|a|. p 1 ①当 a>0 时,2=4a,抛物线开口向右,
?1 ? ∴焦点坐标是?4a,0?,准线方程是 ? ?

1 x=-4a;

p 1 ②当a<0时,2=-4a,抛物线开口向左,
?1 ? 1 ? ? , 0 ∴焦点坐标是 4a ,准线方程是x=-4a. ? ?

综合上述,当a≠0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为
?1 ? ? ,0? ?4a ?

1 ,准线方程为x=- 4a .a>0时,开口向右;a<0

时,开口向左.

[一点通] (1)先将抛物线方程化成标准形式,再判断开口方向、 焦点位置,准确地求出 p 值. (2)抛物线 y
2

?a ? =2ax(a≠0)的焦点坐标?2,0?,准线 ? ?

a x=- ,不必讨论 a 的正负. 2

1 2 1.抛物线 y=-8x 的准线方程是 1 A.x=32 C.y=2 1 B.x=2 D.y=4

(

)

解析:抛物线标准方程为x2=-8y, ∴p=4,故准线方程为y=2. 答案:C

2.抛物线3x2+10y=0的焦点坐标为________, 准线方程是________.
10 解析:抛物线标准方程为 x2=- 3 y,
? 5? 5 5 ? ? 0 ,- ∴p=3,故焦点为 6?,准线方程为 y=6. ? ? 5? 5 答案:?0,-6? y=6 ? ?

[例2]

求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上; (3)已知抛物线焦点在y轴上,焦点到准线的距离为3. [思路点拨] 准方程. 确定p的值和抛物线的开口方向,写出标

[精解详析]

(1)设所求的抛物线方程为y2=-

2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>0),∵过点(-3,2), ∴4=-2p1(-3)或9=2p2· 2. 2 9 ∴p1=3或p2=4. 4 9 2 故所求的抛物线方程为y =-3x或x =2y.
2

(2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). p 当焦点为(4,0)时,2=4, ∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; p 当焦点为(0,-2)时,2=|-2|, ∴p=4,此时抛物线方程为 x2=-8y. 故所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y. (3) 由题意知,抛物线标准方程为 x2 = 2py(p>0) 或 x2 =- 2py(p>0)且 p=3,∴抛物线标准方程为 x2=6y 或 x2=-6y.

[一点通]

求抛物线标准方程的方法有:

(1)定义法,求出焦点到准线的距离p,写出方程.
(2)待定系数法,若已知抛物线的焦点位置,则可设 出抛物线的标准方程,求出p值即可,若抛物线的焦点位 置不确定,则要分情况讨论,另外,焦点在x轴上的抛物 线方程可统一设成y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方

程可统一设成x2=ay(a≠0).

3.(2011· 陕西高考)设拋物线的顶点在原点,准线方程
为x=-2,则拋物线的方程是( A.y2=-8x C.y2=-4x B.y2=8x D.y2=4x )

解析:由准线方程x=-2,可知拋物线为焦点在x轴 正半轴上的标准方程,同时得p=4,所以标准方程 为y2=2px=8x.

答案:B

4.抛物线的焦点为(0,-2),则抛物线的标准方 程为________.
p 解析:由题意知抛物线标准方程为 x =-2py 且 =2, 2
2

∴p=4. ∴抛物线标准方程为 x2=-8y.

答案:x2=-8y

5.已知焦点在x轴上,且抛物线上横坐标为3的 点A到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程.
解:由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),其准线 p 为x=-2. ∵A到焦点的距离为5,∴A到准线的距离也是5,
? p? 即3-?-2?=5,解得p=4. ? ?

故所求的抛物线标准方程为y2=8x.

[例3]

(12分)某隧道横断面由抛物线和

矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车

载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4 m,
此车能否通过此隧道?请说明理由. [思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为

曲线上点的坐标,求出抛物线方程,然后比较当车辆从正中 通过时,1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行

判断.

[精解详析] 建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 当 x=3 时,y=-3,即点(3,-3)在抛 物线上. 代入得 2p=3,故抛物线方程为 x2=-3y 已知集装箱的宽为 3 m, 3 3 当 x= 时,y=- ,而桥高为 5 m. 2 4 3 1 所以 5- =4 4 4 故卡车可通过此隧道. (8 分) (10 分) (12 分) (3 分) (5 分)

[一点通]

(1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利
用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等) 表达、分析、解决问题. (2)在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐 标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得方 程的形式更为简单,便于计算.

6.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶 6 m 时,水面宽 10 m,抛物线的方程可能是 25 A.x =- y 6
2

(

)

25 B.x =- y 12
2

36 C.x =- y 5
2

25 D.x =- y 24
2

解析:建立直角坐标系如图,设抛物线方程 为x2=-2py(p>0),则P(5,-6)在抛物线上. 25 ∴25=-2p(-6),∴p=12. 25 ∴抛物线方程为x =- 6 y. 答案:A
2

7. 探照灯反射镜的轴截面是 抛物线的一部分(如图),光

源位于抛物线的焦点F
处.已知灯口圆的直径为 60 cm,灯深40 cm,求抛 物线的标准方程和焦点的 位置.

解:如图,在探照灯的轴截面所在的平面内建 立直角坐标系,使反光镜的顶点即抛物线的顶 点与原点重合,x轴垂直于灯口圆的直径. 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), 由题意得点A的坐标是(40,30),代入方程得302 45 = 2p × 40,解得p= 4 , 45 所以抛物线的标准方程是y = 2 x,
2

?45 ? 焦点坐标为? 8 ,0?. ? ?

(1)确定抛物线的标准方程,只需求一个参数p, 但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方 向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也 可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴

上的抛物线标准方程可设为y2=2mx(m≠0),焦点在y
轴上的抛物线标准方程可设为x2=2my(m≠0).

(2)求抛物线标准方程的方法:

特别注意在设标准方程时,若焦点位置不确定, 要分类讨论.


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