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3.1.1两角差的余弦公式(教、学案)


3. 1.1 两角差的余弦公式
一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教 A 版高中数学必修 4 第三章《三角恒等变换》第一节《两 角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的 推导,要引导学生主动参与,独立思索,自己得出相应的结论。 二、教学目标 1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构 及其功能,并为建立其他和差公式打好基础。 2.通过课题背景的设计,增强学生的应用意识,激发学生的学习积极性。 3.在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会 合作交流的能力。 三、教学重点难点 重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点 探索过程的组织和引导。 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质,以及平面向量的运算和应用,在此基础上,要考虑如何利 用任意角 ?,? 的正弦余弦值来表示 cos(? ? ? ) ,牢固的掌握这个公式,并会灵活运用公 式进行下一节内容的学习。 五、教学方法 1.自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. 2.探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. 3.反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备 1.学生准备:预习《两角差的余弦公式》 ,理解两种方法的推理过程。 2.教师准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 以学校教学楼为背景素材(见课件)引入问题。并针对问题中的 cos15 用计算器或不 用计算器计算求值,以激趣激疑,导入课题。 教师问:想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的 C 点处往该点正对的地面上的 A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在 地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45
0 0 0 0
0 0

, cos 30

0

, cos15

0

(2) cos(45 ? 30 ) ? cos 45 ? cos30 是否成立? 设计意图:由给出的背景素材,使学生感受数学源于生活,又应用于生活,唤起学生解 决问题的兴趣,和抛出新知识引起学生的疑惑,在兴趣和疑惑中,激发学生的求知欲,引导 学习方向。 (二) 、研探新知
1

1.三角函数线法: 问:①怎样作出角 ? 、 ? 、 ? ? ? 的终边。 ②怎样作出角 ? ? ? 的余弦线 OM ③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。 设计意图: 尽量用动画课件把探索过程展示出来, 使学生能从几何直观角度加强对公式 结构形式的认识。
Y

p1 A C β α O B α -β M X

?
P

(1) 设角 ? 终边与单位圆地交点为 P1, ?POP 1 ? ? , 则?POx ? ? ? ? 。 (2) 过点 P 作 PM⊥X 轴于点 M,那么 OM 就是 ? ? ? 的余弦线。 (3) 过点 P 作 PA⊥OP1 于 A,过点 A 作 AB⊥x 轴于 B,过点 P 作 PC⊥AB 于 C
那么 OA 表示 于是

cos ?

,AP 表示 sin ? ,并且 ?PAC

? ?POx ? ?. 1

OM=OB+BM =OB+CP =OA cos ? +AP sin ? = cos ? cos ? ? sin ? sin ? 最后要提醒学生注意,公式推导的前提条件:

? 、 ? 、 ? ? ? 都是锐角,且 ? ? ?
2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。 设计意图: 让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程, 体会向量方法解决数学 问题的简洁性。 如图,建立单位圆O

则OA ? ? cos ? ,sin ? ? , OB ? ? cos ? ,sin ? ? 由 向 量 数 量 积 的 概 念 , 有
2

y

A B
O x

由向量数量积的坐标表示,有

因为

? 、 ? 、都是任

意 角,所以 ? ? ? 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个

? ? [0, 2? ) ,使得 cos ? ? cos(? ? ? ) 。

于是对于任意角 ? 、 ? 都有

简记C (? ? ?)
例 1. 利用差角余弦公式求 cos15 的值 (求解过程让学生独立完成,注意引导学生多方向、多维度思考问题) 解法 1:
0

cos150 ? cos(450 ? 300 ) ? cos 450 cos300 ? sin 450 sin 300 ? …=
解法 2:

6? 2 4

3

cos150 ? cos(600 ? 450 ) ? cos 600 cos 450 ? sin 600 sin 450 ? …=
变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

2? 6 4

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) cos(2? ? ? ) ? cos ?

例2.已知sinα=

(让学生联系公式 C?? ?? ? 和本题的条件,考虑清楚要计算 cos ?? ? ? ? ,应作那些准备。 )

4 π 5 ,α ? ( ,π),cosβ= ,β第三象限角,求cos(? ? ?)的值 5 2 13
2

3 4 ?4? ?? ? 2 解:由 sin ? ? , ? ? ? , ? ? ,得 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ?5? ?2 ? 12 5 ?5? 2 又由 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,得 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 13 13 ? 13 ? 3 ? 5 ? 4 ? 12 ? 33 所以 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 ? 13 ? 65 让学生结合公式 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,明确需要再求哪些三角函数
值,可使问题得到解决。 变式训练:已知 sin ? ?
2

15 ? ,? 是第二象限角,求 cos (? ? )的值 17 3

(三) 、质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 750 ,cos1050 【点评】 :把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:
0 0 0 ,要学会灵活运用 . cos105 ? cos(150 ? 45 )

2.求值

cos 750 cos300 ? sin 750 sin 300
? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

(

2 ) 2

3.化简 cos(?

(cos ? )
1 ( ) 2

1 5 4.已知?,? 为锐角, cos ? ? , sin (? ? ?) ? 3 ,求cos? 7 14
提示:利用拆角思想 cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] 的变换技巧

(设计意图:通过变式训练,进一步加深学生对公式的理解和应用,体验公式既可正用、
逆用,还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题,培养了学生的 灵活思维品质,提高学生的数学交流能力,促进思维的创新。) (四)发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式, 要求同学们掌握公式 C(? ?? ) 的推导, 能熟练运 用公式 C(? ?? ) ,注意公式 C(? ?? ) 的逆用。在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号
4

问题,学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业,课本 P137 习题 2.3.4 (设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的 延伸拓展训练。) 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练 1. 2. 3. 4. 十、教学反思 本 节 主 要 考 察 如 何 用 任 意 角 ?,? 的 正 弦 余 弦 值 来 表 示 cos(? ? ? ) , 回 顾 公 式

C (? ? ?) 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角 ? , ? 的任意性,特
别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的 思想方法解决问题. 设计意图: 让学生通过自己小结, 反思学习过程, 加深对公式及其推导过程 (包括发现、 猜想、论证的数学化的过程)的理解。 十一、学案设计(见下页)

5

3.1.1 两角差的余弦公式

课前预习学案 一、预习目标 预习 《两角差的余弦公式》 , 体会两角差的余弦公式的推导过程 , 尤其是向量法的运用。 二、预习内容 阅读课本相关内容, 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式, 进一步体会向量方 法作用,并回答以下问题: 1. 如何用任意角 ?,? 的正弦余弦值来表示 cos(? ? ? ) ;

2. 如何求出 cos15 的值;

0

3. 会求 sin 75 的值吗?

0

三、提出疑惑 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习内容 通过公式的简单应用, 使学生初步理解公式的结构及其功能, 并为建立其他和差公式打 好基础。 二、学习过程 探究一: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45
0 0 0 0
0

, cos 30

0

, cos15

0

(2) cos(45 ? 30 ) ? cos 45 ? cos30 是否成立?

探究二:两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法:
6

问:①怎样作出角 ? 、 ? 、 ? ? ? 的终边。 ②怎样作出角 ? ? ? 的余弦线 OM ③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。

2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ④ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ⑤ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。

例题整理 例1. 利用差角余弦公式求 cos15 的值
0

变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) cos(2? ? ? ) ? cos ?

例2.已知sinα=

4 π 5 ,α ? ( ,π),cosβ= ,β第三象限角,求cos(? ? ?)的值 5 2 13

变式训练:已知 sin ? ?

15 ? ,? 是第二象限角,求 cos (? ? )的值 。 17 3

7

三、反思总结 本 节 主 要 考 察 如 何 用 任 意 角 ?,? 的 正 弦 余 弦 值 来 表 示 cos(? ? ? ) , 回 顾 公 式

C (? ? ?) 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角 ? , ? 的任意性,特
别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).在求值的过程中,还要注意掌握“变 角”和“拆角”的思想方法解决问题. 四、当堂检测 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 750 ,cos1050

2.求值

cos 750 cos300 ? sin 750 sin 300

3.化简 cos(?

? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

1 5 4.已知?,? 为锐角, cos ? ? , sin (? ? ?) ? 3 ,求cos? 7 14

课后练习与提高 一、选择题 1. cos50 cos 20 ? sin 50 sin 20 的值为
0 0 0 0





A.

1 2

B.
0

1 3

C.

3 2


D.

3 3

2. cos(?15 ) 的值为



8

A.

2? 6 B. 4

6? 2 C. 4

6? 2 6? 2 D ? . 4 4


3.已知 cos ? ?

? 12 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,则 cos(? ? ) 的值等于( 4 13 ? 2?
17 2 C. 26 7 2 26
D.

A.

5 2 13

B.

7 2 13

二、填空题 4.化简 cos(? ? 300 )cos ? ? sin(? ? 300 )sin ? =
0 0 0 0 5.若 a ? cos 60 ,sin 60 , b ? (cos15 ,sin15 ) ,则 a ? b =

?

?

三、解答题、 6.已知 sin ? ? ? , ? ? ? ? ,

2 3

? ?

3? ? 3 ? ?? ? cos ? ? , ? ? ? 0, ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 ? 4 ? 2?

9


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