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1[1].4.3


正切函数的性质和图象

回顾: 1.如何作正弦函数的图像? 2.如何研究正弦函数,余弦函数的性质? y y=sinx
1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

3.诱导公式:奇变偶不变符号看象限

正切函数 y ? tan x
问: 1)正切函数的图像是什么样?
2)它又有哪些性质呢?

问题探究:
1)正切函数 y ? tan x的定义域是:
? ? ? 定义域: ?x | x ? R, x ? 2 ? k? , k ? Z ? ? ?

2)正切函数是否是周期函数,如果是 那它的周期是多少呢?
tan 由诱导公式: ?? ? ? ? ? tan?

? ? y ? tan x是周期函数, 是周期

利用正切线画出函数y ? tan x, x ? (?

? ?
y

, )的图象 2 2
?

?

1
?

o1

?

?
2


?

?

?
4
?

? ?

0
?1

?
4

?
2

x

?

利用正切函数的周期性,把图象向左,右 扩展,得到正切函数
y ? tan x, x ? R且x ?

?

叫做正切曲线.

2

? k? , (k ? Z )的图象 , 并把它
y

?

3? 2

??

?

? 2

0

? 2

?

3? 2

x

思考:如何作正切函数的简图?

正切函数 y ? tan x 的性质和图像:
{ 1.定义域: x | x ?
2值域:

?
2

? k? , k ? Z }

y

y ? tan x

R
??

3周期性: 正切函数是周期函数, 周期是 ? ? ??
2

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

奇函数 4.奇偶性:

2 2 内是增函数 6.对称性:对称中心是 ( k? , 0), k ? Z 2

在 5.单调性: (?

?

? k? ,

?

? k? ) k ? Z

对称轴呢?

例3 求满足下列式子的 x 的取值范围 y y ? tan x 1)tan x ? 0
? ? ? x | k? ? x ? k? ? ; k ? Z ? ? 2 ? ?
?
??
2
??

1
?? 2

o?
4

?
2

?

??
2

x

练习: 1) tan x ? 0

2) tan x ? 0

例1、求函数

? ? y ? tan( x ? ) 2 3

的定义域、周期、单调区间

变式1:求函数 的定义域 变式2:求函数单调 区间;

例2、 比较下列各组中两个正切函数值的大小 0 0 (1) 与 tan 143

tan138

(2)

13? tan( ? )与 4

17? tan( ? ) 5

思考一下几个函数回答问题
? ? k? (1)y ? tan(3x ? ) ? 1,x ? ? ,k ?Z 4 4 3

(2) y ? tan2 x

?? ?1 (3) y ? 2 tan? x ? ? 3? ?2

练习:求下列两个函数的定义域,周期和单调 区间?

?? ? 1) y ? tan? 2 x ? ? 3? ? ?? ?1 2) y ? tan? x ? ? 6? ?3

例2

比较下列各组两个正切值的大小

? ?? ? ?? 1) tan? ? ?与 tan? ? ? ? 3? ? 4? ? ?? ? ?? tan? ? ? ? tan? ? ? ? 3? ? 4? ? ?? ?3 ? 2) tan? ? ?与tan? ? ? ? 6? ?4 ?

?

?
3

?

?
4

?

?
6

?3 ? ?3 ? ? ?? tan? ? ? ? tan? ? ? ? ? ? tan? ? ? ?4 ? ?4 ? ? 4? ? ?? ? ?? ? ?? ?3 ? tan? ? ? ? tan? ? ? tan? ? ? ? tan? ? ? 6 4 即
? ? ? ?

?? 2

o

?
2

x

?

6?

?4 ?

? 13 ? ? 17 ? 3) tan? ? ? ?与 tan? ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? 2 ? ? 17 ? ? ? 2 ? ?? ? 13 ? ? ? ?? tan? ? ? ? ? tan? ? 3? ? ? ? tan? ? ? tan? ? ? ? ? tan? ? 3? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 ? ? 5 ? ? ? 5 ? 4? ? 4 ? ? ? 4?



? ?? ? 2 ? tan? ? ? ? tan? ? ? ? ? 4? ? 5 ?



? 13? ? ? 17 ? tan? ? ? ? tan? ? ? ? 4 ? ? ? 5 ?

y

(1)正切函数的图像 (2)正切函数的性质:
?定义域: ?值域: ?周期性: ?奇偶性:

y ? tan x

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?
全体实数R 正切函数是周期函数, 最小正周期T= 奇函数,
?

??
2

??

?? 2

o

?
2

?

??
2

x

?

? ? 正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ? ? ?单调性: 内都是增函数。 ? 2 2 ?

(3)本课应用数形结合、类比、归纳、猜想等数学思想方法


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