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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-2-2 双曲线的简单几何性质


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
2.2 双曲线

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
第 2 课时 双曲线的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第二章

2.2

第2课时

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课程目标解读

第二章

2.2

第2课时

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1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它 的几何性质. 2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题.

第二章

2.2

第2课时

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重点难点展示

第二章

2.2

第2课时

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本节重点:双曲线的几何性质. 本节难点:双曲线性质的应用,渐近线的理解.

第二章

2.2

第2课时

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学习要点点拨

第二章

2.2

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1.双曲线的渐近线 (1)对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,画双曲 线时应先画出它的渐近线. (2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线, 过双曲线实轴的 两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线,它们围成 一个矩形,其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线. (3)“渐近”两字的含义:当双曲线的各支向外延伸时,与 这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.

第二章

2.2

第2课时

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(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法: 把标 x2 y2 准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程,即双曲线 2- 2 a b x2 y2 b y2 =1(a>0, b>0)的渐近线方程为 2- 2=0 即 y=± x; 双曲线 2- a b a a x2 y2 x2 a b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为a2-b2=0,即 y=± x. b

第二章

2.2

第2课时

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(5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念, 根据双曲线的渐 n 近线方程可设出双曲线方程. 渐近线为 y= x 的双曲线方程可 m x2 y2 设为:m2-n2=λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为 Ax± By=0, x2 那么双曲线的方程可设为 A2x2-B2y2=m(m≠0);与双曲线a2- y2 x2 y2 =1 共渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0). b2 a b

第二章

2.2

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2.双曲线上两个重要的三角形 (1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形, 边长满足 c2=a2+b2,称为双曲线的特征三角形.

第二章

2.2

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(2)焦点 F、过 F 作渐近线的垂线,垂足为 D,则|OF|=c, |FD|=b,|OD|=a,△OFD 亦是直角三角形,满足|OF|2=|FD|2 +|OD|2,也称为双曲线的特征三角形.

第二章

2.2

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3.学习双曲线中应注意的几个问题: (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2)双曲线只有两个顶点,离心率 e>1; (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2, 实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直; (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、 e 的不同.

第二章

2.2

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课前自主预习

第二章

2.2

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1.在双曲线方程中,以-x、-y 代替 x、y 方程不变,因

轴对称 此双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的________图形;也是以原 中心对称 点为对称中心的___________图形,这个对称中心叫做
双曲线的中心 _____________.

第二章

2.2

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2.双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的______, 顶点 x2 y2 (± a,0) 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的顶点是_______,这两个顶点之 a b

实轴 它的长等于____.同时在另一条 2a 间的线段叫做双曲线的______,
对称轴上作点 B1(0,-b),B2(0,b),线段 B1B2 叫做双曲线的

虚轴 2b 实半轴长 ______,它的长等于____,a、b 分别是双曲线的___________ 虚半轴长 和____________.

第二章

2.2

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x2 y2 3. P(x, 设 y)是双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)上一点, x≥a 则 或 x≤-a,y∈R. 4.双曲线的半焦距 c 与实半轴长 a 的比叫做双曲线的

离心率 (1,+∞) _________,其取值范围是____________.
综上知双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同 或类似之处, 要注意它们的区别与联系, 不能混淆, 列表如下:

第二章

2.2

第2课时

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椭圆 方程 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

双曲线 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0)

图形

第二章

2.2

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范围

|x|≤a,|y|≤b

|x|≥a,y∈R

对称性

对称轴:x 轴、y 轴 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 (-a,0)、(a,0) 对称中心:原点

顶点 轴长

(-a,0)、(a,0) 实轴长 2a 虚轴长 2b

(0,-b)、(0,b) 长轴长 2a,短轴长 2b

第二章

2.2

第2课时

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离心率

c e=a,(0<e<1) 无

c e=a,(e>1) 有两条,其方程为

渐近线

b y=± x a

第二章

2.2

第2课时

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课堂典例讲练

第二章

2.2

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

已知双曲线的方程,研究其几何性质
求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、

实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图. [分析] 将双曲线方程化成标准方程,求出 a、b、c 的值, 然后依据各几何量的定义作答.

第二章

2.2

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[解析]

x2 y2 将 9y2-4x2=-36 变形为 9 - 4 =1,

x2 y2 即32-22=1,∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, c 13 离心率 e= = , a 3 b 2 渐近线方程 y=± x=± x. a 3
第二章 2.2 第2课时

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作草图如图:

第二章

2.2

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[点评]

由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤

x2 y2 y2 x2 是:先将双曲线方程化为标准形式 2- 2=1(或 2- 2=1),再 a b a b 根据它确定 a,b 的值(注意它们的分母分别为 a2,b2,而不是 a,b),进而求出 c,再对照双曲线的几何性质得到相应的答 案.画几何图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a、2b 为 两邻边的矩形对角线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋 势,就可画出双曲线的草图.

第二章

2.2

第2课时

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求双曲线 16x2-9y2=144 的实轴长和虚轴长、 顶点坐标、 焦点坐标及渐近线方程.

第二章

2.2

第2课时

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[解析]

x2 y2 把双曲线方程化为标准方程 - =1. 9 16

由此可知,实半轴长 a=3,虚半轴长 b=4. 半焦距 c= a2+b2= 9+16=5. 因此,实轴长 2a=6,虚轴长 2b=8; 顶点的坐标是(3,0),(-3,0); 焦点的坐标是(-5,0),(5,0); 4 渐近线方程是 y=± x. 3

第二章

2.2

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命题方向

利用几何性质求标准方程

[例 2]

求适合下列条件的双曲线的标准方程:

5 (1)实轴长为 8,离心率为 ; 4 (2)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上, 实轴长和虚轴长相等,且过点 P(4,- 10).

第二章

2.2

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[解析]

x2 y2 y2 x2 (1)设双曲线的标准方程为 2- 2=1 或 2- 2 = a b a b

1(a>0,b>0),2a=8. c 5 由题意知 = 且 c2=a2+b2, a 4 ∴a=4,c=5,b=3, x2 y2 y2 x2 ∴标准方程为16- 9 =1 或16- 9 =1.

第二章

2.2

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(2)由 2a=2b 得 a=b,∴e= 线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点 P(4,- 10), ∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6.

b2 1+ 2= 2,所以可设双曲 a

x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 6 - 6 =1.

第二章

2.2

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x2 y2 x2 y2 已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)和椭圆16+ 9 =1 有相同 的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的 方程为________.
x2 y2 [答案] 4 - 3 =1

第二章

2.2

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[解析]

由题意知双曲线的焦点为(- 7,0),( 7,0),即

2 7 c= 7,又因为双曲线的离心率为 ,所以 a=2,故 b2=3, 4 x2 y2 双曲线的方程为 - =1. 4 3

第二章

2.2

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命题方向

双曲线的离心率

[例 3]

x2 y2 已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两 a b

个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦.如果∠ PF2Q=90° ,求双曲线的离心率.

第二章

2.2

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[解析]

设 F1(c,0),由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90° ,

第二章

2.2

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知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c-2c=2a. c 2 ∴e=a= =1+ 2. 2 2-2 所以所求双曲线的离心率为 1+ 2.

第二章

2.2

第2课时

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[点评]

(1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出

c a、c,再计算 e=a;二是依据条件建立参数 a、b、c 的关系式, 一种方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解,另一种方法是消 b b 去 c 转化成含a的方程,求出a后利用 e= b2 1+a2求离心率.

(2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a、b、c 的不等式, c b 通过解不等式得a或a的范围,再求得离心率的范围.

第二章

2.2

第2课时

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x2 y2 (1)已知双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲 a b 线的离心率为( A. 3 5 C. 2 ) B. 2 2 D. 2

第二章

2.2

第2课时

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x2 y2 (2)设 a>1,则双曲线a2- 2=1 的离心率 e 的取值范 ?a+1? 围是( ) B.( 2, 5) D.(2, 5)

A.( 2,2) C.(2,5)

[答案]

(1)B (2)B

第二章

2.2

第2课时

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[解析]

(1)由题意可知,此双曲线为等轴双曲线.等轴双

曲线的实轴长与虚轴长相等,则 a=b,c= a2+b2= 2a, c 于是 e= = 2. a a2+?a+1?2 1 2 1 2 (2)e = =a2+a+2=(a+1)2+1, 2 a 1 1 ∵a>1,∴0<a<1,1<a+1<2, ∴2<e2<5.又 e>1,∴ 2<e< 5.

第二章

2.2

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建模应用引路
命题方向
[例 4]

实际应用问题
如图所示,某建筑工地要挖一个横截面为半圆的

柱形土坑, 挖出的土只能沿 AP, 运到 P 处, BP 其中|AP|=100m, |BP|=150m,∠APB=60° .怎样运土才能最省工?

第二章

2.2

第2课时

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[分析]

半圆形横截面上的点可分三类:(1)沿 AP 到 P 较

近;(2)沿 BP 到 P 较近;(3)沿 AP 或 BP 到 P 等距离,其中第 三类的点位于前两类点的分界线上.

第二章

2.2

第2课时

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[解析]

设 M 为分界线上任一点,则|MA|+|AP|=|MB|+

|BP|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50m,所以 M 在以 A,B 为焦 点的双曲线的右支上.易得|AB|2=17500m2,建立如图所示的 x2 y2 平面直角坐标系,得分界线所在的曲线方程为 625 - 3750 = 1(x≥25). 故运土时,在双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土 沿 BP 运到 P 处最省工.

第二章

2.2

第2课时

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[点评]

解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型,用

数学知识解决,最后再回归到实际问题中.要注意实际问题中 变量的范围及数学模型求解结果的实际意义.

第二章

2.2

第2课时

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如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北 偏东 30° 方向距离 B 2km 处,河流沿岸 PQ(曲线)上任意一点 到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B,C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B,C 两地修建公路的费用都是 a 万元/km.

第二章

2.2

第2课时

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求:(1)河流沿岸 PQ 所在的曲线方程; (2)修建这两条公路的总费用的最小值.

第二章

2.2

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[解析]

(1)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为

坐标原点,建立平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0).

第二章

2.2

第2课时

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根据题意,曲线 PQ 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离 远 2km. 由此知河流沿岸 PQ 所在的曲线为双曲线靠近 B 点的分 支. 所以 c=2,a=1,b= 3, y2 所以河流沿岸 PQ 所在的曲线的方程为 x2- 3 =1(x≥1).

第二章

2.2

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(2)因为从 M 到 B, 两地修建公路的费用都是 a 万元/km, C 所以,要使修建这两条公路的总费用最小,只需|MC|+|MB|最 小,由双曲线定义,有|MB|=|MA|-2,也即|MC|+|MA|-2 最 小. 由图易知, C, A 三点共线时, 当 M, |MC|+|MA|-2 最小. 即 (|MB|+|MC|)min=|AC|-2. 因为 C 地在 B 地的北偏东 30° 方向距离 B 2km 处, 所以 C(3, 3).又因为 A(-2,0), 所以|AC|=2 7km. 所以(|MB|+|MC|)min=(2 7-2)km. 故修建这两条公路的总费用的最小值为(2 7-2)a 万元.
第二章 2.2 第2课时

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探索延拓创新
命题方向
[例 5]

双曲线的渐近线

x2 y2 求与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且经过点 9 16

M(-3,2 3)的双曲线方程.

第二章

2.2

第2课时

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[解析] x,

x2 y2 4 解法一:双曲线 9 -16=1 的渐近线方程为 y=± 3

x2 y2 (1)当焦点在 x 轴上时, 设所求双曲线方程为a2-b2=1(a>0, b>0). b 4 4 因为a=3,所以 b=3a 9 12 上.所以 2- 2 =1 a b x2 y2 程为 9 - 4 =1. 4
第二章 2.2 第2课时

①,因为点 m(-3,2 3)在双曲线
2

9 ②.由①、②得 a = ,b2=4,双曲线方 4

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y2 x2 (2)当焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0, a b b>0), a 4 3 因为b=3,所以 b=4a ③, ④.

12 9 因为 m(-3,2 3)在双曲线上,所以 a2 -b2=1 由③④所得方程组无解. x2 y2 综上可知双曲线方程为 - =1. 9 4 4

第二章

2.2

第2课时

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x2 y2 解法二:设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0), 9 16 ?-3?2 ?2 3?2 1 由于双曲线过点 M(-3,2 3).有 λ= - = , 9 16 4 x2 y2 1 x2 y2 故双曲线方程为 9 -16=4,即 9 - 4 =1. 4

第二章

2.2

第2课时

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[点评]

n (1)若双曲线的渐近线方程为 y=± x, 则双曲线方 m

x2 y2 程可表示为 2- 2=λ(λ≠0); m n x2 y2 (2)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可 a b x2 y2 y2 x2 表示为 2- 2=λ(a>0,b>0,λ≠0);与双曲线 2- 2=1(a>0, a b a b y2 x2 b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为 a2 - b2 =λ(a>0,b>0, λ≠0).

第二章

2.2

第2课时

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求适合下列条件的双曲线的标准方程: 3 (1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (2)求与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2, -2)的双曲线方程.

第二章

2.2

第2课时

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[解析] λ(λ≠0).

3 x2 y2 (1)设以 y=± x 为渐近线的双曲线方程为 - = 2 4 9

由双曲线的顶点间距为 6,可得 2a=6,所以, 9 当 λ>0 时,a =4λ,∴2a=2 4λ=6,即 λ=4,
2

当 λ<0 时,a2=-9λ,∴2a=2 -9λ=6,即 λ=-1. x2 4y2 y2 x2 ∴双曲线的方程为 9 - 81 =1 或 9 - 4 =1.

第二章

2.2

第2课时

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x2 2 x2 (2)设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 2 2 22 -y2=k,将点(2,-2)代入,得 k= -(-2)2=-2, 2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4

第二章

2.2

第2课时

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名师辨误做答
y2 x2 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y a b

[例 6]

3 =± x,求双曲线的离心率. 4 [错解] =16c2, 25 5 ∴e = ,∴e= . 16 4
2

b 3 b2 9 由题意得 = , 2= , ∴ ∴9a2=16(c2-a2), ∴25a2 a 4 a 16

第二章

2.2

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[辨析]

y2 x2 错解的原因是审题不认真,误认为双曲线 2- 2 a b

b =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x 而导致错误. a

第二章

2.2

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[正解]

a 3 a2 9 由题意得 = ,∴ 2= , b 4 b 16

∴16a2=9(c2-a2),∴25a2=9c2, 25 5 ∴e = ,∴e= . 9 3
2

第二章

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课堂巩固练习

第二章

2.2

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一、选择题 x2 y2 1.双曲线 - =1 的顶点坐标是( 25 9 A.(± 5,0) C.(± 4,0)
[答案] A
[解析] ∵双曲线的顶点在 x 轴上,又 a=5,∴选 A.

)

B.(± 5,0)或(0,± 3) D.(± 4,0)或(0,± 3)

第二章

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2. (2012~2013 学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为( A.x-y=0 C.x± y=1
[答案] D
[解析] 选 D. b 双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 y=± x=± 故 x, a

)

B.x+y=0 D.x± y=0

第二章

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3. 双曲线 x2+ky2=1 的离心率为 2, 则实数 k 的值为( A.-3 C.3 1 B.- 3 1 D.3

)

[答案] B

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[解析]

双曲线 x2+ky2=1 化为标准方程为

y2 1 2 2 2 x - =1,∴a =1,b =- , 1 k - k 1 c c =a +b =1-k ,∴e=a=
2 2 2

1 1-k =2,

1 ∴k=-3.

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二、填空题 4.双曲线中 a、b、c 的长成等差数列,则 e=________.

5 [答案] 3

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[解析]

∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c,

∴4b2=a2+c2+2ac,∴4(c2-a2)=a2+c2+2ac, 5 化简整理,得 3e -2e-5=0,∴e= . 3
2

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x2 y2 5 . (2013· 西 文 , 11) 双 曲 线 16 - 9 = 1 的 离 心 率 为 陕 ________.

5 [答案] 4

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[解析]

x2 y2 本题考查了双曲线离心率的概念.双曲线 16- 9

c 5 =1 中,a=4,b=3,则 c= 16+9= 25=5,∴e= = . a 4

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三、解答题 6.双曲线的一条渐近线方程是 3x+4y=0,一个焦点是 (4,0),求双曲线的标准方程.

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[解析]

∵双曲线的一条渐近线方程为 3x+4y=0,

x2 y2 ∴设双曲线的方程为 - =λ, 16 9 16 由题意知 λ>0,∴16λ+9λ=16,∴λ=25. x2 y2 ∴所求的双曲线方程为256-144=1. 25 25

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课后强化作业(点此链接)

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