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湖北省2014届高三二月联考数学(理)


湖北省部分重点中学 2014 届高三二月联考

高三数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 x, y ? R , i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? ?1 ? i ,则 (1 ? i ) A.4 的真子集共有 A.3 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 ) B.4+4 i C. ?4 D.2 i
x? y

的值为 (



2.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U = A ? B,则集合 CU ( A ? B)

3.要得到函数 y ? sin(2 x ?

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象(

A.向左平移 ? 单位 B.向右平移 ? 单位
4 4

C.向右平移 ? 单位 D .向左平移 ? 单
8 8

位 4.半径为 R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为( A、 3 3R 2 B、 3R 2 C、 2 2 R 2 D、 2 R 2 )

n ? N * ) 个普通职工的 2013 年的年收入,设 x2, x3, ?, xn 是武汉市 n (n ? 3, 5.已知数据 x1,
这 n 个数据的中位数为 x ,平均数为 y ,方差为 z ,如果再加上比尔.盖茨的 2013 年的年 收入 xn?1 (约 900 亿元) ,则这 n ? 1个数据中,下列说法正确的是( A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变 B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变 D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变。
2 6.在各项均为正数的等比数列 {a n } 中, (a1 ? a3 )( a5 ? a7 ) ? 4a 4 ,则下列结论中正确的是



·1 ·



) A.数列 {a n } 是递增数列; B.数列 {a n } 是递减数列; C.数列 {a n } 既不是递增数列也不是递减数列; D.数列 {a n } 有可能是递增数列也有可能是递减数列.

7.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①“ f ( x) 是奇函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于点 A(a,0) 对称”; ②“ f ( x) 是偶函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于直线 x ? a 对称”; ③“ 2a 是 f ( x) 的一个周期”的充要条件是“对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a) ? ? f ( x) ”; ④ “函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ a ? b ” 其中正确命题的序号是( A.①② ) B.②③ C.①④ D.③④

→ → → → 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,且 x+y=1, → → 则CD· BE的最大值为 5 A.-8 3 B.-4 ( 3 C.-2 ) 3 D.-8

9.设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, P 是 C 上一点, a 2 b2

若 PF1 ? PF2 ? 6a ,且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的渐近线方程为( A. y ? ? x B. y ? ?2 x C. y ? ?
2 x 2



D. y ? ? 2 x

10.已知函数 f ( x) ? log a x ? 1 (a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则 A. 2 B. 4 C.8
1 1 1 1 ? ? ? ?( x1 x2 x3 x4



D. 随 a 值变化

·2 ·

二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案 填在答题卡的 对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ..... (一)必考题(11—14 题) 11.执行如图所示的程序框图,输出的 S = .

?y ? 0 ? 12.若不等式组 ? y ? 2 x 表示的平面区域是 ? y ? a ( x ? 1) ? 1 ?

n ? 10 ?

一个三角形,则 a 的取值范围是 13.已知椭圆
2

.

S ? S ? n?2n

x2 y2 ? ? 1 的面积计算公式是 S ? ?ab , a2 b2

则? 14.

?2

1?

1 2 x dx ? ________; 4

1 1 2 1 2 3 1 2 k 设数列 , , , , , ,?, , ,?, ,?. 这个数列第 2010 项的值是________; 1 2 1 3 2 1 k k ?1 1

这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是

.

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答 结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,AB 为半径为 2 的圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦, 垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F.则 AC 2 +BF· BM=

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,直线 ρ(cosθ-sinθ)+2=0 被曲线 C:ρ=2 所截得弦的中点的极坐标为 ________.

·3 ·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。 已知 (a ? c)(sin A ? sin C) ? (a ? b) sin B 。 (1) 求角 C 的大小。 (2) 求 cos2 A ? cos2 B 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分) 某班甲、乙两名学同参加 100 米达标训练,在相同条件下两人 10 次训练的成绩(单 位:秒)如下: 1 甲 乙 11.6 12.3 2 12.2 13.3 3 13.2 14.3 4 13.9 11.7 5 14.0 12.0 6 11.5 12.8 7 13.1 13.2 8 14.5 13.8 9 11.7 14.1 10 14.3 12.5

(1)请作出样本数据的茎叶图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比 赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过 统计图直接回答结论). (2)从甲、乙两人的 10 次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个 比 12.8 秒差的概率. (3) 经 过 对 甲 、 乙 两 位 同 学 的 多 次 成 绩 的 统 计 , 甲 、 乙 的 成 绩 都 均 匀 分 布 在 [11.5,14.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率.

·4 ·

19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 中(图 1) , E 是 BC 的中点, DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 ,
AB ? AD ? 2.

将(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A ? BD ? C 为 600 (如图 2) (1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值。
D C

D

C

A

A

E
E

B
图1

B 图2

20.(本小题满分 12 分)

6 已 知 数 列 ?an ?满 足 a1 ? ? ,1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? ?an ?1 ? 0(? ? 0, ? ? ?1, n ? N *) 7
(1) 求数列 ?a n ?的通项公式 a n ; (2) 当 ? ?
1 时,数列中是否存在含有 a1 在内的三项构成等差数列,若存在 ,请求 3

出来;若不存在,请说明理由。

·5 ·

21. (本小题满分 13 分) x2 y2 3 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e= 2 ,椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1, 2 5 A2,左、右顶点分别为 B1,B2,左、右焦点分别为 F1,F2.原点到直线 A2B2 的距离为 5 . (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)过原点且斜率为2的直线 l,与椭圆交于 E,F 点,试判断∠EF2F 是锐角、直角 还是钝角,并写出理由; (3)P 是椭圆上异于 A1,A2 的任一点,直线 PA1,PA2,分别交 x 轴于点 N,M,若直线 OT 与过点 M,N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
x(1 ? a ln x) ( x ? 1) x ?1

(1) 当 a ? 0 时,讨论 g ( x) ? ( x ? 1) 2 f ??x ? 的单调性; (2) 当 a ? 1 时,若 f ( x) ? n 恒成立,求满足条件的正整数 n 的值; (3) 求证: ?1 ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ?? ?1 ? n?n ? 1?? ? e
2n? 5 2

·6 ·

湖北省部分重点中学 2014 届高三二月联考高三理数参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 A 5 B 6 C 7 A 8 D 9 D 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 8194 12. (??,0) 13.

?

14.

57 7

,8076181

15. 16

16. ? 2 ,

? ?

3? ? ? 4 ?

三、 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (1)由正弦定理可知 (a ? c)(a ? c) ? (a ? b)b 即 a ? b ? c ? ab 。
2 2 2

……………………2 分

由余弦定理得 所以 C ?

coC s ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? 2ab 2

……………………4 分 …………………5 分

?
3 2? 2? ,故 B ? ?A 3 3
2

(2)? A ? B ?
2

所以 cos A ? cos B ? 1 ? =1 ?

1 1 4? cos 2 A ? cos( ? 2 A) 2 2 3
…………………8 分

3 1 1 5? sin 2 A ? cos 2 A = 1 ? sin(2 A ? ) 4 4 2 6

因 ?ABC 为锐角三角形,所以

?
6

? A?

?
2
…………………10 分

?

7? 5? 11? ? 2A ? ? 6 6 6 5? 1 )?? 6 2

? - 1 ? sin(2 A ?

1 3 ? cos2 A ? cos2 B 的取值范围为 [ , ) 2 4
18. 解 (1)茎叶图

…………………12 分

·7 ·

………………3 分 从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小, 应选派乙同学代表班级参加比赛较好. (2)设事件 A 为:甲的成绩低于 12.8,事件 B 为:乙的成绩低于 12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个低于 12.8 秒的概率为 4 5 4 P=1-P( A )( B )=1- × = . 10 10 5 (3)设甲同学的成绩为 x,乙同学的成绩为 y, 则|x-y|<0.8, 得-0.8+x<y<0.8+x. ………………8 分 ………………7 分 ………………4 分

如图阴影部分面积即为 3× 3-2.2× 2.2=4.16,

………………10 分

4.16 104 则 P(|x-y|<0.8)=P(-0.8+x<y<0.8+x)= = .…………12 分 3× 3 225 19.解:如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。∵ AB ? AD ? ∵ DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 ? DB 2 ? DC 2 ? BC 2 , 所以 ?BCD 是 BC 为斜边的直角三角形, BD ? DC , ∵ E 是 BC 的中点,∴ME 为 ?BCD 的中位线 ME //

2. ? AM ? BD

1 CD , 2

? ME ? BD , ME ?

1 2

? ?AME 是二面角 A ? BD ? C 的平面角

? ?AME = 600
? BD ? 平面AEM ? AE ? 平面 AEM? BD ? AE
∵ AB ? AD ?

…………………3 分

? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线

2. , DB ? 2 ? ?ABD 为等腰直角三角形? AM ?

1 BD ? 1 , 2

AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos ?AME ? 1 ?

1 1 3 3 ? 2 ? 1 ? ? cos 60? ? ? AE ? 4 2 4 2

? AE 2 ? ME 2 ? 1 ? AM 2 ? AE ? ME
? BD ? ME, BD ? 平 面 BDC, ME ? 面BDC ? AE ? 平面BDC
·8 ·

………………6 分

(2)如图,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系 M ? xyz , 则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0), E (0, ,0) , A(0,

1 2

1 3 , ) ,D (?1,0,0) ,C (?1,1,0) , 2 2

1 3 3 DA ? (1, , ), DC ? (0,1,0), AE ? (0,0,? ) ………8 分 2 2 2
设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x , y, z )

? ?n ? DA ? 0 则? ? ? n ? DC ? 0 ?

? 1 3 z?0 ?x ? y ? ? 2 2 ?y ? 0 ?

令x ? 3 , 则z ? ?2 ? n ? ( 3, 0,?2) 设AE与 平 面 ADC所 成 的 角 为 ?,

则sin ? ?

n ? AE n ? AE

?

3 3 7? 2

?

2 7 7
2 7 7

…………………………10 分

所以直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为

…………………………12 分 ① ②

20.解:由题意 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? ?a n ?1 ? 0

1 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? a n?1 ? ?a n ? 2 ? 0
由②-①得 (1 ? ? )a n ?1 ? ?a n ? 2 ? 0 ,又 ? ? 0, ? ? ?1, n ? N * ∴ an?2 ?

1? ?

?

a n?1 ,故数列 ?a n ?从第二项开始为等比数列…………………………3 分

将 n ? 1代入①式, 1 ? a1 ? ?a 2 ? 0, a 2 ?

1 ? a1

?

?

1 1 1 ? ? n? 2 ,∴ n ? 2 时, a n ? ( ) 7? 7? ?

? 6 ? ,n ?1 ? ? 7 ∴数列 ?a n ?的通项 a n ? ? ? 1 (1 ? ? ) n ? 2 , n ? 2 ? ? 7? ?
1 3

…………………………6 分

(2)? ? ?

? 6 ? ,n ?1 ? ? 7 ∴ an ? ? ? 3 ? 4 n?2 , n ? 2 ? ?7
·9 ·

…………………………8 分

假设存在包含 a1 的三项成等差数列 不妨设 k ? p ? 2 且 a k ? a p

? 当n ? 2时 , a n ? a1

? a k ? a p ? a1

? 2a p ? a1 ? a k

3 6 3 ? 2 ? ( ) ? 4 p ?2 ? ? ? ( ) ? 4k ?2 ? 2 ? 4 p ?2 ? ?2 ? 4k ?2 ? 2( 2 p ?3) ? 22( k ?2) ? 2 ……10 分 7 7 7
?k ? p ? 2 ?当 且 仅 当 k ? 3, p ? 2时 成 立 ?数 列?a n ?存 在 a1 , a 2 , a3或a3 , a 2 , a1成 等 差 数 列
21 解: (1)因为椭圆 C 的离心率 e= 3 , 2
F1 B1 O y A1 T P F2 M B2 G N x

………………………12 分

故设 a=2m,c= 3m,则 b=m. 直线 A2B2 方程为 bx-ay-ab=0, 即 mx-2my-2m =0. 所以 2m2 2 5 2 2= 5 ,解得 m=1. m +4m
A2
2

x2 所以 a=2,b=1,椭圆方程为 +y2=1. 4 x2 2 +y =1, 4 2 2 (2)由 得 E( 2, ),F(- 2,- ). 1 2 2 y= x, 2

…………………4 分

? ? ?

………………….6 分

2 2 → → 又 F2( 3,0),所以F2E=( 2- 3, ),F2F=(- 2- 3,- ), 2 2 2 2 1 → → 所以F2E· F2F=( 2- 3)× (- 2- 3)+ × (- )= >0. 2 2 2 所以∠EF2F 是锐角. (3)由(1)可知 A1(0,1) A2(0,-1),设 P(x0,y0), y0-1 x0 直线 PA1:y-1= x,令 y=0,得 xN=- ; x0 y0-1 y0+1 x0 直线 PA2:y+1= x,令 y=0,得 xM= ;……………………………………10 分 x0 y0+1 1 x0 x0 解法一:设圆 G 的圆心为( ( - ),h), 2 y0+1 y0-1 1 x0 x0 x0 2 1 x0 x0 2 则 r2=[ ( - )- ] +h2= ( + ) +h2. 2 y0+1 y0-1 y0+1 4 y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 OG2= ( - ) +h2. 4 y0+1 y0-1
·10·

……………… 8 分

1 x0 x0 2 1 x0 x0 2 x02 OT2=OG2-r2= ( - ) +h2- ( + ) -h2= .………….12 分 4 y0+1 y0-1 4 y0+1 y0-1 1-y02 而 x02 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OT2=4, 4 ………………… 13 分 ………………….12 分

所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. 解法二:OM· ON=|(- 而 x0 x0 x02 )· |= , y0-1 y0+1 1-y02

x02 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OM· ON=4. 4

由切割线定理得 OT2=OM· ON=4. 所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. ………………… 13 分

? ? a ?? ?1 ? ?1 ? a ln x ? ? x ? 0 ? x ? ? ? x ? 1? ? x ?1 ? a ln x ? ?1 ax ? a ln x ? a ? 1 ? ?? ? ' ? 22.解:(Ⅰ) f ? x ? ? ,…………2 分 2 2 ? x ? 1? ? x ? 1?
令 g ? x ? ? ax ? a ln x ? a ? 1,

a ? 0 时 g ? x ? ? ?1 为常函数,不具有单调性。

………………3 分 ………………4 分

a ? 0 时 g' ? x? ? a ?

a a ? x ? 1? ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增; x x

(Ⅱ) a ? 1 时 g ? x ? ? x ? ln x ? 2 ,

e2 e g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? 2 ? ln ? 0 , g ? 4 ? ? 4 ? ln 4 ? 2 ? ln ? 0 , 4 3
设 g ? b ? ? 0 ,则 b ? ? 3, 4 ? 。

………………5 分

因为此时 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增可知当 x ? ?1, b ? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时, g ( x) ? 0 , 所以当 x ? ?1, b ? 时, f
'

? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,
b ?1 ? ln b ? b ?1
, ………………7 分

当 x ? b 时, f ? x ?min ? f ? b ? ?

? g ? b ? ? 0 ,?b ? ln b ? 2 ? 0 ,即 ln b ? b ? 2 ,
所以 f ? b ? ? b , ? b ? ? 3, 4 ? ,? f ? b ? ? ? 3, 4 ? ,

?n ? 3 ,故正整数 n 的值为 1、2 或 3。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, f ? x ? ? 3 恒成立,即

………………9 分

x ?1 ? ln x ? x ?1

? 3,

·11·

1 ? ln x ?

3 ? x ? 1? x

, ln x ?

3 ? x ? 1? x

?1 ?

2x ? 3 3 ? 2 ? ? x ? 1? , x x
3 3 1 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 3? ? ? …12 分 n ? n ? 1? ? 1 n ? n ? 1? ? n n ?1 ?

令 x ? 1 ? n ? n ? 1?



得 ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? 2?

则 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln 3 ( n ? 1 暂时不放缩)

?1 1? ln ?1 ? 2 ? 3? ? 2 ? 3 ? ? ? , ? 2 3?
以 上

. . . . . . . . . . , 个 式

1 ? ?1 ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? 2 ? 3? n ? n ?1 ? . ? ?
子 相 加 得 :

n

1 ? ?1 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? ln 3 ? 2 ? n ? 1? ? 3 ? 2 ? n ? 1 ? ? ?

7 3 5 3 5 ? ln e ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n ?1 2 n ?1 2
所以 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? ? 2n ? 即 ?1 ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1?? ??e
2n? 5 2

?

?

5 , 2
………………14 分



·12·


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