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山东省济南第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文


济南一中 2015—2016 学年度第一学期期中质量检测 高三数学试题(文科)
说明:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为第 1 页 至第 3 页,共 20 题,第Ⅱ卷为第 3 页至第 4 页,全卷共 29 个题。请将第Ⅱ卷答案答在答 题纸相应位置,考试结束后将答题纸上交。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,每题 4 分,共 80 分) 1. 抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标是 A. (2,0) B. (- 2,0) ( ) C. (4,0) D. (- 4,0) )

2. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题正确的是( A. ? ? ? , ? ? ? ? ? / / ? C. m‖? , n‖? ? m‖ n 3. tan 240? 的值是( A. ? ) B. m ? ? , n ? ? ? m / / n D. m‖? , m‖ ? ? ?‖ ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D.

3

x2 y 2 x P , F2 为右焦点, 4. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F 1 作 轴的垂线交椭圆于点 a b
若 ?F 1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为( )

A.

2 2

B.

3 3

C. )

1 2

D.

1 3

5. 正方体内切球和外接球半径的比是( A. 1 : 2 B. 1 : 3

C. 2 : 3

D.1:2

6. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移 移

?

? 个单位 2

? 个单位 4

) 的图象,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象 ( 3 6

?

) D.向右平

B.向左平移

? 个单位 2

C.向右平移

? 个单位 4

1

?x ? y ? 1 ? 7.已知变量 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 5, 则z ? 3 x ? y 的最大值为( ?x ? 1 ?
A.5 B.6 C.7 D.8

)

8. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r =( 6 3
B.2 C.3 D.6



A. 3

9. 在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的 一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

10. 若 ? ? ? 0,

1 ? ?? 2 ,且 sin ? ? cos 2? ? ,则 tan ? 的值等于( ?) 4 ? 2?
B.



A.

2 2

3 3

C.

2
2 2

D.

3

11. 已知过点 P(2, 2) 的直线与圆 ( x ? 1) ? y ? 5 相切, 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则
a?(

) B.1 C.2 D.
1 2

A. ?

1 2

12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4 )



π π 13. 函数 y=sin(2x- )在区间[- ,π ]的简图为( 3 2

? 0? x?4 ? 14.已知关于 x , y 的不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,所表示的平面区域的面积为 l6,则 k 的值 ?kx ? y ? 4 ? 0 ?

2

为(

) B.0 C. 1 D. 3 )

A. -l

15. 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ?

2 2

D. 1 ? 2 2

16. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的体积为( A. ) C.

32 3

B. 64

32 3 3

D.

64 3

17. 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像 与直线 间 是

y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区
( ) A.

[ k? ?

?
12

, k? ?

5? ], k ? Z 12

B.

[ k? ?

5? 11? , k? ? ], k ? Z 12 12
2? ], k ? Z 3

C.

[ k? ?

?

, k? ? ], k ? Z 3 6

?

D. [ k? ?

?
6

, k? ?

18. 已知正三棱锥 V ? ABC 的主视图、俯视图如下图所示,其中 VA=4,AC= 2 3 ,则该三棱 锥的左视图的面积为( A.6 B. 3 3 C.9 ) D. 39

19. 已知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ,若将它的图象向右平移 个单位,得到函数 g ? x ? 的图 6 6?
) D. x ?

?

象,则函数 g ? x ? 图象的一条对称轴的方程为( A. x ?

?
12

B. x ?

?
4

C. x ?

?
3

?
2

2 20.已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F , 直线 y ? 3( x ?1) 与 C 交于 A, B ( A 在 x 轴上方)

两点. 若 AF ? mFB ,则 m 的值为( A.

??? ?

??? ?
B.

) D. 3

3

3 2

C. 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)

3

二、填空题(本大题包括 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 21. 长方体的全面积是 11,所有棱长度之和是 24,则这个长方体的一条对角线长是______ 22. 已知角 ? 的终边过点(4,-3) ,则 tan 2? ? .

23. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? my ? 4 ? 0 上两点 M、N 关于直线 2 x ? y ? 0 对称,则圆的半径 为___ 24. 以抛物线 y 2 ? 8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x ? 2 ? 0 相切, 这些圆必过一定点, 则这一定点的坐标是______

?y ? 0 y ?1 ? , 若? ? 25. 实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则 ? 的取值范围是 x ? 1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

三、解答题(本大题包括 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 26. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x, x ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)求 f ( x) 在 [0, ? ] 上的最小值. 27. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 A ? BCDE ,其中 AB ? BC ? AC ? BE ? 1 ,CD ? 2 ,CD ? 面ABC ,

BE ∥ CD , F 为 AD 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ∥面 ABC ; (Ⅱ)求证:面 ADE ? 面ACD ; (III)求四棱锥 A ? BCDE 的体积.

D

F E C B A

28. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 E :

A

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2
4

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) ,证明: 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

29. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? ln x. g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (Ⅲ)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) <

1 x

1 对任意 x >0 成立. a

5

济南一中高三测试题数学(文科)(答案) 一、选择题 BBDBB 二、填空题 21. 5 三、解答题 26. 解: ( Ⅰ ) 22. ? CCABD CDACB DCBCD

24 7

23. 3

24. (2, 0)

25. [ ?1, ]

1 3

f ( x) ? 3 s
分 所 2 (

x?c


x ? 2s

x?

?
6

)

i o i ………………………………………… 2
, 最 大 值 为

n

s

2? 最 小 正 周 期 为 …………………………………………4 分
Ⅱ )



2k? ?

?
2

? x?

?
6

? 2k? ?


?
2


(k ? z )

…………………………………………5 分 的 单 调 增 区 间 为 :





f ( x)

[2k? ?


?
3

,2k? ?


2? ]( k ? z ) 3


………………………8 分 当

x ? [0, ? ]时,?

?
6

? x?

?
6

?

?

1 ? ? sin( x ? ) ? 1 2 6
故 当

5? 6



………………………10 分 时 ,

x=0

f ( x)



[0, ? ]













-1

……………………………………………12 分

27. 解: (Ⅰ)取 AC 中点 G,连结 FG、BG, ∵F,G 分别是 AD,AC 的中点 ∴FG∥CD,且 FG= ∵BE∥CD ∴EF∥BG. D

1 DC=1 . 2
E C G

∴FG 与 BE 平行且相等

F

EF ? 面ABC, BG ? 面ABC
∴ EF ∥面 ABC

A

B
A

6

(Ⅱ)∵△ABC 为等边三角形

∴BG⊥AC

又∵DC⊥面 ABC,BG ? 面 ABC ∴DC⊥BG ∴BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DC, ∴BG⊥面 ADC . ∵EF∥BG ∴EF⊥面 ADC ∵EF ? 面 ADE,∴面 ADE⊥面 ADC . (Ⅲ)连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥 E-ABC 和 E-ADC .

1 3 1 3 3 3 3 . V A? BCDE ? VE ? ABC ? VE ? ACD ? ? ? 1 ? ? 1? ? ? ? 3 4 3 2 12 6 4

28. (I)由题意知

c 2 ? ,b ? 1, a 2

综合 a ? b ? c ,解得 a ? 2 ,
2 2 2

所以,椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2 x2 ? y 2 ? 1 ,得 2

(II)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

7

?1 1? x ? x2 ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 x1 x2 ? x1 x2 ?

? 2k ? ? 2 ? k ?

4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)
1 , x

29. 解(Ⅰ)由题设知 f ( x ) ? ln x, g ( x ) ? ln x ? ∴ g ?( x) ?

x ?1 , 令 g ?( x) ? 0 得 x =1, x2

当 x ∈(0,1)时, g ?( x ) <0,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间。 当 x ∈(1,+∞)时, g ?( x ) >0,故(1,+∞)是 g ( x) 的单调递增区间,因此, x =1 是 g ( x) 的唯一值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为 g (1) ? 1. (II) g ( ) ? ? ln x ? x

1 x

( x ? 1)2 1 1 ? 设 h( x ) ? g ( x ) ? g ( ) ? 2 ln x ? x ? ,则 h ( x) ? ? , x x x2
当 x ? 1 时, h(1) ? 0 即 g ( x ) ? g ( ) , 当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时 h?(1) ? 0 , 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 即 g ( x) ? g ( ). 当 x ? 1时, h( x) ? h(1) ? 0

1 x

1 x

1 即g ( x ) ? g ( ) x
(III)由(I)知 g ( x) 的最小值为 1,所以,

g (a ) ? g ( x) ?

1 1 ,对任意 x ? 0 ,成立 ? g ( a ) ? 1 ? , a a

即 ln a ? 1, 从而得 0 ? a ? e 。

8


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