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高中数学 第一章 统计案例 例谈回归分析的应用素材 北师大版选修1-2


例谈回归分析的应用
在解许多实际应用问题时, 运用回归分析的基本思想, 通过构建回归模型去刻画解释变 量与预报变量的关系,并利用模型,对解释变量的某个值去预测相应预报变量的某个值,从 而使问题得到解决. 建立回归模型解实际问题的步骤是: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量; (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系; (3)由经验确定回归方程的类型,即拟合直线或拟合曲线; (4)按一定规则估计回归方程中的参数,从而求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式; (5)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策提供依据. 下面举例说明. 例 1 某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品,在市场试验中发现,此商品的销售单 价 x 元与日销售量 y 台之间有如下关系:

x
y

35 56

40 41

45 28

50 11

(1) y 与 x 是否具有线性相关关系?如果具有线性相关关系,求出回归直线方程; (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式并预 测当销售单价 x 为多少元时,才能获得最大日销售利润. 解析: (1)散点图如右图所示,并从图中可以看出, 这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量线性相关.

? ? bx ? a ,则由公式求 设回归直线为 y
得 b ≈ ?3 , a ? 161.5 .

? ? ?3x ? 161.5 ; ∴y
(2)依题意有 P ? (?3x ? 161.5)( x ? 30) ? ?3x ? 251.5x ? 4845 ,
2

∴当 x ?

251.5 ≈ 42 时, P 有最大值约为 426 . 6

即预测销售单价为 42 元时,才能获得最大日销售利润. 点评:本题主要考查构建线性回归模型在解决实际问题中的应用. 例 2 某国从 1790 年至 1950 年人口数据资料:

时间 1790 1800 1810 1820 1830 人口

1840

1850

1860

1870

1880

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

(百 3.929 5.308 7.24 9.368 12.866 17.069 23.182 31.433 38.558 50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697 万) 试利用上述资料预测该国 1980 年的人口数(假设该国政治、社会、经济环境稳定,且 人口数相对于时间是连续的) . 分析:以 x 轴代表年度, y 轴代表人口数,建立直角坐标系,画出散点图(略) ,并观 察散点图可以发现,从 1890 年以后散点近似分布在一条直线上;而从散点图的整体趋势来 看,也可以认为散点近似分布在一条抛物线上,故可采用线性回归模型拟合,或采用二次函 数模型拟合. 解法一:由散点图可以看出,1890 年以后散点大致分布在一条直线上,设线性回归直

? ? bx ? a ,由公式求得 b ≈1.485,a ≈ ?2747.025 , 线方程为 y ? ? 1.4858x ? 2747.025 . 即y
∴当 x ? 1980 时, y ? 194.859 ?106 ,即 1980 年该国人口预测为 194.859 百万人. 解法二:从散点的整体趋势看,散点近似分布在一条以直线 x ? 1790 为对称轴,以点 ( 1790 , 3.929)为顶点的抛物线上,再任意选一点( 1890, 62.948)确定抛物线方程为

y ? 0.0059(x ?1790)2 ? 3.929 .
∴当 x ? 1980 时, y ? 216.919 ?106 ,即该国人口预测为 216.919 百万人. 点评:本题主要考查重视对信息、图表的分析,提取,加工和处理能力.两种解法,由 于考虑问题和观察角度不同, 所得到结论和答案也不相同, 线性回归模型是在依据部分已知 数据的基础上作出的, 因此精确度比较差; 而二次函数模型是根据全部已知数据的分布趋势 拟合的,因而有较高的精确度.当然,同学们可以进一步利用回归分析的方法,通过利用相 关指数 R 来比较两个模型的拟合效果.
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