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2013年温州市高三第二次适应性测试数学(理科)试题和答案

2013 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题
分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

2013.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页.满分 150

棱柱的体积公式
V ? Sh

如果事件 A , B 相互独立,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
V ? 1 3 Sh

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k n?k

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
V ? 1 3 h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

, ( k ? 0 ,1, 2 , ? , n )

球的表面积公式 一、
S ? 4? R
2

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,
h 表示棱台的高

球的体积公式
V ? 4 3

?R

3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.已知全集 U A. ( ? 1, 0 ) 2.“ m
? 5

? R

,集合 A

? { x | x ? 1 ? 0} , B ? { y | y ?
2

x } ,则 A I ( ?U B ) ?

( ▲ )

B. ( ? 1, 0 ]
? 2y ? m ? 0

C. ( 0 ,1) 与圆 x 2
? y
2

D. [ 0 ,1)
?1

”是“直线 x

相切”的(

▲ )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? 30 , B ?105 , a ? 1
o o

3.在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 A A. 1 B.
2

,则 c ? (

▲ )

C.

3

D. 2

高三数学(理科)试卷

第 1 页(共 4 页)

4.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( ▲ ) A. 2 B.
3 2

C. 3 )

D.

5 2

5.下列命题正确的是( ▲

A.若平面 ? 不平行于平面 ? ,则 ? 内不存在直线平行 于平面 ? B.若平面 ? 不垂直于平面 ? ,则 ? 内不存在直线垂直 于平面 ? C.若直线 l 不平行于平面 ? ,则 ? 内不存在直线平行于直线 l D.若直线 l 不垂直于平面 ? ,则 ? 内不存在直线垂直于直线 l 6.已知 2 a A. C.
?3 ?6
b c

(第 4 题图)

,则有( ▲ ) B. D.
a ?b c ? (3, 4 )

a ?b c a ?b c

? (2, 3)

? (4, 5)

a ?b c

? (5 , 6 )

7.已知三个不全相等的实数 a , b , c 成等比数列,则可能成等差数列的是( ▲ ) A. a , b , c C. a , b , c
3 3 3

B. a , b , c
2 2

2

D. a , b , c ▲ )
x

8.以下函数中满足 A.
f ( x ) ? ln x

f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 1 的是(

B. f ( x ) ? e

x

C. f ( x ) ? e ? x

D. f ( x ) ? e ? x
x

?x ? 2y ? 2 ? 9.若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4 ,则 3 | x ? 1 | ? y 的最大值是( ? x ? y ? ?1 ?





A.2 10. 抛物线 y 2

B.3
? 2 px( p ? 0)

C.4

D.5

的准线交 x 轴于点 C , 焦点为 F ,A ,B 是抛物线的两点. 已知 A , ▲ )

| | 且 直线 A B 的斜率为 k , ( 则有 C B , 三点共线, | A F | , A B | , B F | 成等差数列,

A. k 2

?

1 4

B. k 2

?

3 4

C. k 2

?

1 2

D. k 2

?

3 2

高三数学(理科)试卷

第 2 页(共 4 页)

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. i 是虚数单位, a , b ? R ,若
a ? bi a ?i ? i ,则 a ? b ?

▲ ▲

. .

12.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为
6 2 6 13.设 x ? a 0 ? a 1 (1 ? x ) ? a 2 (1 ? x ) L ? a 6 (1 ? x ) ,

则 a1 ? a 2 ? L ? a 6 ?




uuu r uuu r
uuu r uuu r

14.已知正 ? A B C 的边长为 1, A D ? D B , A E ? 2 E C ,
uur uuu r

则BE ?CD ?





(第 13 题图)

15.有三位同学为过节日互赠礼物,每人准备一件礼物,先将礼物集中在一个袋子中,每人从 中随机抽取一件礼物. 设恰好抽到自己准备的礼物的人数为 ? , ? 的数学期望 E ? ? ▲ . 则 16.已知 F1 , F 2 分别是双曲线 x ?
2
o

y b

2 2

? 1 的左、右焦点, A 是双曲线上在第一象限内的点,若

| A F 2 | ? 2 且 ? F1 A F 2 ? 4 5 , 延长 A F 2 交双曲线右支于点 B , ? F1AB 则

的面积等于 ▲ .

? 1 ( x ? 1), ( x ? a ) ? ?a ?1 1 3 17. 设函数 f ( x ) ? ? , 已知存在 t 1 ,t 2 使得 f ( t1 ) ? , f ( t 2 ) ? , t1 ? t 2 则 1 2 2 ? ( x ? 2 ), ( x ? a ) ?a ? 2 ?

的取值范围是





三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知 a (I)求
r ? ( 2 c o s x , s in x ) r ? (0, 3 cos x) r r f ( x ) ?| a ? b | .

,b



f (

?
6

)

的值;
?
3 )

(II)当 x ? ( 0 ,

时,求

f (x)

的值域.

19. (本题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 (I)求证: { S n ? 1} 是等比数列; (II)求数列 { n a n } 的前 n 项和.

? 2

,当 n

? 2

时, S n ? 1

? 1,an

,Sn

? 1 成等差数列.

高三数学(理科)试卷

第 3 页(共 4 页)

20. (本题满分 14 分)已知矩形 A B C D 中, A B ? 2 , A D ? 5 , E , F 分别在 A D , B C 上, 且 A E ? 1 ,B F ? 3 , E F 将四边形 A E F B 折成四边形 A ' E F B ' , 沿 使点 B ' 在平面 C D E F 上的射影 H 在直线 D E 上. (I)求证: A ' D ∥平面 B ' F C ; (II)求二面角 A '? D E ? F 的大小.

(第 20 题图)

21. (本题满分 15 分)如图,直线 l : y ? k x ? 1 与椭圆 C 1 :

x

2

?

y

2

?1

交于 A ,C 两点, A ,C

16

4

在 x 轴两侧, B , D 是圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 1 6 上的两点,且 A 与 B , C 与 D 的横坐标相同, 纵坐标同号. (I)求证:点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍,并计算 | A B | ? | C D | 的取值范围; (II)试问直线 B D 是否经过一个定点,若是,求出定点的坐标,若不是,说明理由.

22. (本题满分 15 分)已知函数

f (x) ?

ln x x



(第 21 题图)

(I)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? m 恒成立,求实数 m 的最小值; (II)对任意的 x1 , x 2 ? ( 0 , 2 ) ,已知存在 x 0 ? ( x 1 , x 2 ) ,使得 求证: x 0
? x1 x 2

f ?( x 0 ) ?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1





高三数学(理科)试卷

第 4 页(共 4 页)

2013 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题参考答案
符合题目要求. 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 C 7 8 9 1 0 D 2013.4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

A

A

B

A

B

B

D

C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.2 12.8 13.-1 14. ?
1 2

15.1

16.4

17. ( ? ? , ?

1 2

)U(

1 2

, ?? )

三、解答题:www.zxsx.com 18.解: (I) f ( x ) ?
?
2

( 2 c o s x ) ? (s in x ?
2

3 cos x)

2

………………………2 分

7 c o s x ? s in x ? 2
2

3 s in x c o s x

?

1 ? 3 (1 ? c o s 2 x ) ?

3 s in 2 x ……………………………………4 分

?

4? 2

3 s in ( 2 x ?

?
3

) ……………………………………………6 分

∴f( (II)∵ x ? ( 0 ,

?
6

) ?

7

………………………………………………………7 分
?
3 ?(

?
3

)

∴2x ?

?
3

, ? ) …………………………………9 分

∴ s in ( 2 x ?

?
3

) ? ( 0 ,1] ,www.zxsx.com

∴2 ? f (x) ?

4? 2

3

∴ f ( x ) ? ( 2 , 3 ? 1] ……………………………………………………14 分 19. (I)证明:∵ S n ? 1 ? 1 , a n , S n ? 1 成等差数列 ∴ 2 a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 ( n ? 2 ) …………………………………………2 分 ∴ 2 ( S n ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 ? 2 即 S n ? 3 S n ? 1 ? 2 …………………4 分
第 5 页(共 4 页)

高三数学(理科)试卷

∴ S n ? 1 ? 3 ( S n ? 1 ? 1) ( n ? 2 ) ………………6 分 ∴ { S n ? 1} 是首项为 S 1 ? 1 ? 3 ,公比为 3 的等比数列………………7 分
n (II)解:由(I)可知 S n ? 1 ? 3

n ∴ S n ? 3 ? 1 ……………………………9 分

n ?1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 ? 3

又∵ a 1 ? 2
n ?1 * ∴ a n ? 2 ? 3 ( n ? N ) ………………………………………………11 分
n?2 n ?1 2 ? 2n ?3 ∴ T n ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? L ? 2 ( n ? 1) ? 3

(1)
n

3T n ?

2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? L ? 2 ( n ? 1) ? 3
2 3

n ?1

? 2n ?3

(2)

(1)-(2)得:
? 2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? L ? 2 ? 3
2 n ?1

? 2n ?3 ?
n

2 (1 ? 3 )
n

1? 3

? 2n ?3 ? 3 ? 1 ? 2n ?3 n n n

∴Tn ?

( 2 n ? 1) ? 3 ? 1
n

………………………………………………14 分

2

20. (I)∵ A ' E ∥ B ' F , D E ∥ F C www.zxsx.com ∴ A ' E ∥平面 B ' F C , D E ∥平面 B ' F C ∴平面 A ' E D ∥平面 B ' F C ∴ A ' D ∥平面 B ' F C ……………………………………………………6 分 (II)方法一: 由(I)可知平面 A ' E D ∥平面 B ' F C ∴二面角 A '? D E ? F 与二面角 B ' ? F C ? E 互补……………………8 分 过 B ' 作 B ' K ? E F 于 K ,连结 H K ∵ B ' H ? 平面 C D E F
o

A ' EI

D E ?

E

∴ B ' H ? EF
o

∴ E F ? 平面 B ' K H

∴ EF ? KH

∵? B ' FE ? 45 ,? B ' K F ? 90 , B ' F ? 3
3 2 2 2 2
o o

∴FK ?

∵EF ? 2 2 ∴EK ?

又∵ ? K E H ? 4 5 , ? H K E ? 9 0 ∵B 'E ?
5

∴ EH ? 1

∴ B ' H ? 2 …………10 分

过 H 作 H L ? C F 交 C F 延长线于点 L ,连结 B ' L ∵ B ' H ? 平面 C D E F ∴B 'H ? CF
第 6 页(共 4 页) 高三数学(理科)试卷

∴ C F ? 平面 B ' H L ∴ C F ? B ' L ∴ ? B ' L H 为二面角 B ' ? C F ? E 的平面角…………………………12 分 ∵ HL ? 2 ? B ' H ∴? B ' LH ? 45
o o

∴二面角 A '? D E ? F 的大小为 1 3 5 ……………………………………14 分 方法二: 如图,过 E 作 E R ∥ D C ,过 E 作 E S ? 平面 E F C D 分别以 E R , E D , E S 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系…………8 分 ∵ B ' 在平面 C D E F 上的射影 H 在直线 D E 上,设 B '( 0 , y , z ) ( y , z ? R ) ∵ F (2, 2, 0) , B ' E ? ∴?
?y ? z
2 2
?

5 ,B 'F ? 3

? 5
2 2

?4 ? ( y ? 2) ? z

?y ?1 ? ? ? 9 ?z ? 2

∴ B '( 0 ,1, 2 ) ………………………………10 分
uuu r

∴ F B ' ? ( ? 2 , ? 1, 2 )
r 1 uuu 2 1 2 F B ' ? (? , ? , ) 3 3 3 3 r 设平面 A ' D E 的法向量为 n ? ( x 0 , y 0 , z 0 ) uuu r

∴ EA ' ?

uuu r

又有 E D ? (0 , 4 , 0 )

1 2 ? 2 r z ? 0 ?? x ? y ? ∴? 3 ? n ? (1, 0 ,1) …………………………………12 分 3 3 ?4 y ? 0 ?

u r

又∵平面 C D E F 的法向量为 m ? ( 0 , 0 ,1) 设二面角 A '? D E ? F 的大小为 ? ,显然 ? 为钝角 ∴ c o s ? ? ? | c o s ? n , m ? |? ?
r u r 2 2

∴ ? ? 1 3 5 ………………………14 分
o

21.(I)证明:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 1 , y 2 ) ,根据题意:
? x1 ? 4 y 1 ? 1 6 2 2 ? y 2 ? 4 y1 ? 2 2 ? x1 ? y 2 ? 1 6
2 2

∵ y 1 , y 2 同号,∴ y 2 ? 2 y 1 …………3 分

设 C ( x 3 , y 3 ), D ( x 3 , y 4 ) ,同理可得 y 4 ? 2 y 3
高三数学(理科)试卷 第 7 页(共 4 页)

∴ | A B | ? | y 1 |, | C D | ? | y 3 | ,www.zxsx.com 由?
? ?x ? 4y
2 2

? 16

y ? kx ? 1

? (4k

2

? 1) x ? 8 k x ? 1 2 ? 0
2

∵ A , C 在 x 轴的两侧

∴ y1 y 3 ? 0
1 ? 16k 4k
2 2

∴ ( k x 1 ? 1)( k x 3 ? 1) ? k x 1 x 3 ? k ( x 1 ? x 3 ) ? 1 ?
2

?1

? 0

∴k ?
2

1 16

…………6 分

【这里 k 的取值范围直接从图中观察得到,照样给分】 ∴ | A B | ? | C D | ? | y1 | ? | y 3 | ? y 1 ? y 3 ? k ( x1 ? x 3 ) ? 2 ? (II)解:∵直线 B D 的斜率 k ? ?
2 y 3 ? 2 y1 x 3 ? x1

2 4k
2

?1

? (0,

8 5

) ……9 分

? 2 k ………………………………………12 分

∴直线 B D 的方程为 y ? 2 k ( x ? x 1 ) ? 2 y 1 ? 2 k x ? 2 ( k x 1 ? y 1 ) ∵ y 1 ? k x1 ? 1 ∴直线 B D 的方程为 y ? 2 k x ? 2

∴直线 B D 过定点 ( 0 , 2 ) …………………………………………………………15 分 22. (I)解:由 f ? ( x ) ?
1 ? ln x x
2

? 0 解得 x ? e …………………………………………………2 分

当 x ? ( 0 , e ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( e , ? ? ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减; ∴ f m ax ( x ) ? f ( e ) ? 分 ∵关于 x 的不等式 f ( x ) ? m 恒成立 ∴ f m a x ( x ) ? m ∴m ? 分 (II)证明:∵对任意的 x 1 , x 2 ? ( 0 , 2 ) ,若存在 x 0 ? ( x 1 , x 2 ) ,使得 f ? ( x 0 ) ?
高三数学(理科)试卷 第 8 页(共 4 页)
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

1 e

……………………………………………………………………4

1 e

即 m 的最小值为

1 e

…………………………………………………………6



1 ? ln x 0 x0
2

?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1



1 ? ln x 0 x0
2

( x 2 ? x 1 ) ? [ f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ] ? 0 ………………………………………8 分

令 F (x) ? ∴ F ?( x ) ?

1 ? ln x x
2

( x 2 ? x 1 ) ? [ f ( x 2 ) ? f ( x 1 )] ,则有 F ( x 0 ) ? 0 ………………10 分 ( x 2 ? x1 ) ,

2 ln x ? 3 x
3

当 x ? ( 0 , 2 ) 时, 2 ln x ? 3 ? 2 ln 2 ? 3 ? 0 ,又有 x 2 ? x 1 ? 0 ∴ F ?( x ) ? 0 即 F ( x ) 在 ( 0 , 2 ) 上是减函数 …………………………………12 分
1 ? ln x1 x 2

又∵ F ( x 1 x 2 ) ?

x1 x 2 1 ? ln x1 x 2

( x 2 ? x 1 ) ? [ f ( x 2 ) ? f ( x 1 )]

?

x1 x 2 1 x1
x2 x1

( x 2 ? x1 ) ? (

ln x 2 x2

?

ln x 1 x1

)

?

(1 ? ln

x1 x2

)?

1 x2

(1 ? ln

x2 x1

)



? t ? 1 ,∴ F (

x1 x 2 ) ?

1 x2

[ t ? (1 ?

1 2

ln t ) ? (1 ?

1 2

ln t ) ]

设 h ( t ) ? t ? (1 ?

1 2

ln t ) ? (1 ?

1 2

ln t ) ,∴ h ? ( t ) ?

t ? t ln t ? 1 2t

设 k ( t ) ? t ? t ln t ? 1 , ∴ k ? ( t ) ? ? ln t ? 0 ( t ? 1 ) ,∴ k ( t ) 在 (1, ? ? ) 是减函数,∴ k ( t ) ? k (1) ? 0 ∴ h ? ( t ) ? 0 ,∴ h ( t ) 在 (1, ? ? ) 是减函数,∴ h ( t ) ? h (1) ? 0
1 x2

∴ F ( x1 x 2 ) ?

? h ( t ) ? 0 ? F ( x 0 ) ……………………………………………14 分

∵ F ( x ) 在 ( 0 , 2 ) 上是减函数,∴ x 0 ?

x1 x 2 .…………………………………15 分

高三数学(理科)试卷

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