当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年温州市高三第二次适应性测试数学(理科)试题和答案

2013 年温州市高三第二次适应性测试

数学(理科)试题

2013.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满分 150

分,考试时间 120 分钟.

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干

净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.

参考公式:

如果事件 A, B 互斥,那么

棱柱的体积公式

P(A ? B) ? P(A) ? P(B)

V ? Sh

如果事件 A, B 相互独立,那么

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高

P(A? B) ? P(A) ? P(B)

棱锥的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V ? 1 Sh 3

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

Pn (k) ? Cnk pk (1? p)n?k , (k ? 0,1, 2, , n) 球的表面积公式

棱台的体积公式

V

?

1 3

h(S1

?

S1S2 ? S2 )

一、

S ? 4? R2

球的体积公式

V ? 4 ?R 3 其中 R 表示球的半径 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,
h 表示棱台的高

选择题部分(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

符合题目要求.

1.已知全集U ? R ,集合 A ? {x | x2 ?1 ? 0} , B ? {y | y ? x} ,则 A I (?U B) ? ( ▲ )

A. (?1,0) B. (?1,0]

C. (0,1) D.[0,1)

2.“ m ? 5 ”是“直线 x ? 2y ? m ? 0 与圆 x2 ? y2 ?1 相切”的( ▲ )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A ? 30 o, B ?105 , o a ?1 ,则 c ? ( ▲ )

A.1

B. 2

C. 3

D. 2

高三数学(理科)试卷 第 1 页(共 4 页)

4.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( ▲ )

A. 2

B. 3 2

C. 3

5.下列命题正确的是( ▲ )

D. 5 2

A.若平面? 不平行于平面 ? ,则 ? 内不存在直线平行

于平面 ?

B.若平面? 不垂直于平面 ? ,则 ? 内不存在直线垂直

于平面 ? C.若直线 l 不平行于平面? ,则? 内不存在直线平行于直线 l

(第 4 题图)

D.若直线 l 不垂直于平面? ,则? 内不存在直线垂直于直线 l

6.已知 2a ? 3b ? 6c ,则有( ▲ )

A. a ? b ?(2,3) c
C. a ? b ?(4,5) c

B. a ? b ?(3, 4) c
D. a ? b ?(5,6) c

7.已知三个不全相等的实数 a , b , c 成等比数列,则可能成等差数列的是( ▲ )

A. a , b , c

B. a2 , b2 , c2

C. a3 , b3 , c3

D. a , b , c

8.以下函数中满足 f (x ?1) ? f (x) ?1的是( ▲ )

A. f (x) ? ln x B. f (x) ? ex C. f (x) ? ex ? x D. f (x) ? ex ? x

?x ? 2y ? 2 9.若实数 x,y 满足不等式组 ??2x ? y ? 4 ,则 3| x ?1| ? y 的最大值是( ▲ )
??x ? y ? ?1

A.2

B.3

C.4

D.5

10.抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的准线交 x 轴于点 C ,焦点为 F ,A ,B 是抛物线的两点.已知 A ,

B ,C 三点共线,且| AF |,| AB | ,| BF | 成等差数列,直线 AB 的斜率为 k ,则有( ▲ )

A. k 2 ? 1 4

B. k 2 ? 3 4

C. k 2 ? 1 2

D. k 2 ? 3 2

高三数学(理科)试卷 第 2 页(共 4 页)

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
11. i 是虚数单位, a,b ? R ,若 a ? bi ? i ,则 a ? b ? ▲ . a?i
12.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为 ▲ .

13.设 x6 ? a0 ? a1(1? x) ? a2 (1? x)2 L ? a6 (1? x)6 ,

则 a1 ? a2 ?L ? a6 ? ▲ . uuur uuur uuur uuur
14.已知正 ?ABC 的边长为 1, AD ? DB , AE ? 2EC , uur uuur
则 BE ?CD ? ▲ .

(第 13 题图)

15.有三位同学为过节日互赠礼物,每人准备一件礼物,先将礼物集中在一个袋子中,每人从

中随机抽取一件礼物.设恰好抽到自己准备的礼物的人数为? ,则? 的数学期望 E? ? ▲ .

16.已知 F1, F2 分别是双曲线 x2

?

y2 b2

? 1的左、右焦点,

A 是双曲线上在第一象限内的点,若

| AF2 |? 2 且 ?F1AF2 ? 45o ,延长 AF2 交双曲线右支于点 B ,则 ?F1AB 的面积等于 ▲ .

17.设函数

f

(x)

?

? ?? ? ?

a

1 ? 1

1

(x ?1), ( (x ? 2),

x ? a) (x ? a)

,已知存在

t1

,t2

使得

f

(t1 )

?

1 2

,f

(t2 )

?

3 2

,则 t1

? t2

?? a ? 2

的取值范围是 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本题满分 14 分)

r

r

rr

已知 a ? (2cos x,sin x) , b ? (0, 3 cos x) , f (x) ?| a ? b | .

(I)求

f

? (

) 的值;

6

(II)当 x ?(0, ? ) 时,求 f (x) 的值域. 3

19.(本题满分 14 分)
已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,当 n ? 2 时, Sn?1 ?1, an , Sn ? 1成等差数列. (I)求证:{Sn ?1}是等比数列; (II)求数列{nan}的前 n 项和.

高三数学(理科)试卷 第 3 页(共 4 页)

20.(本题满分 14 分)已知矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 5, E , F 分别在 AD , BC 上, 且 AE ?1,BF ? 3,沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 A' EFB' ,使点 B ' 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上. (I)求证: A' D ∥平面 B' FC ; (II)求二面角 A'? DE ? F 的大小.

(第 20 题图)

21.(本题满分

15

分)如图,直线 l :

y

?

kx

?

1

与椭圆

C1

:

x2 16

?

y2 4

? 1 交于

A ,C

两点, A ,C

在 x 轴两侧, B , D 是圆 C2 : x2 ? y2 ?16 上的两点,且 A 与 B , C 与 D 的横坐标相同,

纵坐标同号.

(I)求证:点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍,并计算 | AB | ? | CD | 的取值范围;

(II)试问直线 BD 是否经过一个定点,若是,求出定点的坐标,若不是,说明理由.

22.(本题满分 15 分)已知函数 f (x) ? ln x . x
(I)若关于 x 的不等式 f (x) ? m 恒成立,求实数 m 的最小值;

(第 21 题图)

(II)对任意的 x1, x2 ?(0,2) ,已知存在 x0 ? (x1, x2 ) ,使得

f ?(x0 ) ?

f (x2 ) ? f (x1) , x2 ? x1

求证: x0 ? x1x2 .

高三数学(理科)试卷 第 4 页(共 4 页)

2013 年温州市高三第二次适应性测试

数学(理科)试题参考答案

2013.4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

符合题目要求.



1



1

2

3

4

5

6

7

8

9

0



C



A

A

B

A

B

B

D

C

D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11.2 12.8 13.-1 三、解答题:www.zxsx.com

14. ? 1 2

15.1

16.4

17. (??, ? 1) U(1 , ??) 22

18.解:(I) f (x) ? (2cos x)2 ? (sin x ? 3 cos x)2 ………………………2 分

? 7 cos2 x ? sin2 x ? 2 3 sin x cos x

? 1? 3(1? cos 2x) ? 3 sin 2x ……………………………………4 分

? 4 ? 2 3 sin(2x ? ? ) ……………………………………………6 分 3

∴ f (? ) ? 7 ………………………………………………………7 分 6

(II)∵ x ? (0, ? ) 3

∴ 2x ? ? ? (? ,? ) …………………………………9 分 33

∴ sin(2x ? ? ) ? (0,1],www.zxsx.com 3

∴ 2 ? f (x) ? 4 ? 2 3

∴ f (x) ? (2, 3 ?1] ……………………………………………………14 分

19.(I)证明:∵ Sn?1 ? 1, an , Sn ? 1 成等差数列 ∴ 2an ? Sn ? Sn?1 ? 2 (n ? 2) …………………………………………2 分 ∴ 2(Sn ? Sn?1) ? Sn ? Sn?1 ? 2 即 Sn ? 3Sn?1 ? 2 …………………4 分
高三数学(理科)试卷 第 5 页(共 4 页)

∴ Sn ?1 ? 3(Sn?1 ?1) (n ? 2) ………………6 分

∴{Sn ?1}是首项为 S1 ?1 ? 3 ,公比为 3 的等比数列………………7 分 (II)解:由(I)可知 Sn ? 1 ? 3n ∴ Sn ? 3n ?1……………………………9 分
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? 3n?1

又∵ a1 ? 2

∴ an ? 2 ? 3n?1(n ? N *) ………………………………………………11 分

∴Tn ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 32 ? L ? 2(n ?1) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1

(1)

3Tn ?

2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? L ? 2(n ?1) ? 3n?1 ? 2n ? 3n (2)

(1)-(2)得:

?2Tn

? 2 ? 2 ?3 ? 2 ?32

?L

? 2 ? 3n?1 ? 2n ? 3n

?

2(1? 3n ) ? 2n ? 3n 1?3

? 3n

?1? 2n ? 3n -

∴ Tn

?

(2n ?1) ?3n 2

?1 ………………………………………………14



20.(I)∵ A' E ∥ B ' F, DE ∥ FC www.zxsx.com ∴ A' E ∥平面 B' FC , DE ∥平面 B' FC A' EI D E? E ∴平面 A' ED ∥平面 B' FC ∴ A' D ∥平面 B ' FC ……………………………………………………6 分
(II)方法一:
由(I)可知平面 A' ED ∥平面 B' FC ∴二面角 A'? DE ? F 与二面角 B '? FC ? E 互补……………………8 分 过 B ' 作 B' K ? EF 于 K ,连结 HK ∵ B' H ? 平面 CDEF ∴ B' H ? EF ∴ EF ? 平面 B' KH ∴ EF ? KH

∵ ?B ' FE ? 45o , ?B ' KF ? 90o , B' F ? 3

∴ FK ? 3 2 ∵ EF ? 2 2 ∴ EK ? 2

2

2

又∵ ?KEH ? 45o , ?HKE ? 90o ∴ EH ?1 ∵ B ' E ? 5 ∴ B' H ? 2…………10 分 过 H 作 HL ? CF 交 CF 延长线于点 L ,连结 B' L ∵ B' H ? 平面 CDEF ∴ B' H ? CF
高三数学(理科)试卷 第 6 页(共 4 页)

∴ CF ? 平面 B' HL ∴ CF ? B ' L ∴ ?B' LH 为二面角 B '? CF ? E 的平面角…………………………12 分 ∵ HL ? 2 ? B' H ∴ ?B ' LH ? 45o ∴二面角 A'? DE ? F 的大小为135o ……………………………………14 分

方法二:

如图,过 E 作 ER ∥ DC ,过 E 作 ES ? 平面 EFCD

分别以 ER , ED , ES 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系…………8 分 ∵ B ' 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上,设 B '(0, y, z) ( y, z ? R? )

∵ F(2, 2, 0) , B ' E ? 5 , B' F ? 3



?y2 ? z2 ? 5

? ?4

?

(

y

?

2)2

?

z2

?

9

?

?y ?1 ??z ? 2

∴ B '(0,1, 2) ………………………………10 分

uuur ∴ FB' ? (?2, ?1, 2)



uuur EA '

?

1

uuur FB '

?

(?

2

,

?

1

,

2)

3

3 33

r

设平面 A' DE 的法向量为 n ? (x0, y0, z0 )

uuur 又有 ED ? (0, 4,0)



??? ?

2 3

x

?

1 3

y

?

2 3

z

?

0

?

r n

?

(1,

0,1)

…………………………………12



??4 y ? 0

ur 又∵平面 CDEF 的法向量为 m ? (0,0,1)

设二面角 A'? DE ? F 的大小为? ,显然? 为钝角

r ur ∴ cos? ? ? | cos ? n, m ?|? ?

2

2

∴? ? 135o ………………………14 分

21.(I)证明:设 A(x1, y1), B(x1, y2 ) ,根据题意:

? ? ?

x12 ? 4 y12 x12 ? y22

? 16 ? 16

?

y22

?

4 y12

∵ y1 , y2 同号,∴ y2 ? 2 y1 …………3 分

设 C(x3, y3 ), D(x3, y4 ) ,同理可得 y4 ? 2 y3

高三数学(理科)试卷 第 7 页(共 4 页)

∴| AB |?| y1 |,| CD |?| y3 | ,www.zxsx.com



?x2 ?

?

4y2

? 16

?

(4k 2

? 1) x 2

? 8kx

?12

?

0

? y ? kx ?1

∵ A,C 在 x 轴的两侧 ∴ y1 y3 ? 0

∴ (kx1 ?1)(kx3

?1)

?

k 2 x1x3

? k(x1

?

1?16k 2 x3) ?1 ? 4k 2 ?1

?0

∴ k 2 ? 1 …………6 分 16

【这里 k 的取值范围直接从图中观察得到,照样给分】

∴ | AB | ? | CD |

?

|

y1 | ? | y3 |

?

y1 ? y3

?

k(x1 ? x3) ? 2

?

4k

2 2?

1

?

(0,

8 5

)

……9



(II)解:∵直线 BD 的斜率 k? ? 2 y3 ? 2 y1 ? 2k ………………………………………12 分 x3 ? x1

∴直线 BD 的方程为 y ? 2k(x ? x1) ? 2 y1 ? 2kx ? 2(kx1 ? y1)

∵ y1 ? kx1 ?1 ∴直线 BD 的方程为 y ? 2kx ? 2

∴直线 BD 过定点 (0, 2)…………………………………………………………15



22.(I)解:由

f

?(x)

?

1? ln x2

x

?

0

解得

x

?

e

…………………………………………………2



当 x ? (0, e) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增;

当 x ?(e, ??) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减;



fmax (x) ?

f

(e)

?

1 ……………………………………………………………………4 e



∵关于 x 的不等式 f (x) ? m 恒成立 ∴ fmax (x) ? m

∴ m ? 1 即 m 的最小值为 1 …………………………………………………………6

e

e



(II)证明:∵对任意的 x1, x2 ? (0, 2) ,若存在 x0 ? (x1, x2 ) ,使得

f ?(x0 ) ?

f (x2 ) ? f (x1) x2 ? x1

高三数学(理科)试卷 第 8 页(共 4 页)

即 1? ln x0 ? f (x2 ) ? f (x1)

x02

x2 ? x1

∴ 1? ln x02

x0

( x2

?

x1 )

?[

f

(x2 )

?

f

( x1 )]

?

0

………………………………………8





F ( x)

?

1? ln x2

x

( x2

?

x1) ?[

f

(x2 ) ?

f

(x1)] ,则有

F (x0 )

?

0 ………………10





F ?( x)

?

2ln x x3

?

3

( x2

?

x1)



当 x ? (0, 2) 时, 2ln x ?3 ? 2ln 2 ?3 ? 0 ,又有 x2 ? x1 ? 0

∴ F?(x) ? 0 即 F(x) 在 (0, 2) 上是减函数 …………………………………12 分

又∵ F (

x1x2 )

?

1? ln x1x2 x1x2

( x2

?

x1) ?[

f

(x2 ) ?

f

(x1)]

?

1? ln x1x2 x1x2

( x2

?

x1

)

?

(

ln x2 x2

?

ln x1 ) x1

? 1 (1? ln x1 ) ? 1 (1? ln x2 )

x1

x2 x2

x1

令 x2 ? t ? 1 ,∴ F ( x1

1

1

1

x1x2 ) ? x2 [t ? (1? 2 ln t) ? (1? 2 ln t)]

设 h(t) ? t ? (1? 1 ln t) ? (1? 1 ln t) ,∴ h?(t) ? t ? t ln t ?1

2

2

2t

设 k(t) ? t ? t ln t ?1,

∴ k?(t) ? ? ln t ? 0 ( t ? 1),∴ k(t) 在 (1, ??) 是减函数,∴ k(t) ? k(1) ? 0

∴ h?(t) ? 0 ,∴ h(t) 在 (1, ??) 是减函数,∴ h(t) ? h(1) ? 0

∴ F(

x1x2

)

?

1 x2

? h(t)

?

0

?

F (x0 )

……………………………………………14 分

∵ F(x) 在 (0, 2) 上是减函数,∴ x0 ? x1x2 .…………………………………15 分

高三数学(理科)试卷 第 9 页(共 4 页)

高三数学(理科)试卷 第 10 页(共 4 页)