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28.1 锐角三角函数 习题精选(含答案)


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习题精选
一、选择题: 1.如图,CD 是 RtΔABC 斜边上的高,AC = 4,BC = 3,则 cos∠BCD 的值是( A. B. )

C. 答案:D

D.

说明:因为 CD⊥AB,所以∠BCD+∠B = 90? ;又∠A+∠B = 90? , 所以∠BCD =∠A;由 BC = 3,AC = 4,得 AB = = = 5,

∴cos∠BCD = cosA =

=

,所以答案为 D.

2.如图,以平面直角坐标系的原点为圆心,以 1 为半径作圆,若点 P 是该圆在第一象限内 的一点,且 OP 与 x 轴正方向组成的角为 α,则点 P 的坐标是( A.(cosα,1) B.(1,sinα) C.(sinα,cosα) D.(cosα,sinα) 答案:D 说明:如图,作 PA⊥x 轴于点 A;由锐角三角函数定义知,cosα = ,sinα = , )

所以 OA = OPcosα = cosα,PA = OPsinα,所以点 P 的坐标为(cosα,sinα),所以答案为 D. 3.如图,将矩形 ABCD 沿着对角线 BD 折叠,使点 C 落在 C’处,BC’交 AD 于 E,下列结 论不一定成立的是( A.AD = BC’ ) B.∠EBD =∠EDB

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C.ΔABE 与 ΔBCD 相似 答案:C

D.sin∠ABE =

说明: 因为 ΔBC’D≌ΔBCD, 所以 BC’ = BC; 又 BC = AD, 所以 AD = BC’; 因为 AD//BC, 所以∠EDB =∠CBD,而∠CBD =∠EBD,所以∠EDB =∠EBD,所以 EB = ED;而 sin∠ABE = = ,所以 A、B、D 都是成立的,答案为 C.

4.如图,RtΔABC 中,∠C = 90? ,D 为 BC 上一点,∠DAC = 30? , BD = 2,AB = 2 , 则 AC 的长是( )

A. 答案:A

B.2

C.3

D.

说明:在 RtΔACD 中,因为∠CAD = 30? ,设 CD = x,因为 tan∠DAC =



则 AC = 即(2

x,在 RtΔABC 中,由勾股定理得 AB2 = AC2+BC2 = AC2+(CD+DB)2, )2 = ( x)2+(x+2)2,∴x2+x?2 = 0,解得 x1 = 1 或 x2 = ?2(舍去), ,答案为 A. )

即 DC = 1,AC =

5.在 RtΔABC 中,∠C = 90? ,如果∠A = 30? ,那么 sinA+cosB 的值等于(

A.1

B.

C.

D.

答案:A 说明:因为在 RtΔABC 中,∠C = 90? ,∠A = 30? ,所以∠B = 60? , = 所以 sinA = sin30? = ,cosB = cos60? ,

故 sinA+cosB =

+

= 1,所以答案为 A.

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6.在矩形 ABCD 中,BC = 2,AE⊥BD 于 E,∠BAE = 30? ,那么 ΔECD 的面积是(

)

A.2

B.

C.

D.

答案:C 说明:如图,由题意得,ΔABE 与 ΔBDC 相似, ∴∠CBD =∠BAE = 30? , ∴CD = BC?tan∠CBD = 2?

=

,AB = CD =



BE = AB?sin30? =

× =

,EF = BE?sin30? =

× =



∴SΔECD = SΔBCD?SΔEBC = 答案为 C.

BC?CD?

BC?EF =

× 2×

?

× 2×

=



7.如图,两条宽度都是 1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的夹角为 α,则它们重叠部 分(图中黄色部分)的面积为( A. 答案:C 说明:如图,过点 A 作 AN⊥CD 于 N,过点 D 作 DM⊥BC 于 M, 则 AN = DM = 1,∠DCM = α,在 RtΔDCM 中,CD = = , B.sinα ) C. D.cosα

所以 S 平行四边形 ABCD = CD?AN = 二、解答题: 1.如果 α 是锐角,且 cosα =

,答案为 C.

,求 sinα 及 tanα 的值.

分析:事实上,因为 α 为锐角,所以可构造一个 RtΔABC,使∠C = 90? ,∠A = α, 则有 AC = 4k,AB = 5k,由勾股定理得 BC =
-3-

= 3k,

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从而可求 sinα;还可直接用公式 sinA =

求解.

解:构造 RtΔABC,使∠A = α,∠C = 90? ,如图,∵cosα = cosA =



∴可令 AC = 4k,AB = 5k,∴BC =

= 3k,

∴sinA =

=

=

,tanA =

=

=



即 sinα = 2.若 tan2x?(

,tanα =



+1)tanx+

= 0,求锐角 x.

分析:这是以 tanx 为未知数的一元二次方程,可先求出 tanx,再求 x.
2 解:tan x?(

+1)tanx+

= 0,(tanx?1)(tanx?

) = 0,得 tanx = 1 或 tanx =



当 tanx = 1 时,x = 45? ;当 tanx =

时,x = 60? ;∴x1 = 45? ,x2 = 60? .

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