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【人教A版】高中数学同步辅导与检测:必修4全集第二章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第二章 2.4 2.4.2 平面向量 平面向量的数量积 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角 A级 基础巩固 一、选择题 1. 若向量 a=(3, m), b=(2, -1), a· b=0, 则实数 m 的值为( A.- 3 2 3 B. 2 C.2 D.6 ) 解析:因为 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0, 所以 3×2+m· (-1)=0,所以 m=6. 答案:D 2.(2015· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD → → → → 是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=( A.5 B.4 C.3 D.2 → → → 解析:由四边形 ABCD 为平行四边形,知AC=AB+AD=(3,- 1), → → 故AD·AC=(2,1)· (3,-1)=5. 答案:A 3.已知向量 a=(1,-2),b=(x,4),且 a∥b,则|a-b|=( ) ) A.5 3 B.3 5 C.2 5 D.2 2 解析:因为 a∥b,所以 4+2x=0, 所以 x=-2,a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6), 所以|a-b|=3 5. 答案:B 4.若 a=(2,1),b=(3,4),则向量 a 在向量 b 方向上的射影 的数量为( ) A.2 5 B.2 C. 5 D.10 a· b a· b 2×3+1×4 解析: 设 a, b 的夹角为 θ, 则|a|cos θ=|a|· = = |a||b| |b| 5 =2. 答案:B 5.(2016· 全国Ⅱ卷)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+ b)⊥b,则 m=( ) C.6 D.8 A.-8 B.-6 解析:法一:因为 a=(1,m),b=(3,-2),所以 a+b=(4,m -2). 因为(a+b)⊥b,所以(a+b)· b=0,所以 12-2(m-2)=0, 解得 m=8. 法二:因为(a+b)⊥b,所以(a+b)· b=0,即 a· b+b2=3-2m+ 32+(-2)2=16-2m=0,解得 m=8. 答案:D 二、填空题 6.(2016· 北京卷)已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 夹角的大小为________. 解析:由题意得|a|= 1+3=2,|b|= 3+1=2, a· b=1× 3+ 3×1=2 3. 2 3 3 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = . 2×2 2 π 因为θ∈[0,π],所以 θ= . 6 答案: π 6 → → → → → → 7.已知OA=(-2,1),OB=(0,2),且AC∥OB,BC⊥AB,则 点 C 的坐标是________. → 解析:设 C(x,y),则AC=(x+2,y-1), → → BC=(x,y-2),AB=(2,1). → → → → 由AC∥OB,BC⊥AB,得 ?-2(x+2)=0, ?x=-2, 解得? ? 2 x + y - 2 = 0 , ? ?y=6. 所以点 C 的坐标为(-2,6). 答案:(-2,6) 8.已知 a=(λ,2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是__________________. 解析:由于 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 a· b>0,且 a 与 b 不共线同向. 10 由 a· b>0?-3λ+10>0,解得 λ< . 3 6 当向量 a 与 b 共线时,得 5λ=-6,得 λ=- , 5 10 6 因此 λ 的取值范围是 λ< 且 λ≠- . 3 5 ? ? 10 6? 答案:?λ?λ< 3 且λ≠-5? ? ? ? 三、解答题 9.已知向量 a=(1,2),b=(x,1), (1)当 x 为何值时,使(a+2b)∥(2a-b)? (2)当 x 为何值时,使(a+2b)⊥(2a-b)? 解:由 a=(1,2),b=(x,1),得 a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3). (1)因为(a+2b)∥(2a-b), 1 所以 3(2x+1)-4(2-x)=0,解得 x= . 2 (2)因为(a+2b)⊥(2a-b), 7 所以(2x+1)(2-x)+12=0,解得 x=-2 或 x= . 2 10.设平面三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5), → → (1)试求向量 2AB+AC的模; → → (2)若向量AB与AC的夹角为 θ,求 cos θ; → → (3)求向量AB在AC上的投影. 解:(1)因为 A(1,0),B(0,1),C(2,5), → 所以AB=(0,1)-(1,0)=(-1,1), → AC=(2,5)-(1,0)=(1,5), → → 所以 2AB+AC=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7), → → 所以|2AB+AC|= (-1)2+72=5 2. → → (2)由(1)知AB=(-1,1),AC=(1,5), 所以 cos θ= (-1,1)· (1,5) (-1)2+12× 2 13 = . 13 12+52 → → → 2 13 (3)由(2)知向量AB与AC的夹角的余弦为 cos θ= ,且|AB|= 13 2. → → → 2 13 所以向量AB在AC上的投影为|AB|cos θ= 2× = 13 2 26 . 13 B级 能力提升 1.已知 A、B、C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2)、 B(4,1)、C(0,-1),则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.以上均不正确 ) → → 解析:AC=(-1,-3),AB=(3,-1). → → 因为AC·AB=-3+3=0, 所以 AC⊥AB. → → 又因为|AC|= 10,|AB|= 10, 所以 AC=AB. 所以△ABC 为等腰直角三角形. 答案:C 2.如图所示,已知点 A(1,1

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