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江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷及答案


2016~2017 高三模拟考试

数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A ? {?1,1, 2,3}, B ? {x | x ? R, x ? 3}, 则 A ? B ?
2





2.函数 f ( x) ? sin(4 x ?

?
6

) 的最小正周期为



. ▲ . Read x If x ? 5 Then

3.复数 (a ? i)(1 ? 2i) 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则实数 a ?

4.某算法的伪代码如图所示,如果输入的 x 值为 32 ,则输出的 y 值 为 ▲ .

5.从 1, 2,3, 4 这四个数中一次随机取两个数,则两个数的和是偶数 的概率为 ▲ .

y ← x2
Else

y ← log2 x
End If Print y

6.若双曲线 为 ▲

x y ? 2 ? 1 的离心率 e ? 2 ,则该双曲线的渐近线方程 2 a b


2

2

第 4 题图

2 7.公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 , a5 , a14 成等比数列, S5 ? a3 ,则

a10 ?





π, 8. 将 1 个半径为 1 的小铁球与 1 个底面周长为 2 高为 4 的铁制圆柱重新锻造成一个大铁 球,则该大铁球的表面积为 ▲ .
2 9.若正实数 x, y 满足 x ? 2 xy ?1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最小值为





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10.如图,在由 5 个边长为 1 ,一个顶角为 60 的菱形组成的图形中,

?

B C

??? ? ??? ? AB ? CD ?





11.已知点 F , A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点和上顶点,若点 16 12


D A

P 是椭圆 C 上一动点,则 ?PAF 周长的最大值为 ▲

第 10 题图

12.已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 1 ,若对任意的 x ,都有 f ( x2 ? a) ? f (ax) ? 2 ,则实数 a 的 取值范围是 ▲ . ▲ ▲ . .

? 13. 在 ?ABC 中, 若 C ? 120 ,tan A ? 3tan B ,sin A ? ? sin B , 则实数 ? ?

14. 若函数 f ( x) ? ax2 ? (a 2 ? 1) x ? a(a ? 0) 的一个零点为 x0 , 则 x0 的最大值为

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 已知向量 a ? (1, m) , b ? (2, n) . (1)若 m ? 3 , n ? ?1 ,且 a ? (a ? ? b) ,求实数 ? 的值; (2)若 a ? b ? 5 ,求 a ? b 的最大值.

16. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PC ? 平面 ABCD ,AB / / CD ,CD ? AC , 过 CD 的平面分别与 PA, PB 交于点 E , F . (1)求证: CD ? 平面 PAC ; (2)求证: AB / / EF .
P

F C D A B E

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17. (本题满分 14 分) 如图,圆 O 是一半径为 10 米的圆形草坪,为了满足周边市民跳广场舞的需要,现规划 在草坪上建一个广场,广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形,其中 A, B 两点在 ? O 上, A, B, C , D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求,在 A, B, C , D 四点处安装四 盏照明设备,从圆心 O 点出发,在地下铺设 4 条到 A, B, C , D 四点线路 OA, OB, OC, OD . (1)若正方形边长为 10 米,求广场的面积; (2)求铺设的 4 条线路 OA, OB, OC, OD 总长度的最小值.
D A

O C B

18. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(0,1) 且互相垂直的两条直线分别与 圆 O : x2 ? y 2 ? 4 交于点 A, B ,与圆 M : ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 交于点 C , D .

3 7 ,求 CD 的长; 2 (2)若 CD 中点为 E ,求 ?ABE 面积的取值范围.
(1)若 AB ?

y

A P O B E M D x

C

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19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax , a ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? e ,解不等式: f ( x) ? 2 ; (3)求证:当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 只有一个零点.

20. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 2 ;数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 满足 b1 ? 1 , b2 ? 2 ,

Tn b ? n . Tn?1 bn? 2

(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)是否存在正整数 n ,使得

an ? bn ? 1 恰为数列 {bn } 中的一项?若存在,求所有满足要 an ? bn ?1

求的 bn ;若不存在,说明理由.

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2016~2017 高三模拟考试

高三数学参考答案
一、填空题 1. {?1,1} ; 6. y ? ? 3x ; 2.

? ; 2

3. 2 ; 8. 8 3 2π ;

4. 5 ; 9. 3 ;

5.

1 ; 3

7. 19 ; 12. 0 ? a ? 4 ;

10. ?4 ;

11. 16 ; 二、解答题

13.

1 ? 13 ; 2

14. 2 ? 1 .

15. 解: (1)当 m ? 3 , n ? ?1 时, a ? (1,3) ,又 b ? (2, ?1) ,

?a ? ?b ? (1,3) ? ? (2, ?1) ? (1 ? 2?,3 ? ? ) ,
若 a ? (a ? ? b) ,则 a ? (a ? ?b) = 0 ,即 (1 ? 2? ) ? 3(3 ? ? ) ? 0 ,解得 ? ? 10 . ……………7 分 (2)因为 a ? (1, m) , b ? (2, n) ,所以 a ? b = (3, m ? n) , 因为 a ? b ? 5 ,所以 32 ? (m ? n)2 ? 52 ,则 (m ? n)2 ? 16 ,

1 1 (m ? n) 2 ? 2 ? ? 16 ? 6 , 4 4 故当 m ? n ? 2 或 m ? n ? ?2 时, a ? b 的最大值为 6 . 16. 证: (1)因为 PC ? 平面 ABCD ,所以 PC ? CD , 又因为 CD ? AC ,所以 CD ? 平面 PAC . (2)因为 AB / / CD , AB ? 平面 CDEF , CD ? 平面 CDEF , 所以 AB / / 平面 CDEF , 又因为平面 PAB ? 平面 CDEF ? EF , AB ? 平面 CDEF , 所以 AB / / EF .
所以 a ? b = 1? 2 ? mn ? 2 ? 17. 解: (1)连接 AB ,因为正方形边长为 10 米,

……………14 分 ……………7 分 ……………10 分 ……………14 分

10 AB ? ? ,………2 分 所以 OA ? OB ? AB ? 10 ,则 ?AOB ? ,所以 ? 3 3

?

D G C

K

A

O B

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所以广场的面积为 ( ?

1 10 3 50? ? ?10 ? ?102 ) ? 102 ? ? 100 ? 25 3 ( m 2 ) 2 3 4 3
………6 分

(2)作 OG ? CD 于 G , OK ? AD 于 K G ,记 ?OAK ? ? , 则 AD ? 2 DG ? 2OK ? 20sin ? , 由余弦定理得 OD ? OA ? AD ? 2OA ? AD cos ?
2 2 2

………8 分

? 102 ? (20sin ? ) 2 ? 2 ?10 ? 20sin ? cos ? ? 100 ? 400 ?

1 ? cos 2? ? 200sin 2? 2
………12 分

? 300 ? 200 2 sin(2? ? 45? ) ? 100( 2 ?1)2 ,
所以 OD ? 10( 2 ?1) ,当且仅当 ? ? 22.5 时取等号,
?

所以 OA ? OB ? OC ? OD ? 20 ? 20( 2 ?1) ? 20 2 , 因此求 4 条小路的总长度的最小值为 20 2 米. 答: (1)广场的面积为

50? ? 100 ? 25 3 平方米; 3
…………14 分

(2) 4 条小路的总长度的最小值为 20 2 米. 18. 解: (1)直线 AB 斜率显然存在,设为 k ,则直线 AB : y ? kx ? 1 ,

AB 2 1 4k 2 ? 3 2 因为 ( , ) ?( ) ? 4 ,所以 AB ? 2 2 k 2 ?1 k 2 ?1

………3 分

2 ? ?1?1 4k ? 3 3 CD 2 由2 ? 7 得 k 2 ? 15 , ( ) ? 1? ( k )2 , 2 k ?1 2 2 1 1 ? (? ) 2 k
2

CD ? 2 1 ?

4 4 ? 2 1? ? 3. k ?1 15 ? 1
2

………6 分

(2)当直线 AB 斜率不存在时, ?ABE 的面积 S ?

1 ? 4? 2 ? 4 ; 2

当直线 AB 斜率存在时,设为 k ,则直线 AB : y ? kx ? 1 ,显然 k ? 0 ,

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1 ? ? 2 ?1?1 1 k ? 1得 k2 ? 3, 直线 CD : y ? ? x ? 1 ,由 k 1 (? ) 2 ? 1 k
所以 k ? (??, ? 3) ? ( 3, ??) . 因为 (

………8 分

AB 2 1 4k 2 ? 3 , ) ?( ) 2 ? 4 ,所以 AB ? 2 2 k 2 ?1 k 2 ?1

E 到直线 AB 的距离即 M 到 AB 的距离,为 d ?

2k ? 1 ? 1 k ?1
2

?

2k k 2 ?1



3 1 (4k ? 3) k k2 , ? 2 所以 ?ABE 的面积 S ? AB ? d ? 2 1 2 ( k 2 ? 1) 2 (1 ? 2 ) 2 k
2 2

4?

………12 分

令4?

3 t 1 3 ? t (4 ? t ? 5) ,则 S ? 6 ?6 ? ( 5, 4) . 2 2 1 k (t ? 1) 2 t ? ?2 t 3 5, 4] . 2
…………16 分

综上, ?ABE 面积的取值范围 (

(4k 2 ? 3)k 2 说明:求 S ? 2 范围还可以: (k 2 ? 1) 2
令 k ?1 ? t ? 4, S ? 2
2

3 (4t ? 1)(t ? 1) 1 5 ? 2 2 ? ? 4 ? ( 5, 4) 2 2 t t t
2 ? 2x ? a , x

2 19.解: (1)函数的定义域为 (0, ??) , f ( x) ? 2ln x ? x ? ax , f ?( x) ?

由题意,对任意的 x ? 0 ,都有 f ?( x) ?

2 2 ? 2 x ? a ? 0 ,只要 ( ? 2 x) min ? a , x x

由基本不等式得

2 2 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 4 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, x x
………4 分

所以 a ? 4 ,即实数 a 的取值范围是 (??, 4] .

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(2)当 a ? e 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ex , f ?( x) ? 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,

2 2 x 2 ? ex ? 2 ? 2x ? e ? ?0, x x

又因为 f (e) ? 2ln e ? e2 ? e ? e = 2 ,所以 f ( x) ? 2 ? f ( x) ? f (e) ,因此 0 ? x ? e , 故不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (0, e) . (3) f ?( x) ? ………9 分

2 2 x 2 ? ax ? 2 ? 2x ? a ? , x ? (0, ??) ,令 g ( x) ? 2 x2 ? ax ? 2 , x x

2 2 当 a ? 4 时,因为 ? ? a ? 16 ? 0 ,所以 g ( x) ? 2 x ? ax ? 2 一定有两个零点,

设为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,又因为 x1 x2 ? 1 ,所以 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 则 f ( x ) 在区间 (0, x1 ) 或 ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减, ………12 分

因为 g ( x1 ) ? 2x12 ? ax1 ? 2 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? 2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 2ln x1 ? x12 ? 2 , 因为 0 ? x1 ? 1,所以 f ( x1 ) ? 2ln x1 ? x12 ? 2 ? 2ln1 ? x12 ? 2 ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 又 f ( x) ? 2ln x ? x( x ? a) ,则 f (a) ? 2ln a ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上只有一个零点. 说明:事实上,对任意的 a ? R ,函数 y ? f ( x) 只有一个零点. 20. 解:(1) 因为 Sn ? 2an ? 2 ,所以当 n ≥ 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2 , 两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ,又 S1 ? 2a1 ? 2 ,则 a1 ? 2 , 所以数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项, 2 为公比的等比数列,故 an ? 2n . ………4 分 ………16 分



Tn b T b T b T b T b T b ? n 得 1 ? 1 , 2 ? 2 , 3 ? 3 ,?, n ?1 ? n ?1 , n ? n , T2 b3 T3 b4 T4 b5 Tn bn ?1 Tn ?1 bn ?2 Tn?1 bn? 2
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以上 n 个式子相乘得

T1 bb 即 2Tn ? ? 1 2 , bb nn Tn bn?1bn? 2

?1

①, 当 n ≥ 2 时, 2Tn?1 ? bnbn?1 ②, ………6 分

两式相减得 2bn ? bn (bn?1 ? bn?1 ) ,即 bn?1 ? bn?1 ? 2 ( n ≥ 2 ) ,

所以数列 {bn } 的奇数项、偶数项分别成等差数列, 又

T1 b1 ? ,所以 b3 ? T2 ? b1 ? b2 ? 3 ,则 b1 ? b3 ? 2b2 , T2 b3

所以数列 {bn } 是以 b1 ? 1 为首项, 1 为公差的等差数列,因此数列 {bn } 的通项公式为

bn ? n .

………8 分

另法:由已知显然 bn ? 0 ,因为 是常数列, 所以

Tn b T T T ? n ,所以 n ? n ?1 ,则数列 { n } bnbn ?1 bn ?1bn ? 2 bnbn?1 Tn?1 bn? 2

Tn T 1 ? 1 ? ,即 2Tn ? bnbn?1 ,下同上. bnbn?1 b1b2 2 an ? bn ? 1 无意义, an ? bn ?1

(2)当 n ? 1 时,

设 cn ?

an ? bn ? 1 2n ? n ? 1 ? n (n ≥ 2, n ?N? ) ,显然 cn ? 1, an ? bn?1 2 ? (n ? 1)
2n?1 ? n ? 2 2n ? n ? 1 ?n ? 2n?1 ? ? ?0 , 即 2n?1 ? (n ? 2) 2n ? (n ? 1) [2n?1 ? (n ? 2)] ? [2n ? (n ? 1)]

则 cn?1 ? cn ?

cn ? cn?1 ? 1 ,
显然 2 ? n ? 1 ? 2 ? (n ? 1) ,所以 c2 ? 7 ? c3 ? 3 ? c4 ? ? ? 1,
n n

所以存在 n ? 2 ,使得 b7 ? c2 , b3 ? c3 ,

………12 分

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下面证明不存在 cn ? 2 ,否则 cn ?
n

2n ? n ? 1 ? 2 ,即 2n ? 3(n ? 1) , 2n ? (n ? 1)

此式右边为 3 的倍数,而 2 不可能是 3 的倍数,故该式不成立. 综上,满足要求的 bn 为 b3 , b7 . ………16 分

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附加题参考答案
21.A.证明:因为 CD 为圆的切线,弧 BC 所对的圆周角为 ?BAC 所以 ?BCD ? ?BAC (1) 又因为 AB 为半圆 O 的直径 所以 ?ACB ? 90? , 又 BD⊥CD,所以 ?CDB ? 90? ? ?ACB (2) 由(1) 、 (2)得 ?ABC ? ?CBD 所以

AB BC ? ? BC 2 ? BA ? BD BC BD

……………10 分

21.B. 解:因为 MN ? ?

?0 2 ? ?2 x ? y ? 5, ,所以 ? ? ?5 13? ?4 x ? y ? 13.
……………5 分

所以 x ? 4, y ? 3 ;

? 3 ?? 5 ?1 2 ? ?1 矩阵 M ? ? ? 的逆矩阵 M ? ? 4 ? ? 4 3? ? ?5
x2 ? y2 ? 1 . 3

2 ? 5 ? ?. 1? ? 5? ?

……………10 分

21.C. 解:曲线 C 的普通方程是

……………………………2 分 ……………………………4 分

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是

d?

3 cos ? ? 3 sin ? ? 3 2

π 3 2 sin(? ? ) ? 1 3( 2 ? 1) 6? 3 4 ? ? ? .………10 分 2 2 2

21.D. 证明:因为

?

a ? 1 ? b ? 1 ≤ (a ? 1 ? b ? 1)(12 ? 12) ? 6,

?

2

………… 8 分 …………10 分

所以 a ? 1 ? b ? 1≤ 6 . 法二:分析法,要证 a ? 1 ? b ? 1≤ 6 , 即证 ( a ? 1 ? b ? 1)2 ≤( 6)2 , 即证 a ? 1 ? 2 (a ? 1)(b ? 1) ? b ? 1≤6 ,
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即证 2 (a ? 1)(b ? 1)≤3 ? (a ? 1) ? (b ? 1) 由基本不等式易得。 22. 解:连接 CE, 以 EB, EC , EA 分别为 x, y, z 轴, 建立如图空间直角坐标系, 则 A 0,0, 3 , B ?1,0,0 ? , C 0, 3,0 , D( ?1,0,0) ,
z A

?

?

?

?

F E x B

D C y

BF ??, BA ??? ? ??? ? 则 BF ? ? BA=? ?1,0, 3 ? (?? ,0, 3? ) , 所以 F (1 ? ?,0, 3? ) .
因为 F 为线段 AB 上一动点,且

?

?

(1)当 ? ?

???? 5 ? 1 3 ??? 2 3 时, F ( , 0, ) , DF ? ( , 0, ), CB ? (1, ? 3, 0) , 3 3 3 3 3
5 3 5 3 ( ) 2 ? ( ) 2 ? 12 ? (? 3) 2 3 3 ? 5 28 ; 56
…………4 分

???? ??? ? 所以 cos ? DF , CB ??

(2) CF ? (1 ? ?, ? 3, 3? ) , 设平面 ACD 的一个法向量为 n = ? x, y, z ?

??? ?

?

?? x, y, z ? ? 1,0, 3 ? 0 ? ? ? ? x ? 3z ? 0 ? ? 由 n ? DA , n ? DC 得 ? ,化简得 ? ,取 n ?
? ?x ? 3y ? 0
??? ? ? 设 CF 与平面 ACD 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? CF , n ?|? 2 3(1 ? ? )

? ?? x, y, z ? ? ?1, ?

? 3,0 ? ? 0

?

3, ?1, ?1

?

(1 ? ? )2 ? 3 ? ( 3? )2 ? 5

?

15 . 10

解得 ? ?

1 1 或 ? ? 2 (舍去) ,所以 ? ? . 2 2

…………10 分

23. 证明:(1)
0 1 2 2 2 n?1 2 n?1 因为 (1 ? 2 2)2n?1 ? C2 , n?1 ? C2n?1 (2 2) ? C2n?1 (2 2) ? ?? C2n?1 (2 2) 0 1 2 2 2 n?1 2 n?1 , (1? 2 2)2n?1 ? C2 n?1 ? C2n?1 (2 2) ? C2n?1 (2 2) ? ?? C2n?1 (2 2)

又因为 (1 ? 2 2)2n?1 ? an ? 2 2bn ,所以 (1 ? 2 2)2n?1 ? an ? 2 2bn , 所以 (1 ? 2 2)2n?1 (1 ? 2 2)2n?1 ? (an ? 2 2bn )(an ? 2 2bn ) ,

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2 2 2 2 即 an 能被 7 整除. ? 8bn ? ?72n?1 ,所以 an ? 8bn 2 2 2 2 (2)由 an ? 8bn ? ?72 n?1 得 8bn ? an ? 72n?1 , n n 1 ? n1 n1 因 为 72n ? 49n ? (50? 1) ?Cn0 50 ?Cn 50 ? ( 1) ? ? ? Cn?

…………5 分

n1 n 最后 50( ? ? 1) ? Cn n ?( 除 1)

一项外都是 5 的倍数, 所以 7
2 n ?1

用 5 除所得的余数是 2 或 ?2 ,

2 又因为 an 是平方数,其末尾数可能是 0,1, 4,5,6,9 , 2 所以 an ? 72n?1 末尾数不可能是 0 或 5 , 2 2 因而不能被 5 整除,即 8bn 不能被 5 整除,从而 bn 不能被 5 整除,

所以 bn 不能被 5 整除.

…………10 分

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