当前位置:首页 >> 高一数学 >>

人教A版数学必修5数列新课教案一


数列的概念
函数的定义. 如果 A、 B 都是非空数集, 那么 A 到 B 的映射 f : A ? B 就叫做 A 到 B 的函数, 记作:y ? f ( x) , 其中 x ? A, y ? B. 4,5,6,7,8,9,10. 1, ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

1 1 1 1 , , , ,?. 2 3 4 5

1,0.1,0.01,0.001,0.0001,?. 1,1.4,1.41,1.414,?. -1,1,-1,1,-1,1,?. 2,2,2,2,2,?.

观察这些例子,看它们有何共同特点? 上述例子的共同特点是:⑴均是一列数;⑵有一定次序. 1. 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的 数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,?, 第 n 项,?. 例如,上述例子均是数列,其中①中, “4”是这个数列的第 1 项(或首项) , “9”是这个数列中的第 6 项. ⒊数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列的第 n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1” , “
王新敞
奎屯 新疆

1 ”是这个数列的第“3” 3

项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?对于上 面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 1 1 1 1 1 项 2 3 4 5 ↓ ↓ 序号 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式: a n ?

1 来表示其对应关系 n

即:只要依次用 1,2,3?代替公式中的 n,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系 如:数列①: an =n+3(1≤n≤7);数列③: a n ? 数列⑤: an ? (?1) n n≥1) ⒋ 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,?它的通项公式可以是 a n ?

1 (n ≥1) ; 10 n ?1

1 ? (?1) n ?1 ,也 2

1

可以是 a n ?| cos

n ?1 ? |. 2

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. * 从映射、函数的观点来看,数列也可以看作是一个定义域为正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,?,n})的函 数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,数列的通项公式就是相应函数的解析式. 对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公式画出其对应图象,下面同 学们练习画数列①,②的图象,并总结其特点. 在画图时,为方便起见,直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的图象分别如图 1,图 2 所示. 5.数列的图像都是一群孤立的点. 6.数列有三种表示形式: 列举法,通项公式法和图象法. 7. 有穷数列:项数有限的数列.例如,数列①是有穷数列. 8.无穷数列:项数无限的数列. 例如,数列②、③、④、⑤、 ⑥都是无穷数列.

例 1 根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出前 5 项: (1) a n ?

n ; (2)a n ? (?1) n ? n n ?1
王新敞
奎屯 新疆

分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中 n 依次取 1,2,3,4,5,即可得到数列的前 5 项 例 2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: (1)1,3,5,7; (2)

2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 5 2 ? 1 ; , ; ; 2 3 4 5

(3)-

1 1 1 1 , ,, . 1? 2 2 ? 3 3? 4 4? 5

解: (1)项 1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 即这个数列的前 4 项都是序号的 2 倍减去 1, ∴它的一个通项公式是: an ? 2n ? 1 ; (2)序号:1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母:2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 2 项分子: 2 -1 3 -1 42-1 52-1

(n ? 1) 2 n 即这个数列的前 4 项的分母都是序号加上 1, 分子都是分母的平方减去 1, ∴它的一个通项公式是: a n ? ; n ?1

1
(3)序号

3 ? 1 ? 2?3


3 ? 1 ? 3? 4


4 ? 1 ? 4?5
‖ 2

? 1 ? 1? 2


(?1)1

1 1 1 (?1) 2 (?1) 3 1 ? (1 ? 1) 3 ? (3 ? 1) 2 ? (2 ? 1)

(?1) 2

1 2 ? (2 ? 1)

这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公 式是: a n ? (?1) 定义: 1.递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前 n 项)间的关系可 以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式 说明:递推公式也是给出数列的一种方法
王新敞
奎屯 新疆

n

1 n(n ? 1)

王新敞
奎屯

新疆

如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 2.数列的前 n 项和: 数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记为 S n .

S1 表示前 1 项之和: S1 = a1
S 2 表示前 2 项之和: S 2 = a1 ? a 2
??

S n?1 表示前 n-1 项之和: S n?1 = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1
S n 表示前 n 项之和: S n = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .
∴当 n≥1 时 S n 才有意义;当 n-1≥1 即 n≥2 时 S n ?1 才有意义. 3. S n 与 an 之间的关系: 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 , 即 an = ?

?S1 ( n ? 1) . ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

说明:数列的前 n 项和公式也是给出数列的一种方法. 例 1 已知数列 ?an ? 的第 1 项是 1,以后的各项由公式 a n ? 1 ?

1 给出,写出这个数列的前 5 项 an?1 1 an?1

王新敞
奎屯

新疆

分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式: a n ? 1 ?

解:据题意可知: a1 ? 1, a 2 ? 1 ?

1 1 2 ? 2, a3 ? 1 ? ? a1 a2 3

3

a4 ? 1 ?

1 5 8 ? , a5 ? a3 3 5

例 2 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 3an?1 ? an?2 (n ≥3) ,试写出数列的前 4 项 解:由已知得 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3a2 ? a1 ? 7, a4 ? 3a3 ? a2 ? 23 例 3 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n


法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

an ?2 a n ?1



an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 an?1 an?2 an?3 a1

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n 例4 已知数列 ?an ? 的前 n 项和,求数列的通项公式:
2 2

⑴ S n =n +2n; ⑵ S n =n -2n-1. 解:⑴①当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1; ②当 n=1 时, a1 = S1 =1 +2×1=3; ③经检验,当 n=1 时,2n+1=2×1+1=3, ∴ an =2n+1 为所求. ⑵①当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 =(n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3; ②当 n=1 时, a1 = S1 =1 -2×1-1=-2; ③经检验,当 n=1 时,2n-3=2×1-3=-1≠-2, ∴ an = ? 练习: 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) a1 =0, a n ?1 = an +(2n-1) (n∈N); (2) a1 =1, a n ?1 =
2 2 2 2 2 2

?? 2(n ? 1) 为所求. ?2n ? 3(n ? 2)

2a n (n∈N); an ? 2

(3) a1 =3, a n ?1 =3 an -2 (n∈N).

4

解:(1) a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16, ∴ an =(n-1) ; (2) a1 =1, a2 =

2

1 2 1 2 2 2 2 , a3 = ? , a 4 = , a5 = ? , ∴ a n = ; 3 5 n ?1 2 4 3 6
0 1 2

(3) a1 =3=1+2 ? 3 , a2 =7=1+2 ? 3 , a3 =19=1+2 ? 3 ,

a4 =55=1+2 ? 33 , a5 =163=1+2 ? 3 4 , ∴ an =1+2·3 n ?1 ;
2. .已知下列各数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的公式,求 ?an ? 的通项公式 (1) S n =2n -3n; 解:(1) a1 =-1,
2
王新敞
奎屯 新疆

(2) S n = 3 -2.

n

an = S n - S n?1 =2n 2 -3n-[2(n-1) 2 -3(n-1)]=4n-5,
又 a1 符合 a1 =4·1-5, ∴ an =4n-5; (2) a1 =1, an = S n - S n ?1 = 3 -2-( 3 ∴ an = ?
n n ?1

-2)=2· 3

n ?1

,

? 1 n ?1 ?2 ? 3

n ?1 n?2

1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差 数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) ⑴.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
王新敞
奎屯 新疆

⑵.对于数列{ an },若 an - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则此数列是等差数列,d 为公差 2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 【或 an ? am ? (n ? m)d 】

?

王新敞
奎屯

新疆

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d,则据其定义可得:
王新敞
奎屯 新疆

a2 ? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
?? 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? a1 ? (n ? 1)d ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 an 如数列①1,2,3,4,5,6; an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n (1≤n≤6) 数列②10,8,6,4,2,?; an ? 10 ? (n ? 1) ? (?2) ? 12 ? 2n (n≥1)
王新敞
奎屯 新疆

5

数列③ ; , ; ,1,?;

1 2 3 4 5 5 5 5

an ?

1 1 n ? (n ? 1) ? ? (n≥1) 5 5 5

由上述关系还可得: am ? a1 ? (m ? 1)d 即: a1 ? am ? (m ? 1)d 则: an ? a1 ? (n ? 1)d = am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即的第二通项公式

an ? am ? (n ? m)d

∴ d=

am ? an m?n

如: a5 ? a4 ? d ? a3 ? 2d ? a2 ? 3d ? a1 ? 4d 例 1 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项 ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1) 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得 ? 401? ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得 n=100,即-401 是这个数列的 第 100 项
王新敞
奎屯 新疆

例 2 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求 a1 , d , a20 , an 解法一:∵ a5 ? 10 , a12 ? 31,则

?a1 ? 4d ? 10 ? ?a1 ? 11d ? 31

a ?? ?

1

? ?2

?d ? 3

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 5

a20 ? a1 ? 19d ? 55
解法二:∵ a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ? d ? 3 ∴ a20 ? a12 ? 8d ? 55 小结:第二通项公式

an ? a12 ? (n ? 12)d ? 3n ? 5

王新敞
奎屯

新疆

an ? am ? (n ? m)d
u s ? ut 的值, s?t

例 3 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 un 中, 设数列的第 s 项和第 t 项分别为 us 和 u t , 计算 你能发现什么结论?并证明你的结论 解:通过计算发现
王新敞
奎屯 新疆

u s ? ut 的值恒等于公差 s?t

证明:设等差数列{ un }的首项为 u 1 ,末项为 un ,公差为 d, 6

?u s ? u1 ? ( s ? 1)d ? ?u t ? u1 ? (t ? 1)d

(1) (2)
? u s ? ut ?d s ?t

⑴-⑵得 us ? ut ? (s ? t )d

小结:①这就是第二通项公式的变形,②几何特征,直线的斜率 例 4 梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为 110cm,中间还有 10 级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度
王新敞
奎屯 新疆

解:设 ?an ? 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列, 由已知条件,可知: a1 =33,

a12 =110,n=12
解得: d ? 7

∴ a12 ? a1 ? (12 ? 1)d ,即 10=33+11 d

因此, a2 ? 33 ? 7 ? 40, a3 ? 40 ? 7 ? 47, a4 ? 54, a5 ? 61 ,

a6 ? 68, a7 ? 75, a8 ? 82, a9 ? 89, a10 ? 96, a11 ? 103 ,
答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm. 例 5 已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项 与公差分别是什么? 分析:由等差数列的定义,要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关的常数 解:当 n≥2 时, (取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 a n ?1 与 an (n≥2) )
王新敞
奎屯 新疆

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常数
∴{ an }是等差数列,首项 a1 ? p ? q ,公差为 p
王新敞
奎屯 新疆

注:①若 p=0,则{ an }是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,… ②若 p≠0, 则{ an }是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是 公差,直线在 y 轴上的截距为 q. ③数列{ an }为等差数列的充要条件是其通项 an =pn+q (p、q 是常数) 称其为第 3 通项公式
王新敞
奎屯 新疆

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个 练习:

王新敞
奎屯

新疆

1.(1)求等差数列 3,7,11,??的第 4 项与第 10 项. 分析:根据所给数列的前 3 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项. 解:根据题意可知: a1 =3,d=7-3=4. ∴该数列的通项公式为: an =3+(n-1)×4,即 an =4n-1(n≥1,n∈N*)

7

∴ a4 =4×4-1=15, a10 =4×10-1=39. 评述:关键是求出通项公式. (2)求等差数列 10,8,6,??的第 20 项. 解:根据题意可知: a1 =10,d=8-10=-2. ∴该数列的通项公式为: an =10+(n-1)×(-2),即: an =-2n+12, ∴ a 20 =-2×20+12=-28. 评述:要注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 分析:要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数 n 值,使得 an 等于这一数. 解:根据题意可得: a1 =2,d=9-2=7. ∴此数列通项公式为: an =2+(n-1)×7=7n-5. 令 7n-5=100,解得:n=15, ∴100 是这个数列的第 15 项. (4)-20 是不是等差数列 0,-3 解:由题意可知: a1 =0,d=-3

1 ,-7,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 2

1 2 7 7 n+ , 2 2

∴此数列的通项公式为: an =- 令-

7 7 47 n+ =-20,解得 n= 2 2 7 7 7 因为- n+ =-20 没有正整数解,所以-20 不是这个数列的项. 2 2
2.在等差数列{ an }中, (1)已知 a4 =10, a7 =19,求 a1 与 d; (2)已知 a3 =9, a9 =3,求 a12 .

?a1 ? 3d ? 10 解: (1)由题意得: ? , ?a1 ? 6d ? 19
(2)解法一:由题意可得: ?

?a1 ? 1 解之得: ? . ?d ? 3

?a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 11 , 解之得 ? ?d ? ?1 ?a1 ? 8d ? 3

∴该数列的通项公式为: an =11+(n-1)×(-1)=12-n,∴ a12 =0 解法二:由已知得: a9 = a3 +6d,即:3=9+6d,∴d=-1 又∵ a12 = a9 +3d,∴ a12 =3+3×(-1)=0. 问题:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列数列,那么 A 应满足什么条件?

8

由定义得 A- a = b -A 反之,若 A ?

,即: A ?

a?b 2

a?b ,则 A- a = b -A 2 a?b ? a, b, 成等差数列 由此可可得: A ? 2
也就是说,A=

王新敞
奎屯

新疆

a?b 是 a,A,b 成等差数列的充要条件 2 定义:若 a ,A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项

王新敞
奎屯

新疆

不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13?中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

看来, a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a4 ? a6 ? a3 ? a7 性质:在等差数列中,若 m+n=p+q,则, am ? an ? a p ? aq 即 m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N )

但通常 ①由 am ? an ? a p ? aq 推不出 m+n=p+q ,② am ? an ? am?n 例 1 在等差数列{ an }中,若 a1 + a6 =9, a4 =7, 求 a3 , a9 . 分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和 公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差) ,本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想 到从这双项关系式入手?? 解:∵ {an }是等差数列 ∴ a1 + a6 = a4 + a3 =9 ? a3 =9- a4 =9-7=2 ∴ d= a4 - a3 =7-2=5 ∴ a9 = a4 +(9-4)d=7+5*5=32 ∴ a3 =2, a9 =32 例 2 等差数列{ an }中, a1 + a3 + a5 =-12, 且 a1 · a3 · a5 =80. 求通项 an 分析:要求通项,仍然是先求公差和其中至少一项的问题 而已知两个条件均是三项复合关系式,欲求某项必须消元 (项)或再弄一个等式出来
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

解: a1 + a5 =2 a3

a 1 ? a 3 ? a 5 ? ?12 ? 3a3 ? ?12 ? a3 ? ?4? ?a1a5 ? ?20 ??? a1a3 a5 ? 80 ? ?a1 ? a5 ? ?8

? a1 =-10, a5 =2 或 a1 =2, a5 =-10

9

∵ d=

a5 ? a1 5 ?1

∴ d=3 或-3

∴ an =-10+3 (n-1) = 3n- 13 或 an =2 -3 (n-1) = -3n+5 例 3 在等差数列{ an }中, 已知 a3 + a4 + a5 + a6 + a7 =450, 求 a2 + a8 及前 9 项和 S 9 . 解:由等差中项公式: a3 + a7 =2 a5 , a4 + a6 =2 a5 由条件 a3 + a4 + a5 + a6 + a7 =450, 得 5 a5 =450, a5 =90, ∴ a2 + a8 =2 a5 =180.

S 9 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9
=( a1 + a9 )+( a2 + a8 )+( a3 + a7 )+( a4 + a6 )+ a5 =9 a5 =810. 例 4 已知 a、b、c 的倒数成等差数列,求证:
王新敞
奎屯 新疆

a b c , , b?c?a c?a ?b a?b?c
王新敞
奎屯 新疆

的倒数也成等差数列 分析:给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数 x、y、z 成等差数列的充要条件:x+y=2z 证明:因为 a、b、c 的倒数成等差数列

2 1 1 ? ? ,即 2ac=b(a+c) b a c b ? c ? a a ? b ? c c(b ? c) ? a(a ? b) 又 + = -2 a c ac c 2 ? a 2 ? b( a ? c ) c 2 ? a 2 ? 2ac = -2= -2 ac ac
∴ =

(a ? c) 2 2(a ? c) 2 -2= -2 ac b( a ? c )

2(a ? c) 2(c ? a ? b) -2= b b a b c 所以 , , 的倒数也成等差数列 b?c?a c?a ?b a?b?c
= 练习:

王新敞
奎屯

新疆

1.在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求首项 a1 与公差 d 解:由题意可知 ?

?a5 ? a1 ? 4d ? 10 ?a12 ? a1 ? 11d ? 31

(1) (2)

a ? ? 1? ?2 解之得 ? 即这个数列的首项是-2,公差是 3 ? d ? 3 ?

王新敞
奎屯

新疆

10

或由题意可得: a12 ? a5 ? (12 ? 5)d 即:31=10+7d 可求得 d=3,再由 a5 ? a1 ? 4d 求得 1=-2 2. 在等差数列 ?an ? 中, 若 a5 ? 6 解: a8 ? a5 ? (8 ? 5)d

a8 ? 15 求 a14
即 15 ? 6 ? 3d ∴ d ?3

从而 a14 ? a5 ? (14 ? 5)d ? 6 ? 9 ? 3 ? 33 3.在等差数列 ?an ? 中若 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 , a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80 , 求 a11 ? a12 ? ? ? a15 解:∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ?? ??

∴ 2a6 ? a1 ? a11

2a7 ? a2 ? a12

∴ (a11 ? a12 ? ? ? a15 ) + (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? 2 (a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ∴ a11 ? a12 ? ? ? a15 =2 (a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) =2×80?30=130

本次课后作业:
1.在等差数列 ?an ? 中, d 为公差,若 m, n, p, q ? N ? 且 m ? n ? p ? q 求证:1? am ? an ? a p ? aq 证明:1?设首项为 a1 , 2?

a p ? aq ? ( p ? q)d

a m ? a n ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d a p ? a q ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d
∵ m?n ? p?q ∴ am ? an ? a p ? aq

2? ∵ a p ? a1 ? ( p ? 1)d

aq ? ( p ? q)d ? a1 ? (q ? 1)d ? ( p ? q)d ? a1 ? ( p ? 1)d
∴ a p ? aq ? ( p ? q)d 2.在等差数列 ?an ? 中, 若 a5 ? a

a10 ? b 求 a15
∴ a15 ? 2b ? a

解: 2a10 ? a5 ? a15 即 2b ? a ? a15

3.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a8 ? m 求 a5 ? a6 解: a5 ? a6 = a3 ? a8 ? m 4.成等差数列的四个数之和为 26,第二数和第三数之积为 40,求这四个数. 11

解:设四个数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

则: ?

?(a ? 3d ) ? (a ? d ) ? (a ? d ) ? (a ? 3d ) ? 26 ?(a ? d )(a ? d ) ? 40
13 2
代入②得: d ? ?

由①: a ?

3 2

∴ 四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 5 在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 求 a8 . 解:∵ a1 ? a15 ? a4 ? a12 ∴ a8 ? ?2

12


赞助商链接
相关文章:
高二人教A版必修5教案精选:2.1 数列的概念与简单表示法
高二人教A版必修5教案精选:2.1 数列的概念与简单表示法 - 《斐波那契数列教学设计 一、教材分析: 本节是高中数学必修 5数列》的一篇阅读思考的内容。 本节...
新课标高中数学人教版必修5第二章等差数列教案设计
新课标高中数学人教版必修5第二章等差数列教案设计 - 等差数列 (一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 ...
2018人教A版数学必修五第二章数列《等比数列》基础训练
2018人教A版数学必修五第二章数列《等比数列》基础训练 - 等比数列(基础训练) 1、已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. n-1 3 -n 答案:...
...人教A版高中数学必修五第二章第4节《等比数列》(第1...
【优选整合】人教A版高中数学必修五第二章第4节《等比数列》(第1课时)教案 (1) - 2.4 等比数列(第 1 课时) 一、教学目标: 知识与技能目标:等比数列的定义...
高中数学2.1.1数列教案 新人教B版必修5
高中数学2.1.1数列教案 新人教B版必修5_数学_高中教育_教育专区。2.1.1 ...课堂小结 1.由学生总结本节课所学习的主要内容:数列的有关概念;根据数列的前...
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(a卷)(附答案)
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(a卷)(附答案) - 第二章 数列测评(A 卷) 共 50 分) (总分:120 分 时间:90 分钟) 第Ⅰ卷(选择题 一、选择题(...
(新课标)高中数学 2.1.1数列教学设计 新人教B版必修5
(新课标)高中数学 2.1.1数列教学设计 新人教B版必修5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.1.1 数列 整体设计 教学分析 本节教材通过举例引出数列概念, 教材...
2018人教A版数学必修五第二章数列《等差数列》基础训练
2018人教A版数学必修五第二章数列《等差数列》基础训练 - 等差数列(基础训练) 1.已知一个无穷等差数列的首项为 a1,公差为 d:将数列中的前 m 项去掉, 其余...
高中数学必修5新教学案:2.1数列的概念与简单表示法(第1...
高中数学必修5新教学案:2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)_数学_高中教育_...高中数学人教A版必修5多... 暂无评价 23页 ¥1.00 高中数学第二章数列...
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列》课后训练(...
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列》课后训练(第1课时)2 - 第 1 课时 等差数列练习 D.-3 D.3 ) D.2 1.已知等差数列{an}的通项公式 an=3-2n...
更多相关标签: