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2014年高考数学:专题七 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值问题、范围问题及轨迹问题


第 3 讲 圆锥曲线中的最值问 题、范围问题及轨迹问题

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1.(2013 年高考湖南卷,文 20)已知 F1,F2 分别是椭圆
x2 2 E: +y =1 的左、右焦点,F1,F2 关于直线 x+y-2=0 的 5

对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长 分别为 a、b.当 ab 最大时,求直线 l 的方程.

解:(1)由题设知,F1,F2 的坐标分别为 (-2,0),(2,0),圆 C 的半径为 2,圆心为原点 O 关于直线 x+y-2=0 的对称点. 设圆心的坐标为(x0,y0),
? y0 ? 1, ? ? x0 ? 2, ? x0 由? 解得 ? ? y0 ? 2. ? x0 ? y0 ? 2 ? 0, ? ?2 2

所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.

(2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2, 则圆心到直线 l 的距离 d= 所以 b=2 2 ? d =
2 2

2m 1? m
2

2

.

4 1? m

.

? x ? my ? 2, ? 由 ? x2 2 ? y ? 1, ? ?5

得(m2+5)y2+4my-1=0. 设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1+y2=4m 1 ,y y =. 1 2 2 2 m ?5 m ?5

于是 a= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 = (1 ? m2 )( y1 ? y2 )2
2 = (1 ? m2 ) ? ( y ? y ) ? 4 y1 y2 ? 2 ? 1 ?

2 2 ? ? 16 m 4 2 5( m ? 1) 2 ? 2 = (1 ? m ) ? 2 . ?= 2 2 m ? 5? m ?5 ? (m ? 5)

8 5 ? m2 ? 1 8 5 ? m 2 ? 1 从而 ab= = 2 ( m 2 ? 1) ? 4 m ?5

=

8 5 m2 ? 1 ? 4 m2 ? 1


2

8 5 m2 ? 1 ? 4 m2 ? 1

=2 5 .

当且仅当 m ? 1 =
2

4 m ?1
2

,即 m=± 3 时等号

成立. 故当 m=± 3 时,ab 最大,此时,直线 l 的方程为 x= 3 y+2 或 x=- 3 y+2, 即 x- 3 y-2=0 或 x+ 3 y-2=0.

2.(2012 年高考四川卷,文 21)如图,动点 M 与两定点 A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线 MA、MB 的斜率之积 为 4.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相 交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、 R,且|PQ|<|PR|,求 范围.
PR PQ

的取值

解:(1)设动点 M 的坐标为(x,y), 当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在; 当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在. 于是 x≠1 且 x≠-1,
y y 此时,MA 的斜率为 ,MB 的斜率为 . x ?1 x ?1 y y 由题意有 · =4. x ?1 x ?1

化简可得 4x2-y2-4=0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x -y -4=0(x≠1 且 x≠-1).
2 2

? ? y ? x ? m, (2)由 ? 2 消去 y, 2 ? ?4 x ? y ? 4 ? 0

可得 3x -2mx-m -4=0.(*) 对于方程(*),其判别式 2 2 2 Δ=(-2m) -4×3(-m -4)=16m +48>0, 而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0 且 m≠1. 设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR), 则 xQ,xR 为方程(*)的两根. 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|,
m ? 2 m2 ? 3 m ? 2 m2 ? 3 xQ= ,xR= . 3 3

2

2

xR 所以 = PQ xQ

PR

3 2 1? 2 ?1 2 m = =1+ . 3 3 2 1? 2 ?1 2 1? 2 ?1 m m

此时 1 ?

3 3 >1, 且 ≠2, 1 ? 2 2 m m
2 2 1? 2 3 ?1 2 m

所以 1<1+

<3,

且 1+

3 2 1? 2 ?1 m

5 ≠ , 3

xR 所以 1< = <3, PQ xQ
PR

PR

xR 5 且 = ≠ . PQ xQ 3

? 5? ?5 ? 即 的取值范围是 ?1, ? ∪ ? ,3 ? . PQ ? 3? ? 3 ?

PR

感悟备考
与圆锥曲线有关的最值问题、 范围问题及轨迹问题是历 年高考考查的重点问题,这类问题经常与平面几何、函 数、不等式、三角函数等知识联系在一起,并且还渗透 着函数与方程、数形结合、转化与化归等一些重要数学 思想,具有一定的难度,在复习备考中,一要掌握解决解 析几何问题的一些基本方法,如设而不求的整体代入 法、点差法、求曲线方程的基本方法等;二要注意培养 代数运算能力和图形认识能力,能够准确地进行数与形 的语言转换和运算、推理的转换.

热点考向突破—讲策略
考向一 圆锥曲线中的最值问题
1 为 F2,设以 F1、 F2 为焦点,离心率 e= 的椭圆 2

促迁移

【例 1】 已知:如图,抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴交于 F1,焦点

与抛物线的一个交点为 P. (1)求椭圆的方程; (2)若经过点 F2 的直线 l 被抛物线所截得的 弦长|A1A2|恰好等于△PF1F2 的周长,求该直线的方程; (3)若直线 y=k(x-1)与抛物线的两个交点 A1、A2 在 x 轴上的射 影分别为 B1、B2,则当 k∈[-1,0)∪(0,1]时,求四边形 A1B1A2B2 面积的最小值.

解:(1)易得 F2(1,0),
1 ∴c=1,又 e= , 2

∴a=2,b2=a2-c2=3,
x2 y 2 故椭圆方程为 ? =1. 4 3

(2)①若直线 l 斜率不存在,此时其方程为 x=1,代入 抛物线方程解得 y=±2,此时|A1A2|=4, 而△PF1F2 的周长=2a+2c=6≠4,故舍去.

②若直线 l 斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x-1),
2 ? y ? ? 4 x, 联立 ? ? ? y ? k ? x ? 1? ,

得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 又直线 l 与抛物线有两个交点, ∴k≠0,设 A1(x1,y1),A2(x2,y2).
2k 2 ? 4 则 x1+x2= ,x1x2=1. 2 k

则|A1A2|=|A1F2|+|A2F2|=(1+x1)+(1+x2)=2+(x1+x2)
2k 2 ? 4 4(1 ? k 2 ) =2+ = , 2 2 k k

△PF1F2 的周长=2a+2c=6,
4(1 ? k 2 ) 由 =6 解得 k=± 2 , 2 k

所以,直线 l 的方程为 y= 2 (x-1)或 y=- 2 (x-1). (3)设 A1(x1,y1),A2(x2,y2),由(2)②易得
2 4 1 ? k |x1-x2|= ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 = , 2 k

4 1? k2 ∴|y1-y2|=|k(x1-x2)|= , k

∴ S四边形A1B 1A2B2

1 = |x1-x2||y1-y2| 2

1 ? k 2 8(1 ? k 2 ) 8 1? k2 = · = (k∈[-1,0)∪(0,1]), 3 2 k k k

∵ S四边形A1B 1A2B2

8(1 ? k 2 ) = (k∈[-1,0)∪(0,1])为偶函数, 3 k

且当 k>0 时, S四边形A1B 1A2B2

8(1 ? k 2 ) 8 8 = = 3 + 显然为减函数, 3 k k k

∴当 k=±1 时,四边形 A1B1A2B2 的面积的最小值为 16.

考向二 圆锥曲线中的特定字母的取值 范围问题
【例 2】 在△ABC 中,顶点 A,B,C 所对三边分别是 a,b,c,已知 B(-1,0),C(1,0),且 b,a,c 成等差数列. (1)求顶点 A 的轨迹方程; (2)设顶点 A 的轨迹与直线 y=kx+m 相交于不同的两点
1? ? M、N,如果存在过点 P ? 0, ? ? 的直线 l,使得点 M、N 2? ?

关于 l 对称,求实数 m 的取值范围.

?a ? 2, 解:(1)由题知 ? 得 b+c=4, ?b ? c ? 2a,
即|AC|+|AB|=4(定值). 由椭圆定义知,顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的 椭圆(除去左、右顶点), 且其长半轴长为 2,半焦距为 1,于是短半轴长 为 3.
x2 y 2 ∴顶点 A 的轨迹方程为 ? =1(y≠0). 4 3

? ? y ? kx ? m, (2)由 ? 2 2 3 x ? 4 y ? 12 ? 0, ? ?

消去 y 整理得(3+4k )x +8kmx+4(m -3)=0, ∴Δ=(8km) -4(3+4k )×4(m -3)>0, 整理得 4k2>m2-3. 令 M(x1,y1),N(x2,y2),
8km ? x ? x ? ? 1 2 ? ? 3 ? 4k 2 则? , 2 ? x x ? 4(m ? 3) 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
2 2 2

2

2

2



设 MN 的中点 P(x0,y0), 则 x0 =
1 4km (x1+x2)=, 2 3 ? 4k 2

1 1 3m y0= (y1+y2)= (kx1+m+kx2+m)=m+kx0= , 2 3 ? 4k 2 2

当 k=0 时,由题知,m∈(- 3 ,0)∪(0, 3 ).
1 1 当 k≠0 时,直线 l 方程为 y+ =- x. 2 k

由 P(x0,y0)在直线 l 上,
3m 1 4m 得 + = , 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

得 2m=3+4k .

2



把②式代入①中可得 2m-3>m2-3, 解得 0<m<2. 又由②得 2m-3=4k >0,
3 解得 m> . 2 3 ∴ <m<2. 2
2

验证:当(-2,0)在 y=kx+m 上时,得 m=2k,代入②得 4k2-4k+3=0,k 无解, 即 y=kx+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证 y=kx+m 不过右顶点.

?3 ? ∴m 的取值范围为 ? , 2 ? . ?2 ?

综上,当 k=0 时,m 的取值范围为 (- 3 ,0)∪(0, 3 );
?3 ? 当 k≠0 时,m 的取值范围为 ? , 2 ? . ?2 ?

热点训练 2

已知两点 M、N 分别在直线 y=mx 与

直线 y=-mx(m>1)上运动,且|MN|=2.动点 P 满足 ??? ? ???? ? ???? 2 OP = OM + ON (O 为坐标原点),点 P 的轨迹记为曲 线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点(0,1)作直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、 B.若对任意 m>1,都有∠AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

??? ? ???? ? ???? 解:(1)∵2 OP = OM + ON ,

∴P 为 MN 的中点, 设 P(x,y),M(x1,y1)和 N(x2,y2),
? x1 ? x2 ? 2 x, ? 则 ?mx1 ? mx2 ? 2 y, ? 2 2 2, ?( x1 ? x2 ) ? (mx1 ? mx2 ) ? 2
y x ∴ + 2 =1(m>1). 1 m m2
2
2

(2)由(1)知曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆, ∵m>1, 故点(0,1)在椭圆内, ∴直线 l 与曲线 C 恒有两个交点, 显然直线 l 的斜率不存在时不符合题意, 可设直线 l 的方程为 y=kx+1,
? y ? kx ? 1, ? 由 ? 2 2 y2 ? m x ? 2 ? 1, m ?

消去 y 得(m4+k2)x2+2kx+1-m2=0, 设 A(x3,y3),B(x4,y4),

2k 1 ? m2 ∴x3+x4=- 4 ,x3x4= 4 , 2 2 m ?k m ?k

k 2 (1 ? m2 ) ?2k 2 y3y4=(kx3+1)(kx4+1)= + 4 +1, 2 4 2 m ?k m ?k ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 要使∠AOB 为锐角,则 OA · OB >0(易知 OA 、 OB 不可能同向

共线),
m4 ? (k 2 ? 1)m2 ? 1 ∴x3x4+y3y4= >0, 4 2 m ?k

即 m4-(k2+1)m2+1>0,
1 得出 m + 2 >k2+1 对任意 m>1 恒成立,只需-1≤k≤1. m
2

即直线 l 的斜率 k 的取值范围为[-1,1].

考向三 圆锥曲线中的轨迹问题
1.热点内容 求轨迹方程的常用方法有: (1)直接法:根据条件直接将所给的关系“翻译”成 含有 x,y 的等式得到曲线的轨迹方程. (2)定义法:若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义, 则可根据定义直接求出动点的轨迹方程. (3)待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.

(4)代入法(转移法或相关点法):如果所求的动 点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,则 可以用动点的坐标表示相关点的坐标,根据相关 点所满足的方程求得动点的轨迹方程. 2.问题引领 由涉及动点的向量等式求该动点的轨迹方程应 如何解决? 答案:只需将向量等式坐标化.

【例 3】 如图所示,已知点 H(-3,0),点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足
???? ???? ? HP · PM =0, ???? ? ? 3 ???? PM =- MQ . 2

(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求 点 M 的轨迹 C 的方程; (2)给定圆 N:x +y =2x,过圆心 N 作直线 l,此直线与圆 N 和(1)中的轨迹 C 共有四个交点,自上而下顺次记为 A、 B、C、D,已知线段 AB、BC、CD 的长按此顺序构成一个 等差数列,求直线 l 的方程.
2 2

解:(1)设 M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)(x'>0),
???? ? ???? ? ? ???? 3 ???? ∵ PM =- MQ , HP · PM =0, 2

3 ∴(x,y-y')=- (x'-x,-y),(3,y')·(x,y-y')=0, 2 1 1 ∴x'= x,y'=- y, 3 2

① ②

3x+yy'-y' =0. 将①式代入②式得 y2=4x. 又∵点 Q 在 x 轴的正半轴上,∴x>0. 2 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y =4x(x>0).

2

(2)由题意知直线 l 的斜率不为 0, 由题知,圆 N 的方程为(x-1) +y =1,则 其直径长|BC|=2,圆心为 N(1,0),如 图所示.设 l 的方程为 my=x-1, 即 x=my+1. ③ 将③式代入抛物线方程 y2=4x, 2 得 y -4my-4=0, 设 A(x1,y1),D(x2,y2),
?? ? 0, ? 由根与系数的关系,得 ? y1 ? y2 ? 4m, ? y y ? ?4, ? 1 2
2 2

则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(m2+1),
?y ?y ? |AD| =(y1-y2) +(x1-x2) =(y1-y2) + ? ? ? 4 ?
2 2 2 2

2 1

2 2

2

2 ? ? y1 ? y2 ? ? 2 2 2 2 =(y1-y2) ?1 ? ? =16(m +1) , ∴ |AD|=4(m +1). ? ? ? ? ? 4 ? ? ?

又∵线段 AB、BC、CD 的长成等差数列, ∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|.∴|AD|=3|BC|=6,
2 ∴4(m +1)=6,解得 m=± , 2
2

即直线 l 的方程为 2 x-y- 2 =0 或 2 x+y- 2 =0.

关注细节

在求动点的轨迹方程时,一定要注意 设 F(1,0),点 M 在 x 轴上,点 P 在 y

方程中自变量的取值范围.

热点训练 3

???? ???? ? ??? ? ???? ? 轴上,且 MN =2 MP , PM ⊥ PF .

(1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线 C 上的点,
???? ??? ? ???? 且| AF |,| BF |,| DF |成等差数列,当 AD 的垂直

平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时,求点 B 的坐标.

???? ???? ? 解:(1)设 N(x,y),则由 MN =2 MP 得 P 为 MN 的

中点,

? y? 所以 M(-x,0),P ? 0, ? . ? 2?
???? ? ??? ? 又 PM ⊥ PF , ???? ? ??? ? ∴ PM · PF =0.

???? ? ? ? ? y ? ??? y? ∵ PM = ? ? x, ? ? , PF = ?1, ? ? ,

?

2?

?

2?

∴y2=4x(x≠0).

(2)由(1)知 F(1,0)为曲线 C 的焦点, 由抛物线定义知抛物线上任一点 P0(x0,y0)到 F 的距离等
p 于其到准线的距离,即|P0F|=x0+ , 2
???? ??? ? p p 故| AF |=x1+ ,| BF |=x2+ , 2 2 ???? p DF | |=x3+ . 2 ???? ??? ? ???? 由| AF |,| BF |,| DF |成等差数列得 x1+x3=2x2,

直线 AD 斜率不存在时,显然不合题意.

y3 ? y1 y3 ? y1 4 设直线 AD 的斜率 kAD= = 2 = , 2 x3 ? x1 y3 y1 y1 ? y3 ? 4 4
y1 ? y3 AD 的中垂线方程为 y=(x-3). 4

? x1 ? x3 y1 ? y3 ? 又 AD 的中点 ? , ? 在直线上, 2 ? ? 2
x1 ? x3 代入上式,得 =1 2

? x2=1, 故所求点 B 的坐标为(1,±2).

【备选例题】
? 5? 【例 1】 已知曲线 M 上动点 N 满足到点 F ? 0, ? 的距离等于 ? 4?
3 到定直线 y= 的距离,又过点 P(1,3)的直线交此曲线于 A,B 4

两点,过 A,B 分别作曲线 M 的两切线 l1,l2. (1)求此曲线 M 的方程; (2)当过点 P(1,3)的直线变化时,证明 l1,l2 的交点过定 直线; (3)设 l1,l2 的交点为 C,求三角形 ABC 面积的最值.

解:(1)设曲线 M 上的点 N 坐标为(x,y),由已知条 件有:
3 ? 2 2 x ? ( y ? ) = y ? ,化简得 y=x +1, 4 4
2

所以曲线 M 方程为 y=x2+1. (2)因为过点 P 的直线交此曲线 M 于 A,B 两点, 所以直线 AB 的斜率存在,设为 k, 故直线 AB 方程为 y=k(x-1)+3, 2 2 与 y=x +1 联立,消去 y 得 x -kx+k-2=0, 显然Δ=(-k)2-4(k-2)=(k-2)2+4>0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=k,x1x2=k-2, 于是 l1:y-y1=f'(x1)(x-x1)=2x1(x-x1), 即 l1:y=2x1x-kx1+k-1, 同理有 l2:y=2x2x-kx2+k-1,
k 由①②消去 x1,x2 可得 x= ,y=k-1, 2

① ②

所以 l1,l2 的交点过定直线 y=2x-1.

?k ? (3)由(2)得 C ? , k ? 1? , ?2 ?

所以 C 到直线 AB:y=k(x-1)+3 的距离为
k k ( ? 1) ? 3 ? ( k ? 1) 2 1? k
2

d=

=

(k ? 2) 2 ? 4 2 1? k
2

,

又|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2|= 1 ? k 2 (k ? 2)2 ? 4 ,
1 1 2 (k ? 2)2 ? 4 ·[(k-2) +4], 所以 S△ABC= ·d·|AB|= 4 2

故 k=2 时,S△ABC 有最小值 2,没有最大值.

x2 y 2 【例 2】 如图,椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的一个焦 a b

点为 F(1,0),O 为坐标原点. (1)已知椭圆短轴的两个三 等分点与一个焦点构成正三 角形,求椭圆的方程. (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆 于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,恒有 |OA| +|OB| <|AB| ,求 a 的取值范围.
2 2 2

解:(1)设 M,N 为短轴的两个 三等分点. 因为△MNF 为正三角形,
3 所以|OF|= |MN|, 2 3 2b 即 1= · , 3 2

解得 b= 3 . a2=b2+1=4,
x2 y 2 因此,椭圆方程为 ? =1. 4 3

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①当直线 AB 与 x 轴重合时, 2 2 2 2 2 2 |OA| +|OB| =2a ,|AB| =4a ,a >1. 2 2 2 因此,恒有|OA| +|OB| <|AB| . ②当直线 AB 不与 x 轴重合时,
x2 y 2 设直线 AB 的方程为 x=my+1,代入 2 ? 2 =1, a b

整理得(a +b m )y +2b my+b -a b =0,
2b2m b2 ? a 2b2 所以 y1+y2=- 2 ,y1y2= 2 . 2 2 2 2 a ?b m a ?b m

2

2

2

2

2

2

2

2

因为恒有|OA| +|OB| <|AB| ,所以∠AOB 恒为钝角. ??? ? ??? ? 即 OA · OB =(x1,y1)·(x2,y2) =x1x2+y1y2<0 恒成立. 即 x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2 =(m +1)y1y2+m(y1+y2)+1
(m2 ? 1)(b2 ? a 2b2 ) 2b2m2 = - 2 +1 2 2 2 2 2 a ?b m a ?b m ?m a b ? b ? a b ? a = <0. 2 2 2 a ?b m
2 2 2 2 2 2 2
2

2

2

2

又 a +b m >0, 所以-m a b +b -a b +a <0 对 m∈R 恒成立. 即 a2b2m2>a2-a2b2+b2 对 m∈R 恒成立. 当 m∈R 时,a2b2m2 最小值为 0,所以 a2-a2b2+b2<0, 2 2 2 2 2 2 4 ∴a <a b -b =(a -1)b =b , 又因为 a>0,b>0,所以 a<b2,即 a2-a-1>0,
1? 5 1? 5 1? 5 解得 a> 或 a< (舍去),即 a> , 2 2 2
?1? 5 ? 综合①②,a 的取值范围为 ? ? 2 , ?? ? ?. ? ?
2 2 2 2 2 2 2

2

2 2


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高考数学二轮复习专题解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值范围问题课件理...(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线...
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2015届(理科数学)二轮复习课件_专题七_解析几何_第3讲_圆锥曲线中的定点、定值与最值问题_数学_高中教育_教育专区。第3讲 圆锥曲线中的定点、定值与 最值问题...
微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版).doc
圆锥曲线中的最值 问题,范围问题都是考查学生综合...在研究这几年外省新 课程卷解析几何试题时,就很有...卷理科 23 题,主要涉及到中学最常见的几个轨迹,...
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高考数学】 二轮专题复习 专题解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题_高考_...的综合问题包括:探索性问题、定点与定值问题、范围最值问题等,一般试题难度...
...专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值与范....ppt
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创新设计浙江专用2017届高考数学二轮复习专题解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值范围问题课件_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第3讲 圆锥曲线中的定点、...
高中数学:圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题_图文.ppt
高中数学:圆锥曲线中的定点、定值、最值范围问题...专题训练 对接高考 [真题感悟] x2 y2 (2014...定值问题解析几何中,有些含有参数的直线或曲线,...
...第二部分专题七解析几何7.3.2圆锥曲线中的最值范围....ppt
2018年高考数学二轮复习第二部分专题七解析几何7.3.2圆锥曲线中的最值范围证明...(1)求点M的轨迹方程; (2)设点M的轨迹为曲线T,直线MF1与曲线T另一个交点...
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2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题七解析几何7.3.2圆锥曲线中的最值范围证明问题课件_教学案例/设计_教学研究_教育专区 ...
2011年高考数学专题讲义解析几何专题4圆锥曲线中的最值和范围问题.doc
( 第二十一讲 圆锥曲线中的最值范围问题(一) ...无痕丰胸精油 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司轨迹为...2014年高考数学:专题七... 46页 1下载券 2019...
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2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题七解析几何7.3.2圆锥曲线中的最值范围证明问题课件文 - 7.3.2 圆锥曲线中的最值范围、证明问题 -2-...
北京市2014高考二轮总复习解析几何第3讲圆锥曲线的....doc
北京市2014高考二轮总复习解析几何第3讲圆锥曲线的热点问题_数学_高中教育_...定值、最值范围问题或探索性问题,试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热 ...
2018年高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第三讲....doc
2018年高考数学二轮复习第一部分专题解析几何第三讲...圆锥曲线的最值范围、证明问题教案_高三数学_数学...问题T21 直线与抛物线的位置关系、证明问题及轨迹...
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