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2016


2016-2017 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念高效测评 新人教 A 版选修 1-2

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( A.充分条件 C.充要条件 )

B.必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析: a=0 时,a+bi 不一定为纯虚数,因为 a=0,b=0 时,a+bi=0,但当 a+

bi 为纯虚数时,a=0.
答案: B 2.适合 x-3i=(8x-y)i 的实数 x,y 的值为( A.x=0 且 y=3 C.x=5 且 y=3 )

B.x=0 且 y=-3 D.x=3 且 y=0 解得?
? ?x=0, ? ?y=3.

? ?x=0, 解析: 由复数相等的条件可知? ? ?-3=8x-y,

答案: A 3.下列各数中,纯虚数的个数是( )

2 2+ 7, i,0i,5i+8,i(1- 3),0.618 7 A.0 C.2 B.1 D.3

2 解析: 根据纯虚数的定义知, i,i(1- 3)是纯虚数. 7 答案: C 4.下列命题中,正确命题的个数是( )

①若 x,y∈C,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1; ②若 a,b∈R 且 a>b,则 a+i>b+i; ③若 x +y =0,则 x=y=0. A.0 C.2 解析: ①由于 x,y∈C, 所以 x+yi 不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题. ②由于两个虚数不能比较大小,
1
2 2

B.1 D.3

∴②是假命题. ③当 x=1,y=i 时,x +y =0 成立, ∴③是假命题. 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.若复数 z=(m -5m+6)+(m-3)i 是实数,则实数 m=________. 解析: 复数 z 为实数,其虚部为 0,则 m-3=0,解得 m=3. 答案: 3 6.若 a-2i=bi+1(a,b∈R),则 b+ai=________. 解析: 根据复数相等的充要条件,得? ∴b+ai=-2+i. 答案: -2+i 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.设 m∈R,复数 z=2m -3m-2+(m -3m+2)i.试求 m 为何值时,z 分别为: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 解析: (1)当 z 为实数时,则有 m -3m+2=0, 解得 m=1 或 2.即 m 为 1 或 2 时,z 为实数. (2)当 z 为虚数时,则有 m -3m+2≠0,解得 m≠1 且 m≠2.即 m≠1 且 m≠2 时,z 为虚 数.
? ?2m -3m-2=0, (3)当 z 为纯虚数时,则有? 2 ?m -3m+2≠0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

?a=1, ? ?b=-2, ?

1 1 解得 m=- ,即 m=- 时,z 是纯虚数. 2 2 8.(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y. (2)已知 x -y +2xyi=2i,求实数 x,y 的值.
?2x-1=y, ? 解析: (1)根据复数相等的充要条件得? ? ?1=-?3-y?,
2 2

5 解得 x= ,y=4. 2

(2)∵x -y +2xyi=2i,
?x -y =0, ? ∴? ?2xy=2, ?
2 2

2

2

2

解得?

?x=1, ? ?y=1 ?

或?

?x=-1, ? ?y=-1. ?

9.(10 分)已知关于 x 的方程 x +(k+2i)x+2+ki=0 有实根,求这个实根以及实数 k 的值. 解析: 设 x=x0 是方程的实根,代入方程并整理得(x0+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
? ?x0+kx0+2=0, 由复数相等的条件得? ? ?2x0+k=0,
2 2

2

解得?

?x0= 2, ?k=-2 2

或?

?x0=- 2, ?k=2 2.

∴方程的实根为 x= 2或 x=- 2, 相应的 k 的值为 k=-2 2或 k=2 2.

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