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高二数学周练测试


周练测试

2015.11.28

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.不等式 x-2y+6>0 表示的区域在直线 x-2y+6=0 的( ). A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 2.设集合 A={x|

x ?1 < 0},B={x||x-1|<a},则“a=1”是“A∩B≠ ? ”的( x ?1



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.设数列{an}是递减等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( ). A.1 B.2 C.4 D.6 4.若

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式(1)a+b<ab (2)|a|>|b| a b
C.3 个 D.4 个 ) .

(3)a<b (4)

b a ? ? 2 ,正确的 a b

不等式有( ). A.1 个 B.2 个 5.若

sin A cos B cos C ? ? ,则 ?ABC 是( a b c
?

A.等边三角形 C.有一个内角是 30 的直角三角形

B.等腰直角三角形 D.有一个内角是 30 的等腰三角形 ).
?

6.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( A.-4 B.-6 C.-8
2

D.-10
2

7.在 ?ABC 中,已知 b ? bc ? 2c ? 0, a ?

6, cos A ?

7 ,则 ?ABC 的面积为( 8

) .

A.

15 2

B. 15

C. 2

D. 3 ).

8.已知等差数列{an}的公差为 1,且 a1+a2+ a3+?+a99=99,则 a3+a6+a9+?+a99=( A.99 B.66 C.33 D.0 9.若 x>0,y>0x+y+xy=2,则 x+y 的最小值是( ). A.

3 2

B. 1 ? 3

C. 2 3 ? 2
2

D.2- 3

10 .命题 p :存在实数 m ,使方程 x + mx + 1 = 0 有实数根,则“非 p”形式的命题是 ( ) 2 A.存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 无实根 2 B.不存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根 2 C.对任意的实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根 2 D.至多有一个实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根 二、填空题(本大题共 5 小题,第小题 5 分,共 25 分) 11.在 ?ABC 中,若 B ? 60 , a, b, c 成等比数列,那么 ?ABC 是__________三角形.
?

12.在数列{an}中, a1=1, an+1=3Sn(n∈N ),则数列{an}的通项公式为__________. 13.已知 x>1,y>1,且 xy=10,则 lg x ? lg y 的最大值为___________.

*

14.“若 x≠a 且 x≠b,则 x -(a+b)x+ab≠0”的否命题为___________________._ 15. 已知 p : ? x ?

2

? ?x ? 2 ? 0 ? ? , q : ? x ? m ? x ? 1 ? m, m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分 ? ? x ? 10 ? 0 ?

条件,则实数 m 的取值范围为___________________. 三、解答题(本大题 6 小题,共 75 分)

?A 、 ?B 、 ?C 所对的边长为 a 、 b、 c ? b c a ? 16. (本小题 12 分) 在 ?ABC 中, 且b ? c,
2 2

2



c 1 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

17.(本小题 12 分)设 M ? ? x

? 2x ? 2 ? ? 1? , N ? x x 2 ? (a ? 8) ? 8a ? 0 , x ? 3 ? ? 命题 p : x ? M ,命题 q : x ? N .

?

?

(Ⅰ)当 a ? ?6 时,试判断命题 p 是命题 q 的什么条件; (Ⅱ)求 a 的取值范围,使命题 p 是命题 q 的一个必要但不充分条件.

18. (本小题 12 分)已知数列{an}满足 a1= (1)求数列{an}的通项公式;

1 7 1 * , an+1= an+ (n∈N ), 2 6 3

(2) 求数列{an}的前 n 项和 Sn.

19. (本小题 12 分) 已知:A={x|-2<x<3},B ={x| x 2 ? 2x ? 8 ? 0} ,C ={x| x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0}, 若 C ? (A ? C R B ),求实数 a 的取值范围.

20. (本小题 13 分) 已知一测高仪表失灵的飞机在高空以 300km/h 的速度按水平方向向东飞 行,飞机的航线和山顶 C 在同一铅垂平面内,若在 A 处飞行员先看到海拔高度为 4000m 的 山顶 C 的俯角为 15 ,经 120s 后在 B 点又看到山顶 C 的俯角为 60 ,求飞机现在的海拔高 度.
?
?

21. (本小题 14 分)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3·a4=117, a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=
Sn n? 1 2

,求 f(n)=

bn * (n∈N )的最大值. ( n ? 36)b n ? 1

周练答案
一.选择题 1.B解析:将点 (0, 0) 代入 x-2y+6 得其值大于零,x-2y+6>0 表示原点所在的那一侧区域. 2.A 解析: A ? {x | ?1 ? x ? 1} ,若 a ? 1, 则 B ? {x | 0 ? x ? 2} ,显然 A ? B ? ? ,从而

是充分条件;而 A ? B ? ? ,并不一定能推出 a ? 1. 3.D解析:设{an}的前三项分别为 a ? d , a, a ? d (a-d)+a+(a+d)=12 (a-d) ? a ? (a+d)=48, ∴ a=4 d=-2. ∴首项为 4+2=6. 4.B解析:由已知可得 b<a<0,所以可得(1)(4)正确. 5.B解析:由正弦定理,得
?

(d<0), 则

sin A cos B cos C , ? ? sin A sin B sin C

tan B ? tan C ? 1 , ? B ? C ? 45 ,? A ? 90? , ??ABC 是等腰直角三角形.

6.B 解析:∵数列{an}的公差为 2, ∴a3=a1+4, a4=a1+6, ∵a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴(a1+4) =a1 ? (a1+6), ∴a1=-8, a2=-6. 7.A 解析:由 b 2 ? bc ? 2c 2 ? 0 ,得 b ? 2 c ,又由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 即
1 1 7 2 15 7 . ( 6)2 ? (2c)2 ? c2 ? 2 ? 2c ? c ? ,解得 c ? 2 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? 2 1 ? ( ) ? 2 2 8 2 8

8.B 解析:在等差数列{an}中, a1+a4+a7+?+a97, a2+a5+a8+?+a98,a3+a6+a9+?+a99 成等差数列, 且公差为 33. 设 M=a3+a6+a9+?+a99, 则(M-66)+(M-33)+M=99, ∴M=66. 9.C解析:因 2 ? x ? y ? (
x?y 2 ) ,所以 2

x ? y ? 2 3 ? 2 或 x ? y ? ?2 3 ? 2 (舍).
10.C 解析:对于存在命题的否定,应注意将特称量词改写为全称量词后再对结论加以否 定,从而可知选 C. 二.填空题
( a ? c) 2 ? 0 即 a ? c , 11. 等边 解析: 由已知得 b2 ? ac, B ? 60? , 又由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 60? 得,

故 ?ABC 为等边三角形.

12. an ? ?

? 1, (n ? 1) * 解析:注意 an=Sn-Sn-1 的条件是 n≥2,不是 n∈N . n?2 ?3 ? 4 , (n ? 2)

13.解析: lgxlgy ? (

lgx ? lgy 2 lg(xy) 2 1 ) ?[ ] ? . 2 2 4
2

14.解析: 若 x=a 或 x=b,则 x -(a+b)x+ab=0 15. {m|m≥9} 三.解答题 16.解:? a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc
? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ? cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ????????2 分 2bc 2
sin C c 1 ? ? ? 3 ??6 分 sin B b 2

又? 0< A < ? ? A ?
?sin(

?
3

???????4 分 又由正弦定理,得:

3 1 1 2? 1 ? B) ? ( ? 3)sin B ? cos B ? sin B ? sin B ? 3 sin B ????9 分 2 2 2 3 2

?

1 3 cos B ? 3 sin B ? tan B ? .????12 分 2 2

17.解: M ? x x ? ?3或x ? 5 , N ? x ( x ? 8)(x ? a) ? 0 . (Ⅰ)当 a ? ?6 时, N ? x 6 ? x ? 8 .

?

?

?

?

?

?

? N ? M ,? 当 x ? N 时,有 x ? M ,但 x ? M 时不能得出 x ? N .
因此,命题 p 是命题 q 的必要但不充分条件. (Ⅱ)当 a ? ?8 时, N ? x 8 ? x ? ?a ,有 N ? M ,满足命题 p 是命题 q 的必要但不充 分条件. 当 a ? ?8 时, N ? x ? a ? x ? 8 ,要使 N ? M ,须 ? a ? 5 ,即 ? 8 ? a ? ?5 . 当 a ? ?8 时, N ? ? 8? ,满足命题 p 是命题 q 的必要但不充分条件. 因此, a 的取值范围是 a ? ?5 . 18.解:(1)设(an+1+ ? )= 即: an+1= ∴{an∴an1 (an+ ? ), 2

?

?

?

?

1 1 1 1 1 2 2 2 an- ? , 与 an+1= an+ 比较得: ? =- , ∴(an+1- )= (an- ), 2 2 2 2 3 3 3 3

1 1 2 }是公比为 的等比数列,首项为 .??3 分 2 2 3

1 n-1 1 n 2 2 1 * = ? ( ) , ∴an=( ) + (n∈N ).?????????6 分 2 2 3 2 3

(2) 设{an-

2 }的前 n 项和为 Tn, 3

1 1 (1 ? n ) 2 2 =1- 1 ,???????9 分 则 Tn= n 1 2 1? 2

∴Sn=Tn+

1 2 2 n= n+1- n .???????12 分 3 3 2

19.解析:B={x|x<-4 或 x>2},??????3 分 所以设 M=A ?CR B ={x|-2<x≤2}?????6 分 因为 C={x|(x-a)(x-3a)<0} ? M , 所以 ?
? ?2 ? a ? 2 ???????????10 分 ??2 ? 3a ? 2
3 3

解得 - 2 ? a ? 2 ; 所以满足条件的 a 的取值范围是: ? 2 ? a ? 2 .???12 分
3 3

20.解: 如下图, ?BAC ? 15? , ?DBC ? 60? ,故 ?BCA ? 45? , AB ? 300 ? 则在 ?ABC 中,由正弦定理,得 故 BC ?
AB BC , ? ? sin 45 sin15?

2 ? 10(km) ,???3 分 60

AB ? sin15? ? 5( 3 ? 1)(km) .????7 分 sin 45? 在 ?BDC 中,
CD ? BC ? sin 60? ? 15 5 ? 3 ≈ 3.17(km) ? 3170(m) . 2 2

???????????????????11 分 故飞机现在的海拔高度为 4000 ? 3170 ? 7170(m) . ???????????????????13 分 21.解:(1)∵数列{an}是等差数列, ∴a2+a5=a3+a4=22,又∵a3 ? a4=117, ∴a3=13,a4=9 或 a3=9,a4=13. ∵公差大于零,∴a3=9,a4=13, * ∴a1=1,d=4.∴an=1+(n-1) ? 4=4n-3(n∈N ).????????????????4 分 (2)∵Sn=n+
n(n ? 1) 1 2 ? 4=2n -n=2n(n- ), 2 2

1 2n(n ? ) 2 =2n, ∴bn= = 1 1 n? n? 2 2
Sn

∴f(n)= =
n

bn 2n = ????????????????8 分 ( n ? 36)b n ? 1 ( n ? 36)(2n ? 2)

n ? 37n ? 36

2

=

1 ????10 分 36 n ? ? 37 n



1 36 1 = .∴当且仅当 n= 即 n=6 时取等号.即:当 n=6 时, f(n)有最大值,最大值为 n 12 ? 37 49

1 .???????????????????14 分 49


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