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精品2019学年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教学案苏教版必修27

2.3.2 方差与标准差
预习课本 P69~71,思考并完成以下问题 1.什么叫一组数据的极差、方差、标准差? 2.一组数据的方差和标准差具有什么作用?

※精品试卷※

[新知初探] 1.极差、方差、标准差 (1)极差:一组数据的最大值与最小值的差. (2)方差与标准差:
设一组样本数据 x1,x2,…,xn,其平均数为 x ? ,则称 s2=1ni=n 1 (xi- x )2 为这个样本的方差,其算术平方根 s



1n
? ni=1

xi- x

2为样本的标准差.

2.方差与标准差的作用 标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小,标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差 越小,数据的离散程度越小.方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度.
[小试身手] 1.数据 0,1,3,4,7 的极差为________,方差为________. 答案:7 6 2.一组数据 1,2,3,4,a 的平均数是 3,则数据的方差为________,标准差为________. 答案:2 2 3.若 1,2,3,x 的平均数是 5,而 1,3,3,x,y 的平均数是 6,则 1,2,3,x,y 的方差是________. 解析:由 5=1+2+4 3+x得 x=14. 同理 y=9. 由 s2=15(12+22+32+142+92)-5.82=24.56. 答案:24.56

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※精品试卷※

方差、标准差的计算及应用

[典例] 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检验质量,各从中抽取 6 件测量,数据(单位:cm)

为:

甲:99 100 98 100 100 103;

乙:99 100 102 99 100 100.

(1)分别计算两组数据的平均数及方差;

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

[解]

(1)

x

1 甲=6(99+100+98+100+100+103)=100,

x

1 乙=6(99+100+102+99+100+100)=100.

s2甲=16[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=73.

s2乙=16[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,

又 s2甲>s2乙, 所以乙机床加工零件的质量更稳定.

(1)方差常用计算公式有两个 ①基本公式 s2=1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. ②简单计算公式:s2=1n[(x21+x22+…+x2n)-n x 2]或写成 s2=1n(x21+x22+…+x2n)- x 2,即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方. (2)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,因此还要研究样本数据偏离平均数 的离散程度(即方差或标准差),标准差大说明样本数据分散性大,标准差小说明样本数据 分散性小或者样本数据集中稳定.

[活学活用] 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单位:g)是 否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图如下图:
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※精品试卷※

根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定.

解:设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 x 甲、 x 乙,方差分别为 s2甲、s2乙,



x

122+114+113+111+111+107

甲=

6

=113,

x

124+110+112+115+108+109

乙=

6

=113,

s2甲=16[(122-113)2+(114-113)2+(113-113)2+(111-113)2+(111-113)2+(107-113)2]

=21, s2乙=16[(124-113)2+(110-113)2+(112-113)2+(115-113)2+(108-113)2+(109-113)2]

=2913, 由于 s2甲<s2乙,所以甲车间的产品的重量相对稳定.
方差的性质

[典例] 设数据 x1,x2,…,xn 的方差为 s2,求下列各组数据的方差. (1) x1+b,x2+b,…,xn+b; (2)ax1, ax2,…,axn; (3)ax1+b, ax2+b,…,axn+b.

[解] 设数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,

则数据 x1+b,x2+b,… ,xn+b 的平均数为 x +b,

数据 ax1,ax2,…,axn 的平均数为 a x ,

数据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的平均数为 a x +b, 设数据 x1+b,x2+b,…, xn+b 的方差为 s21, 数据 ax1,ax2,…,axn 的方差为 s22, 数据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的方差为 s23, (1) s21=1n[(x1+b- x -b)2+(x2+b- x -b)2+…+(xn+b- x -b)2]

=1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]=s2,

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(2)s22=1n[(ax1-a x )2+(ax2-a x )2+…+(axn-a x )2] =a2·1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]=a2s2, (3)s23=1n[(ax1+b-a x -b)2+(ax2+b-a x -b)2+…+(axn+b-a x -b)2] =1n[(ax1-a x )2+(ax2-a x )2+…+(axn-a x )2] =a2·1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] =a2s2.

※精品试卷※

(1)数据 x1,x2,…,xn 与数据 x1+b,x2+b,…,xn+b 的方差相等; (2)若 x1,x2,…,xn 的方差为 s2,则 ax1,ax2,…,axn 的方差为 a2s2; (3)若 x1,x2,…,xn 的方差为 s2,则 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的方差为 a2s2.反映了方差的性质,利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.

[活学活用]

1.已知一组数据 x1,x2,…,x8 的平均数是 2,方差为 6,则数据 x1-1,x2-1,…,x8-1 的平均数是________, 方差是________.

答案:1 6

2.已知一组数据 x1,x2,…,xn 的平均数是-2,方差是 4,则数据 2x1+3,2x2+3,…,2xn+3 的平均数是________, 方差是________.

答案:-1 16

统计图表中的方差问题

[典例] (广东高考)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.

工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号

1

40

10

36

19

2

44

11

31

20

3

40

12

38

21

4

41

13

39

22

5

33

14

43

23

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年龄 27 43 41 37 34

工人编号 28 29 30 31 32

年龄 34 39 43 38 42

※精品试卷※

6

40

15

45

24

42

33

53

7

45

16

39

25

37

34

37

8

42

17

38

26

44

35

49

9

43

18

36

27

42

36

39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44,列 出样本的年龄数据.
(2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s2.

(3)36 名工人中年龄在 x -s 与 x +s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)?

[解] (1)36 人分成 9 组,每组 4 人,其中第一组的工人年龄为 44,所以它在组中的编号为 2, 所以所有样本数据的编号为 4n-2(n=1,2,…,9), 其年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知: x =44+40+9 …+37=40, 由方差公式知:s2=19[(44-40)2+(40-40)2+…+(37-40)2]=1900. (3)因为 s2=1900,s=130,

所以 36 名工人中年龄在 x -s 和 x +s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数,

即 40,40,41,…,39,共 23 人.

所以

36

名工人中年龄在

x

-s



x

+s

23 之间的人数所占的百分比为36×100%≈63.89%.

(1)解决统计图表中的方差问题的基本方法是从图表中读取数据后,再利用方差含义求出 方差.
(2)利用组中值求出的方差为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它能粗略估计方 差.

[活学活用]

从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:

质量

指标值 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]

分组

频数

6

26

38

22

8

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(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图:

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(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部 产品的 80%”的规定? 解:(1)如图所示:
(2)质量指标值的样本平均数为 x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产 品的 80%”的规定.
层级一 学业水平达标 1.给出下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据中的方差必须是正数;③将一组数据中的每一 个数据加上或减去同一常数后,方差恒不变;④在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率, 其中错误的个数有________个. 答案:2 2.某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s2=________.
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解析:5

个数据的平均数

x

10+6+8+5+6



5

=7,所以

s2=15×[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6

-7)2]=3.2.

答案:3.2

3.抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下:

运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次



87

91

90

89

93



89

90

91

88

92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.

解析:易知均值都是 90,甲的方差为 s2甲=15×[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=

4.

乙的方差为 s2乙=15×[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2.∴s2甲>s2乙

答案:2

4.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图,

若去掉一个最高分

和一个最低分,则剩余分数的方差为________.

解析:去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据为 84,84,84,86,87,

其均值为 85,方差

为 s2=15[(84-85)2×3+(86-85)2+(87-85)2]=85.

答案:85

5.从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm):

甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

问:(1)哪种玉米苗长得高?

(2)哪种玉米苗长得齐?

解:(1)∵

x

1

1

甲=10(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=10×300=30(cm),

x

1

1

乙=10(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=10×310=31(cm).

∴ x 甲< x 乙,即乙种玉米苗长得高.

(2)s2甲=110[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+ (21-30)2+(42-30)2]

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1

1

=10(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=10×1 042=104.2,

s2乙=110(2×272+3×162+3×402+2×442)-312

=128.8,

∴s2甲<s2乙,即甲种玉米苗长得齐.

层级二 应试能力达标

1.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差见表:

甲乙丙丁

平均数 x 8.5 8.8 8.8 8

方差 s2

3.5 3.5 2.1 8.7

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则参加奥运会的最佳人选应为________. 解析:由平均数及方差的定义知,丙的平均成绩较高且较稳定. 答案:丙 2.某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验 中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的 是________. ①这种抽样方法是一种分层抽样; ②这种抽样方法是一种系统抽样; ③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差; ④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数. 解析:对①,分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比,所以①错.对②,系统抽样要求先对 个体进行编号再抽样,所以②错.对③,男生方差为 8,女生方差为 6,所以③正确.对④,抽取的样本平均成绩 不能代表总体平均成绩.所以④错. 答案:③ 3.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,方差为 2, 则 x2+y2 的值为________. 解析:由15(x+y+10+11+9)=10,15[(x-10)2+(y-10)2+0+1+1]=2,联立解得 x2+y2=208. 答案:208 4.若 10 个正数的平方和是 370,方差是 33,则平均数为________. 解析:由 s2=110(x21+x22+…+x210)- x 2,得 33=110×370- x 2,解得 x =2. 答案:2 5.样本容量为 10 的一组数据,它们的平均数是 5,频率条形图如图,则其标准差等于________.
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解析:由条形图知 2 与 8 的个数相等,且多于 5 的个数,于是这 10 个数分别为 2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵ x = 5,∴s2=110[(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2]=110 ×8×9=356.∴s=6 5 5.
答案:6 5 5 6.甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示,则成绩的方差较小的为________.

解析:

x

1 甲=5(98+99

+105+115+118)=107,

x

1 乙=5(95+106+108+112+114)=107.

s2甲=15[(98-107)2+(99-107)2+(105-107)2+(115-107)2+(118-107)2]=66.8.

s2乙=15[(95-107)2+(106-107)2+(108-107)2+(112-107)2+(114-107)2]=44.

∴成绩的方差较小的为乙.

答案:乙

7.一组数据的每一个数据都减去 80,得到一组新数据,若求得的新数据的平均数是 1.2,方差是 4.4,则原来

的数据的平均数和方差分别是________.

解析:由平均数与方差的性质知原来数据的平均数 1.2+80=81.2.方差不变.

答案:81.2,4.4

8.为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”

的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为

s1,s2,s3,则它们的大小关系为________.

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※精品试卷※
解析:由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为 2 200 元、2 250 元、 2 150 元,又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大,故标准差最大,乙的数据偏离平均值最小,故标准差最小, 即标准差的大小关系是 s1>s3>s2.故填 s1>s3>s2.
答案:s1>s3>s2 9.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表:
甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合 适. 解:(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.
从这个茎叶图中可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是 33.5,甲的中 位数是 33.因此,乙发挥比较稳定,总体得分情况比甲好.
(2)可求 x 甲=33, x 乙=33,s 甲≈3.96,s 乙≈3.56, 甲的中位数是 33,乙的中位数是 33.5,综合比较,乙参加比赛较合适.
10.总体的各个个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为 10.5,求使该 总体的方差最小时 a,b 的取值.
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解:∵数据共有 10 个,且总体的中位数为 10.5,∴a+b=21,经计算,此时样本数据的平均数是 10,∴使该 总体的方差最小,则只要(a-10)2+(b-10)2 最小即可,而(a-10)2+(b-10)2=(a-10)2+(a-11)2=2a2-42a+ 221,由二次函数的图象可知当 a=10.5 时,该总体的方差最小,此时 b=10.5.
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