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2017_2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线教学案北师大版选修2_1

§3 双_曲_线 3.1 双曲线及其标准方程 [对应学生用书P55] 双曲线的定义 2013 年 11 月 30 日,中国海军第 16 批护航编队“盐城”导弹护卫舰,“洛阳”号导弹 护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合,共同护航,某时,“洛阳”舰哨兵监听 到附近海域有快艇的马达声,与“洛阳”舰哨兵相距 1 600 m 的“盐城”舰,3 秒后也监听 到了马达声(声速 340 m/s),用 A、B 分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置,点 M 表示快艇的位置. 问题 1:快艇距我两护卫舰的距离之差是多少? 提示:|MB|-|MA|=340?3=1 020(m). 问题 2:我两护卫舰为辨明快艇意图,保持不动,持续监测,发现快艇到我两舰距离之 差保持不变,快艇运动有何特点? 提示:始终满足|MB|-|MA|=1 020. 双曲线的定义 定义 焦点 焦距 集合 语言 平面内到两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集 合叫作双曲线 定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} 双曲线的标准方程 上述问题中,设|AB|=1 600=2c, ||MA|-|MB||=1 020=2a. 问题 1:以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系,则点 M 1 的轨迹方程是什么? 提示:(c -a )x -a y =a (c -a ). 问题 2: 若以 AB 所在直线为 y 轴, AB 的垂直平分线为 x 轴, 则点 M 的轨迹方程为什么? 提示:(c -a )y -a x =a (c -a ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图像 标准方程 焦点坐标 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(-c,0);F2(c,0) c2=a2+b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(0,-c);F2(0,c) a,b,c 的 关系 1. 双曲线定义中||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|), 不要漏掉绝对值符号. 当 2a=|F1F2| 时,表示两条射线. 2.在双曲线的标准方程中,a>b 不一定成立.c =a +b 与椭圆中的 a =b +c 不同. 2 2 2 2 2 2 [对应学生用书P55] 双曲线的标准方程 [例 1] 根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)求以椭圆 + =1 的短轴的两个端点为焦点,且过点 A(4,-5)的双曲线的标准方 16 9 程; (2)已知双曲线通过 M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程. x2 y2 2 [思路点拨] 用待定系数法,根据双曲线焦点的位置设方程,根据条件确定参数.当已 知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点,也可利用双曲线的定义求解. [精解详析] (1)法一:(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点 F1(0,-3),F2(0,3). 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 将点 A(4,-5)代入双曲线方程得 25 y2 x2 a b a2 - 16 b2 =1,又 a +b =9, 2 2 2 解得 a =5,b =4. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 法二:(定义法) 由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0,-3),F2(0,3)且 A(4,-5)在双曲线上, 则 2a=||AF1|-|AF2||=| 20- 80|=2 5, ∴a= 5,∴b =c -a =9-5=4. 即双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 (2)法一:若焦点在 x 轴上, 2 2 2 2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 因为 M(1,1),N(-2,5)在双曲线上, 1 1 ? ?a -b =1, 所以? ?-2? 5 ? ? a -b =1, 2 2 2 2 2 2 7 ? ?a2= , 8 解得? 2 ? ?b =7. 若焦点在 y 轴上, y2 x2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 1 1 ? ?a -b =1, 同理有? 5 ?-2? ? ?a - b =1, 2 2 2 2 2 2 3 a =-7, ? ? 解得? 2 7 b =- ? 8 ? 2 (不合题意,舍去). 所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 7 7 8 法二:设所求双曲线的方程为 mx +ny =1(mn<0). 将点 M(1,1),N(-2,5)代入上述方程,得 8 m= , ? ? 7 解得? 1 n=- . ? ? 7 2 2 x2 y2 ?m+n=1, ? ? ? ?4m+25n=1, 所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 7 7 8 [一点通] 求双曲线标准方程的常用方法: (1)定义法:若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义,则可根据双曲线 的定义确定方程. (2)用待定系数法,具体步骤如下: x2 y2 3 1.已知椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 10,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 5 的两个焦点的差的绝对值等于 4,则曲线 C2 的标准方程为( A. - =1 4 5 C. 2- 2=1 5 4 ) x2 y2 x2 y2 B. - =1 5 4 D. 2- 2=1 4 5 x2 y2 x2 y2 4 x2 y2 解析:由题意知椭圆 C1 的两个焦点为(-3,0),(3,0).设曲线 C2 的标准方程为 2- 2= a b 1(a>0,b>0),则有 a +b =9,且 2a=4. ∴a

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