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2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案高一年级


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级) 高一年级)
说明: 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

直接将答案写在横线上。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 填空题( ) 1.已知集合 A = {x | x ≤ a}, B = {x | x > b}, a, b ∈ N,且 A I B I N = {1} ,则 a + b = 2.已知正项等比数列 {a n } 的公比 q ≠ 1 ,且 a 2 , a 4 , a 5 成等差数列,则

1



a1 + a 4 + a 7 = a3 + a6 + a9

3? 5 . 2

3.函数 f ( x) =

x +1 的值域为 [0, x + 4x + 7
2

6 ]. 6
1 . 3

4.已知 3 sin 2 α + 2 sin 2 β = 1 , 3(sin α + cos α ) 2 ? 2(sin β + cos β ) 2 = 1 ,则 cos 2(α + β ) = ? 5.已知数列 {a n } 满足: a1 为正整数,
? an ? , a n 为偶数, a n +1 = ? 2 ?3a n + 1, a n 为奇数, ?

如果 a1 + a 2 + a 3 = 29 ,则 a1 =

5



6.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边长 a, b, c 满足 a + c = 2b ,且 C = 2 A ,则 sin A =

7 . 4 3 p 的值为 . q 2

7.在△ ABC 中, AB = BC = 2 , AC = 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO = p AB + q AC ,则

5 5 8.设 x1 , x 2 , x 3 是方程 x 3 ? x + 1 = 0 的三个根,则 x15 + x 2 + x 3 的值为

-5



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 解答题( 9.已知正项数列 {a n } 满足 an an +1 + an an + 2 = 4 an an +1 + an +1 + 3 an an +1 且 a1 = 1 , a2 = 8 ,求 {a n }
2

的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以 a n a n +1 ,得 1 +
a n+2 a = 4 1 + n +1 + 3 , a n +1 an

所以

1+

an + 2 a + 1 = 4( 1 + n +1 + 1) . an +1 an

------------------------------------------4 分

令 bn = 1 +

a n +1 + 1 ,则 b1 = 4, bn +1 = 4bn ,即数列 {bn } 是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比数列,所以 an

bn = b1 ? 4 n ?1 = 4 n .

------------------------------------------8 分

1-1

所以 1 +

a n +1 + 1 = 4 n ,即 a n +1 = [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an

------------------------------------------12 分

于是,当 n > 1 时,
a n = [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1]a n ?1 = [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1] ? [(4 n ? 2 ? 1) 2 ? 1]a n ? 2
=L=

∏ [(4
k =1

n ?1

k ?1

? 1) 2 ? 1]a1 =

∏ [(4
k =1

n ?1

k ?1

? 1) 2 ? 1] ,

因此, a n = ? n ?1
? k =1 ?

?1, ?

n = 1,
k ?1

∏ [(4

? 1) ? 1], n ≥ 2.
2

------------------------------------------16 分

10.已知正实数 a, b 满足 a 2 + b 2 = 1 ,且 a 3 + b 3 + 1 = m(a + b + 1) 3 ,求 m 的最小值. 解 令 a = cos θ , b = sin θ , 0 < θ <
m=

π
,则

2

cos 3 θ + sin 3 θ + 1 (cos θ + sin θ )(cos 2 θ ? cos θ sin θ + sin 2 θ ) + 1 = .----------------------------------------5 分 (cos θ + sin θ + 1) 3 (cos θ + sin θ + 1) 3
4

π x 2 ?1 令 x = cos θ + sin θ ,则 x = 2 sin(θ + ) ∈ (1, 2 ] ,且 cos θ sin θ = .------------------------------10 分
2

于是
m= x(1 ? x 2 ?1 ) +1 2 + 3x ? x 3 2 + x ? x 2 2? x 3 1 2 = = = = ? . 3 3 2 2( x + 1) 2( x + 1) 2 ( x + 1) 2( x + 1) 2( x + 1)

------------------------------15 分

因为函数 f ( x) =

3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ≤ m < f (1) . 2( x + 1) 2

因此, m 的最小值为 f ( 2 ) =

3 2 ?4 . 2

------------------------------------------20 分

11.设 f ( x) = log a ( x ? 2a) + log a ( x ? 3a) ,其中 a > 0 且 a ≠ 1 .若在区间 [a + 3, a + 4] 上 f (x) ≤ 1恒成立, 求 a 的取值范围.



f ( x) = log a ( x 2 ? 5ax + 6a 2 ) = log a [( x ?

5a 2 a 2 ) ? ]. 2 4 = 3 (a ? 2) > 0 ,故函数 2

由?

5a ? x ? 2a > 0, 3 得 x > 3a ,由题意知 a + 3 > 3a ,故 a < ,从而 ( a + 3) ? 2 2 ? x ? 3a > 0, 5a 2 a 2 ) ? 在区间 [a + 3, a + 4] 上单调递增. 2 4

g ( x) = ( x ?

------------------------------------------5 分

(1)若 0 < a < 1 ,则 f (x) 在区间 [a + 3, a + 4] 上单调递减,所以 f (x) 在区间 [a + 3, a + 4] 上的最大值为
f (a + 3) = log a (2a 2 ? 9a + 9) .

在 区 间 [a + 3, a + 4] 上 不 等 式 f ( x) ≤ 1 恒 成 立 , 等 价 于 不 等 式 log a (2a 2 ? 9a + 9) ≤ 1 成 立 , 从 而
1-2

2a 2 ? 9a + 9 ≥ a ,解得 a ≥

5+ 7 5? 7 或a ≤ . 2 2 结合 0 < a < 1 得 0 < a < 1 .

------------------------------------------10 分

(2)若 1 < a <

3 ,则 f (x) 在区间 [a + 3, a + 4] 上单调递增,所以 f (x) 在区间 [a + 3, a + 4] 上的最大值为 2

f (a + 4) = log a (2a 2 ? 12a + 16) .

在 区 间 [a + 3, a + 4] 上 不 等 式 f ( x) ≤ 1 恒 成 立 , 等 价 于 不 等 式 log a (2a 2 ? 12a + 16) ≤ 1 成 立 , 从 而
2a 2 ? 12a + 16 ≤ a ,即 2a 2 ? 13a + 16 ≤ 0 ,解得 13 ? 41 3 > ,所以不符合. 4 2 13 ? 41 13 + 41 ≤a≤ . 4 4

易知

------------------------------------------15 分 ------------------------------------------20 分

综上可知: a 的取值范围为 (0,1) .

1-3


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