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2014届高三苏教版数学(理)一轮复习基础达标演练 第十四章 第5讲 数学归纳法 Word版含解析]


第5讲

数学归纳法
基础达标演练

分层训练 A 级

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在进行 第二步证明时,给出四种证法. ①假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立; ②假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立; ③假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立; ④假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立. 正确证法的序号是________. 解析 ①②③中,k+1 不一定表示奇数,只有④中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案 ④ 2.用数学归纳证明:对任意的 n∈N*,34n+2+52n+1 能被 14 整除的过程中,当 n =k+1 时,34(k+1)+2+52(k+1)+1 可变形为________. 答案 34(34k+2+52k+1)-52k+1×56 3.(2010· 寿光一中模拟)若存在正整数 m,使得 f(n)=(2n-7)3n+9(n∈N*)能被 m 整除,则 m=________. 解析 f(1)=-6,f(2)=-18,f(3)=-18,猜想:m=-6. 答案 6 4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳 假设证 n=k+1 时的情况,只需展开的式子是________. 解析 假设当 n=k 时, 原式能被 9 整除, 即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除. 当 n=k+1 时, (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设, 只需将(k +3)3 展开,让其出现 k3 即可. 答案 (k+3)3 n4+n2 5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= 2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k

的基础上加上________. 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k2, 当 n=k+1 时, 左侧=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?+(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+? +(k+1)2. 答案 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 6.若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是________. 解析 ∵f(k)=12+22+?+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 答案 f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 1 2an 7.(2012· 苏中三市调研)已知数列{an}满足:a1=2,an+1= (n∈N*). an+1 (1)求 a2,a3 的值; (2)证明:不等式 0<an<an+1 对于任意的 n∈N*都成立. (1)解 (2)证明 2 4 由题意,得 a2=3,a3=5. ①当 n=1 时,由(1),知 0<a1<a2,即不等式成立.

②设当 n=k(k∈N*)时,0<ak<ak+1 成立, 则当 n=k+1 时,由归纳假设,知 ak+1>0. 2ak+1 2ak 而 ak+2-ak+1= - ak+1+1 ak+1 = = 2ak+1?ak+1?-2ak?ak+1+1? ?ak+1+1??ak+1? 2?ak+1-ak? >0, ?ak+1+1??ak+1?

∴0<ak+1<ak+2,即当 n=k+1 时,不等式成立. 由①②,得不等式 0<an<an+1 对于任意 n∈N*成立. 8.(2011· 盐城调研)已知数列{an}满足 an+1=-a2 n+pan(p∈R),且 a1∈(0,2),试

猜想 p 的最小值,使得 an∈(0,2)对 n∈N*恒成立,并给出证明. 证明 当 n=1 时,a2=-a2 1+pa1=a1(-a1+p). 因为 a1∈(0,2),所以欲使 a2∈(0,2)恒成立, p>a1, ? ? 则要? 2 p<a1+a ? ? 1 恒成立,解得 2≤p≤2 2,

由此猜想 p 的最小值为 2. 因为 p≥2,所以要证该猜想成立, 只要证:当 p=2 时,an∈(0,2)对 n∈N*恒成立. 现用数学归纳法证明: ①当 n=1 时结论显然成立; ②假设当 n=k 时结论成立,即 ak∈(0,2), 则当 n=k+1 时,ak+1=-a2 k +2ak=ak(2-ak), 一方面,ak+1=ak(2-ak)>0 成立, 另一方面,ak+1=ak(2-ak)=-(ak-1)2+1≤1<2, 所以 ak+1∈(0,2),即当 n=k+1 时结论也成立. 由①②可知,猜想成立,即 p 的最小值为 2.


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