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高中数学人教版必修1知识讲解讲义


高中数学必修 1 知识讲解讲义

目录
第一讲集合的概念 .................................................................................................................................................. 1 第二讲集合的关系与运算 ...................................................................................................................................... 6 第三讲映射与函数 ................................................................................................................................................ 11 第四讲函数的表示方法——解析式法 ................................................................................................................ 16 第五讲函数单调性 ................................................................................................................................................ 20 第六讲函数奇偶性 ................................................................................................................................................ 27 第七讲指数与指数幂的运算 ................................................................................................................................ 36 第八讲指数函数 .................................................................................................................................................... 42 第九讲对数函数 .................................................................................................................................................... 50 第十讲对数与对数运算 ........................................................................................................................................ 56 第十一讲幂函数 .................................................................................................................................................... 61 第十二讲方程的根与函数的零点 ........................................................................................................................ 66 第十三讲用二分法求方程的近似解 .................................................................................................................... 71 第十四讲几类不同增长的函数模型 .................................................................................................................... 76 第十五讲函数的图像 ............................................................................................................................................ 85 第十六讲函数的综合应用 .................................................................................................................................... 93 第十七讲二次函数性质与函数的图像 .............................................................................................................. 111

第一讲集合的概念
一. 知识思维导图
集合及元素 集合的概念 集合的分类及表示

集合的关系 集合

包含

子集真子集

交集

集合的运算

并集

集合的应用

补集

二. 知识要点解读 (一)集合的概念 1. 含义:一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,把一些元素组成的总体叫做集合 (set)(简称为集) 。 (1)对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作 对象. (2)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的 全体构成的集合. (3)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示,如 A、B、C、?? 元素通常用小写的拉丁字母表示,如 a、b、c、?? 2. 元素与集合的关系 (1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A (2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a?A 要注意“∈”的方向,不能把 a∈A 颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性:
1

(1) 元素的确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者 是或者不是这个给定的集合的元素。 (2) 元素的互异性:任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对 象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3) 元素的无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一 样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同,可把集合分为如下几类: (1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф (2)含有有限个元素的集合叫做有限集 (3)含有无穷个元素的集合叫做无限集 【例 1】考察下列每组对象能否构成集合? ⑴中国的直辖市; ⑵young 中的字母; ⑶不超过 20 的质数; ⑷高一⑶班 16 岁以下的学生; ⑸高一⑶班所有个子高的学生. 【分析】 ⑴“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆” ; ⑵“young 中的字母”构成一个集合,该集合的元素是“y,o,u,n,g” ; ⑶“不超过 20 的质数”构成一个集合,该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19” ; (质数又 称素数。指在一个大于 1 的自然数中,除了 1 和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数。 与之相对立的是合数: “除了 1 和它本身两个约数外,还有其它约数的数,叫合数。 ”如:4÷ 1=4,4÷2=2,4÷4=1,很显然,4 的约数除了 1 和它本身 4 这两个约数以外,还有约数 2, 所以 4 是合数。 ) ⑷“高一⑶班 16 岁以下的学生”构成一个集合; ⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合,个子高这个标准不可量化。 【例 2】 :用集合符号表示下列集合,并写出集合中的元素: (1)所有绝对值等于 6 的数的集合 A
2

(2)所有绝对值小于 6 的整数的集合 B 【分析】由集合定义:一组确定对象的全体形成集合,所以能否形成集合,就看所提对象是否 确定;其次集合元素的特征也是解决问题依据所在. 【解】 (1)A={绝对值等于 6 的数} ;其元素为:-6,6 (2)B={绝对值小于 6 的整数};其元素为:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 (二)集合的表示方法 1. 常用数集的表示方法
常用数集 全体非负整数的集合 非负整数内排除 0 的集合 全体整数的集合 全体有理数的集合 全体实数的集合 简称 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N 或 N+ Z Q R
+

【例 3】判断正误: ⑴所有在 N 中的元素都在 N*中( × ) ⑵所有在 N 中的元素都在 Z 中( √ ) ⑶所有不在 N*中的数都不在 Z 中( × ) ⑷所有不在 Q 中的实数都在 R 中( √ ) ⑸由既在 R 中又在 N 中的数组成的集合中一定包含数 0( × ) ⑹不在 N 中的数不能使方程 4x=8 成立( √ ) 注: (1)自然数集包括数 0. (2)非负整数集内排除 0 的集.记作 N*或 N+,Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集,也这样 表示,例如,整数集内排除 0 的集,表示成 Z* 2. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。

1)是有限集而元素个数较少 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x} 2)是无限集且元素离散 所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,?}
3

3)是有限集但元素个数较多 如从 1 到 100 的所有整数组成的集合可以表示为{1,2,3,4, · · · ,98,99,100} 3. 描述法: 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号{}内表示集合的 方法。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。{x|p(x)}中 x 为代表元素,p(x) 指 x 具有的性质. 描述法的两种表述形式: 1)、数式形式:如由不等式 x-5>4 的所有解组成的集合,可以表示为{x|x-5>4};由抛物线 y=x2+1 上所有点组成的集合,可以表示为{(x,y)|y=x2+1}。 2)、语言形式:如由所有直角三角形组成的集合,可以表示为{直角三角形};所有绝对值 小于 6 的整数的集合,可以表示为{绝对值小于 6 的整数}。 【例 4】求不等式 2x-3>5 的解集 【答案】不等式的解集为{x|x>4,x∈R} 【例 5】下列各组对象不能形成集合的是() A.大于 6 的所有整数 C.被 3 除余 2 的所有整数 B.高中数学的所有难题 D.函数 y=x 图象上所有的点

【解】综观四个选择支,A、C、D 的对象是确定的,惟有 B 中的对象不确定,故不能形成集 合的是 B. 【例 6】集合 A 的元素由 kx -3x+2=0(k∈R)的解构成,若 A 中的元素至多有一个,求 k 值 的范围. 【解】由题 A 中元素即方程 kx2-3x+2=0(k∈R)的根。 若 k=0,则 x=2/3,知 A 中有一个元素,符合题设 若 k≠0,则方程为一元二次方程. 当Δ =9-8k=0 即 k=9/8 时,kx2-3x+2=0 有两相等的实数根,此时 A 中有一个元素.又当 9-8k<0 即 k>9/8 时,kx2-3x+2=0 无解. 此时 A 中无任何元素,即 A=Ф 也符合条件 综上所述 k=0 或 k≥9/8 【评述】解决涉及一元二次方程问题,先看二次项系数是否确定,若不确定,如该题,则须分 类讨论.其次至多有一个元素,决定了这样的集合或者含一个元素,或者不含元素,分两种情
4


况. 三. 知识要点总结 1. 2. 3. 4. 含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 元素与集合的关系:属于和不属于 集合的中元素的三个特性:元素的确定性,元素的互异性,元素的无序性。 集合分类——根据集合所含元素个数不同,可把集合分为如下几类:

(1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф (2)含有有限个元素的集合叫做有限集 (3)含有无穷个元素的集合叫做无限集 5. 集合的表示方法
常用数集 全体非负整数的集合 非负整数内排除 0 的集合 全体整数的集合 全体有理数的集合 全体实数的集合 简称 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N 或 N+ Z Q R
+

6.

列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。 1)是有限集而元素个数较少 2)是无限集且元素离散 3)是有限集但元素个数较多

7.

描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号{}内表 示集合的方法。

8.

描述法的两种表述形式: 1)、数式形式 2)、语言形式

5

第二讲集合的关系与运算
一. 知识思维导图
集合及元素 集合的概念 集合的分类及表示

集合的关系 集合

包含

子集真子集

交集

集合的运算

并集

集合的应用

补集

二. 知识要点解读 (一)集合之间的关系 1. 集合与集合之间的“包含”关系 A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 我们说这两个集合有包含关系, 称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作:A ? B 或 B ? A 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系

2.

集合与集合之间的“相等”关系 A?B 且 A?B,则 A=B 中的元素是一样的,因此 A=B,根据以上我们可以得到这样一个结

论:任何一个集合是它本身的子集。即 A?A。
6

3.

真子集的概念 若集合 A ? B ,存在至少一个元素属于集合 B 且不属于集合 A ,则称集合 A 是集合 B 的

真子集(proper subset) 。 记作:A ?B 读作:A 真包含于 B 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 4. 真子集的性质 结论: A?B 且 B ? C,则 A?C 【例 1】集合 A={1,2,3,4},集合 B={4,2,3,1},问集合 A 和集合 B 相等吗? 【例 2】化简集合 A={x|x-7≥2},B={x|x >5},并表示 A、B 的关系; 【例 3】 (1)写出集合{0,1,2}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 (2)集合{a1,a2,a3· · · an},子集个数共有多少个;真子集有多少个;非空子集有多少个; 非空的真子集有多少个. (二)集合的运算 1. 集合的运算——并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集 (Union) 记作:A∪B 读作: “A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B}

2.

集合的运算——并集 说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重 复元素只看成一个元素) 。 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

3.

集合的运算——交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) 。
7

记作:A∩B 读作: “A 交 B” 即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B}

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集

说明: 当两个集合没有公共元素时, 两个集合的交集是空集, 而不能说两个集合没有交集。 4. 集合的运算——补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集 合为全集(Universe) ,通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合 称为集合 A 对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x?A} 补集的 Venn 图表示

说明:补集的概念必须要有全集的限制 5. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关 键是且与或,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题 设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 6. 集合的运算的一些结论 交集 A∩B?A,A∩B?B,A∩A=A,A∩?=? ,A∩B=B∩A 并集 A?A∪B,B?A∪B,A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A 补集(CUA)∪A=U, (CUA)∩A=?
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若 A∩B=A,则 A?B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A?B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A 或 x∈B 【例 1】A={1,2,3,6},B={1,2,5,10},则 A∪B=_____. 【例 2】已知集合 A={1,2,4} , B={2,4,6},则 A∪B=_____. 【例 3】已知集合 A={1,2,k},B={2,5} ,若 A∪B={1,2,3,5} 则 k=___. 【例 4】已知集合 A={1,3, √m} ,B={1,m},A∪B=A,则 m=( ) A.0B.0 或 3C.1 或√3D.1 或 3 【例 5】A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则 A∩B=______ 【例 6】设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N=() A.{0}B.{0,1} C.{-1,1}D.{-1,0,0} )

【例 7】已知集合 A={x∈R|3x+2>0}, B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则 A∩B=( A .(-∞,-1)B.(-1,-2/3) C. (-2/3,3)D.(3, +∞)

【例 8】已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-2)(x-m)<0},且 A∩B=(-1,n) ,则 m=____,n=_____. 【例 9】如果全集 U={x|0≤X<6,X∈Z},A={1,3,5},B={1,4},那么,CUA= _____ CUB= _________ 【例 10】如果全集 U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},则 CUA=________ 【例 11】已知全集 U={0,1,2,3,4} ,集合 A={1,2,3} ,集合 B={2,4}则 CUA∪B=( A.{1,2,4}B.{2,3,4} C.{0,2,4}D.{0,2,3,4} 【例 12】设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( CRB)=( A .{1,4}B.{3,4} C.{1,3}D.{1,2} 【例 13 】已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集合 A={0,1,3,5,8}, 集合 B={2,4,5,6,8}, 则 (CUA) ∩ (CUB)=( ) ) )

A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6} 三. 知识要点总结 1.集合之间的关系 相等:集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 子集:A 中任意一个元素均为 B 中的元素 真子集:A 中任意一个元素均为 B 中的元素, B 中至少有一个元素不是 A 中的元素
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空集:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 2.集合的运算 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B} 交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 若全集为 U,则集合 A 的补集为 CUA={x|x∈U 且 x___A} 四. 本章小结

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第三讲映射与函数
一. 知识思维导图
函数的定义 函数的三要素 函数的概念 图像法 函数的表示方法 列表法 解析法 定义域、值域、对应法则

二. 知识要点解读 (一)函数的定义 1. 映射 定义:一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任何一 个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B,以及集 合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B. 映射的概念中象、原象的理解: (1) A 中每一个元素都有象; (2) B 中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;A 中每一个元素的象唯一。 2. 函数

(1) 函数的定义: 设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数,记作 y=f(x) ,x∈A,其中 x 叫做自变量.x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. ①定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素,是一个整体; ②值域由定义域、对应法则唯一确定; ③函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数”而不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积。 3. 函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合 A 与集合 B 只能是非空数集,即函数是非空数
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集 A 到非空数集 B 的映射. (2)映射不一定是函数, 从 A 到 B 的一个映射, A、 B 若不是数集, 则这个映射便不是函数. (3)由映射和函数的定义可知:函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集. 4. 两个函数的相等 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域 到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两 个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个 函数. 【例 1】判断下列各式,哪个能确定 y 是 x 的函数?为什么? (1)x?+y=1 (2)x+y?=1 (3)y =
1 ?x x ?1

【解】 (1)由 x?+y=1 得 y=1-x?,它能确定 y 是 x 的函数. (2)由 x+y?=1 得 y=? 1 ? x,它不能确定 y 是 x 的函数。因为对于任意的 x∈{x|x ≤1},其函数值不是唯一的. (3)y =
1?x x ?1

的定义域是?,所以它不能确定 y 是 x 的函数。 )

【例 2】在下列图象中,表示 y 是 x 的函数图象的是(

A. ①④B. ①②C. ②④D. ②③ 【答案】B 【例 3】试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f x = x2 ,g x = (2) f x = (3) f x =
x x
3

x3

1,x≧0 ,g x = -1,x<0 x 2n+1 , g x =
2n ?1

2n +1

x

2n ?1

(n ∈ N ? )

(4) f x = x x + 1,g x = x 2 + x (5) f x = x 2 ? 2x ? 1,g x = t 2 ? 2t ? 1
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(二)函数三要素 1. 函数的定义域 研究一个函数,一定要在其定义域内研究,所以求定义域是研究任何函数的前提;函数的 定义域常常由其实际背景决定,若只给出解析式 y=f(x)时, 而没有指明它的定义域,那么函数 的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 X 的集合。 2. 求定义域的几种情况:

(1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数 R (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于 0 的实数的集合 (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合 (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实 数集合.(即求各集合的交集) 【例 1】与函数 y=x 表示相同函数的是 ( A.y = x 2 【答案】D 【例 2】求下列函数的定义域 (1) y = x ? 8 + 3 ? x (2) y = (3) y = (4) y =
x 2 ?1+ 1?x 2 x ?1 x ?2 x 2 ?4 1 1?
1 1? 1 x ?x

) x(x≧0) -x(x<0) D.y= x(x≧0) x(x<0)

B.y =

x2 x

C.y=

【例 2】求下列函数的定义域 (5)设 f(x)的定义域为[0,2],求函数 f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域. (三)函数表示方法 1. 常用的函数表示法

(1) 解析式; (2) 列表法; (3) 图像法。 2. 区间的概念:

设 a,b 是两个实数,而且 a<b, 我们规定:
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(1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [a,b] (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 (a,b) (3)满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为[a,b)或(a,b] 【注意】 (1) 区间是一种表示连续性的数集 (2) 定义域、值域经常用区间表示用。 (3) 实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。 (4) 实数集 R 可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大” 。 (5) 满足 x≥a,x>a,x≤a,x<a 的实数的集合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,a]、(-∞,a). 3. 分段函数 习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数,对它应有以下两点基本认识: (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。 4. 复合函数 定义:如果 y 是 u 的函数,记为 y=f(u),u 又是 x 的函数,记为 u=g(x),且 g(x)值域与 f(u) 的定义域交集不空,则确定了一个函数 y=f[g(x)],这时 y 叫做 x 的复合函数。 x 2 + 1,x≦1 【例 1】设函数,则 f2 x f(f(3))= = ,x>1
x

【例 2】已知定义在区间(0,2)上的函数的图像如图所示,则 y=-f(2-x)的图像为(

)

【答案】B 【例 3】设 f(x)= 1,x>0 0,x=0 ,g(x)= -1,x<0
x+1 x

1 (x 为有理数) ,则 f(g(π))的值为( 0 (x 为无理数)



【例 4】函数y =

的定义域为__________.

三. 知识要点总结
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函数 两集合 A,B 对应法则 f: A→B 名称 记法 设 A,B 是两个非空数集 如果按照对应法则 f, 对于集合 A 中 的每一个元素,在集合 B 中都有唯 一的元素 y 和它对应 称这样的对应为从 A 到 B 的一个函 数 Y=f(x),x∈A

映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按照某种对应法则 f,对于 A 中的 一个元素, 在 B 中都有唯一的元素与之 对应 这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射 f:A→B

1. 给定两个非空 A 和 B,如果按照某个, 对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有和它对 应,那么就把对应关系 f 叫做定义在集合 A 上的函数,记作.其中,x 叫做,x 的取值范围 A 叫做函数 的; 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的. 2. 构成函数的三要素:、和. 3. 常用的函数表示法:(1) ;(2) ;(3)

4. 两个函数的相等:两个函数能成为同一个函数的充要条件是与都相同.

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第四讲函数的表示方法——解析式法
名称 列表法 图像法 解析法 含义 通过列出自变量和对应函数值的表来表示函数关系的方法 用函数的图像表示两个变量之间的关系的方法 把常量和表示自变量的字母用一系列的运算符号连接起来的式子叫做解析式 优点 解析法 一是简明、 全面地概括了变量间的 关系; 二是通过解析式可以求出任 意一个自变量对应的函数值 列表法 图像法 不需要计算就可以直接看出与自 变量的值相对应的函数值 能形象、 直观地表示出函数的变化 情况 只能表示自变量取较少的有限个值的 对应关系 只能近似的求出自变量的值所对应的 函数值,而且有时误差较大 缺点 不够形象、直观、具体,而且并不是所 有的函数都能用解析式表示出来

三种表示方法的运用: 要熟练掌握解析法、列表法、图像法的含义,以及它们的优缺点,只有把握了这些,才能 恰当运用这些表示法表示函数。 解析法、列表法、图像法同为研究函数的重要方法,它们不是孤立的,而是和谐统一的, 为了研究函数需要, 常常根据函数的解析式列表或作图, 或者根据函数的图像写出函数的解析 式。因此,学习的同时要注意三种方法之间的互化。 一. 知识思维导图
待定系数法 换元法 函数解析式的求法 配凑法 消元法

二. 知识要点解读 (一)待定系数法 1. 定义:已知函数类型,故先设函数解析式,由题中条件列方程,求待定系数的值。如: 一次函数可设为 y=ax+b(a≠0); 二次函数有三种设法:
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①一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) ③两根式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 【例 1】若一次函数 y=f (x)在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为 1,则 y=f (x)的解析式为 ________. 【例 2】若二次函数 y=f(x)过点(0,3),(1,4), (-1,6),则 f (x) =_______________. 【例 3】若 f(x)是二次函数且 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x) 【答案】解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1 ∴c=1 则 f(x)=ax2+bx+1 又∵f(x+1)-f(x)=2x,对?x∈R 成立, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x 即 2ax+a+b=2x. 由恒等式性质知:所求二次函数为 f(x)=x2-x+1. 【例 4】若函数 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x+3,则函数 f(x)的解析式是________________。 【解析】用待定系数法,设 f(x)=ax+b(a≠0),则 f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+3 ab+b=3 a2=4 所以,解得或 b=1 a=2 b=-3 a=-2

所以 f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3 【点评】用待定系数法时,要等价变形,根据对应系数相等列出方程组,防止丢根。 (二)换元法 已知 f[g(x)]是关于 x 的函数,即 f[g(x)]=F(x),求 f(x)的解析式。通常令 g(x)=t,由此解出 x= φ (t),再将 x=φ (t),代入 f[g(x)]=F(x)的解析式中,求得 f(t)的解析式,再用 x 替换 t,便得 f(x)的解 析式。 注意:换元后注意新元 t 的取值范围。 【练习】 (1)已知 f(x-2)=3x-5,求 f(x). (2)已知 f(2x-1)=4x+2,求 f(m)=16,则 m 等于________. 【例 1】若 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) 的表达式为( A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7
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)

【答案】B 【例 2】已知f x + 1 = x + 1,则函数 f(x)的解析式为 __________。

【答案】f(x)=x2-2x+2(x≧1) 【例 3】已知f A.1+x 2
x 1?x 1+x

= 1+x 2 ,则 f(x)的解析式可取为() B.? 1+x 2
2x

1 ?x 2

C.1+X 2

2x

D. ? 1+x 2

x

【例 4】已知 f(1-cosx)=sin2x,求 f(x)的解析式 【解析】设 u=1-cosx,则 cosx=1-u, ∴cos2x=(1-u)2 ∴sin2x=1-(1-u)2=-u2+2u. ∵u=1-cosx∈[0,2] ∴f(x)=-x2+2x,x∈[0,2] 【例 5】若 f(x+1)=x2-3x+2,求 f(x) 【解析】令 x+1=t, 则 x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, ∴f(x)=x2-5x+6. x2 (x≧0) -x (x≧0) 【例 6】设 f(x)= ,g(x)= ,当 x>0 时,求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式 x (x<0) x2(x<0) 【解析】当 x>0 时,g(x)=-x<0,f(x)=x2>0,所以 f(g(x))=f(-x)=-x,g(f(x))=g(x2)=-x2. 求函数解析式要注意“里”层函数的值域是“外”层函数的定义域,从关系上看, f(gx)) 与 f(x)是同一对应关系的函数, 仅是自变量的取值不同, 这时 g(x)的值域就是 f(x)中 x 的范围(这 是求复合函数的定义域时不可忽视的问题)。 (三)配凑法(整体代换) 1. 2. 什么是配凑法?一些能用换元法的题目也能用配凑法 已知 f(g(x))的解析式,要求 f(x)时,可从 f(g(x))的解析式中配凑出 g(x),即用 g(x)来表示, 再将解析式两边的 g(x)用 x 来代替即可。 【练习】(1)已知 f(x-2)=3x-5,求 f(x). (2)已知f x + 1 = x + 2 x,求 f(x).

解:f(x-2)=3(x-2)+1,f(x)=3x+1 解:f x + 1 = ( x)2 + 2 x + 1 ? 1 = ( x + 1)2 ? 1,f(x)=x2-1(x≧1)
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【例 1】若 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) 的表达式为( A.2x+1 【例 2】已知f x +
x

)

B.2x-1
1 x

C.2x-3
1

D.2x+7

= x 2 + 2 ,则 f(x)的解析式

【例 3】已知 a,b 为常数,若 f(x)=x?+4x+3,f(ax+b)=x?+10x+24,则 5a-b= . (四)消元法 构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且 g(x)为偶函数等)此方法的实质是 解函数方程。 【练习】设 f(x)满足 f(x)-2f( )=x,求 f(x)的解析式。
x 1

【例 1】已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x)=x ?1,则 f(x)= 【例 2】若函数 f(x)满足关系式 f(x)+2f( )=3x,则 f(x)的表达式为
x 1

1

(补充)赋值法——由题设条件的结构特点,由特殊到一般地寻找普遍规律。 【例】设 f(x)是 R 上的函数,且满足 f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求 f(x)的表达式。 【分析】本题主要考察利用特殊值法求函数的解析式,所给函数方程含有两个变量时,可对这 两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等带入,再用已知条件,可求出未知的函数, 至于取什么特殊值,需要根据题目特征来定。 【解法一】解:由 f(0)=1, f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1) 设 x=y,得 f(0)=f(x) -x(2x-x+1) ∵f(0)=1, ∴f(x)-x(2x-x+1) =1, 即 f(x)=x2+x+1 【解法二】解:令 x=0,得 f(0-y)=f(0)-y(-y+1)=1-y(-y+1) 再令-y=x,代入上式, 得 f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1) ∴f(x)=x2+x+1 【点评】通过取某些特殊值带入题设中的等式,可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规 律,求出函数的解析式 三. 知识要点总结 求解析式常用方法: (一)待定系数法(二)换元法(三)配凑法(四)消元法
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第五讲函数单调性
一. 知识思维导图
函数的单调性定义 函数的单调性 函数单调性的判断 函数单调性的应用 求函数最值

二. 知识要点解读 (一)函数的单调性定义 (1)增函数(Increasing function):一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的 某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)< f(x2),那么就说 f(x)在这个区 间 D 上是增函数。区间 D 就叫做函数 f(x)的单调增区间。 (2)减函数(Decreasing function):一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内 的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2),那么就说 f(x)在这个 区间 D 上是减函数。区间 D 就叫做函数 f(x)的单调减区间。 (3)单调性(单调区间) :如果函数 y=f(x)在某个区间 D 是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在区间 D 具有单调性,或者说函数在区间 D 上是单调的,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调 区间(包括增区间和减区间)。
名称 增函数 定义 对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 , 当 x1<x2 时,都有 f(x1)< f(x2),那么就说 f(x)在这个区间 D 上是 增函数。区间 D 就叫做函数 f(x)的单调增区间。 减函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的 某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2),那么就说 f(x)在这个区间 D 上是减函数。 区间 D 就 叫做函数 f(x)的单调减区间。 f(x)的图像在区间 D 上是 “下降” 的 几何意义 f(x)的图像在区间 D 是“上升”的

(二)函数的单调性定义深度剖析 1. 函数单调性的定义中, x1,x2 有三个特征:一是任意性,即区间内任意取 x1,x2 具有普遍性; 二是有大小,一般设 x1<x2;三是同属于一个单调区间。三者缺一不可。 2. 函数单调性是函数在某个区间上的性质(局部性)

①这个区间可以是整个定义域,如正比例函数 y=3x 在定义域(-∞,+∞)上是增函数。
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②这个区间也可以是定义域的子集,如 y=2x2 在定义域(-∞,+∞)上不是单调函数, 但是在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. ③有的函数不具有单调性。 如:f(x)= 3. 1,x>0 0,x=0 -1,x<0 ,g(x)= 1 (x 为有理数) 0 (x 为无理数)

若函数 f(x)在其定义域内的两个区间 D、M 都为增(或减)函数。一般不能简单地认为 f(x) 在 D∪M 上是增(或减)函数。 如:y = x ,在(0,+∞),(-∞,0)上都是减函数,但不能说在 (-∞,0) ∪ (0,+∞)上是减 函数。虽然在每个区间分别具有单调性,但是在整个区间是不具有单调性的。
1

【练习】 1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是() A.y = x B.y=3-x [答案]A 2.函数 y=(2k+1)x+b 在实数集上是增函数,则() A.k > ? 2B. k < ? 2C.b>0 [答案]A 3. 函数 f(x)在(a,b)和(c,d) 都是增函数,若 x1∈(a,b), x2∈(c,d)且 x1<x2 那么() A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.无法确定 [答案]D 4.已知 f(x)在实数集上是减函数,若 a+b≤0 ,则下列正确的是 () A.f(a)+f(b)≤-*f(a)+f(b)+B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-*f(a)+f(b)+ D.f(a)+f(b)≥ f(-a)+f(-b) (二)函数单调性的判断 1. 判断函数单调性方法
1 1

C.x D.y=-x2+4

1

D.b<0

(1) 定义法 a) 用定义法判断(证明)函数单调性的步骤: i. ii. iii. 取值:在给定区间 D 上任取两个值 x1,x2 且 x1<x2; 作差变形:计算 f(x2)-f(x1)通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形; 定号:判断上式的符号,若不能确定,则可再分区间讨论;
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iv. b)

结论:根据差的符号,得出单调性的结论

函数的单调性定义等价形式:

设 x1,x2∈[a,b] , x1≠x2,那么 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,f(x)在[a,b]上是增函数。其几何意义是: 增函数图象上任意两点, (x1, f(x1)),(x2, f(x2))连线的斜率都大于 0。 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,f(x)在[a,b]上是减函数。其几何意义是: 减函数图象上任意两点, (x1, f(x1)),(x2, f(x2))连线的斜率都小于 0。 c) 函数单调性的判断——定义法
a

例:讨论函数f x = x + x (a > 0)的单调性。 研究函数的单调性定义法是基础, 掌握定义法的关键是作差(f(x2)-f(x1)), 运算的结果可以 判断正、 负。 本题判断正、 负的依据是代数式 “x1x2-a” , 处理这个代数式的符号是一个难点, 要有一定的数学功底作基础。把 x1、x2 看成自变量,则转化为判断“x2-a”的符号,于是转 化为判断“x ? a”的符号,自然过渡到x = a是函数单调区间的分界点。 【例 1】证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数. 【答案】证明:设 x1,x2 是 R 上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2). 由 x1<x2,得 x1-x2<0, 于是 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 所以,f(x)= 3x+ 2 在 R 上是增函数. 想一想:函数 f(x)=-3x+2 在 R 上是增函数还是减函数?试画出 f(x)的图象,判断你的 结论是否正确. 【例 2】求证:函数 f(x)=x3+x 在 R 上是增函数. (2) 图像法 先作出函数图像,利用图像直观判断函数的单调性 【例 1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每 一单调区间上,它是增函数还是减函数?

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【答案】解:函数 y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减 函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数. 【例 2】函数 y=-x?+|x| ,单调递减区间为_________________ 【答案】(-?,0),(?,+∞) (3) 直接法 就是对于我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,可直接写出它们的 单调区间。
图像 正比例函数 y=kx(k≠0) 反比例函数 y=1/x(k≠0) K<0 一次函数 y=kx+b(k≠0) 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) a<0
2

单调区间 R R (-∞,0) (0,+∞) (-∞,0) (0,+∞) R R (-∞, ( (-∞, ( ] ,+∞) ] ,+∞)

单调性 单调递增 单调递减 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减

k>0 k<0 k>0

k>0 k>0 a>0

牢记函数的单调性几个重要结论: 若函数 f(x),g(x)在区间 A 上具有单调性,则在区间 A 上具有以下性质: i. ii. iii. iv. v. vi. f(x)与 f(x)+C(c 为常数)单调性相同; 函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)的单调性相反; f(x)与 a f(x),当 a>0 时,具有相同的单调性;当 a<0 时,具有相反的单调性。 当 f(x)不恒为零时, f(x)与f(x)具有相反的单调性。 当函数 f(x),g(x)都是增(减)函数时,则函数 f(x)+g(x)是增(减)函数。 当函数 f(x),g(x)都是增(减)函数时,则函数 f(x)·g(x)当两者都大于零时,是增 (减)函数;当两者都恒小于零时,是减(增)函数。
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1

vii. 2.

若 f(x)≥0,则函数 f(x)与 f(x)具有相同的单调性

复合函数单调性的判定方法

以复合函数 y=f[g(x)]为例。可按照下列步骤操作: i. ii. 将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x)分别确定各个函数的定义域。 分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间; 若两个基本初等函数在对应的区间 上的单调性是同增或同减,则 y=f[g(x)]为增函数;若为一增一减,则 y=f[g(x)]为减函 数,即“同增异减” 。
函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

3.

求函数的单调区间常用方法

(1) 若所给的函数解析式较为复杂,可先化简函数解析式,作出草图,再根据函数的定义域和 图像的直观性写出单调区间。 (2) 利用定义证明函数在某一区间上是单调函数, 从而写出它的单调区间。 由于函数单调性是 针对某一区间而言的,因此若函数在区间的端点处有定义,可写成闭区间,也可写成开区间; 若没有定义则只能写成开区间。 (三)函数单调性的应用 1. 利用函数单调性求值域或最值

一般的,设函数的定义域为 I。 (1) 若存在定值 x0∈I,使得对于任意 x∈I, 有 f(x)≤f(x0)恒成立, 则称 f(x0)为 y= f(x)的最大值。 记作:ymax= f(x0). (2) 若存在定值 x0∈I,使得对于任意 x∈I, 有 f(x)≥f(x0)恒成立, 则称 f(x0)为 y= f(x)的最小值。 记作:ymin= f(x0). 注意: (1) 定义中的 f(x) ≤ f(x0)(或 f(x) ≥ f(x0))必须是对于定义域内的任一值,而不是存在。 (2) 一个函数要有最大(小)值,则只有一个,并不是所有的函数都有最值,如一次函数 y=3x+7,x∈(4,9),既无最大值又无最小值。 (3) 对于分段函数求最值, 一定要注意分段函数是一个函数, 一般是求出各段函数的最值,
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再比较其大小,进而求出分段函数的最值。应用函数的单调性,可以求函数的值域, 解决与值域有关的问题,求函数的最大值和最小值。 2. 利用函数单调性比较大小

例如:已知 f(x)在区间 D 上为增函数。 (1) 对任意的 x1∈D,x2∈D,若 x1<x2,则 f(x1)< f(x2)。 (2) 对任意的 x1∈D,x2∈D,若 f(x1)< f(x2),则 x1<x2。 3. 利用函数单调性求参数的范围 已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维,这类问题 能够加深对概念、性质的理解。 【练习】 1.已知函数 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则 f(a?-a+1) 与 f(0.75)的大小关系为_______ 2.设函数 f(x)=x?-(3a-1)x+a?在区间(1,+∞) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 3 、若函数 f(x) = x2 + 2(a - 1)x + 2 在 ( -∞, 4] 上是单调减函数,则实数 a 的取值范围是 ________________ 【解析】依题意得对称轴方程为 x=1-a,则 1-a≥4,得 a≤-3. 4、 定义在 R 上的函数 y=f(x), f(0)≠0.当 x>0 时, f(x)>1, 且对任意的 x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x)· f(y). ? ? ? (1)证明:对任意的 x∈R,f(x)>0; (2)证明:f(x)是 R 上的单调增函数; (3)若 f(x)·f(x2+x)<1,求 x 的取值范围

三. 知识要点总结 1. 我们之前学过一些关于元素和函数的分类: 元素的三特性:确定性、互异性、无序性。 函数的三要素:定义域、对应法则、值域。 2. 函数的三特性:单调性、奇偶性、周期性。 其中,单调性排在首位,是函数的基本性质,是每个初等函数要研究的性质. 其他性质则 不然,如奇偶性,周期性等,不是每个初等函数都具有的性质. 由此看到,单调性在函数中的重要地位. ①函数的单调性与“区间”紧密相关,函数在不同的区间上可有不同的单调性。 ②单调性是函数局部的性质(定义域的某个区间上) ,奇偶性是整体的性质(整个定义域 上) 。
25

3.

单调性定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,有 f(x1)< f(x2),那么就说 f(x)在这个区间 D 上是增函 数;有 f(x1)> f(x2),那么就说 f(x)在这个区间 D 上是减函数。

4.

判断函数单调性的常用方法 (1) 定义法:即“取值——作差(作商)——变形——定号——判断”注意讨论单调区间 (2) 图像法 (3) 直接法

5.

函数单调性的证明步骤等同于判断 必须注意:在用定义法证明不等式时,为了确定符号,一般是将 f(x1)-f(x2)尽量分出(x1-x2) 因式,再将剩下的因式化成积商的形式,或化成几个非负实数的和等,这样有利于该因式 符号的确定。

6. 7.

复合函数单调性的判断——要牢记“同增异减” 函数单调性的应用 (1)利用函数单调性求值域或最值 (2)利用函数单调性比较大小 (3)利用函数单调性求参数的范围

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第六讲函数奇偶性
一. 知识思维导图
函数的奇偶性概念 奇、偶函数的图象 奇函数对称区间单调性相同 函数的奇偶性 奇、偶函数的性质 偶函数对称区间单调性相反 步骤 判断函数奇偶性 方法 图像法 性质法 定义法

二. 知识要点解读 (一)函数奇偶性的概念 1. 定义: 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数。 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)= -f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数。 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,则称函数 y= f(x)具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的整 体性质。 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一 个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 奇、偶函数定义的逆命题也成立,即: 若 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x)有成立. 若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)有成立. 2. 定义剖析: (1)奇偶函数的定义域关于原点对称。函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内 的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) .若不对称, 则这个函数必不具有单调性,这个函数是非奇非偶函数;例如函数 y=x2 在实数集 R 上是偶函 数,但在区间[-1,3]上不具有奇偶性。
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(2)若奇函数在原点处有定义,则有 f(0)=0 一定成立。证明:由奇函数的定义 f(-0)=-f(0) 可以推出 2f(0)=0,即 f(0)=0。这里要特别注意一点,若函数在 0 处没有定义,如函数f x = ,
x 1

虽然是奇函数,但是 f(0)是不存在的。大家可以看一下它的图象。

(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即:若 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x)成立;若 f(x)为偶函数, 则 f(-x)=f(x)成立。 (4)若 f(x)的定义域关于原点对称,则有: F1(x) = f(x)+f(-x)为偶函数, F2(x) = f(x)-f(-x)为奇函数。 (5)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶 函数。 【例 1】下列函数为奇函数的是() A.y=|x| 【答案】C 【例 2】下列函数是偶函数的是() A.y=x 【答案】B 【例 3】若函数 y=f(x)(x∈R) 是偶函数,且 f(2)<f(3) ,则必有() A. f(-2)>f(-3)B. f(-2)<f(-3)C. f(2)>f(-3)D. f(3)>f(-3) 【答案】B 【例 4】判断f x = 1 ? x 2 + x 2 ? 1的奇偶性()
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B.y=3-xC.y=1/x

D.y=-x2+2

B.y=2x?+6

C. y=x D. y=x?x∈(-1,1]

1

A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 【答案】D。解析:因为定义域{-1,1}关于原点对称,且 f(-x)=±f(x),所以原函数既是奇函数又 是偶函数。 (二)奇、偶函数的图象 1. 奇函数的图象关于原点成中心对称图形, 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形, 反之也成 立。 2. 奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么就称这个 函数为奇函数.

3.

偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么就称这个 函数为偶函数.

4.

由于偶函数的图象关于 y 轴对称, 奇函数的图象关于原点对称, 因而在研究这类函数的性 质时,只需要通过研究(-∞,0]或[0,+∞)其中一个的情况,就可以推断出函数在整个定 义域的图象及其性质。

【例 1】已知函数 y=f(x)是偶函数,它在 y 轴右边的图象如下图,画出在 y 轴左边的图象.

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【例 2】函数 f(x)是定义在(-3,3) 上的奇函数,当 0<x<3 时, f(x)的图象如图所示,那么不等式 f(x)<0 的解集是() A. ( 1, 3 ) ∪( -1, 0 ) C. ( 1, 3 ) ∪( -3, -1) 【答案】D 【例 3】函数 f(x) 为奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x?-4x(如图) . (Ⅰ)请补全函数 f(x)的图象; (Ⅱ)写出函数 f(x)的表达式; (Ⅲ)用定义证明函数 f(x)在区间*1,+∞)上单调递增. 【答案】 (Ⅰ) B. (-1, 0 ) ∪( 0, 1)

D. (-3,-1) ∪( 0, 1 )

(Ⅱ)任取 x(-∞,0) ,则–x∈(0,+∞),由 f(x)为奇函数,则 f(x) =-f(-x)= -[2(-x)?-4(-x)] 综上所述 :f(x)=2x?-4x , x≥0 -2(x)?-4(x), x<0 (Ⅲ)任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(2x12-4x1)-(2x22-4x2)=(2x12-2x22)-(4x1-4x2)=2(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2)=2(x1-x2)[(x1+x2)-2] 因为 x1<x2,所以 x1-x2<0 又由 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,所以 x1+x2>2,所以(x1+x2)-2>0 所以 2(x1-x2)[(x1+x2)-2]<0 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)-<f(x2)
30

所以函数 f(x)=2x?-4x 在区间*1,+∞)上单调递增. 【例 3】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)= x?+2x (1)现已画出函数在 y 轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数 f(x)的图象,并根据图象写出 函数 f(x)的增区间; (2)写出函数 f(x)的解析式和值域.

【答案】 (1)

(2)解析式为 f(x)= x?+2x,x≦0,值域为,y |y≥-1} x?-2x,x>0 (三)奇、偶函数的性质 1. 2. 3. 4. 奇偶函数的定义域关于原点对称,也是函数具有奇偶性的必要条件。 奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立; f(x)=f(-x) ,f(x)是偶函数;f(x)+f(-x)=0,f(x) 是奇函数。 f(-x)=f(x)?f(x)-f(-x)=0(偶函数) f(x)=-f(-x)?f(x)+f(-x)=0(奇函数) 5. 6. y=f(x)是偶函数, y=f(x)的图象关于 y 轴对称, y=f(x)是奇函数, y=f(x)的图象关于原点对称。 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反, 奇函数在定义域内关于原点对 称的两个区间上单调性相同; 7. 偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数;
31

8.

若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数G(x) = 数F(x) =
f x +f(?x) 2

f x ?f(?x) 2

与一个偶函

之和。

9.

奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇×奇=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇。
f(x) 奇 偶 奇 偶 g(x) 奇 偶 偶 奇 f(x)g(x) 偶 偶 奇 奇
f(x) g(x)

g(x)≠0

f(g(x)) 奇 偶 偶 偶

g(f(x)) 奇 偶 偶 偶

偶 偶 奇 奇

10. 对于 F(x)=f[g(x)]: 若 g(x)是偶函数,则 F(x)是偶函数; 若 g(x)是奇函数且 f(x)是奇函数,则 F(x)是奇函数; 若 g(x)是奇函数且 f(x)是偶函数,则 F(x)是偶函数 【说明】奇偶函数图象的性质可用于:a、简化函数图象的画法;b、判断函数的奇偶性。 【例 1】设非常值函数 f(x),x∈R 是一个偶函数,它的函数图像关于直线x = 是() A.非周期函数 B.周期为 的周期函数
2 2 2 2

对称,则该函数

C.周期为 2的周期函数 D.周期为 2 的周期函数 【答案】 C 。解析:因为偶函数关于 y 轴对称,而函数 f(x), 图像关于直线 x =
2 2 2 2 2 2 2

对称,则

f( 2 ? x)=f( 2 + x),即 f( 2 + x)=f( 2 + ( 2 + x))=f(-x)=f(x)。故该函数是周期为 2的周期函数. 【例 2】函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A. f(x)是偶函数 C. f(x+3)是奇函数 【答案】C f(x+1)为奇函数→-f(x+1)=f(-x+1)→-f(t)=f(2-t) f(x-1)为奇函数→-f(x-1)=f(-x-1)→-f(t)=f(-t-2)→f(2-t)=f(-t-2)→f(x)=f(x-4)→T=4 所以 f(x+3)为奇函数?f(-x+3)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x+3) 【例 3】已知函数 f(x)=ax5-bx3+cx-3,f(-3)=7,则 f(3)的值为( A. 13B.-13 C. 7D.-7
32

)

B. f(x) 是奇函数 D. f(x+3)是偶函数

)

【答案】B 【例 4】 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(2)=0,则使 f(x)<0 的 x 的取 值范围是( )

A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(-2,2) 【答案】 D。 解析: 由 f(x)在(-∞,0)上是减函数,且 f(x)为偶函数得 f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x) 在(-∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增. 又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0 ∴f(x)在(-∞,-2]上总有 f(x)≥f(-2)=0, ① f(x)在[2,+∞)上总有 f(x)≥f(2)=0 ② ∴由①②知使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-2,2),应选 D. (四)判断函数奇偶性 1. 判断函数奇偶性的一般步骤: 第一步:观察函数的定义域是否关于原点对称; 第二步:用-x 替换 x,验证 f(x)=f(-x)或 f(x)=-f(-x); 第三步:若 f(x)=f(-x) ,则 f(x)是偶函数; 若 f(x)=-f(-x) ,则 f(x) 是奇函数; 若 f(x)≠f(-x) 且 f(x)≠-f(-x),则 f(x)是非奇非偶函数; 若 f(x)=f(-x) 且 f(x)=-f(-x),即 f(0)=0,这就是既奇又偶函数的解析式。但是既奇又偶函数不 只是一个,因为定义域不同函数就不同。 2. 判断函数奇偶性的常用方法

(1) 定义法:定义法判定时,可用作差法和作商法。 (2) 图象法 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,y=f(x)是偶函数; y=f(x)的图象关于原点对称,y=f(x)是奇函数 【例 1】若函数 f(x)=(k-2)x?+(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是____________________ 【例 2】已知函数 f(x)=ax?+bx+3a+b 是偶函数,定义域为 [a-1,2a],则 f(0)=__________ 【延伸】 【例 3】函数 f(x)=ax2+bx+c, (a,b,c∈R) ,当 a,b,c 满足什么条件时, (1)函数 f (x)是偶函数. (2)函数 f(x)是奇函数. (3) 性质法
33

I. II. III. IV.

偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数; 奇函数的和、差仍为奇函数; 一个偶函数和一个奇函数的积是奇函数; 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数

注意:两函数的定义域 D1,D2,D1∩D2 要关于原点对称 3. 分段函数奇偶性的判断

【例】判断函数 f(x)= x?+x (x<0) 的奇偶性 -x?+x (x>0) 对于分段函数的奇偶性的判断,要分段进行讨论。 4. 奇偶函数图象对称性推广:
f(x)在定义域内恒满足 f(a+x)=f(a-x) [自对称函数] f(x)=f(a-x) f(a+x)=f(b-x) f(a+x)+f(a-x)=0 f(a+x)+f(b-x)=0 f(a+x)+f(b-x)=c f(x)的图像关于对称 直线 x=a 直线 x=a/2 直线 x=(a+b)/2 点(a,0) 点((a+b)/2,0) 点((a+b)/2,c/2)

【能力提升】 【例一】定义 f(x)是 R 上的函数,对任意的 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)-f(y) ,且 f(x)在 x∈(0,+ ∞)为减函数,f(2)=0 。 (1)求证: f(x)是偶函数; (2)求不等式 f(x-6)>0 的解集。 【解析】 (1)的定义域为 R,令 x=y=0 推出 f(0)=0;又令 y=-x 推出 f(0)=f(x)-f(-x), f(x)=f(-x),即 f(x)-为偶函数; (2)由题意 -2<x-6<2,解得:4<x<8 所以不等式的解集为 {x| 4<x<8} 【例二】 函数 f(x)和 g(x)的定义域均为 R, “f(x), g(x)都是奇函数” 是 “f(x)与 g(x)的积是偶函数” 的( ) B.必要但非充分条件 D.既非充分也非必要条件

A.充分但非必要条件 C.充分必要条件 【答案】A

(五)奇偶性和周期性的综合题
34

函数周期性定义为:设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零常数 T,使得对任意的 x∈D, f(x+T)= f(x)都成立,则说 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期,若周期中存在最小正数,则称其 为最小正周期。 【例 1】f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x) ,当 0≤x ≤1 时, f(x)=x?+x (1)求函数 f(x)的周期 (2)求函数 f(x) 在-1≤x ≤0 的表达式 (3)求 f(6.5) 【例 2】 F(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上单调递增,且有 f(2a?+a+1)<f(-3a?+2a-1), 试求实数 a 的取值范围。 【答案】0<a<3 (六)函数奇偶性求函数解析式 【例一】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f(x)=x(x+1) . 求出函数的解析式. 【例二】已知函数 f(x)=1+x 2 是定义在(-1,1) 上的奇函数,且 f(1/2)=2/5 (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)判断并证明 f(x)在(-1,1)的单调性; (3)解不等式 f(x-1)+ f(x)<0 三. 知识要点总结 在函数奇偶性的定义中,有两个必备条件: 一是定义域关于原点对称, 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件, 所以首先考虑定义域 对解决问题是有利的; 二是判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立,这样能简化 运算.
ax +b

35

第七讲指数与指数幂的运算
一. 知识思维导图
概念 运算性质 定义 指数与指数幂的运算 n次方根 性质 表示 分数指数幂 定义 运算性质

整数指数幂

二. 知识要点解读 (一)整数指数幂
幂指数 正整数指数 零指数指数 负整数指数 正分数指数 负分数指数 a 定义 a =a·a……a(n∈N*) a =1 a =1/a am =
n m

底数的取值范围 a∈R a≠0 且 a∈R
n

n 0

-n

a≠0 且 a∈R (m,n∈)
? =m m
n 1 an

an

m 为奇数 a∈R m 为偶数 a≧0 m 为奇数 a≠0 且 a∈R m 为偶数 a>0

1.

整数指数幂的概念

2.

运算性质

(1) am ·an = am+n (m, n ∈ Z) (2) (am )n = amn (m, n ∈ Z) (3)
am an

= am ?n (m > , ≠ 0)
36

(4) (ab)n = an ·bn (n ∈ Z) (5) 注意:上述都遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于 0 的规定。 【练习】回答下列问题(口答) ①a2·a3= (二)n 次方根 1. n 次方根的定义 一般地, 如果一个数的 n 次方等于 a (n>1, 且 n∈N*) , 那么这个数就叫做 a 的 n 次方根。 若 xn=a,则 x 叫做 a 的 n 次方根(n>1,且 n∈N*) 。 2. n 次方根的表示
n

②(b4)2=

③(m·n)3=

a n = 2k + 1 x=
n

(a>0,k∈N*)

± a (n = 2k) 其中 a叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 当 n 为奇数时, an = a 当 n 为偶数时, an = a = 3. n 次方根的性质
n n

n

a (a≧0) -a (a<0)

(1) 偶次方根有以下性质: 整数的偶次方根有两个且是相反数, 负数没有偶次方根 零的偶次方根是零 (2) 奇次方根有以下性质: 正数的奇次方根是正数 负数的奇次方根是负数 零的奇次方根是零 (三)分数指数幂 1. 分数指数幂的定义
m n

(1) 规定正数的正分数指数幂的意义:a n =
m

am (a > 0, , ∈ ? 且 n > 1)
1 an
m

(2) 规定正数的负分数指数幂的意义:a? n = (3) 注意:0 的正数次幂有意义。 0 的负数次幂无意义。

=

1
n

am

a > 0, , ∈ ? 且 n > 1

37

0 的 0 次幂无意义。 2. 分数指数幂的运算性质 整数指数幂的性质可以运用到分数指数幂,进而推广到有理数范围。 (1) ar ·as = ar+s (a > 0, , ∈ ) (2) (ar )s = ars (a > 0, , ∈ ) (3) (ab)r = ar ·br (a > 0, > 0, ∈ ) 【例 1】已知 x-3+1=a,求 a2-2ax-3+x-6 的值 【例 2】2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k 等于() A.2-2k B.2-(2k-1) C.-2-(2k+1)
3x ?y 2

D.2

【例 3】若 10x=2,10y=3,则10
1
4

=

【例 4】若a < 2,则化简 (2a ? 1)2 的结果是() A. 2a ? 1
1

B.? 2a ? 1

C. 1 ? 2a
4

D.? 1 ? 2a

【解析】因为a < 2,所以 2a-1<0,于是原式= (1 ? 2a)2 = 1 ? 2a 【例 5】已知 x+x-1=3,则x 2 + x ?2 值为() A.±4 5 B.2 5 C. 4 5 D.?4 5
3 3

【例 6】下列运算结果中正确的是() A.a2 ·a3 = a6 【例 7】化简 24 =() A.24
1 3 3

B.(?a2 )3 = ?a6

C.(?a2 )3 = (?a3 )2

D.( a ? 1)0 = 1

B.2 2
1

3

C.43

1

D.2 2

【例 8】已知a2 + a?2 = 2,求下列各式的值 (1)a2 + a?2 ; (2)a3 + a?3 ; (3)a4 + a?4 【例 9】已知x 2 + x ?2 = 3,求
1 1 1 1

x 2 +x ?2 ?2 x 2 +x
1 3 3 ?2 ?3

的值
1

【答案】解:x 2 + x ?2 = 3 ? x 2 + x ?2

2

=9

? x + 2 + x ?1 = 9 ? x + x ?1 = 7 ? x + x ?1 又x 2 + x ?2 = x 2 + x ?2
3 3 1 1

2

= 49 ? x 2 + x ?2 = 47

x ? 1 + x ?1 = 3 · 7 ? 1 = 18

38

? 【例 10】概念理解: (1)25 的平方根是________ (2)27 的立方根是________ (3)-32 的五次方根是_____ (4)16 的四次方根是_____ (5)a6 的三次方根是________ (6)0 的七次方根是________ 【例 11】计算:

x 2 + x ?2 ? 2 x +x
3 2 3 ? 2

?3

=

47 ? 2 =3 18 ? 3

( 27)3 = ( ?32)5 = ( 4)2 =
3

3

5

2

(?2)3 =

5

25 =

4

34 =

(?3)2 =

【例 12】化简下列各式: (1) ?32 (2) (?3)4 (3) ( 2 ? 3)2 (4) x8 (5) a2 b 4 【例 13】计算 (1)
a 2 ?b 2 a 2 +b 2
1 1 1 1 4 5

+

a 2 +b 2 a 2 ?b 2
1 1

1

1

(2)(a2-2+a-2)/(a2-a-2) 【例 14】a,b∈R,下列各式总能成立的是() A.( a ? b)6 = a ? bB. (a2 + b 2 )8 = a2 + b2 C. a4 ? b4 = a ? bD.
4 4 10 6 6 8

a+b

10

=a+b

【例 15】用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)a2 · a(2)a3 · a2 (3) a a 【答案】 (1)a2 · a = a2 ·a2 = a2+2 = a2
1 1 5 3

39

(2)a3 · a2 = a2 ·a3 = a3+3 = a 3
3

2

2

11

(3) a a = (a ·a2 )2 = (a2 )2 = a4 【例 16】将格式转化分数指数幂的形式(a>0,b>0) (1) a a3 a(2) (? 27b 3 )4 (3) (a + b)3 (4) a2 b ?3 【答案】 (1)a6 (2)3?3 a?4 b?4 (3)(a + b)4 (4)a4 b ?8 【例 17】函数y = (0.5x ? 8)?2 的定义域是 【答案】 (-∞,-3) 。0.5x ? 8 > 0 ? 0.5x > 0.5?3 ? x < ?3 【例 18】化简 1 + 2?32 A.
1 2
1 1 5 8 3 9 3 3

1 1

3 1

3

3a ?3

4

9

4

1 + 2?16
?1

1

1 + 2?8 (1 + 2?4 )(1 + 2?2 )的结果是()
1

1

1

1

1 ? 2?32

1

B. 1 ? 2?32 ,g x =

?1

C. 1 ? 2?32

1

D.1 (1 ? 2?32 )
2

1

1

【例 19】已知函数f x =

1 1 ? x 3 ?x 3

1 1 ? x 3 +x 3

5

5

(1)证明:f(x)是奇函数,并求 f(x)的单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数 f(x)和 g(x)的对所有不等 于零的 x 都成立的一个等式。 【答案】

三. 知识要点总结 1. 2. 分数指数幂的概念(与整数指数幂对比有何差异,注意不能随意约分) 分数指数幂的运算性质,进而推广到有理数指数幂的运算性质。
40

3.

根式运算时,先化为指数形式进行运算,原式为根式的,要再将结果化为根式。
定义 a =a·a……a(n∈N*) a =1 a =1/a am =
n m

幂指数 正整数指数 零指数指数 负整数指数 正分数指数 负分数指数

底数的取值范围 a∈R a≠0 且 a∈R
n

n 0

-n

a≠0 且 a∈R (m,n∈)
? =m m
n 1 an

an

m 为奇数 a∈R m 为偶数 a≧0 m 为奇数 a≠0 且 a∈R m 为偶数 a>0

a

41

第八讲指数函数
一. 知识思维导图
指数函数的定义 图像 性质

指数函数

指数函数的图像和性质

指数函数的应用

二. 知识要点解读 (一)指数函数的定义 1. 指数函数的定义: 一般的,形如 y=ax (a>0,且 a≠1)的函数叫做指数函数。此函数定义域为 R。 判断是不是一个指数函数依据: (1) 是否是形如 y=ax。 (2) ax 系数是否为 1。 (3) 底数 a>0 且 a≠1,指数为单个 x 的形式。 2. 指数函数的定义理解: 为什么指数函数概念中明确规定 a>0 且 a≠1?a 不能小于或等于 0 吗? ⑴当 a=0 时,x>0 时函数值总为 0; 当 x≤0 时,ax 无意义。 ⑵当 a<0 时,若 a=-2,x=1/2 时无意义; ⑶当 a=1 时,对于 X∈R,ax 恒为 1,没有研究必要。 (二)指数函数的图像和性质 1. 指数函数的图像和性质

y=a

x

a>1 R (0,+∞)
42

0<a<1 R (0,+∞)

图像 定义域 值域

定点 单调性 对称性 取值范围

(0,1) 在(-∞,+∞)上是递增
x x

(0,1) 在(-∞,+∞)上是递减 当 x>0 时,0<a <1; 当 x=0 时,a =1; 当 x<0 时,a >1
x x x

y=a 与 y=(1/a) 的图像关于 y 轴对称 当 x>0 时,a >1; 当 x=0 时,a =1; 当 x<0 时,0<a <1
x x x

图像平移 图像对称

左加右减,上加下减 函数 y=f(x)的图像与 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(x)的图像关于 x 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(-x)的图像关于原点对称

奇偶性

图像既不关于原点对称也不关于 y 轴对称,所以不具有奇偶性

2.

图像因底数大小而发生的变化:

(三)指数函数的应用 1. 指数型函数模型

(1)指数增长模型 设原产值为 N,平均增长率为 P,则经过 x 次增长,该量增长到 y.则 y= (1+p) x,(x∈N) (2)指数减少模型 设原产值为 N,平均减少率为 P,则经过 x 次减少,该量减少到 y.则 y= (1-p) x,(x∈N) (3)指数型函数 形如 y=kax (a>0,且 a≠1,k>0 且 k∈R)的函数叫做指数型函数。
43

2.

指数型复合函数的分类及其性质

(1)这类问题主要利用指数函数定义域、值域求解函数 y=af(x) (a>0,a≠1)的定义域和值域。 对于函数 y=af(x) (a>0,a≠1),由于指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的定义域为 R,因此满足 f(x) 有意义的自变量 x 的取值范围是函数 y=af(x) (a>0,a≠1)的定义域。例如:y=21/x (2)利用指数函数的定义域、值域求形如 y=f(ax)(a>0,a≠1)这样的函数定义域和值域 对于此类函数主要通过 ax 的定义域是 R,值域取遍全体正数,利用换元法,设 ax=t,转化 为求 f(t),t∈(0,+∞)的定义域和值域 3. 指数函数的定义域与值域 对于求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应该注意中间变 量的值域以及指数函数的单调性的双重作用下,函数值域的变化情况。 4. 指数型复合函数的定义域与值域 求由指数函数构成的复合函数的定义域时, 可能涉及解指数不等式 (即未知数在指数 上的不等式) 。解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底的幂的形式,利用指数 函数的单调性脱去幂的形式, 从而转化为熟悉的不等式, 同时还应该注意负数不能开偶次 方,分母不能为零,限制 X 的取值。 5. 指数函数图像的变换规律 平移规律:左加右减,上加下减。 已知 y=ax 的图像, 若把 y=ax 的图像向左平移 b 个单位,则得到 y=ax+b 的图像。 若把 y=ax 的图像向右平移 b 个单位,则得到 y=ax-b 的图像。若把 y=ax 的图像向上平移 b 个单位,得到 y=ax+b 的图像。若把 y=ax 的图像向下平移 b 个单位,得到 y=ax-b 的图像。 6. 指数函数单调性的应用

(1) 比较指数幂大小的方法 a) b) c) d) 比差法或比商法 函数的单调性法 中间值法 分类讨论

(2) 利用函数单调性解决指数方程、不等式 a) b) c) 当 a>0,且 a≠1 时, 若 af(x)=ag(x),则 f(x)=g(x); 当 a> 1 时,若 af(x)>ag(x),则 f(x)>g(x); 当 1>a>0 时,若 af(x)>ag(x),则 f(x)<g(x);
44

7.

利用指数函数图像解题

(1) 定点问题 由于 y=ax(a>0,a≠1)恒过定点(0,1),因此若函数与其他函数复合会产生一些丰富多彩 的定点问题。如 y=ax+2-2(a>0,a≠1)的图像恒过定点(-2,-1) ,实际上就是将定点(0,1)向 左平移两个单位,使图像恒过定点(-2,1) ,向下平移 2 个单位得到恒过定点(-2,-1) 。 (2) 超越方程解的个数的讨论问题 下面举一个例子来说明一下,方程 2|x | +x=2 的实根个数为 8. 指数函数性质的综合运用 利用指数函数的有关性质可以解决有关定义域、值域、单调性、不等式、方程等问题。 【例 1】判断下列函数是不是一个指数函数 (1)y = 3x (2)y=4x(3)y=32x(4)y=3·2x (5)y=3x+1 (6)y=-3x(7)y=x2(8)y=(2a-1)x (a>1/2 且 a≠1)
2

【解析】判断是不是一个指数函数依据: 1.是否是形如 y=ax。 2.系数为 1。 3. 底数 a>0 且 a≠1,指数为单个 x 的形式。 【例 2】函数 y=(a2-3a+3)ax 为指数函数,求 a 的值。 【例 3】函数y =
2 1 ?2x ?8x+1

2

(?3 ≤ x ≤ 1)的值域是

【例 4】下列函数中,值域为 R+的是() A.y = 52?x
1

B.y = (3)1?x

1

C.y =

(2 )x ? 1

1

D.y = 1 ? 2x

【例 5】求下列函数的定义域与值域 (1)y = 10
2x ?1 x +1

(2)y = 0.51+2x ?x
1
2 ?2x

2

【例 6】谈论函数f x = (3)x

的单调性并求值域。

【例 7】函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是() A.lal>1 B.lal<2 C.a< 2 D.1<lal< 2

【例 8】已知 0<a<1,b<-1,则函数 y=ax+b 的图像必定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【例 9】如图是指数函数: (1)y=ax(2)y=bx(3)y=cx(4)y=dx 的图像,求 a,b,c,d 的关系。
45

结论: 当 a 大于 1 时底数越大图像越靠近 y 轴, 当 a 在 0 到 1 之间时底数越大越远离 y 轴。 函数 y=ax 与 y=(1\a)x(即 y=a-x)的图像关于 y 轴对称。 【例 10】函数 y=-ex 的图像() A.与 y=ex 的图像关于 y 轴对称 B.与 y=ex 的图像关于坐标原点对称 C.与 y=e-x 的图像关于 y 轴对称 D.与 y=e-x 的图像关于坐标原点对称 【例 11】比较下列各题中两个数的大小 (1)30.8,30.7(2)0.75-0.1,0.750.1(3)0.22,1.30.1 【解】⑴.因为 y=3x 是 R 上的增函数,0.8>0.7,所以 30.8> 30.7 ⑵.因为 y=0.75x 是 R 上的减函数,-0.1 <0.1,所以 0.75-0.1> 0.750.1 ⑶.因为 0.22 <0.20=1=1.30,1 <.30.1 所以 0.22<1.30.1 指数函数的单调性解决比较两个指数式的大小等问题 【例 12】解不等式(3)x
1
2 ?3

> 3?2x

【例 13】某林区 1999 年木材蓄积量 200 万 m3,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使 木材蓄积量的年平均递增率能达到 5%。 (1)若经过 x 年后,该林区的木材蓄积量为 y 万 m3,求 y=f(x)的表达式,并求此函数的定义 域。 (2)作出函数 y=f(x)的图像,并应用图像求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到 300 万 m3?
46

【例 14】 (1)某人 2002 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a 元,若按年利率 x 复利计算,则到 2005 年 7 月 1 日可取回元。 (2)函数 y=ax 在[0,1]上最大值与最小值的和为 3,则 a=。 (3)函数y = 2
?x 2 +2x+3

的单调增区间为。

【例 15】求函数 y=4-x-2-x+1,x∈[-3,2]的最大值和最小值。 【例 16】已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如右图所示,则函数 g(x)=ax+b 的图像是 ()

【例 17】函数 y=ax-b 的图像如图,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是() A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 【例 18】已知f x = B.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0 ,

10 x ?10 ?x 10 x +10 ?x

(1)判断函数 f(x)的奇偶性 (2)证明:f(x)是定义域内的增函数 (3)求 f(x)的值域 三. 知识要点总结 1. 判断是不是一个指数函数依据:

(1) 是否是形如 y=ax。 (2) 系数为 1。 (3) 底数 a>0 且 a≠1,指数为单个 x 的形式。 2. 结论:

(1) 当 a 大于 1 时底数越大图像越靠近 y 轴, (2) 当 a 在 0 到 1 之间时底数越大越远离 y 轴。 (3) 函数 y=ax 与 y=a-x 图像关于 y 轴对称。 3. 指数函数的图像和性质
y=a
x

a>1

0<a<1

图像
47

定义域 值域 定点 单调性 对称性 取值范围

R (0,+∞) (0,1) 在(-∞,+∞)上是递增
x x

R (0,+∞) (0,1) 在(-∞,+∞)上是递减 当 x>0 时,0<a <1; 当 x=0 时,a =1; 当 x<0 时,a >1
x x x

y=a 与 y=(1/a) 的图像关于 y 轴对称 当 x>0 时,a >1; 当 x=0 时,a =1; 当 x<0 时,0<a <1
x x x

图像平移 图像对称

左加右减,上加下减 函数 y=f(x)的图像与 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(x)的图像关于 x 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(-x)的图像关于原点对称

奇偶性

图像既不关于原点对称也不关于 y 轴对称,所以不具有奇偶性

4.

指数函数的应用

(1) 指数型函数模型 a) 指数增长模型

设原产值为 N,平均增长率为 P,则经过 x 次增长,该量增长到 y.则 y= (1+p) x,(x∈N) b) 指数减少模型

设原产值为 N,平均减少率为 P,则经过 x 次减少,该量减少到 y.则 y= (1-p) x,(x∈N) c) 指数型函数

形如 y=kax (a>0,且 a≠1,k>0 且 k∈R)的函数叫做指数型函数。 (2) 指数型复合函数的分类及其性质 a) b) 5. 这类问题主要利用指数函数定义域、 值域求解函数 y=af(x) (a>0,a≠1)的定义域和值域。 利用指数函数的定义域、值域求形如 y=f(ax)(a>0,a≠1)这样的函数定义域和值域

指数函数单调性的应用

(1) 比较指数幂大小的方法 a) b) c) d) 比差法或比商法 函数的单调性法 中间值法 分类讨论

(2) 利用函数单调性解决指数方程、不等式 a) b) c) 当 a>0,且 a≠1 时, 若 af(x)=ag(x),则 f(x)=g(x); 当 a> 1 时,若 af(x)>ag(x),则 f(x)>g(x); 当 1>a>0 时,若 af(x)>ag(x),则 f(x)>g(x);
48

6.

利用指数函数图像解题

(1) 定点问题 (2) 超越方程解的个数的讨论问题

49

第九讲对数函数
一. 知识思维导图
对数函数的定义

对数函数

对数函数的图像和性质

图像 性质

对数函数的应用

二. 知识要点解读 (一)对数函数的定义 为了求 y=2x 中的 x,我们将 y=2x 改写成对数式 x= log2y.如果把 y 看成自变量,则 x 是 y 的 函数,但我们习惯上仍用 x 来表示自变量,为了达到形式上的统一,所以我们把上述函数改写 成 y= log2x . 对数函数的定义:一般的,形如 y=logax (a>0,且 a≠1)的函数叫做对数函数。此函数定义域 为(0,+∞) 。判断是不是一个对数函数依据: i. 是否是形如 y=logax,且系数为 1。 ii. 自变量为真数。 iii. 底数 a>0 且 a≠1。 【练习 1】下面是对数函数的是() (1)y=-log4x(2)y=log4x(3)y=logx4 (4)y=log-4x(5)y=log4(x+1)(6)y=log4bn 【答案】 (2) 【练习 2】函数 f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x 是对数函数,则实数 a=() 【答案】1 (二)对数函数的图像和性质 1. 对数函数的图像和性质
y=logax 图像
50

a>1

0<a<1

定义域 值域 定点 单调性 对称性 取值范围

(0,+∞) R (1,0) 在(0,+∞)上是递增 当 x>1 时,logax>0; 当 x=1 时,logax =0; 当 x<1 时,logax <0

(0,+∞) R (1,0) 在(0,+∞)上是递减 当 x>1 时,logax<0; 当 x=1 时,logax =0; 当 x<1 时,logax >0

Y=logax 与 y=loga(1/x)的图像关于 x 轴对称

图像平移 图像对称

左加右减,上加下减 函数 y=f(x)的图像与 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(x)的图像关于 x 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(-x)的图像关于原点对称

奇偶性

图像既不关于原点对称也不关于 y 轴对称,所以不具有奇偶性

2.

对数函数图像的变换规律 平移规律:左加右减,上加下减。 已知 y=logax 的图像,若把 y=logax 的图像向左平移 b 个单位,则得到 y=loga (x+b)的图 像。 若把 y=logax 的图像向右平移 b 个单位,则得到 y=loga (x-b)的图像。 若把 y=logax 的图像 向上平移 b 个单位,得到 y=logax+b 的图像。若把 y=logax 的图像向下平移 b 个单位,得到 y=logax-b 的图像。

【练习 1】函数 f(x)=lg(x-2)的定义域是______ 【练习 2】函数 y=log11 x 的定义域和值域分别是()(0,+∞) (0,+∞) A.R, RB.R, 【练习 3】函数 y=lglxl() A. 是偶函数,在区间(?∞,0)上单调递增 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 【答案】B 3. 图像因底数大小发生变化 由于对数函数 y=logax 的图像与直线 y=1 交于点(a,1),所以对数函数 y=logax 的图像在 x 轴上方,从左到右对应的底数由小到大依次递增。 B.是偶函数,在区间(?∞,0)上单调递增 D. 是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 C.(0,+∞) ,RD.(0,+∞),

51

(三)对数函数的应用 1. 复合函数定义域 对数型复合函数定义域的求法同我们之前讲到的一般函数定义域的求法一样, 不过对 数函数要注意:真数部分的表达式要大于零、底数部分要大于零且不等于 1。 【练习 1】函数f x = ln( x 2 ? 3x + 2 + ?x2 ? 3x + 4)的定义域为
x 1

【练习 2】求函数f x = lg log a x ? 2的定义域 【答案】当 a>1 时,其定义域为[a2,+∞);当 0<a<1 时,其定义域为(0,a2]。 2. 对数型复合函数的定义域与值域 求由对数函数构成的复合函数的定义域时, 可能涉及解对数不等式 (即未知数在对数 上的不等式) 。解对数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底的形式,利用对数函数 的单调性脱去对数的形式, 从而转化为熟悉的不等式, 同时还应该注意底数必须大于零且 不等于 1,真数部分大于零,限制 X 的取值。 3. 定义域或值域为全体实数的问题

对于形如 y= log2[g(x)]的定义域或值域为 R 的问题,关键是抓住对数函数 y= logax 的 定义域和值域,并结合图像来分析和解决问题。 【例】已知函数 f(x)=lg(ax2 +2x+1), (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围 (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围 【答案】 (1){a |a>1} (2){a |0≤a≤1}
52

4.

对数型函数单调性讨论 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键: 一是看底数是否大于 1,当底数未明确给出时,则应对底数 a 是否大于 1 进行讨论; 二是运用复合法来判断其单调性; 三是注意其定义域。

【例】求函数log1 (x 2 ? 2x ? 3)的单调区间和值域。
2

5.

复合函数单调性的判定方法 以复合函数 y=f[g(x)]为例。可按照下列步骤操作: (1) 将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x)分别确定各个函数的定义域 (2) 分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间; 若两个基本初等函数在对应的区间 上的单调性是同增或同减,则 y=f[g(x)]为增函数;若为一增一减,则 y=f[g(x)]为减函 数,即“同增异减” 。
函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增 增 增 单调性 增 减 减 减 增 减 减 减 增

6.

对数值的大小比较 对于含参数的两个对数值的大小比较,注意对底数是否大于 1 进行分类讨论。 如:loga π , loga e

7.

定点问题
2

【练习】若函数y = log1 x + a 的图像不经过第二象限,则 a 的取值范围是() A.(0,+∞) 【答案】D 8. 超越方程解的个数问题 B.[1,+∞) C.(+∞,0) D.(+∞,-1]

【例】当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值范围是() A.(0,1) 9. B.(1,2) C.(1,2] D.(0,1/x)

对数函数单调性的应用

(1) 利用函数单调性解决对数方程、不等式 a) b) 当 a>0,且 a≠1 时, 若 loga[f(x)]= loga[g(x)],则 f(x)=g(x); 当 a>1 时,若 loga[f(x)]>loga[g(x)],则 f(x)>g(x);
53

c)

当 0<a<1 时,若 loga[f(x)]>loga[g(x)],则 f(x)<g(x);

10. 综合性问题 【例 1】已知函数 f(x)=log2(1+x2),求证:1)函数 f(x)为偶函数,2)函数 f(x)在区间(0,+∞)上 是增函数。 【例 2】已知函数f x = loga
1?mx x ?1

(a > 0, ≠ 1, ≠ 1)是奇函数。1)求实数 m 的值,2)判

断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明。 三. 知识要点总结 1. 对数函数的定义: 一般的,形如 y=logax(a>0,且 a≠1)的函数叫做对数函数。此函数定义域为(0,+∞) 。 判断是不是一个对数函数依据: (1) 是否是形如 y=logax,且系数为 1。 (2) 自变量为真数。 (3) 底数 a>0 且 a≠1 2. 对数函数的图像和性质
y=logax 图像 定义域 值域 定点 单调性 对称性 取值范围 (0,+∞) R (1,0) 在(0,+∞)上是递增 当 x>1 时,logax>0; 当 x=1 时,logax =0; 当 x<1 时,logax <0 图像平移 图像对称 左加右减,上加下减 函数 y=f(x)的图像与 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(x)的图像关于 x 轴对称; 函数 y=f(x)的图像与 y=-f(-x)的图像关于原点对称 奇偶性 图像既不关于原点对称也不关于 y 轴对称,所以不具有奇偶性 (0,+∞) R (1,0) 在(0,+∞)上是递减 当 x>1 时,logax<0; 当 x=1 时,logax =0; 当 x<1 时,logax >0 a>1 0<a<1

Y=logax 与 y=loga(1/x)的图像关于 x 轴对称

3.

对数函数的应用

(1) 复合函数定义域 (2) 定义域或值域为全体实数的问题 (3) 对数型函数单调性讨论 (4) 复合函数单调性的判定方法
54

(5) 定点问题 (6) 超越方程解的个数的讨论问题 (7) 综合问题

55

第十讲对数与对数运算
一. 知识思维导图
对数的概念 对数式与指数式的关系 对数与对数运算 对数的性质 对数的基本性质 两种重要对数

对数的运算性质

对数的运算公式

二. 知识要点解读 (一)对数的概念 如果 a(a>0,且 a≠1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作: b = logaN。 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 【例 1】已知 3m=7,则有() A.3= log7m 【答案】D 【例 2】下列指数式与对数式互化中不正确的一组是() A.e0=1 与 ln1=0
1

B.7= log3mC.m= log73

D.m= log37

B.8?3 = 2 与 log8 2 = ? 3

1

1

1

1

C.log39=2 与92 = 3D.log77=1 与 71=7 【答案】C (二)对数的性质 1. 对数的性质

(1) 对数式 logaN=b 实质上是 ab=N 的另一种表述形式; (2) 零与负数没有对数; (3) 1 的对数等于 0,即 loga1=0 (4) 底的对数等于 1,即 logaa=1 2. 指数式与对数式的关系
式子 名称
56

a 指数式 y=a
x

x 指数 对数

y 幂 真数

底数 底数

对数式 x=logay

(1) y= ax 与 y=logax 的关系 由于正数的任何次幂都是正数,即 ax >0(a>0)有 y= ax >0,这个 y 就是 x=logay 里面的 y, 但是我们习惯上用 x 来表示 y 的函数,所以我们一般把 x=logay 改写成 y=logax,虽然代表 字母变了但是这个里面 x 的取值范围没有发生变化,即 x>0 恒成立。 (2) 指数式 y=ax 中的指数 x 即为对数式 X=logay 中的对数 x。 指数式 y=ax 中的 y 即为对数式 X=logay 中的对数 y。 对于原来无法解方程 3x=4,学习了对数后就可以解得 x= log34。 3. 对数换底公式:loga N =
log m N log m a

(N > 0, > 0 且 a ≠ 1, m > 0 且 m ≠ 1)

(1) 公式推导:设 logaN=x,则 ax=N. 两边取以 b 为底的对数, 则有 logbN=logbax=xlogba=logaN?logba, 又∵logba≠0, ∴loga N =
log b N log b a

(2) 换底公式的作用:它的作用在于把以 a 为底的对数,换成了以 b 为底的对数,特别有 log a b = lga = lna = log c a
c

lgb

lnb

log b

(3) 换底公式的推论:loga b = 4. 5.

1 log b a

;loga m bn =

n m

loga b

对数恒等式:alog a N = N(a > 0 且 a ≠ 1, N > 0) 两种重要的对数 ①常用对数:以 10 为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数通常将 log10N 记作 lgN。 ②自然对数:以无理数 e=2.718 28?为底的对数叫做自然对数,N 的自然对数 logeN 记作

lnN。 【例 1】已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x/y 的值为() A.1 【答案】B 【例 2】化简(log43+log83)(log32+log92)=( A.9/4 【答案】B 【例 3】计算(lg 4 ? lg 25) ÷ 100?2 =
57
1
1

B.4

C.1 或 4

D.4 或-1

)

B.5/4

C.1

D.2

【答案】-20 【例 4】2log525+3log264-8ln1= 【答案】22 【例 5】若M = log1
3

a 2 ?a+16 a ?1

, a ∈ [4,17],则 M 的取值范围是

【答案】[-2-log32,-2]或[-log318,-2]等 【例 6】用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的 3/4,要使存留的污垢不超过 1%,则至少要清洗 的次数是 【答案】4 次 (三)对数的运算性质 1. 对数的运算性质

积、商、幂、方根的对数。 (M、N 都是正数,a>0,且 a ≠ 1) ①loga(MN)=logaM+ logaN ②loga(M/N)= logaM-logaN ③logaMn =n logaM 【例 1】83 ? lg100的值为() A.4 【答案】B 【例 2】设 lg2=a,lg3=b,则 log512 等于() A. 1+a
2a+b
2

B.2

C.1

D.2/3

B. 1+a

a+2b

C. 1?a

2a+b

D. 1?a

a+2b

【例 3】已知 log7[log3(log2x)]=0,那么x ?3 等于() A.2 【答案】D 【例 4】 下列命题: (1) (x6 + y 3 )3 = x 2 + y, (2) ?5 = 其中正确命题的个数是() A.0 个 2. B.1 个 C.2 个 D.3 个
1 3 6 3 (?5)2 , (3) log

2

B.4

C.1/2

D.1/4

log 1 5
36

= log3 15 ? 6 = 2,

利用已知对数表示其他对数

【例 1】已知 log147=a,log145=b,则用 a,b 表示 log3528= 【答案】
2?a a+b

58

【例 2】已知 a=log32,那么 log38-2log36 用 a 表示是 【答案】a-2 【例 3】设 2a=5b=m,且a + b = 2,则 m=() A. 10 B.10 C.20 D.100
1 1

【例 4】若 2n=3,请用含 n 的代数式表示 log36+log38 【例 5】地震震级 M(里氏震级)的计算公式为 M=lgA-lgA0(其中 A 是被测地震最大振幅,常 数 A0 是“标准地震”的振幅) ,5 级地震给人的震感已比较明显,今日日本发生的大地震震级 为 9 级,则这次地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的倍。 【例 6】已知 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,则 x/y= 【例 7】计算 lg25+lg2·lg50 【答案】原式=(lg5)2+lg2(1+lg5)=(lg5)2+lg2+lg2lg5=(lg5+lg2)lg5+lg2=lg5+lg2=1 【例 8】设 3x=4y=36,求 + 的值
x y 2 1

【答案】因为 3x=4y=36,所以 x=log336,y=log436 所以 1/x=log363,1/y=log364 所以 + =2log363+log364=log36(32·4)=1
x y 2 1

【例 9】计算lg ? lg + lg12.5 ? log2 3 (log3 2)
2 8

1

5

【答案】原式=lg

1 2

×5×

8

25 2

?

lg 3 lg 2

lg 2 lg 3

= lg10 ? 1 = 0

三. 知识要点总结 1. 对数的概念

如果 ab=N (a>0,a≠1),那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记 b = logaN(a>0,a≠1)。 2. 对数的性质 (1) 零与负数没有对数; (2) loga1=0 (3) logaa=1 3. 对数的运算性质

(其中 a>0,a ≠ 0,M>0,N>0) ①loga(MN)=logaM+ logaN ②loga(M/N)= logaM-logaN
59

③logaMn =n logaM 4. 对数换底公式:loga N =
log m N log m a 1
b

N > 0, > 0 且 a ≠ 1, m > 0 且 m ≠ 1 ;loga m bn = m loga b
n

(4) 换底公式的推论:loga b = log

a

60

第十一讲幂函数
一. 知识思维导图
幂函数的定义 图像 性质

幂函数

幂函数的图像和性质

幂函数的应用

二. 知识要点解读 (一)幂函数的定义 1. 幂函数的定义: 一般的,形如 y=xa 的函数叫做幂函数。其中 x 是自变量,a 是常数。 高中阶段幂函数主要研究 a=1,2,3,-1,1/2 时的情形。 2. 幂函数的特征

(1)形如 y=xa,且 xa 的系数为 1 (2)xa 的底数是自变量 (3)xa 的指数为常数,对于形如 y=(2x)a,y=5xa,y=xa+7 等形式的函数都不是幂函数 3. 幂函数与指数函数的区别与联系
函数 指数函数 幂函数
a

表达式 y=x (a>0 且 a≠1) y=x (a∈R)
a

相同点 右边都是幂的形式

不同点 指数是自变量,底数是常数 底数是自变量,指数是常数

【例 1】下列函数是幂函数的是() A.y=5x 【答案】B 【例 2】已知函数 f(x)=(m2+2m-2)x m 【答案】1 或-3 (二)幂函数的图像和性质 1. 幂函数的图象和性质
2 ?m ?1

B.y=x5

C.y=5x

D.y=(x+1)3

是幂函数,则 m=

61

对于幂函数的图像,我们以 y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x 2 为例

1

2.

幂函数的图象特征

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义有图像,并且图象都过点(1,1). (2)a>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数 (3)a<0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向于原点 时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴;当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴 (4)当 a 为奇数时,幂函数为奇函数,当 a 为偶数时,幂函数为偶函数 (5)第二象限内,仅有 y=x2 出现;在第三象限内,有 y=x-1 图像;即幂函数的图像最多只能在两个象限出现。 (6)幂函数 y=xa 在第一象限的图像特征 a) b) c) 3. a>1 时,图像过(0,0) , (1,1) ,下凹递增,例如 y=x3 ; 0<a<1 时,图像过(0,0) , (1,1) ,上凸递增,例如 y=x 2 ; a<0 时,图像过(1,1) ,下凸递减,例如 y=x-1 。 幂函数的性质
1


y=x



y=x3 的图像;在第四象限内无

(三)幂函数的应用 1、函数值比较大小
62

比较大小问题一般是利用函数的单调性,当不变利用单调性时,可与 0 或 1 作比较,这 种方法叫“搭桥法” 【例 1】比较下列各组数的大小 (1)(3)2 (5)2 (2)(? 3)?1 (? 5)?1 (3)(3)4 (4)3 【答案】 (1)>(2)>(3)< 【例 2】已知(0.71.3)m<(1.30.7 )m,求 m 的取值范围。 【答案】m>0 2、求幂函数的定义域、值域 幂函数的定义域要根据解析式来确定, 要保证解析式有意义, 值域要在定义域范围内求值。 幂函数定义域的确定可以分为三种情况来讨论: (1)当指数 a 是正整数时, xa 的定义域为 R。 (2)当指数 a 是正分数时,设 a=q/p (p,q 是互质的正整数,q>1),则 xa=xq/p= x q 当 P 为偶数时,xa 定义域为[0,+∞) ; 当 P 为奇数时,xa 定义域为 R。 (3)当指数是负整数时,分母不为零,x∈R,且 x≠0. 3、求幂函数的解析式 对与幂函数来说通常用待定系数法解 a,来求出幂函数的解析式 【例 1】幂函数 f(x)的图像过点(2,0.25) ,则 f(3)=_________ 【答案】1/9 【例 2】已知幂函数y = x m 的解析式。 【答案】f(x)=x-2 4、幂函数的单调性与奇偶性 幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性与奇偶性相同,在证明或判断时,主要应 用定义法判断,有时也用幂函数的性质加以判断。 (1) 幂函数的奇偶性 令 a=q/p (其中 p、q 互质,p、q 属于 N)。 a) 若 p 为奇数,则 y=xq/p 的奇偶性取决于 q 是奇数还是偶数。 当 q 为奇数时,则 y=xq/p 是奇函数;
63
2 ?m ?2 p

2

1

3

1

2

3

2

3

3

2

(m ∈ Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,求函数 f(x)

当 q 为偶数时,则 y=xq/p 是偶函数; b) 若 p 为偶数,则 q 必为奇数,此时 y=xq/p 既不是奇函数,也不是偶函数。

【例 1】y=x5/9 在[-1,1]上是() A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数 【答案】A 【例 2】已知 x∈[-1,+∞),试判断函数 f(x)=x2/3+2x1/3+4 的增减性 【答案】增函数 (2) 复合函数单调性的判定方法 以复合函数 y=f[g(x)]为例。可按照下列步骤操作: a) b) 将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x)分别确定各个函数的定义域 分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间; 若两个基本初等函数在对应的区间 上的单调性是同增或同减,则 y=f[g(x)]为增函数;若为一增一减,则 y=f[g(x)]为减函 数,即“同增异减” 。
函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

5、幂函数的综合应用 【例 1】已知幂函数 y=x3m-9(m∈N+)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值 x 的增大而 减小,求满足(a + 1)? 3 < (3 ? 2a)? 3 的 a 的范围。 【答案】2/3<a<2/3 或 a<-1
64
m m

【例 2】已知幂函数y = x m

2 ?2m ?3

(m ∈ Z)的图像与 x 轴 y 轴均无公共点,并关于 y 轴对称,求

m 的值,并画出它们的图像。 【例 3】已知函数f(x) = x ?2m
2 +m+3

(m ∈ Z)为偶函数,且 f(3)<f(5),

(1)求 m 的值,并确定 f(x)的解析式 (2)若 g(x)=loga[f(x)-ax](a>0 且 a≠1)在[2,3]上为增函数,求实数 a 的取值范围。 三. 知识要点总结 1. 幂函数的定义: 一般的,形如 y=xa 的函数叫做幂函数。其中 x 是自变量,a 是常数。 高中阶段幂函数主要研究 a=1,2,3,-1,1/2 时的情形。 2. 幂函数的图象和性质

3.

幂函数的应用

(1) 函数值比较大小 (2) 求幂函数的定义域、值域 (3) 求幂函数的解析式 (4) 幂函数的单调性与奇偶性 (5) 幂函数的综合应用

65

第十二讲方程的根与函数的零点
一. 知识思维导图
函数零点的概念与性质

二次函数的零点 方程的根与 函数的零点 函数零点的判断 方程法 图像法 定理法 函数零点的题型及应用

二. 知识要点解读 (一)函数零点的概念与性质 1. 函数零点的定义: 对于函数 y=f(x)(x∈D),我们把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点.

2.

函数零点的意义

(1) 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,亦即函数 y=f(x)的图像与 x 轴交点的横坐标。 (2) 方程 y=f(x)有实数根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴交点?函数 y=f(x)有零点。 3. 函数零点的求法

(1) 代数法:求方程 f(x)=0 的实数根; (2) 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数函数 y=f(x)的图像联系起来,并利
66

用函数的性质找出零点。 【例 1】函数 f(x)=x2-1 的零点是() A.(± 1,0) 【答案】D 【例 2】求下列函数的零点: (1)f(x)=6x-1 (2)f(x)=-x2-2x+3 (3)f(x)=x4-1 (二)二次函数的零点 二次方程、二次不等式、二次曲线这三个二次在中学阶段有着极其重要的作用,二次不等 式、二次曲线会在必修 5 和选修系列 2 中学到。就目前阶段来说,二次方程与函数的零点的 联系最为紧密。 1. 方程 y=f(x)有实数根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴交点?函数 y=f(x)有零点。 下表是二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系,a<0 时以此类推。 B.(1,0) C.0 D.± 1

2.

二次方程 y=ax2+bx+c(a≠0)的零点:

(1) △>0,方程 ax2+bx+c=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有 两个零点. (2) △=0,方程 ax2+bx+c=0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3) △<0,方程 ax2+bx+c=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 【例 3】若 abc≠0,且 b2=ac,则函数 f(x)=ax2+bx+c 的零点的个数是() A.0 【答案】A
67

B.1

C.2

D.1 或 2

(三)函数零点的判断 函数零点判断的三种方法 1、方程法:解方程 f(x)=0,得函数 y=f(x)的零点 【例 4】判断下列函数是否存在零点,如果存在请求出。 (1)f(x)=x2+5x+4 (2)f(x)=1-log3(x+4) (3)f(x)=2x-1-5 (4)f(x)=
x 2 +4x ?12 x ?2

2、图像法: (1) 画出函数 y=f(x)的图像,图像与 x 轴交点的横坐标是函数 y=f(x)的零点。 (2) 若判断方程 f(x)=0 的解的个数,可把 f(x)=0 化为 g(x)=h(x)的形式,其中 g(x)与 h(x)均是基 本初等函数,它们图像交点的个数就是方程 f(x)=0 的解的个数。

【例 5】函数f x = lnx ? x ?1的零点个数为() A.0 【答案】C 3、定理法 通过对二次函数与二次方程之间联系的研究, 我们从二次函数的图像直观地感受到函数有 零点,即意味着函数图像穿过 x 轴,图像穿过 x 轴几次就有几个零点。如图,函数穿过 x 轴两 次,从而有两个零点 x1,x2。 以上我们是从形的角度来思考的, 从数的角度来思考, 又该如何呢?以及如何用代数的方 法来描述“穿过”的几何意义呢?如图,在 x1 处“穿过 x 轴”即意味着在 x1 两侧的函数值符 号是不一致的,即若 x1∈(a,b),则有 f(a)>0,f(b)<0.从而得到下面的结论:
68

1

B.1

C.2

D.3

零点存在性定理:一般地,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这 个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 零点存在性定理的几何意义: 在闭区间[a,b]上有连续曲线 y=f(x),且连续曲线的始点 (a,f(a)) 与终点(b,f(b))分别在 x 轴的两侧,则此连续曲线与 x 轴至少有一个交点。 注意: (1)并不是所有的函数都有零点,这一点是肯定的,如 y=x-1 (2)一个函数 f(x)在区间(a,b)上有零点必须满足两个条件: ① 一是函数在所给区间上是连续不断地函数; ② 二是满足两个端点值乘积为负,即 f(a)f(b)<0。 (3)对于任意的一个函数,即使它的图像是连续不断的,当它通过零点时,函数 值也不一定变号。如函数 y=x2 有零点 x0=0,但显然函数值没有变号。相邻的 两个零点之间所有的函数值保持同号。 (4)函数在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调, 若 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在(a,b)上有且只有一个零点。 零点存在性的探索: 观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象: ①在区间[-2,1]上有零点______; f(-2)=_______, f(1)=_______, f(-2)· f(1)_____0 (<或>) 。 ②在区间[2,4]上有零点______;f(2)·f(4)_____ 0(<或>) 。 【例 6】函数f x = lgx ? 的零点所在的大致区间是()
x 9

A.(6,7) 【答案】D

B.(7,8)

C.(8,9)

D.(9,10)

(四)函数零点的应用 1. 函数的零点与方程的根 求函数零点就是求相应方程的实数根, 一般可以借助求根公式或因式分解等方法, 求出方 程的根,从而得出函数的零点。 【例 7】求证:方程 5x2-7x-1=0 的根一个在区间(-1,0),另一个在区间(1,2)上。 2. 判断函数零点的个数

【例 8】求函数 f(x)=2x-lg(x+1)-2 的零点个数 【答案】2
69

【例 9】讨论函数 f(x)=x2-2lxl-a-1(a∈R)的零点个数。 3. 判断函数在某个区间是否有零点 主要考察利用函数的零点存在性定理判断在所给区间上是否存在零点的问题 【例 10】判断下列函数在给定区间上是否存在零点: (1)f(x)=x2-3x-28,x∈[1,8] (2)f(x)=x3-x-2,x∈[-1,3] (3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3] 4. 函数零点性质的应用

【例 11】 已知二次函数 f(x)=x2-(m-1)x+2m 在[0,1]上有且只有一个零点, 求实数 m 的取值范围。 【答案】[-2,0] 【综合题】 【例 12】求函数 y=x7-x3+x 的所有零点之和。 【例 13】方程 x2-2ax+4=0 的两根均大于 1,求实数 a 的取值范围。 三. 知识要点总结 1. 2. 3. 4. 函数零点的概念与性质 二次函数的零点 函数零点的判断 函数零点的应用

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第十三讲用二分法求方程的近似解
一. 知识思维导图
确定区间[a,b] 确定精确度ε 二分法的定义 依次取中点计算端点值与 用二分法求方程 的近似解 中点值是否小于零 二分法的步骤 取小于零的区间继续同理 计算直至符合给定精度

二分法的应用

二. 知识要点解读 (一)二分法的定义

你能否求解方程 lnx+2x-6=0?如果能求解的话,怎么去解? 你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗?

71

1.

二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且 f (a)·f (b)<0 的函数 y=f (x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法.

2.

概念形成

注意:二分法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用。 (二)二分法的步骤 (1)确定区间[a,b] ,验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度ε ; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c): ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4) 判断是否达到精确度ε : 即若|a-b|<ε , 则得到零点近似值 a(或 b); 否则重复 (2) ~ (4) . 注:判断二次函数 f(x)在区间[m,n](m<n)上的零点个数时,通常考虑判别式、对称轴、端点, 这一问题叫值根的分布问题. 【例】用二分法求函数 f(x)=lnx+2x-6 零点近似值
区间 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875) (2.53125,2.5390625) 端点的符号 f(2)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(2.75)>0 f(2.5)<0,f(2.625)>0 f(2.5)<0,f(2.5625)>0 f(2.53125)<0,f(2.5625)>0 f(2.53125)<0,f(2.546875)>0 f(2.53125)<0,f(2.5390625)>0 中点的值 2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625 中点函数值的符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)>0 f(2.53125)<0 f(2.546875)>0 f(2.5390625)>0 f(2.53515625)>0

(三)二分法的应用 1. 用二分法求零点的近似值

【例】求函数 f(x)=x3-3 的一个正零点(精确到 0.01).
72

【分析】要求函数的一个正零点,首先需要确定正零点所在的大致区间,然后借助计算器,利 用二分法求出零点近似解. 【解析】由于 f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此,可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐 次计算,列表.
端点或中点的横坐标 a0=1,b0=2 x0=1.5 x1=1.25 x2=1.375 x3=1.4375 x4=1.46875 x5=1.453125 x6=1.4453125 计算端点或中点的函数值 f(1)= –2,f(2)=5 f(x0)=0.375>0 f(x1)= –1.0469<0 f(x2)= –0.4004<0 f(x3)= –0.0295<0 f(x4)=0.1684>0 f(x5)>0 f(x6)>0 定区间 [1, 2] [1, 1.5] [1.25, 1.5] [1.375, 1.5] [1.4375, 1.5] [1.4375, 1.46875] [1.4375, 1.453125] [1.4375, 1.4453125]

因为 1.4453125-1.4375=0.0078125<0.01 所以(1.4453125+1.4375)/2≈1.44 为函数的一个近似解 【评析】此类问题的求解,首先是大致区间的确定要使区间长度小,否则会增加运算次数和 运算量。 虽然此类题要求用计算器运算, 但也应注意运算的准确性。 另外在计算到第 n 步时, 区间[an,bn]的长度应小于精确度,此时区间中点才是零点近似解;若 |an-bn|<2ε ,则区间 [an,(an+bn)/2], 和[(an+bn)/2,bn]的长度都小于ε (且(an+bn)/2 经过四舍五入的近似计 算以后,(an+bn)/2 与零点的真实值误差就会超过ε ),所以在计算此类问题时应注意对精确度 的要求. 2. 二分法的实际应用

【例 1】如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了 故障.这是一条 10 km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km 长,大约有 200 多根电线杆子. 想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半, 算一算,要把故障可能发生的范围缩小到 50 m~100 m 左右,即一两根电线杆附近,要查多少 次?
73

【分析】根据二分法原理求解 【解析】 (1)如图,他首先从中点 C 查.用随身带的话机向两端测试时,发现 AC 段正常,断定 故障在 BC 段,再到 BC 段中点 D 查,这次发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段,再到 CD 中点 E 来查,依次查下去

(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此,只要 7 次就够了. 【评析】此方案应该说方便、迅速、准确,而且很科学,在实际生活中处处有数学,碰到问 题时多用数学方法去思考,会使我们变得更聪明,更具有数学素养. 【例 2】中央电视台有一档娱乐节目“幸运 52” ,主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品 的售价的机会.如果猜中,就把物品奖给选手,同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机,手 机价格在 500~1 000 元之间,选手开始报价:1 000 元,主持人说:高了,紧接着报价 900 元, 高了;700 元,低了;880 元,高了;850 元,低了;851 元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价 格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出 可行的猜价方案来帮助选手猜价吗? 【解析】价格区间[500,1 000]的中点 750,如果主持人说低了,就再取[750,1 000]的中点 875;否则取另一个区间[500,750]的中点,若遇到小数,则取整数,照这种方案,游戏过程 猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过 6 次可以猜中价格. 三. 知识要点总结
确定区间[a,b] 确定精确度ε 二分法的定义 依次取中点计算端点值与中 用二分法求方 程的近似解 点值是否小于零 二分法的步骤 二分法的应用 取小于零的区间继续同理计 算直至符合给定精度

1.

二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且 f (a)·f (b)<0 的函数 y=f (x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方
74

法叫做二分法. 2. 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下:

(1)确定区间[a,b] ,验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度ε ; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c): ①若 f(c)=0 ,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0 ,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c (此时零点 x0∈(c,b)). (4) 判断是否达到精确度ε : 即若|a-b|<ε , 则得到零点近似值 a(或 b); 否则重复 (2) ~ (4) . 注:判断二次函数 f(x)在区间[m,n](m<n)上的零点个数时,通常考虑判别式、对称轴、端点, 这一问题叫值根的分布问题. 3. 用二分法求函数的近似零点需注意什么问题?

(1)首先是大致区间的确定要使区间长度小,否则会增加运算次数和运算量.虽然此类题要求 用计算器运算,但也应注意运算的准确性. (2)在计算到第 n 步时,区间[an,bn]的两个端点 an 与 bn 按照给定的精确度所取的近似值 相同时,这个相同的近似值才是函数 y=f(x)的近似零点,所以在计算此类问题时应注意对精确 度的要求.

75

第十四讲几类不同增长的函数模型
一. 知识思维导图

几类不同增长的函数模型

一次函数

对数函数

指数函数

幂函数

二. 知识要点解读 (一)几类不同增长的函数模型 一次函数: y=kx(k≠0) 指数函数: y=ax (a>1) 幂函数: y=xn (n>0) 对数函数: y=logax(a>1) 材料:澳大利亚兔子指数型“爆炸” 在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤 透了脑筋.1859 年,当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后,一场可怕的 生态灾难爆发了。由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只. 可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜 率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭 这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利 亚人才算松了一口气. (二)不同函数模型间的区别与联系 1. 问题提出:
n

(1) 指数函数 y=ax (a>1),对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=x 调性如何?

(n>0)在区间(0,+∞)上的单

(2) 利用这三类函数模型解决实际问题, 其增长速度是有差异的, 我们怎样认识这种差异呢? 2. 特殊幂、指、对函数模型的差异
76

对于函数模型:y=2x, y=x2, y=log2x,其中 x>0. 思考 1:观察三个函数的自变量与函数值对应表, 这三个函数增长的快慢情况如何?

思考 2:对于函数模型 y=2x 和 y=x2,观察下列自变量与函数值对应表:

当 x>0 时,你估计函数 y=2x 和 y=x2 的图象共有几个交点?(2) 思考 3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何?请画出其大致图象.

思考 4:根据图象,不等式 log2x<2x<x2 和 log2x<x2<2x 成立的 x 的取值范围分别如何? , ∪ (, +∞) 思考 5:上述不等式表明,这三个函数模型增长的快慢情况如何? 3. 一般幂、指、对函数模型的差异

思考 1:对任意给定的 a>1 和 n>0,在区间(0,+∞)上 ax 是否恒大于 xn? ax 是否恒小于 xn? 思考 2:当 a>1,n>0 时,在区间(0,+∞)上, ax 与 xn 的大小关系应如何阐述? 总存在一个 x0 ,当 x>x0 时,就会有 ax >xn 思考 3:一般地,指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,其增长的快慢情况是 如何变化的? 思考 4:对任意给定的 a>1 和 n>0,在区间 (0,+∞)上,logax 是否恒大于 xn? logax 是否恒小于 xn? 思考 5: 随着 x 的增大,logax 增长速度的快慢程度如何变化? xn 增长速度的快慢程度如何变化? 总存在一个 x0,当 x> x0 时,就会有 logax<xn
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思考 6:当 x 充分大时,logax(a>1) 与 xn (n>0)谁的增长速度相对较快?

思考 7:一般地,对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,其增长的快慢情 况如何是如何变化的? 思考 8:对于指数函数 y=ax(a>1),对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0),总存在一个 x0, 使 x>x0 时,ax,logax,xn 三者的大小关系如何? 总存在一个 x0,当 x> x0 时,就会有 logax<xn<ax。 思考 9:指数函数 y=ax (0<a<1),对数函数 y=logax(0<a<1)和幂函数 y=xn(n<0),在区间(0,+∞)上衰 减的快慢情况如何?

结论 1: 一般地, 对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)通过探索可以发现: 在区间(0,+∞)上, 无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内,ax 会小于 xn,但由于 ax 的增长快于 xn 的增长, 因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 ax>xn。 结论 2: 对于对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0) 通过探索可以发现:在区间(0,+∞)上,随着 x 的增大, logax 增大的越来越慢, 图像就像是浅浅地与 x 轴平行一样。 在 x 的一定范围内, logax 可能会大于 xn, 但由于 logax 的增长慢于 xn 的增长, 因此总存在一个 x0, 当 x>x0 时, 就会有 logax<xn。 综上所述:
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(1)在区间(0,+∞)上,y=ax (a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数。 (2)随着 x 的增大,y=ax (a>1)的增长速度越来越快,会远远大于 y=xn(n>0)的增长速度。 (3)随着 x 的增大,y=logax(a>1) 的增长速度越来越慢,会远远小于 y=xn(n>0)的增长速度。 总存在一个 x0,当 x>x0 时,就有:logax<kx<xn<ax。 (三)几类不同增长的函数模型应用 我们来看几个具体问题: 【例 1】 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供你选择, 这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案? 投资方案选择原则:投入资金相同,回报量多者为优. 【分析】我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较他们的增长情况,为选 择投资方案提供依据。 解:设第 x 天所得回报为 y 元,则 方案一的函数关系为 y=40,(x∈N+) 方案二的函数关系为 y=10x,(x∈N+) 方案三的函数关系为 y=0.4× 2x-1,(x∈N+) 我们来计算三种方案所得回报的增长情况:(从表格中获取信息,体会三种函数的增长差异)

下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长:

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我们看到,底为 2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中体会“指数 爆炸”的含义。 下面再看累计的回报数:

结论:投资 8 天以下,应选择第一种投资方案;投资 8-10 天,应选择第二种投资方案;投 资 11 天,应选择第三种投资方案。 由例 1 得到解决实际问题的步骤:

实际问题
解决 读懂问题抽象概括

实际问题的解
还原说明

数学问题
演算推理

数学问题的解
【例 2】某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在 销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 万元) 随销售利润 x (单位: 万元)的增加而增加,但奖金总数不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励 模型:y=0.25X,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?
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问题:例 2 涉及了哪几类函数模型?本例的实质是什么? (本例涉及了一次函数、对数函数、 指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。 ) 投资方案选择原则:投入资金相同,回报量多者为优。 要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出 5 万元,以及奖励比例是否超过 25%进行分析, 才能做出正确选择。 由于公司的利润目标为 1000 万元,所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是 只需在区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合公司的要求即可。 我们不妨先作出函数图象:

对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。 可以看到:在区间[10,1000]上只有模型 y=log7x+1 的图象始终在 y=5 的下方 通过观察函数图象得到初步结论:按对数模型进行奖励时符合公司的要求。 解:首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万。 对于模型 y=0.25X,它在区间[10,1000]上递增,当 x∈(20,1000)时,y>5 因此该模型不符合 要求; 对于模型 y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,805)内有一个点 x0 满足 1.002x 0 = 5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此当 x>x0 时,y>5 因此该模型也不符合要求; 对于模型 y=log7x+1, 它在区间[10,1000]上递增, 而且当 x=1000 时, y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求。 再计算按模型 y=log7x+1 奖励时,奖金是否不超过利润的 25%,即当 x∈[10,1000]时,是否 有x =
y log 7 x+1 x

≤ 0.25

令 f(x)=log7x+1-0.25x(x∈[10,1000])成立。利用计算机作出函数 f(x)的图象,由图象可知 它是递减的,因此 f(x)<f(10)≈-0.3167<0 即 log7x+1<0.25x,所以当 x∈[10,1000]时,
log 7 x+1 x

≤ 0.25。说明按模型 y=log7x+1 奖金不会

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超过利润的 25%。 综上所述:模型 y=log7x+1 确实能很符合公司要求。 下面列表计算确认上述判断:

问题:当 x∈[10,1000]时,奖金是否不超过利润的 25%呢? 我们来看函数 y=log7x+1 的图象:

综上所述:模型 y=log7x+1 确实能很符合公司要求。 【例 3】某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加,若在某个时刻这种细菌的个数为 200 个, 按照每小时成倍增长,如下表:
时间(小时) 细菌数(个) 0 200 1 400 2 800 3 1600

问:实验开始后 5 小时细菌的个数是多少? 解:设实验时间为 x 小时,细菌数为 y 个,依题意有
x 小时 y(个) 点 0 200 A 1 400 B 2 800 C 3 1600 D

200=200×20,400=200×21,800=200×22,1600=200×23. 从而,我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式,即 y=200·2x(x∈ N) 。此实验开始后 5 小时,即 x=5 时,细菌数为 200×25=6400(个) 。 【例 4】四个变量 y1y2y3y4 随变量 x 变化的数据如下表:
x y1 y2 y3 y4 0 5 5 5 5 5 130 97.478 30 2.3107 10 505 1758.2 55 1.4295
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15 1130 33733 80 1.1407

20 2005 6.37*10 105 1.0461
5

25 3130 1.2*10 130 1.0151
7

30 4505 2.28*10 155 1.005
8

关于 x 呈指数型函数变化的变量是(y2) 【例 5】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么 每轮病毒发作时,这台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算机。现在 10 台计算机在第 1 轮病毒发作时被感染,问在第 5 轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染?
第一轮 被感染的电脑数量 10 第二轮 10*20 第三轮 10*20
2

第四轮 10*20
3

第五轮 (10*20 )
4

【小结】
实际问题 读懂问题 将问题抽 象化 数学模型 解决问题

几种常见函数的增长情况:
常数函数 没有增长 一次函数 直线上升 指数函数 指数爆炸

【练习 1】当 x 越来越大时,增长速度最快的是( A.y=100x 【答案】D B.y=100lnx C.y=x100

) D.y=100·2x

【练习 2】一次实验中,x、y 函数关系与下列哪类函数最接近(
x y 1 0.25 2 0.49 3 0.76 4 1 5 1.26 6 1.51
b x

)

A.y=kx+b 【答案】A

B.a+bx

C.ax2+b

D.y=a+

【练习 3】一次实验中,x、y 函数关系与下列哪类函数最接近(
t u 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01
t 2 ?1 2

)

A.u=log2t 【答案】C

B.u=2t-2

C.u =

D.u=2t-2

【练习 4】函数 y=x2 与 y=2x 交点个数( A.0 【答案】C 【练习 5】f(x)=3x,g(x)=2x,x∈R 时有() B.1 C.2 D.3

)

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A.f(x)>g(x) 【答案】A 三. 知识要点总结

B.g(x)>f(x)

C.f(x)≧g(x)

D.g(x)≧f(x)

确定函数模型→利用具体数据,函数图像讨论模型→体会直线上升,指数,对数增长等不同类 型函数的含义

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第十五讲函数的图像
一. 知识思维导图

一次函数 二次函数 反函数 函数的图像 对数函数 指数函数 幂函数

二. 知识要点解读 (一)函数图象的概念 1.函数的图象 在平面直角坐标系中, 以函数 y=f(x)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点(x, y)的集合, 就是函数 y=f(x)的图象.图象上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,满足 y=f(x) 的每一组对应值 x、y 为坐标的点(x,y),均在其图象上。 (二)函数图象的画法和变换 2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法:一是描点法;二是图象变换法 (1) 描点法:描点法作函数图象是根据函数解析式,列出函数中 x,y 的一些对应值表,在坐标 系内描出点,最后用平滑的曲线将这些点连接起来.利用这种方法作图时,要与研究函数 的性质结合起来。 (2) 图象变换法:常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 a) 平移变换:

由 y=f(x)的图象变换获得 y=f(x+a)+b 的图象,其步骤是: 沿 x 轴向左(a>0)或 y=f(x) 向右(a<0)平移|a|个单位
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y=f(x+a)

沿 y 轴向上(b>0)或 y=f(x+a) 向下(b<0)平移|b|个单位 b) 伸缩变换: 由 y=f(x)的图象变换获得 y=Af(ω x)(A>0,A≠1,ω >0,ω ≠1)的图象,其步骤是: y=f(x)各点横坐标缩短(ω >1)或 y=f(x) 伸长(0<ω <1)到原来的 1/ω (y 不变) y=f(ω x) 对称变换: y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; y=f(x)与 y= - f(x)的图象关于 x 轴对称; y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点对称; y=f(x)与 y=f -1(x)的图象关于直线 y=x 对称; y=f(x)去掉 y 轴左边图象,保留 y 轴右边图象.再作其关于 y 轴对称图象,得到 y=f(|x|) y=f(x)保留 x 轴上方图象,将 x 轴下方图象翻折上去得到 y=|f(x) | 关于此知识点的第二类表述方式 1.描点法作图 基本步骤是_列表_ 、 _描点_、_连线_ ,首先,①确定函数的_定义域_;②化简函数的_ 解析式_ ;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性、周期性) ;其次列表(尤其注意特 殊点、零点,最大值、最小值) ,描点、连线。 2. 平移变换 (1)y=f(x)的图象_向左平移 a(a>0)个单位_得到函数 y=f(x+a)的图象. (2)y=f(x-b)(b>0)的图象可由 y=f(x)的图象_向右平移 b 个单位_得到. 对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:_左加右减_. 而对于上、下平移,相比较则容易掌握,原则是上加下减,但要注意的是加、减指的是在 f(x) 整体上. 如:h>0,y=f(x)±h 的图象可由 y=f(x)的图象_向上(下)平移 h 个单位_而得到. 3. 对称变换 (1)y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于__y 轴____对称;
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y=f(x+a)+b

y=f( ω a)

纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(x 不变)

y=Af( ω a)

c)

(2)y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于__x 轴____对称; (3)y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于___原点___对称; (4)y=|f(x)|的图象:可将 y=f(x)的图象 _在 x 轴下方的部分关于 x 轴翻转到 x 轴的上方,其余部 分不变 _;

(5)y=f(|x|)的图象: 可先作出 y=f(x), 当 x≥0 时的图象, 再利用_偶函数的图象关于 y 轴对称_, 作出 y=f(x)(x≤0)的图象. 4. 伸缩变换 (1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上所有点的纵坐标_变为原来的 A 倍_,_横坐标 _不变而得到; (2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标_变为原来的 1/a 倍_,_纵坐标 _不变而得到. (三)常见函数图象的画法及变换应用 1. 2. 3. 4. 5. 6. 一次函数 二次函数 反函数 对数函数 指数函数 幂函数 )

【例 1】当 a≠0 时,y=ax+b 和 y=bax 的图象只可能是(

【解析】A。∵y=bax=(ba)x,∴这是以 ba 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知: 在 B 中 a>0,b>1,∴ba>1;C 中 a<0,b>1,∴0<ba<1;D 中 a<0,0<b<1,∴ba>1.故选项 B、C、 D 均与指数函数 y=(ba)x 的图象不符合. 【例 2】函数 y=f(x-1)是偶函数,则函数 y=f(x+1)的对称轴是( A. x=-2 B. x=2C. x=1 D. x=-1 )

【解析】 A。 函数 y=f(x-1)的对称轴是 y 轴, 将它的图象向左平移 2 个单位得到 y=f(x+1)的图象, 故 y=f(x+1)的对称轴为 x=-2.
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【例 3】设函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)×g(x)的图象可能是下面的 ( )

【解析】D。 由 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,知 y=f(x)g(x)为奇函数, 且在 x=0 处无定义.显 然选项 D 对应的图象符合. 【例 4】 将函数 y=f(x)的图象向右平移一个单位得到图象 C, 图象 C′与 C 关于原点成中心对称 图形,则 C′的解析式为( A. y=-f(x+1) ) D. y=f(1-x)

B. y=-f(-x-1)C. y=f(x-1)

【解析】B。解析:y=f(x)→C:y=f(x-1)→C′:-y=f(-x-1),故 C′的解析式:y=-f(-x-1). 【例 5】为了得到函数 y=lg(x+3)-1 的图象,只需要把函数 y=lg x 的图象上所有的点( A. 向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C. 向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D. 向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 【解析】C。y=lg(x+3)-1 ,则 y=lg x 向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度即得的图 像. 【例 6】作出函数 y=|log2x-1|的图象. 【解析】先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如图. )

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【例 7】已知 f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0 且 a?1),若 f(4)×g(-4)<0,则 y=f(x),y=g(x)在同一坐 标系内的大致图象是( )

【解析】B。 方法一:∵g(x)=loga|x|,∴g(-4)=g(4), ∴f(4)×g(-4)<0 即为 f(4)×g(4)<0. 观察图形发现 C、D 中 f(4),g(4)同号,而 A、B 中 f(4),g(4)异号,故排除 C、D. 而图 A 中,f(x)的底数满足 a>1,g(x)的底数满足 0<a<1,故排除 A,所以答案为 B. 方法二:由 f(4)×g(-4)<0 得 f(4)×g(4)<0, ∵f(4)=a2>0,∴g(4)=loga4<0,∴0<a<1. A 中 f(x)的底 a>1,C、D 中 g(x)的底 a>1,故选 B. 【例 8】函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=logf(x)的图象大致是( )

【解析】C。由图可知 f(x)≥1,∴y=log 【例 9】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|.

f(x)≤log 1=0,∴y≤0.故选 C.

(1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围. 【解析】 解: 先作出函数 y=x2-4x+3 的图象, 然后将其 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方, 得到 y=|x2-4x+3|的图象: (1)递增区间为[1,2],[3,+∞),递减区间为(-∞,1),(2,3). (2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象,则当 直线 y=x+a 过点(1,0)时 a=-1;当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时,由…… 【例 10】函数 y=2x-x2 的图象大致是( )

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【解析】A。知识准备:1. 函数 y=2x 与 y=x2 的图象和性质,知道 y=2x 增长的速度要快于 y=x2 增长的速度;2. 函数 y=2x-x2 的零点可转化为 y=2x 与 y=x2 图象的交点.

在同一坐标系下画出 y=2x 与 y=x2 的图象,如图:由图知当 x<0 时有一个交点,当 x>0 时, 由于 y=2x 的增长速度要远远快于 y=x2 的增长速度, 所以可看出在 x>0 时有两个交点. 故 y=2x-x2 有三个零点,且每个零点两侧函数值异号,于是排除 B、C、D,选 A. 【例 11】要得到函数 y=log2(x-1)的图象,可将 y=2x 的图象作如下变换___________________ ___________________ ______ 【解析】沿 y 轴方向向上平移一个单位,再作关于直线 y=x 的对称变换. 【例 12】将函数 y=log(1/2)x 的图象沿 x 轴方向向右平移一个单位,得 到图象 C,图象 C1 与 C 关于原点对称,图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称,那么 C2 对应的函数解 析式是________________ 【解析】y=-1-2x 【例 13】.已知 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),f -1(1/2)<0,则 y=f(x+1)的图象是( )

【解析】B 【例 14】.将函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 1/3(纵坐标不变),再将此图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,则与所得图象所对应的函数是( (A)y=f(3x+6) (C)y=f(x/3+2/3) (B)y=f(3x+2) (D)y=f(x/3+2)
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)

【解析】A 【例 15】.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如下图,则 b 属于( (A)(-∞,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,+∞) )

【解题回顾】虽然我们没有研究过函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象和性质,但通过图象提 供的信息,运用函数与方程的思想方法还是能够正确地解答该题. 【例 16】.作出下列各个函数的示意图: (1)y=2-2x;(2)y=log(1/3)[3(x+2)];(3)y=|log(1/2)(-x)|

【解题回顾】变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点,以显示图象的主要特 征.处理这类问题的关键是找出基本函数,将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链,然 后依次进行单一变换,最终得到所要的函数图象. 【例 17】已知 0<a<1,方程 a|x|=|logax|的实根个数是( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 )

(D)1 个或 2 个或 3 个

【解题回顾】运用函数图象变换及数形结合的思想方法求解题较简便直观.用图象法解题时, 图象间的交点坐标应通过方程组求解.用图象法求变量的取值范围时,要特别注意端点值的取 舍和特殊情形. 【延伸拓展】 【例 18】.已知函数 y=f(x)的定义域为(-∞,+∞),且 f(m+x)=f(m-x),若 x∈[0,2m](m>0)时, f(x)= 2mx ? x 2 ,试画出函数 y=(x+m)的图象. 【解题回顾】 f(x)的图象关于直线 x=m 对称;将函数式转化为解析几何中的曲线标准方程, 有助于我们识别函数的图象,这也是常用的化归技巧. 【误解分析】 1.化简函数解析式时一定要注意的是等价变形,尤其是将函数式转化为解析几何中曲线标准
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方程时,要注意 x 或 y 的范围变化,这一点要特别引起注意 . 如将 y= √ 2mx-x2 变形为 (x-m)2+y2=m2(y≥0),很容易将 y≥0 丢掉 2.在运用数形结合解答主观性问题时,要将图形的位置关系,尤其是反映数的特征的地方要说 明清楚. 3.注意平移、伸缩变换的先后次序对变换的影响,可结合具体问题阐述如何进行平移、伸缩变 换. 三. 知识要点总结 1.函数的图象 在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点(x,y) 的集合,就是函数 y=f(x)的图象.图象上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过 来,满足 y=f(x)的每一组对应值 x、y 为坐标的点(x,y),均在其图象上。 2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法:一是描点法;二是图象变换法 (1) 描点法:描点法作函数图象是根据函数解析式,列出函数中 x,y 的一些对应值表,在坐标 系内描出点,最后用平滑的曲线将这些点连接起来.利用这种方法作图时,要与研究函数 的性质结合起来。 (2) 图象变换法:常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 a) 平移变换:

由 y=f(x)的图象变换获得 y=f(x+a)+b 的图象,其步骤是: 沿 x 轴向左(a>0)或 y=f(x) 向右(a<0)平移|a|个单位 沿 y 轴向上(b>0)或 y=f(x+a) 向下(b<0)平移|b|个单位 b) 伸缩变换: y=f(x+a)+b y=f(x+a)

由 y=f(x)的图象变换获得 y=Af(ω x)(A>0,A≠1,ω >0,ω ≠1)的图象,其步骤是: y=f(x)各点横坐标缩短(ω >1)或 y=f(x) 伸长(0<ω <1)到原来的 1/ω (y 不变) y=f(ω x) 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(x 不变) y=Af( ω a) y=f( ω a)

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第十六讲函数的综合应用
一. 知识思维导图

一次函数 二次函数 反比例函数 函数的综合问题 对数函数 指数函数 幂函数

二. 知识要点解读 【本章知识回顾】 1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数(正比例函数) 、二次函数、反比例函数、指 数函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类.各类函数的五大性质:①定义域;②值域(最 值、极值、边界) ;③周期性;④奇偶性(对称性) ;⑤单调性,是高考的重点与热点,是试卷 命题的中心,也是体现考试说明中抽象概括能力、推理论证能力及运算求解能力的良好载体, 试题多不会趋向简单。 2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一般方法和规律,按照“定义—定义域、值域 —图象—性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微观上理解和把握各类函数的不同性质、 运算规律。 3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分,是高考考查的重点,其中定义域、单调性、奇偶 性、周期性等几乎是每年必考,常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识 交汇融合,以填空题的形式进行考查。 对于函数定义域,还常常隐性地进行考查,因为研究函数的性质以及其他问题时,必须首先 研究函数的定义域.函数的单调性、 奇偶性、 周期性经常融合为一体, 在研究参数的范围问题、 求值问题中进行考查。 4.以函数知识为依托,渗透基本数学思想方法. 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全 过程,包括解决几何问题.纵观近几年北京市高考试卷,从老版本教材到新课标教材,选择填
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空题,解答题均有涉及,以基本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考“能力立意”的首 选素材。 【综合应用一】 纵观近几年高考试卷,北京、山东、广东、江苏等新课标实施地区均在这方面有不同程 度的体现.今天我们重点研究 2012 年全国高考试题中对于函数知识的综合应用。 1.(2012 年高考(天津理) )函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B 【命题意图】 本试题主要考查了函数与方程思想函数的零点存在定理以及作图与用图的数学能 力。 【解析】解法 1:因为 f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+23-2=8,即 f(0)·f(1)<0 且函数 f(x)在(0,1)内连续不断, 故 f(x)在(0,1)内的零点个数是 1。 解法 1:设 y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系州农工作出两函数的图像如图所示:可知 B 正确。

2.(2012 年高考(新课标理) )设点 P 在曲线 y = 2e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2)上,则 PQ 最 小值为( A.1-ln 2 ) B. 2(1-ln 2) C.1+ln 2 D. 2(1+ln 2)

1

x

【解析】选 A 函数 y = 2e 与函数 y=ln(2)互为反函数,图象关于 y=x 对称 函数 y = 2e 的点 P(x,2e )到直线 y=x 的距离为 d= 2
1 1 1
x

1

x

1

x

1 x e ?x

2 1?ln 2 2

设函数 g(x)=2ex-x →g’(x)=2ex-1→g(x)min=1-ln 2→ dmin =

由图象关于 y=x 对称得: PQ 最小值为 2dmin= 2(1-ln 2) 3.(2012 年高考(重庆理))已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“f(x)为[0,1]
94

上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的() A.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件 【答案】D 【解析】由 f(x)是定义在 R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]为减函数,又 2 为周期, 所以 f(x)在[3,4]上为减函数。 【考点定位】 本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性, 进而来考查函数的周 期性,根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点来解答本题的关键。 4. (2012 年高考(四川理) )函数 y=ax- - (a>0,a≠1)的图象可能是
a 1

B.充分而不必要的条件 D.充要条件

【答案】C 【解析】采用排除法。函数 y=ax-a(a>0,a≠1)恒过(1,0)点,选项只有 C 符合,故选 C。 【点评】 函数大致图象问题, 解决方法多样, 其中特殊值验证、 排除法比较常用, 且简单易用。 5.(2012 年高考(上海春) )记函数 y=f(x)的反函数为 y=f-1(x).如果函数 y=f(x)的图像过点(1,0), 那么函数 y=f-1(x)+1 的图像过点() A.(0,0) B.(0,2) C.(1,1) D(2,0) 【答案】B 6.(2012 年高考(陕西理) )下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=-x2 C.y= D.y=x x
x 1

【解析】奇函数有 y=x 和y=x x ,又是增函数的只有选项 D 正确。 7.(2012 年高考(山东理) )设函数 f(x)=x ,g(x)=ax2+bx(a, b∈R, a≠0),若 y=f(x)的图象与 y=g(x) 图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1, y1), B(x2, y2), 则下列判断正确的是() A.当 a<0 时,x1+x2<0, y1+y2>0 C.当 a>0 时,x1+x2<0, y1+y2<0 B.当 a<0 时,x1+x2>0, y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0
95
1

1

【解析】在同一坐标系中分布画出两个函数的图象,当 a<0 时,要想满足条件,则有

如图, 做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 (-x1, -y1) , 由图象知-x1<-x2,-y1<-y2, 即 x1+x2>0, y1+y2<0,同理当 a>0 时,则有 x1+x2<0, y1+y2>0,故答案选 B。 另法:F(x)=x3-bx2+1,则方程 F(x)=0 与 f(x)=g(x)同解,故其有且仅有两个不同零点 x1,x2.由 F’(x)=0 得 x=0 或 x= b. 这样, 必须且只须 F(0)=0 或 F( b)=0, 因为 F(0)=1,故必有 F( b)=0 由此得 b=
3 3 3 2
3 3 3

2

2

2

3 2

3

2。

不 妨 设 x1<x2 , 则 x2= 3 b = 2。所以 F(x)=(x-x1)(x- 2 )2, 比 较 系 数 得 -x1 4 =1 , 故 x1=-2 2. x1+x2=-2 2>0,由此知 y1+y2=x + x
1

1

3

1

3

1

1 x 1 +x 2
2

=

x1 x2

<0,故答案为 B.

解析:令x =ax2+bx,则 1=ax3+bx2(x≠0),设 F(x)=ax3+bx2, F’(x)=3ax3+bx 令 F’(x)=3ax3+bx=0, 则 x=3a ,要使 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点只需 F(
?2b 3a 2b

1

)=a(?

2b 3 ?2b 2 ) +b(? ) =1,整理得 3a 3a 1

4b3=27a2, 于是可取 a= ±2,b=3 来研究,当 a=2,b=3 时,
1

2x3+3x2=1,解得 x1=-1, x2=2, 此时 x1+x2<0, y1+y2>0; 当 a=-2,b=3 时, -2x3+3x2=1, 解得 x1=1, x2=? 2, 此 时 y1=1,y2=-2,此时 x1+x2>0, y1+y2<0,答案应选 B.

另解:令 f(x)=g(x)可得x 2 =ax+b. 设 y’= 2 , y ’’=ax+b.
x 1

1

不妨设x1 <x 2 ,结合图形可知, 当 a>0 时, 如图, 此时 x1 > x 2 , 即- x1 > x 2 >0, 此时 x1+x2<0, y2=x 2 > - -x 1 =-y1,即 y1+y2>0;同理可由图形经过推理可得当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2<0.答案应选 B.
1

1

96

8.(2012 年高考(山东理) )函数 y =

cos 6x

2x ?2?x

的图像大致为

【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,令 y =0 得cos 6x=0,所以 6x=
π k π

π 2

+k

π ,x=12+6π ,函数零点有无穷多个,排除 C,且 y 轴右侧第一个零点为(12,0),又函数 y=2x-2-x 为 增函数,当 0<x<12时,y=2x-2-x>0, cos 6x > 0,所以函数 y =2x ?2?x >0,排除 B,选 D. 9.(2012 年高考(山东理) )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?f(2012)=( A.335 B.3378 C.1678 D.2012 【解析】由 f(x+6)=f(x),可知函数的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1, f(-2)=f(4)=0, f(-1)=f(5)=-1, f(0)=f(6)=0, f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1)+f(2)+?f(6)=1+2-1+0-1+0=1, 所以 f(1)+f(2) +?f(2012)=f(1)+f(2)+335×1=335+3=338,选 B. 10.(2012 年高考(辽宁理) )设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3. 又函数 g(x)= xcos(πx) ,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在[-2 , 2]上的零点个数为() 【答案】B 【解析】因为当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.所以当 x∈[1,2]时,(2-x)∈[0,1],f(x)=f(2-x)=(2-x)3,当 x∈[0,2]时, g(x)=xcos(πx);当 x∈[2 , 2]时,g(x)=? xcos(πx),注意到函数 f(x)、g(x)都是偶函数, 且 f(0)=g(0), f(1)=g(1), g(2)=g(2)=0,作出函数 f(x)、g(x)的大致图象,函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外,分
97
1 3 1 3 1 1 3 π cos 6x

)

别区间[-2 , 0]、[0, 2]、[-2 , 1]、[1, 2]上各有一个零点,共有 6 个零点,故选 B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、 推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大。 11.(2012 年高考(江西理) )若函数 f(x)= A.lg101 B.b C.1 D.0
x2+1,x ≤1 lgx ,x>1

1

1

1

3

,则 f(f(10))=(

)

【解析】本题考查分段函数的求值。 因为 10>1,所以 f(10)=lg10=1.所以 f(f(10))=f(1)=12+1=2. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的 函数值就是外层函数的自变量的值。另外,要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区间,就使用 哪一段解析式, 体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用, 来年需要注意分段函数的分段 区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式。 12.(2012 年高考(江西理) )下列函数中,与函数 y= 3 定义域相同的函数为( )
x 1

A.y=sin x

1

B.y=

lnx x

C.y=xex D.y=

sin x x

【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域。函数 y= 3 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而答案中只有 y=
x 1 sin x x

的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。故选 D.

【点评】 求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。 其求解根 据一般有: (1)分式中,分母不为零; (2)偶次根式中,被开方数非负; (3)对数的真数大 于 0; (4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义。体现考纲中要求了解一些简单函数的定义 域,来年需要注意一些觉函数:带有分式,对数,偶次根式等函数的定义域的求法。 13.(2012 年高考(湖南理) )已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=2m+1(m>0),l1 与函数 y= log 2 x 的图 像从左至右相交于点 A,B,l2 与函数 y= log2 x 的图像从左至右相交于 C,D,记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a, b,当 m 变化时,a 的最小值为( ) A.16 2 B. 8 2 C. 8 4 D.4 4 【答案】B 【解析】 在同一坐标系中作出 y=m, y=2m+1(m>0),y= log2 x 图像如下图, 由 log2 x =m, 得 x1=2-m, x2=2m, log2 x = , 得 x3= 2?2m +1 , x4= 22m +1 . 依 照 题 意 得 a= 2?m ? 2? 2m +1 , 2m +1
98
8
8 8 8

8

b

8

b= 2 ? 2

m

8 2m +1

, =
a 1

b

2m ?22m +1
8 ? 2?m ?2 2m +1

8

=2m22m +1 = 2m+2m +1 .
1 1 b

8

8

因为 m+2m+1=m+2+

8

4 m+
1 2

- -2≥4 - 2=32 ,所以(a )min=8 2

1

【点评】在同一坐标系中作出 y=m,y=2m+1(m>0),y= log2 x 图像,结合图像可解得。 14.(2012 年高考(湖北理) )函数 f(x)=xcos x 2 在区间[0,4]上的零点个数为( ) 【解析】f(x)=0,则 x=0 或cos x 2 = 0, x =kπ + ,k∈Z,又 x∈[0,4],k=0,1,2,3,4 所以共有 6
2

8

π 2

个解,选 C 【点评】本题考察三角函数的周期性以及零点的概念 15.(2012 年高考(广东理) ) (函数)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=- x + 1C.y=( ) x D.y=x+
2 1 1 x

【解析】A.y=ln(x+2)在(-2,+∞)上是增函数 16. (2012 年高考 (福建理) ) 函数 f(x)在[a,b]上有定义, 若对任意 x1,x2∈[a,b], 有 f(
1 2 x1+ x2 2

)≤

[f(xx)+f(x2)], 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P, 现给出如下命

题: ①f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的 ②f(x)在[1, 3]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4,有 f( 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】D 【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误
99
x1+x2+x3+x4 4

)≤4[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]

1

考点定位此题主要考查函数的概念、图像,性质,考查分析能力、推理能力、数形结合思想, 转化化归思想。 17.(2012 年高考(福建理) )设函数 D= A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 【答案】C 【解析】A,B,D 均正确,C 错误 考点定位该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关 键。 18.(2012 年高考(安徽理) )下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)= x B.f(x)=x ? x 【解析】选 C f(x)=kx 与 f(x)=k x 均满足:f(2x)=2f(x)得:A,B,D 满足条件 【综合应用二】 纵观近几年高考试卷,北京、山东、广东、江苏等新课标实施地区均在这方面有不同程 度的体现.今天我们重点研究 2012 年全国高考试题中对于函数知识的综合应用。 1.(2012 年高考(上海春) )函数 y=log2x+ 2.(2012 年高考(上海春) )若 f(x)=
x

1, x 为有理数 ,则下列结论错误的是( ) 0, x 为无理数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

C.f(x)=x+1

D.f(x)= -x

4

log 2 x

(x∈[2,4])的最大值是

5 。

x+2 (x+m) x
x+1

为奇函数,则实数 m= -2 。 x=1 。

3.(2012 年高考(上海春) )方程 4 +2 =0 的解为

4.(2012 年高考(上海春) )函数 y= x + 1的定义域为 [-1,+∞] 。 5.(2012 年高考(江苏) )函数 f(x)= 1 ? 2log6 x的定义域为 。 【答案】(0, 6] 【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 x>0 1 ? 2log6 x ≥ 0 ? x>0 1 log6 x ≤ 2 ? x>0 x ≤ = 6


?0≤x≤ 6

100

6.(2012 年高考(天津理) )已知函数 y= 实数 k 的取值范围是 。 【答案】(0,1)∪(1,4)

x 2 ?1 x ?1

的图象与函数 y=kx-2 的图角恰有两个交点,则

【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从而 确定参数的取值范围。 【解析】因为函数 y=kx-2 的图像直线恒过定点 A(0,-2),且 B(1,-2),C(-1,0),D(1,2),所以 kAB=
?2+2 1 ?0

=0,kBC=

0+2

?1?0

= -2,kBD=

2+2 1?0

=4,由图像可知 k∈(0,1)∪(1,4)

解法二:解析函数 y= 当 x>1 时,y= 当 x<1 时,y=
x 2 ?1 x ?1 x 2 ?1 x ?1

x 2 ?1 x ?1

=

x ?1 (x+1) x ?1



= x + 1 =x+1, =- x + 1 = ?x ? 1, ?1 ≤ x<1, x + 1, x < ?1

综上函数 y=

x 2 ?1 x ?1

x + 1, x ≥ 1 = ?x ? 1, ?1 ≤ x < 1, x + 1, x < ?1

做出函数的图象(蓝线) ,要使函数 y 与 y=kx-2 有两个不同的交点,则直线 y=kx-2 必须在四 边形区域 ABCD 内(和直线 y=kx-2 平行的直线除外) ,如图,则此时当直线经过 B(1,2), k=
2?(?2) 1?0

=4 综上实数的取值范围是 0<k<4 且 k≠1,即 0<k<1 或 1<k<4.

101

7.(2012 年高考(上海理) )已知 y=f(x)+x 是奇函数,且 f(1)=1。若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1) =。 【解析】y=f(x)+x 是奇函数,则 f(-1)+(-1) =-[f(1)+1 ]=-4,所以 f(-1)=-3,g(-1)=-1。 8.(2012 年高考(上海理) )已知函数 f(x)=e x ?a (a 为常数) 。若 f(x)在区间[1,+∞)上是增 函数,则的取值范围是 。 【解析】令 g(x)= x ? a ,则 f(x)=eg(x) ,由于底数 e>1,故 f(x)↑?g(x)↑,由 g(x)的图像 知 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数时,a≤1。 9.( 2012 年高考(江苏) )设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [-1,1] 上, f(x)= ax + 1, ?1 ≤ x < 0,
bx +2 x+1
2 2 2

2

, 0 ≤ x ≤ 1,

其中 a,b∈R。若 f(2)=f(2),则 a+3b 的值为 。

1

3

【答案】10 【考点】周期函数的性质。 【解析】因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,所以 f(-1)=f(1),即-a+1= 又因为 f(2)=f(-2)= -2a+1,f(2)=f(2),所以-2a+1= 联立①②,解得 a=2.b=-4,所以 a+3b=-10 10.(2012 年高考(北京理) )已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2 -2。若同时满足条件: ①?x ∈ R, f x < 0 或 g x < 0;②?x ∈ (?∞, ?4),f(x)g(x)<0 则的取值范围是。 考点定位本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指 数函数的单调性,还涉及到简易逻辑中的“或” ,还考查了分类讨论的思想。 【答案】(-4,-2) 【解析】根据 g(x)=2 -2<0 ? x<1,由于题目中第一个条件的限制,导致 f(x)在 x≥1 是必 须是 f(x)<0,当 m=0 时,f(x)=0 不能做到 f(x)在 x≥1 时,f(x)<0,所以会舍去,因此 f(x) 作为二次函数开口只能向下,故 m<0,且此时 2 个根为 x1=2m,x2= -m-3,为保证条件成立,只 需
1 x1 = 2m < 1 m< 2 , ? 和大前提 m<0 取交集结果为-4<m<0, 又由于条件 2 的限制, x 2 = ?m ? 3 < 1 m > ?4
x x

b+2 2



3

1

1

1

3

1

b+4 3



可分析得出?x ∈ (?∞, ?4),f(x)恒负,因此就需要在这个范围内 g(x)有取得正数的可能,即 -4 应该比x1 , x2 两个根中较小的来提大,当 m∈(-1,0)时,-m-3<-4 解得交集为空,舍去。当 m=-1 时, 两个根同为-2>-4,也舍去, 当 m∈(-4,-1)时, 2m < ?4 ? m < ?2综上所述 m∈(-4,-2) 11.(2012 年高考(福建理) )对于实数 a 和 b,定义运算“?”:a? b = a2 ? ab, a ≤ b ,设 b2 ? ab, a >

f(x)=(2x-1) ?(x-1)高, 且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根X1 , X 2 , X 3 ,
102

则X1 , X 2 , X 3 的取值范围是 【解析】由定义运算“?”可知
2 (2x ? 1)2 ? 2x ? 1 x ? 1 , 2x ? 1 ≤ x ? 1 2(x ? 4) ? 8 ,x ≤ 0 f(x)= = ,画出该函数图象可 1 1 (x ? 1)2 ? 2x ? 1 x ? 1 , 2x ? 1 > ? 1 ?(x ? 2)2 + 4 x > 0 1 1

知满足条件的取值范围是(

1? 3 16

,0)

【考点定位】本题主要考查函数的零点,考查新定义新运算,考查创新能力。 12. (2012 年高考 (四川理) ) 记[x]为不超过实数 x 的最大整数, 例如[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1, 设 a 为正整数,数列 xn 满足x1 = a,xn+1 =
xn + 2
a xn

(n∈N ? ),现有下列命题:

①当 a=5 时,数列 xn 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 xn 都存在正整数 k,当总 n≥k 时总有xn = xk ; ③当 n≥1 时,xn > a-1; ④对某个正整数,若xk+1 ≥xk ,则xn = a.

其中的真命题时。 (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④ 【解析】若 a=5 时,根据xn+1 = 当 n=1 时,x2=[
5+1 2 xn + 2 3+1 2
a xn

(n∈N ?)

]=3 同理 x3=[

]=2。故①对

对于②③④可以采用特殊值列举法: 当 a=1 时,x1=1,x2=1,x3=1,xn=1,此时②③④均对。 当 a=2 时,x1=1,x2=1,x3=1,xn=1,此时②③④均对。 当 a=3 时,x1=3,x2=2,x3=1,x4=2xn=1,此时③④均对。 综上,真命题有①③④ 【点评】此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法。 13.(2012 年高考(上海理) )已经函数 f(x)=lg? (x + 1) (1)若 a<f(1-2x)-f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 a≤x<1 时,有 g(x)=f(x),求函数(x∈ 1,2 )的反函 数。 【解析】(1)由 2 ? 2x > 0 ,得-1<x<1. x+1>0
2?2x x+1

由0 < lg 2 ? 2x ? lg x + 1 = lg

<1 得 1<

2?2x x+1

<10

103

因为 x+1>0,所以 x+1<2-2x<10x+10,-3<x<3. ?1 < < 1 2 1 由 ? 2 < < 1 得-3<x<3 3 3 (2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],因此 y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg 3 ? x 由单调性可得 y∈[0, lg2]. 因为 x=3-10 ,所以所求反函数是 y=3-10 ,x[0, lg2]. 14.(2012 年高考(上海春) )本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 9 分。 定义向量的 向量”为
OM
y y

2

1

= a, b “相伴函数”为 f(x)=asin x+bcos x;函数 f(x)=asin x+bcos x的“相伴

OM

= a, b (其中 O 为坐标原点) 。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
π 2

(1)设 g(x)=3sin x +

+4sin x,求证 g(x)∈S;

(2)已知 h(x)=cos(x + α)+2cos x,且 h(x)∈S,求其“相伴向量”的模; (3)已知 M a, b b ≠ 0 为圆 C:(x ? 2)2 + y 2 = 1上一点,向量 得最大值。当点 M 在圆 C 上运动时,求tan 2x0 的取值范围。 证明(1)g(x)=3sin(x + 2 ) + 4 sin x = 4 sin x + 3 cos x其“相伴向量” (2)
π OM OM

的“相伴函数”在x=x0 处取

= 4,3 ,∴g x ∈ S

h x = cos x + α + 2 cos x = cos x cos α ? sin x sin α + 2 cos x = ? sin α sin x +
OM

cos α + 2 cos x函数 h x 的“相伴向量”
2

= (?sinα, cos α + 2),则

OM

= sin2 α + ( cos α + 2 ) = 5 + 4 cos α
OM a a 2 +b 2

( 3 ) cos φ =

的 “ 相 伴 向 量 ” f x = a sin x + b cos x = a2 + b 2 sin(x + φ) , 其 中 ,sin φ =
π b a 2 +b 2 π

当x + φ = 2kπ + 2 , k ∈ Z时,f x 取得最大值,故当x0 =2kπ + 2 ? φ, k ∈ Z ∴tan 2x0 = 1?tan 2 0 = x
0

2 tan x

2× 1?

a b a 2 b

=b
a

2 ?
a b

为直线 OM 的斜率,由集合意义值a ∈ ? ∴tan 2x0 =
2 m?
1 m

b

3 3

,0) ∪ (0,

3 3

令 m=a ,则

b

,m ∈ ?

3 3

,0) ∪ (0,

3 3

104

当?

3 3

≤ m < 0时,函数tan 2x0 =
3 3

2 m? 2
1 m

单调递减,∴0 < tan 2x0 ≤ 3;

当0 < ≤

时,函数tan 2x0 =
3 3

m?

1 m

单调递减,∴ 3 ≤ tan 2x0 < 0.
3 3

综上所述,tan 2x0 ∈ ?

,0) ∪ (0,

15. (2012 年高考 (江苏) ) 如图, 建立平面直角坐标系 XOY, 轴在地平面上, 轴垂直于地平面, 单位长度为 1 千米。某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程 y = kx ? 20 1 + k 2 x 2 (k > 0)表示的曲线上,其中 K 与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
1

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标不超 过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。 【答案】解: (1)在y = kx ? 20 1 + k 2 x 2 (k > 0)中,令y = o,得kx ? 20 1 + k 2 x 2 = 0 由实际意义和题设条件知x > 0, > 0. ∴x =
20k 1+k 2 1 1

= 1 ,而且仅当k = 1时取等号
k

20

+k

∴炮的最大射程是 10 千米 (2)∵a > 0,∴炮弹可以击中目标等价于存在k > 0,使ka ? 20 1 + k 2 a2 = 3.2成立, 即关于k的方程a2 k 2 ? 20ak + a2 + 64 = 0有正根。 由Δ = ?20a 此时k =
2 1

? 4a2 a2 + 64 ≥ 0得a ≤ 6。
2a 2

20a+ (?20a)2 ?4a 2 (a 2 +64)

> 0, (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求y = kx ? 20 1 + k 2 x 2 (k > 0)与 x 轴的横坐标,求出后应用 基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 16.(2012 年高考(湖南理) )某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台
105
1

产品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件) 。已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件, 或 B 部件 3 件, 或 C 部件 2 件。 该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件, 生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数) 。 (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案。 【解析】(Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1(x),T2(x), T3(x),由题设有 T1(x)=
2×3000 6x

=

1000 x

,T2(x)=

2000 kx

, T3(x) = 200 ?(1+k)x ,

1500

其中 x,kx,200-(1+k)x 均为 1 到 200 之间的正整数。 ( Ⅱ ) 完 成 订 单 任 务 的 时 间 为 f x = max T1 x , T2 x , T3 x x 0 < < 于是 (1)当 k=2 时,T1(x)=T2(x),此时f x = max T1 x , T3 x 由函数T1 x ,T3 x 的单调性知,当 由于 44<
400 9 100 x 200 1+x

, 其 定 义 域 为
2 k

, x ∈ N ? .易知 T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,注意到 T2(x)= T1 (x),

= max? {

100 x

,

1500 200 ?3x

},
400 9



1500 200 ?3x

时,f x 取得最小值,解得x=
300 11



<45,而 f(44)=T1 44 =

250 11

,f(45)=T3 45 =

,f(44)<f(45).
250 11

故当 x=44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f(44) = (2)当 k>2 时, T1(x)>T2(x),由于 k 为正整数, 故 k≥3,此时 T(X)=

。 , φ x = max T1 x , T x
1000 x

375 50 ?x

易知T x 为增函数,则 f(x)=max T1 x , T3 x ≥max T1 x , T x 由函数 T1(x),T(x)的单调性知,当 解得 x= 11 . 由于 36<
400 11 400 1000 x 375

= φ x = max

, 50?x .

375

= 50 ?x 时φ x 取得最小值。

< 37,而φ 36 =T1(36)=

250 9

>

250 11

, φ 37 =T1(37)=

375 250 13

>

11

,

此时完成订单任务的最短时间大于 11 。 (3) 当 k<2 时 , T1(x)<T2(x), 由 于
2000 x 750

250

k

为 正 整 数 , 故
2000 x

k=1, 此 时 = 100 ?x 时 f(x)
750

f(x)=max T2 x , T3 x =max

, 100 ?x 。 由函数T2 x , T3 x 的单调性知, 当
106

取得最小值,解得 x=

800 11

.类似(1)的讨论,此时完成订单任务的最短时间为

250 9

,大于

250 11



综上所述, 当 k=2 时, 完成订单任务的时间最短, 此时生产 A,B,C 三种部件的人数分别为 44, 88,68。 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学 知识分析解决实际应用问题的能力。 第一问题建立函数模型, 第二问利用单调性与最值来解决, 体现分类讨论思想。 三. 知识要点总结 【规律方法总结】 1.周期性 (1)类比“三角函数图象与性质”得: ①若 y=f(x)图象有两条对称轴 x=a,x=b (a≠b),则 y=f(x)必是周期函数, 且其周期为 T=2|a-b|; ②若 y=f(x)图象有两个对称中心 A(a,0),B(b,0) (a≠b),则 y=f(x)是周期函数, 且其周期为 T=2|a-b|; ③如果函数 y=f(x)的图象有一个对称中心 A(a,0)和一条对称轴 x=b (a≠b),则函数 y=f(x)必是周期函数,且其周期为 T=4|a-b|. 或者叙述为: ①如果函数 y=f(x)满足 f(T1+x)=f(T1-x)且 f(T2+x)=f(T2-x)(T1 与 T2 是不相等的常数), 则 y=f(x)是以 2 (T1-T2) 为周期的周期函数. (本质上, f(x)关于 x=T1 与 x=T2 对称, 实为前述结论①.只是叙述角度上此为代数方式,彼为几何法). ②如果偶函数 y=f(x)满足 f(T+x)=f(T-x) (T≠0),则 y=f(x)是以 2T 为周期的周期函数. (你能指出与结论①的联系吗?) ③如果奇函数 y=f(x)满足 f(T+x)=f(T-x) (T≠0) , 则 y=f(x)是以 4T 为周期的周期函数. (你能指出该结论与前述③之间的联系吗?) (2)函数周期的若干给出方式: ①函数 f(x)满足-f(x)=f(a+x),则 f(x)是周期为 2a 的周期函数; ②若 f(x+a)=f(x)(a≠0)恒成立,则 T=2a; ③若 f(x+a)=f(x)(a≠0)恒成立,则 T=2a. 运用函数的周期性,是实现化归思想方法的重要手段.
107
1 1

2.关于函数的对称性 (1)函数图象自身的对称性(自对称) ①函数 y=f(x)满足 f(T+x)=f(T-x) (T 为常数) 的充要条件是 y=f(x)的图象关于直线 x=T 对称. ②函数 y=f(x)满足 f(x)=f(2T-x) (T 为常数) 的充要条件是 y=f(x)的图象关于直线 x=T 对称. ③ 函 数 y=f(x) 满 足 f(a+x)=f(b-x) 的 充 要 条 件 是 y=f(x ) 的 图 象 关 于 直 线 x=
a+x +(b ?x) a+b 2

=

2

对称.

(2)两个函数的图象对称性(互对称) (利用解析几何中对称曲线的方程理解) ①曲线 y=f(x)与 y=-f(x)关于 x 轴对称. ②曲线 y=f(x)与 y=f(-x)关于 y 轴对称. ③曲线 y=f(x)与 y=f(2a-x)关于直线 x=a 对称. ④曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=b 的对称曲线为 f(x,2b-y)=0. ⑤曲线 f(x,y)=0 关于直线 x+y+c=0 的对称曲线为 f(-y-c,-x-c)=0. ⑥曲线 f(x,y)=0 关于直线 x-y+c=0 的对称曲线为 f(y-c,x+c)=0. ⑦曲线 f(x,y)=0 关于点 P(a,b)的对称曲线为 f(2a-x,2b-y )=0.特别地,f(x,y)=0 关于 点(0,0)的对称曲线为 f(-x,-y)=0. 3.判断函数单调性的常用方法 (1)定义法; (2) 两个增 (减) 函数的和仍为增 (减) 函数, 一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减) 函数; (3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性; (4) 奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上具有相反的单 调性; (5)利用导数的理论去研究函数的单调性. 复合函数单调性的判断方法:如果 y=f(u)和 u=g(x) 的单调性相同,那么 y=f[g(x)] 是增函数;如果 y=f(u)和 u=g(x)的单调性相反,那么 y=f[g(x)]是减函数. 4.函数的奇偶性 (1)对于函数 f(x),如果对于定义域内任意一个 x 都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)就叫做奇
108

函数; 如果对于函数定义域内任意一个 x 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数.偶函数性 质:f(-x)=f(x)? f(x)=f(|x|);奇函数 f(x)若在 x=0 处有意义,则 f(0)=0. (2)函数 f(x)可以是奇函数也可以是偶函数,也可以既是奇函数又是偶函数,也可以两者都 不是.但是必须注意的是,研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称. (3) 奇函数的图象是关于原点成中心对称的图形; 偶函数的图象是关于 y 轴成轴对称的图形. 反之也成立.在定义域的公共部分内,两奇函数之积(商)为偶函数;两个偶函数之积(商) 也是偶函数;一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注:取商时应使分母不为 0).奇(偶)函 数有关定义的等价形式:f(-x)=±f(x) ?f(-x)±f(x)=0 ?
f(?x) f(x)

= ±1(f(x)≠0)

(4)任意一个定义域关于原点对称的函数 f(x)均可 写成一个奇函数 g(x)与一个偶函数 h(x) 和的形式, 且 g(x)=
f x ?f(?x) 2

,h(x)=

f x +f(?x) 2

5.函数图象的几种变换 (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象可以由函数 y=f(x 的图象向左平移 a 个单位而得到;函数 y=f(x)+b (b≠0)的图象可以由函数 y=f(x)的图象向上平移 b 个单位而得到. (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A>0,且 A≠1)的图象可由函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍,横坐标不变而得到; 函数 y=f( ? x) ( ? >0,且 ≠1)的图 象可由函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短( ? >1)或伸长(0< ? <1)到原来的 纵坐标不变而得到. (3)对称变换 函数 y=-f(x)的图象可通过作函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称的图形而得到; 函数 y=f(-x)的图象可通过作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称的图形而得到; 函数 y=-f(-x)的图象 可通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到;函数 y=|f(x)|的图象可通过作函数 y=f(x)的图象, 然后把其在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方, 其余部分保持 不变而得到. 小结 倍,

109

解决实际问题的步骤

110

第十七讲二次函数性质与函数的图像
一. 知识思维导图

二次函数

定义

解析式

图象性质

闭区间上求最值

a>0 开口向上

a<0 开口向下

对称轴法

类型

定区间 定轴型

定区间 动轴型

动区间 定轴型

函数图像

正比例函数 y=kx

一次函数 y=kx+b k>0,

反比例函数 y=k/x a<0, 二四递增

图像平移

一三递减

上加下减

左加右减

针对x本身

X 系数为1

配方之后 平移

二. 知识要点解读 (一)二次函数的定义 形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数, 其定义域为 R。 如 y=3x?,y=-x?, y=2x?+3 , y=-2x?-1 , y=2x?+3x+1 等都是二次函数。 (二)二次函数的解析式 1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式: y=a(x-h)2+k; 3.两根式: y=a(x-x1)(x–x2)
111

一般来说: ① 若已知图像上三个点,则设所求二次函数为一般式 y=ax2+bx+c(a≠0),a,b,c 为常数。 ② 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,则设所求二次函数为 顶点式 y=a(x-h)2+k,其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。 ③ 若已知二次函数的图像与 x 轴有两个交点的横坐标为 x1, x2,则设所求二次函数为两根式 y=a(x-x1)(x-x2),a 为常数,且 a≠0 【例 1】二次函数 y=f(x)的图象经过三点 A(-3,7). B(5,7). C(2,-8).求函数 f(x)的解析式 法一:待定系数法 y=ax2+bx+c 法二:两点纵坐标相同故可令 f(x)-7=a(x+3)(x-5) 即 f(x)=a(x+3)(x-5)+7 将 C 点带入上式,可得 a=1.∴即 f(x)=x?-2x-8 【例 2】若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(-2,0). B(4,0) ,且函数 f(x)的最大值为 9, 求这个二次函数的表达式。 设两根式 y=a(x+2)(x–4) 【例 3】已知二次函数的图象过点 A(-3,0), B(1,0) ,且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次 函数的表达式. 法一:两根式法:y=a(x+3)(x–1) 法二:对称轴法:设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2 (三)二次函数的图象 1.当 a>0 时, 抛物线开口向上, 函数在(-∞,__]上单调递减, 在[ __, +∞)上单调递增, 当

x=____时, f(x)取得最小值为 _______ 2.当 a<0 时, 抛物线开口向下, 函数在(-∞,__]上单调递增, 在[ __, +∞)上单调递减, 当

x=____时, f(x)取得最大值为 _______

112

【例题】对于二次函数 y=-4x?+8x-3 (1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标; (2)求函数的最大值或最小值; (3)求函数的单调区间。 【答案】 (1)开口____;对称轴为_______;顶点坐标为________ (2)函数的最大值为________;最小值__________; (3)函数在(-∞,1)上是_______, (1,+∞)上是________。 3. 1)y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴的交点是_____ 2)当Δ =b2-4ac>0 时,与 x 轴两交点的横坐标 x1、x2 分别是方程____________的两根; 当Δ =0 时,与 x 轴切于一点________; 当Δ <0 时,与 x 轴________; 3)对于函数 f(x),若对任意自变量 x 的值,都有 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的图象关于 直线______对称. 4. f(x)=ax2+bx+c 若 a=c=0,则 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)成立.
113

若 b=0,则 f(x)为偶函数,f(-x)=f(x)成立. 【例 1】若集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R}中有且只有一个元素,则 a 的取值集合是() A、 {1} 【答案】D 【例 2】已知函数 f(2x-1)=x?,则 f(-1)=() A.9 【答案】B 【例 3】 方程 x?-px+6=0 的解集为 M, 方程 x?+6x-q=0 的解集为 N, 且 M∩N={2}, 那么 p+q= () A.21 【答案】A 【例 4】若函数 y=x2+2ax+1 在(-∞,4]上是减函数,则 a 的取值范围是() A a=4 【答案】B 【例 5】已知函数 f(x)=(m-1)x?+(m-2)x+(m?-7m+12)为偶函数,则 m 的值是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B a -4 C a<-4 D a≥4 B.8 C.6 D.7 B. 0 C. 4 D.-9 B、 {-1} C、 {0,1} D、 {-1,0,1}

【答案】B 【例 6】二次函数 f(x)满足 f(x+2)=f(-x+2),又 f(0)=3 ,f(2)=1 ,若在[0,m ]上有最大值 3,最小 值 1,则 m 的取值范围是() 【答案】 [2,4] 【例 7】函数 f(x)=ax2+ax-1,若 f (x)<0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为() A.a≤0 【答案】D 【例 8】已知函数 y=x?-2x+3 在区间[0,m] 的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围为 A. 1≤m ≤2 【答案】A x2+4x,(x≧0) 【例 9】已知函数 f(x)=,若 f(2-t)>f(t) ,则实数 t 的取值范围为() 4x-x2,(x<0) A. ?∞, 1 ∪ (2, +∞) B.(1,2) C. ?∞, 1 D. ?∞, 3/4 【答案】C 5.二次函数与方程、不等式的关系
一元二次方程 y= ax +bx+c(a>0)的根
2

B.

a<4

C.-4 <a <0

D. -4 <a ≤ 0

B. m≥1

C. 0≤m ≤2

D. m ≤2

有两相异实根
114

有两相等实根

没有实根

x1,x2 (x1<x2) ax +bx+c>0(a>0)的解集 ax +bx+c<0(a>0)的解集
2 2

x1-x2=?

b 2a b

{xlx<x1 或 x>x2} {xlx1<x<x2}

{xl=x ≠ ? }
2a

R ?

?

6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 【例】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, f(x) =x2 。若对任意的 x∈[t,t+2],不等式 f(x+t)≥9f(x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是_______ 【解析】当 x<0 是,f(x)=-x?.对任意实数 x,都有 f(3x)=9f(x),且 f(x)在 R 上是增函数,由 f(x+t) ≥9f(x) =f(3x)在 x∈[t,t+2]时,x+t ≥3x 恒成立,t ≥2x=2(t+2),即 t≤-4 对于 f(x)≥0 在区间[p,q]上恒成立问题,等价转换成 f(x)在[p,q]上最小值的问题,这样可以 化繁为简,若 f(x)中含有参数,则要对参数进行讨论。 在解一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c>0 时,二次项系数 a 都变为正数。解一 元二次方程 ax2+bx+c=0 是二次项系数 a 同样也变为正数。当我们在解一元二次方程时,若 其根有一个限制条件,我们往往要借助二次函数的图像来解。 在解一元二次不等式 0 时,要注意反过来时的问题,尤其是一元二次不等式的解集为 R 的情况的等价命题: ax2+bx+c>0 的解集是 R 等价于 a>0 且判别式小于零或 a=b=0 且 c>0; ax2+bx+c<0 的解集是 R 等价于 a<0 且判别式小于零或 a=b=0 且 c<0. (四)二次函数闭区间上的最值 1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m, n]上的最值, 用对称轴法是解决这类问题的常用方法。 对称轴法顾名思义就是先求出二次函数的对称轴, 和所给区间进行对比, 一般情况下分为对称 轴在给定闭区间左边,中间和右边三种情况分别进行讨论。在各种情况下求出最大值,最后 求并集。 2.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m, n]上的最值 1).若 x0=_______∈[m, n], 则 f(x)min=f(x0)=________, f(m), f(n)中的较大者即为 f(x)在[m, n]上 的最大值. 2).若 x0?[m, n], 则 (1)当 x0<m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n); (2)当 x0>n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m). 3.二次函数的区间最值是指二次函数在某个特定的区间上的最大(小)值, 这类题往往含有参数,
115

是高考的热点与难点, 解答时常用到分类讨论与数形结合的思想. 首先需要对参数的变化范围 进行合理的分类, 再根据参数的变化范围作出相应的图形, 从图形上可以直观地看出二次函数 在这个特定的区间上的最大(小)值,观察图形时主要看二次函数的对称轴和顶点与区间的相对 位置关系及函数的单调性. 二次函数的区间最值问题可分为以下四类, 下面举例说明各种类型 题的解法. 1 )定区间,定轴型 这类题不含参数, 不需要对参数的变化范围进行分类讨论, 因此比较简单, 只需作出图形, 根据图象的顶点的位置或函数在这个区间上的单调性,可以得到二次函数的最大(小)值. 【例 1】若集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R}中有且只有一个元素,则 a 的取值集合是() A、 {1} 【答案】D 【例 2】函数 y=-x?-4x+1,x∈[-3,3]时的值域是() A.(- ∞,5] 【答案】C 【例 3】二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(x) =1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)在区间[-1,2]上,求 y=f(x)的值域。 【答案】1、设 f(x) =ax2+bx+c,由 f(0) =1 得 c=1,故 f(x) =ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1 (ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以 ,∴f(x)=x2-x+1. 【变式】二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(x) =1. (Ⅰ) 在区间[-1, 1]上, y= f(x)的图像恒在 y=2x+1 的图像上方, 试确定实数 m 的取值范围; 2)定区间、动轴型 这类题比较复杂,根据区间与二次函数对称轴的位置关系,需要分三种情形讨论:①二次 函数的对称轴在这个区间的左边; ②二次函数的对称轴经过这个区间; ③二次函数的对称轴在 这个区间的右边.然后作相应的图形,根据图象的顶点的位置或函数在这个区间上的单调性, 从图形上可看出二次函数的最大(小)值. 【例 1】已知函数 f(x)=4x?-4ax+(a?-2a+2)在闭区间[0,2]上有最小值 3,求实数 a 的值。 【答案】a=1- 2或 a=5+ 10
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B、 {-1}

C、 {0,1}

D、 {-1,0,1}

B. [5,+∞)

C. [-20,5]

D. [4,5]

【例 2】已知函数 f(x)=4x2-kx-8,x∈[1,5],其中 k∈R, (Ⅰ)若函数 f(x)具有单调性,求 k 的取值范围 (Ⅱ)求函数 f(x)最小值(用含 k 的式子表示) 3)动区间、定轴型 根据区间与二次函数对称轴的位置关系, 需要分三种情形讨论: ①这个区间在二次函数的 对称轴的左边; ②二次函数的对称轴经过这个区间; ③这个区间在二次函数的对称轴的右边. 然 后作相应的图形, 根据图象的顶点的位置或函数在这个区间上的单调性, 从图形上观察到二次 函数的最大(小)值. 【例 1】已知函数 f(x)=x?-4x+6, 1)若 f(x)在区间[m,m+1]上单调递减,求实数 m 的取值范围; 2)若 f(x)在区间[a,b](a<b)上的最小值为 a,最大值为 b,求 a、b 的值。 【例 2】已知二次函数 f(0)=4,满足: f(2-x)=f(2+x),且该函数的最小值为 1. ⑴求此二次函数 f(x)的解析式; ⑵若函数 f(x)的定义域为 A=[m,n] .(其中 ). 问是否存在这样的两个实数 m,n ,使得函数 f(x)的值 域也为 A ?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由 【例 3】已知函数 f(x)=x2-x+a-1, 1)若 f(x)≧0 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围 2)求 f(x)在区间(-∞,a]上的最小值 g(a)的表达式。 【例 4】求二次函数 f(x)=x2-2x-8 在区间[他,t+1]上的最大值和最小值。 4)动区间、动轴型 这类题十分复杂,属高难度的问题.根据区间与二次函数对称轴的位置关系,需要分两种 情形讨论:①二次函数的对称轴经过这个区间;②二次函数的对称轴不经过这个区间.然后作 相应的图形, 根据图象的顶点的位置或函数在这个区间上的单调性, 从图形上观察二次函数的 最大(小)值. 三. 知识要点总结 1. 在函数奇偶性的定义中,有两个必备条件,一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶 性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的; 2. 判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等 价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立,这样能简化运算.

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