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三角函数知识点总结


三角函数知识点总结
1、角的概念的推广
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正 角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始 位置称为始边,终止位置称为终边。

2、象限角的概念 在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边 在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于 任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注意:相 等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. (2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . ( 6 ) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ; ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? k? ? ? ? k? ? , k ? Z ; ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? , k ? Z .如 ? 的终边与 的终边 2 2 6 关于直线 y ? x 对称,则 ? =____________。 4. 角度与弧度的互换关系:360°=2 ?
n ? n ?? 180

180°= ?
? 180

1°=0.01745

n?

n

?

1rad=57.30°=57°18′

5. 弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形

?

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2

6. 任意角的三角函数 设 ? 是一个任意角,它的终边上一点 p(x,y), r= x 2 ? y 2
y r (2)各象限的符号:

(1)正弦 sin ? =

余弦 cos ? =

x r

正切 tan ? =

y x

y

y + — x —
+

y + x + — + + O —

+
?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

O

+ —

O —

sin ?

cos ?

tan ?

三角函数线的特征 正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT “站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )” .三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不 等式。
y B P α O M A x S T

(1)若 ?

?
8

? ? ? 0 ,则 sin ? ,cos ? , tan ? 的大小关系为_____

(答: tan ? ? sin ? ? cos ? ); (答: sin ? ? ? ? tan ? ) ;

(2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为_______ (3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是_______ (答: (2k? ? 特殊角的三角函数值: 30° 45°
sin ?
1 2

?
3

, 2 k? ?

2? ](k ? Z ) ) 3

60°
3 2
1 2

0° 0 1

90° 1 0

180° 0 -1 0

270° -1 0

15°
6? 2 4

75°
6? 2 4

2 2

cos?
tan ?
cot ?

3 2
3 3

2 2

6? 2 4

6? 2 4

1 1

3
3 3

0 0

2- 3 0 2+ 3

2+ 3 2- 3

3

同角基本关系式 倒数关系 商的关系 平方关系

tan ? ? cot ? ? 1 sin ? ? csc ? ? 1 cos ? ? sec ? ? 1

sin ? sec ? ? tan ? ? cos ? csc ? cos ? csc ? ? cot ? ? sin ? sec ?

sin ? ? cos ? ? 1 1 ? tan ? ? sec ? 1 ? cot ? ? csc ?
2 2 2 2

2

2

六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右 余中间 1” ;记忆方法“对角线上两个函数的积为 1; 阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下 顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数 值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。 ”

诱导公式 (口诀:奇变偶不变,符号看象限。)

sin(?? ) ? ? sin ?

cos(?? ) ? cos ?

tan(?? ) ? ? tan ?

cot(?? ) ? ? cot ?

sin( ? ? ) ? cos ? 2 cos( ? ? ) ? sin ? 2 tan( ? ? ) ? cot ? 2 cot( ? ? ) ? tan ? 2

?

sin(
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ? cot(? ? ? ) ? ? cot ?

?

?

?

3? ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 3? tan( ? ? ) ? cot ? 2 3? cot( ? ? ) ? tan ? 2 3? ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? sin ? 2 3? tan( ? ? ) ? ? cot ? 2 3? cot( ? ? ) ? ? tan ? 2

sin(2? ? ? ) ? ? sin ? cos(2? ? ? ) ? cos ? tan(2? ? ? ) ? ? tan ? cot(2? ? ? ) ? ? cot ?
(其中 k∈Z)

sin( ? ? ) ? cos ? 2 cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 tan( ? ? ) ? ? cot ? 2 cot( ? ? ) ? ? tan ? 2

?

sin(
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ? cot(? ? ? ) ? cot ?

?

sin(2? ? ? ) ? sin ? cos(2? ? ? ) ? cos ? tan(2? ? ? ) ? tan ? cot(2? ? ? ) ? cot ?

?

?

两角和与差的三角函数公式

万能公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

sin ? ?

2 tan

?
2

1 ? tan 2 1 ? tan 2 1 ? tan 2 tan
2

?
2

? ?
2 2

cos ? ?

tan(? ? ? ) ?

?
2

tan ? ?

1 ? tan 2
三角函数的降幂公式

?
2

半角的正弦、余弦和正切公式

sin( ) ? ? 2 cos( ) ? ? 2

?

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 2

sin 2 ? ?

?

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? cos 2 ? ? 2

? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? tan( ) ? ? ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ?
二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?
2 tan ? tan 2? ? ? 1 ? tan 2 ?
三角函数的和差化积公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? . tan 3? ? ? 3 tan ? ? tan 3 ? 1 ? 3 tan 2 ?

三角函数的积化和差公式

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos ? sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos ? cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin ? sin 2 2

? cos

? ??

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 1 cos ? ? cos ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 1 sin ? ? sin ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 sin ? ? cos ? ?

化 asinα ±bcosα 为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? )
其中 ? 角所在的象限由 a 、 b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

b 确定 a

正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 质 函 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图像

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

? k ??? 时,

ymax ? 1 ;
最值 当 x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;

?
2

? k ??? 时,

当 x ? 2k? ? ? ? k ??? 时,

既无最大值也无最小值

ymin ? ?1.
周期性 奇偶性
2? 奇函数

ymin ? ?1.
2? 偶函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;
单调性

在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是增函数; 在 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ??? 上 是减函数.

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? 在 ?2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 对称中心

? k? ,0?? k ???
对称性 对称轴
x ? k? ?

对称中心
? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

?
2

?k ? ??

无对称轴

形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数:
1 ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? ―相位; ? ―初相; T (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定;? 由周期确定;? 由图象上的

(1)几个物理量:A―振幅; f ?

| ? |? 特殊点确定, 如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , 15 ? 则 f ( x) =_____(答: f ( x) ? 2sin( x ? ) ) ; 2 3

?
2

) 的图象如图所示,

2 3

Y 2? 9 X -2 23题 图

( 3 )函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法 :①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X = 0 , ? 3? , ? , , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是 2 2 作函数简图常用方法。 (4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: ①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位 得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; (相位变换)
1

②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变, 横坐标变为原来的

?

, 得到函数 y ? sin ?? x ? ? ?

的图象; (周期变换) ③ 函 数 y ? s i n?? x ? ? ? 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数 (振幅变换) y ? A sin(? x ? ? ) 的图象; ④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得到

y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。
要特别注意, 若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象, 则向左或向右平移应平移 | 个单位,如

? | ?

? (1)函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象? 4 ? ? ? (答: y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 个 4 4 8 单位得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象,最后将纵坐标缩小 1 到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ; 2 x ? x (2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 的图象向___平移____个单 2 4 2 位 ? (答:左; ) ; 2
( 5 ) 研 究 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 性 质 的 方 法 : 类 比 于 研 究 y ? sin x 的 性 质 , 只 需 将
y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要

特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。

1、正弦定理及其变形
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径)

() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)

(2) sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? (角化边公式) 2R 2R 2R

(3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C
(4) a sin A a sin A b sin B ? , ? , ? b sin B c sin C c sin C

2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边 (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知 a,b 和 A,求 B 时的解的情况: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解;如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解;如果 sinB>1,则 B 无解. 3、余弦定理及其推论
b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cos C ? 2ab cos A ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。 5、常用的三角形面积公式

1 1 (1) S?ABC ? ? 底 ? 高= r ? ? a ? b ? c ? (r 为内切圆的半径) ; 2 2 1 1 1 (2) S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边夹一角) ; 2 2 2 abc S?ABC ? 2 R 2 sin A sin B sin C ? (R 为外接圆半径) ; 4R 1 (3) S?ABC ? s(s ? a)(s ? b)(s ? c) (其中 s ? (a ? b ? c ) ) ; 2 6、三角形中常用结论

(1) a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2) 在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角,大角对大边) ( 3 )在△ ABC 中, A+B+C= π ,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= - cosC ; tan(A+B)= - tanC 。 A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

例题: (1)函数 y ?
sin ? ? tan ? 的值的符号为____ cos ? ? cot ?

(答:大于 0) ; (2)若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____ ? (答: [0, ] 4 m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ (3)已知 sin ? ? , cos ? ? m?5 m?5 2
3 [ ?,?]) ; 4

(答: ? (4)已知

tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ?1 ,则 =___; sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =____ tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 5 13 (答: ? ; ) ; 3 5 (5)已知 sin 200? ? a ,则 tan160? 等于

5 ) ; 12

A、 ?

a 1? a2

B、

a 1? a2

1? a2 C、 ? a
?

1? a2 D、 a
(答:B) ;

(6)已知 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为______ (答:-1) 。
k 三角函数诱导公式( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) , 2 符号看象限 (看原函数, 同时可把 ? 看成是锐角) .诱导公式的应用是求任意角的三角函数值, 其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。如 9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________ (1) cos 4 6 2 3 (答: ) ; ? 2 3 4 ? ( 2 ) 已 知 sin( 540 ? ? ? ) ? ? , 则 c o s? ( ?270 ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 5 [sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 ? ________。 tan( 180? ? ? ) 4 3 (答: ? ; ? ) 5 100 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: 令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ?   tan ?? ? ? ? ?

令? ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 (1)下列各式中,值为 的是 2 ? ? A、 sin15 cos 15 B、 cos 2 ? sin 2 12 12
C、
tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

D、

1 ? cos 30 2
(答:C) ;

(2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 (答:C) ;
3 (3)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? ,那么 cos 2? 的值为____ 5

(答: (4)
1 3 的值是______ ? sin10 sin 80

7 ) ; 25

(答:4) ; (5)已知 tan1100 ? a ,求 tan 500 的值(用 a 表示)甲求得的结果是
1 ? a2 果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2a

a? 3 ,乙求得的结 1 ? 3a

(答:甲、乙都对) 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察 角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数 名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两 角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 等) , ,如 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? 1 ? (1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 3 (答: ) ; 22 ? ? 1 ? 2 (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值 2 2 9 2 3

?

??

?

(答:

490 ) ; 729

3 (3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x, cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为 5 ______ 3 4 3 (答: y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 (2)三角函数名互化(切割化弦), (1)求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ; sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值 (2)已知 1 ? cos 2? 3 1 (答: ) 8 (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? 。

(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____ (答: ? (2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? 三角形 (答:等边) 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? (4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos2 ? ? , sin 2 ? ? 与升幂公式: 2 2 1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。如
3 1 1 1 1 (1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2 2

2 ) ; 2

3 ,则此三角形是____ 4

(答: sin (2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ?

?
2

) ;

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为____ 2 ? 5? ]( k ? Z ) ) (答: [ k? ? ,k? ? 12 12 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 sin ? ? tan ? (1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? cot ? ? csc ? (答: sin ? ) ;

(2)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin

2 ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2;

2 1 2cos 4 x ? 2cos 2 x ? 2 (3)化简: ? ? 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4

2

1 (答: cos 2 x ) 2 2 2 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x 3 ? tan ? ? sin ? ? 等) ,如已知 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3cos2 ? (答: ). 4 2 5 (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” ,如 (1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __ t 2 ?1 (答: ? ),特别提醒:这里 t ?[? 2, 2] ; 2 (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 2 4? 7 (答: ? ) ; 3 sin 2? ? 2sin 2 ? ? ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值 (3)已知 4 2 1 ? tan ? (答: 1 ? k ) 。

辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?
b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a (1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (答:[-2,2]) ; (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ 3 (答: ? ); 2 (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? =

(答:-2); (4)求值:
3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________ 2 sin 20? cos 20?
2

(答:32) 14、 正弦函数和余弦函数的图象: 正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法: ? 3? 五点法:先取横坐标分别为 0, , ? , , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就 2 2 得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 ? ( 2 )值域 :都是 ??1,1 ? ,对 y ? sinx ,当 x ? 2 k? ? 2 ? k ? Z? 时, y 取最大值 1 ;当 3? x ? 2 k? ? ? k ? Z? 时, y 取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取最大值 1, 2 当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。如

? 3 1 (1)若函数 y ? a ? b sin(3x ? ) 的最大值为 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _ 2 2 6 1 (答: a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) ; 2

(2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ?

? ?

, ] )的值域是____ 2 2

(答:[-1, 2]) ; (3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____ (答:7;-5) ; ? x 的 最 小 值 是 _____ , 此 时 x = (? ?) 32 sin x? s i nx c o s ( 4 ) 函 数 f ( x) ? 2 c o sx s i nx 3 __________ ? (答:2; k? ? (k ? Z ) ) ; 12 1 (5)己知 sin ? cos ? ? ,求 t ? sin ? cos? 的变化范围 2 1 (答: [0, ] ) ; 2 (6)若 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 cos? ,求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的最大、最小值 (答: ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 ) ( 3 )周期性 :① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ;② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 2? 。 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ? |? | ?x (1)若 f ( x) ? sin ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2003) =___ 3 (答:0) ; 4 4 (2) 函数 f ( x) ? cos x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____ (答: ? ) ; ? ? (3) 设 函 数 f ( x) ? 2 s i n( x ? ) , 若 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成 立 , 则 2 5 | x1 ? x2 | 的最小值为____ (答:2) (4)奇偶性与对称性:正弦函数 y ? sin x ( x ? R ) 是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? , 对 称 轴 是 直 线 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ; 余 弦 函 数

y ? c o sx (x ? R是 ) 偶函数,对称中心是

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最 2 ? ? 低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。如 ? 5? ? (1)函数 y ? sin ? ? 2 x ? 的奇偶性是______、 ? 2 ? (答:偶函数) ; 3 (2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______ (答:-5) ; (3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______ k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) (答: ( ; 2 8 2 8 (4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。

(答: ? ? k? ?

?
6

( k ?Z ))

(1)函数 y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的递减区间是______

(答: [ k? ?
x ? (2) y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是_______ 3 4 2

5 ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ; 12 12

(3) 设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? ? ? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 2? 对称, 它的周 期是 ? ,则
1 A、 f ( x)的图象过点 (0, ) 2 5? 2? B、 f ( x) 在区间 [ , ] 上是减函数 12 3 C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( 5? ,0)
12

3 3? ]( k ? Z ) ) (答: [ 6k? ? ? , 6k? ? ; 4 4
2 3

2

D、 f ( x) 的最大值是 A (答:C) ;

?? ? (4)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论: 3? ? ①图象关于原点成中心对称; ? ②图象关于直线 x ? 成轴对称; 12 ? ③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位得到 3 ? ;④图像向左平移 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 12 其中正确结论是_______
(答:②④) ; (5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距 离为

? ,那么此函数的周期是_______ 3

(1)?ABC 中, A、 B 的对边分别是 a、b , 且A 那么满足条件的 ?ABC = 6 0 ,a ?6 ,b 4 ? , ( ) A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 (答:C) ; (2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件 (答:充要) ; (3)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____

(答: ? (4)在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边, 若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 ?C =____

1 ) ; 2

(答: 60 ) ; (5)在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a ?b ?c ,则 ?C =____ 4 3
2 2 2

(答: 30 ) ; ( 6 ) 在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是 _______ 2 39 (答: ) ; 3 1 B?C b2 ? c2 (7) 在△ABC 中, a、 b、 c 是角 A、 B、 C 的对边,a ? 3, cos A ? , 则 cos 2 = , 3 2 的最大值为 1 9 (答: ; ) ; 3 2 (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 ? (答: 0 ? C ? ) ; 6 (9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关 系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A (答: 45 ) .


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