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河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题


河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第二次质量预测 文科数学试题卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.

第 I卷
一、选择题:本大題共 12 小題,每小題 5 分,在每小題给出的四个选项中,只有一个符 合 题目要求. 1. 复数 z1=3+i,z2 =1-I 则 z=

z1 的共轭复数在复平面内的对应点位于 z2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 若 cos

?
2

?

3 ? 4 -, sin ? ? ,则角θ 的终边所在的直线为 5 2 5
B. 7x-24y=0 D.24x-7y=0

A. 7x+24y=0 C. 24x+7y=0

3. 在正项等比数列{an}中,ai=1,前 n 项和为 Sn,且-a3,a2,a4 成等差数列,则 S7 的值为. A. 125 B. 126 C. 127 D. 128

4. 设 a,β 分别为两个不同的平面,直线 l A.充分不必要条件 C.充要条件

a,则“l 丄β ”是“a 丄β 成立的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 函数 f(x)=x2— 2x 在 x∈R 上的零点的个数是 A. 0 6. B. 1 C. 2 D. 3

?1 ln x ln x 若 x ? (e ,1), a ? linx , b ? ( ) , c ? c ,则 a,b,c 的大小关系为

1 2

A. c>b>a

B. b>c>a

C. a>b>c

D. b>a>c

7. 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数 f ?(x) 在(a,b) 内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内极大值点有 A. 1 个 B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

8. ― 个锥体的主视图和左视图如图所示, 下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是

9. 已知 A(l,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量 AB 在向量 CD 上的投影为 A.

10 5

B.

2 10 5

C.

3 10 5

D.

4 10 5

10. 如图所示,F1 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) (a>0,b>0)的两个 a2 b2

焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点分 别为 A,B,且 Δ F2AB 是等边三角形,则双曲线的 离心率为 A.

2 ?1
2 ?1 2

B.

3 ?1
3 ?1 2

C.

D.

11. 函数 f(x)=axm(1-x)2 在区间[0,1]上的图象 如图所示, 则 m 的值可能是 A. 1 C. 3 B.2 D.4

12. 设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的工都有

? f (m 2 ? 6m ? 23) ? f (n 2 ? 8n) ? 0 f(2—x)+f(x)=0 恒成立.如果实数 m、 满足不等式组 ? n ’ ?m ? 3
则 m2+n2 的取值范围是 A. (3,7) B. (9,25) C. (13,49) 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题?第 2 1 题为必考题,第 22 題?24题为选考 题. D. (9,49)

考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 等差数列{an}的前 7 项和等于前 2 项和,若 a1=1,ak+a4=0,则 k=______

? x ? 2 y ? 0, ? 14.设 z=x+y,其中 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 当 Z 的最大值为 6 时,K 的值为______. ?0 ? y ? k , ?
15.函数 y=loga(x+3)-l(a>0 且 a≠l)的图象恒过定点 A,若点 A 在 mx+ny+2 = 0 上 其 ,中 mn>0,则

1 1 ? 的最小值为_______. m n 1 ? 16.已 知 函 数 f ( x) ? x ? cos x ,则方程 f ( x) ? 所 有 根 的 和 为 _______. 2 4
三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/小

时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方 向) ,汽车开动 的同时,在距汽车出发点 O 点的距离为 5 公 里,距离公路线的垂 直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个 人骑摩托车出发想把一件东 西送给汽车司机.问骑摩托车 的人至少以多大的速度匀速行驶才 能实现他的愿望,此时 他驾驶摩托车行驶了多少公里?

18. (本小题满分 12 分) 每年的三月十二日,是中国的植树节.林管部门在植树前,为保证树苗的 质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了 10 株 树苗的髙度,规定髙于 128 厘米的为“良种树苗” ,测得髙度如下(单位:厘 米) 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133

乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146 (I)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两批树 苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论; (II)设抽测的 10 株甲种树苗高度平均值为 x 将这 1O 株树苗 的高度依次输入按程序框 图进行运算, (如图)问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义.

19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 (I)求证:AB1 丄面 A1BD; (II)设点 O 为 AB1 上的动点,当 OD//平面 ABC 时,求

CC1 中点.

AO 的 OB1

值.

20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,左顶点为A,点P 为曲线D 上的动点,以PF 为直径 4 3

的圆恒与 y 轴相切. (I)求曲线 D 的方程; (II)设 O 为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的 Δ APM?①点 M 在椭圆 C 上;② 点 O 为Δ APM 的重心.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形 ABC 的三 点坐标为 A(x1, 1),B(x2,y2),C(x3, 3), y y 则其重心 G 的坐标为

x1 ? x2 ? x3 y ? y 2 ? y3 , 1 )) 3 3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx 与 g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于 P,Q 两点,曲线 y=f(x)在 P,Q 两点处的切线交于点 A. (I)当 k = e,b=-3 时,求 f(x) — g(x)的最大值(e 为自然常数)
(II)若 A(

e 1 , ) |,求实数 k,b 的值. e ?1 e ?1

23 24 选做题(本小题满分 10 分,请从 22、 、 三个小题中任选一题作答,

并用铅笔在对应 方框中涂黑)
22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 0 和 M 相交于 A、B 两点,AD 为 M 的直径,直线 BD 交 O 于点C,点G 为弧BD 中点,连结 AG 分别交 0、BD 于点E、F,

连结CE. (I)求证:AG·EF=CE·GD; (II)求证:

GF EF 2 ? AG CE 2

23. 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知直线 C1: ? (I)当 a=

? x ? 1 ? t cos a ? x ? cos? (t 为参数) 曲线C2: ? , (θ 为参数). ? y ? t sin a ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(II)过坐标原点 0 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当a 变化时,求P 点轨迹的参数方 程,并指出它是什么曲线.

24. 选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x—a| (I)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (II)在 (I)的条件下,若 f(x)+f(x + 5) m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2013 年高中毕业年级第二次质量预测 数学(文科) 参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ADCA DBBC BBAC 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.6;14.3;15. 三、解答题 17.解:作 MI 垂直公路所在直线于点 I ,则 MI ? 3 ,

? 3? 2 2 ;16. . 2 2

? OM ? 5,? OI ? 4 ? cos ?MOI ?

4 ――――2 分 5 4 ――――6 分 5

设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为小时
2 由余弦定理: ?vt ? ? 5 ? ?50t ? ? 2 ? 5 ? 50t ? 2 2

25 400 1 ? ? 2500 ? 25( ? 8) 2 ? 900 ? 900 ――――8 分 2 t t t 1 30 15 ? 公里――――11 分 ? 当 t ? 时, v 的最小值为 30 ,? 其行驶距离为 vt ? 8 8 4 ? v2 ?
故骑摩托车的人至少以 30 公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了

15 公里. ――――12 分 4

18.解(Ⅰ)茎叶图略. ―――2 分 统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为 127 ,乙种树苗的中位数为 128.5 ; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近, 乙种树苗的高度分布较为分散. ―――6 分 (每写出一个统计结论得 2 分) (Ⅱ) x ? 127, S ? 135. ――――9 分

S 表示 10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量. S 值越小,表示长得越整齐, S 值越大,表示长得
越参差不齐.――――12 分 19.解: (Ⅰ)取 BC 中点为 M ,连结 AM , B1M , 在正三棱柱 ABC ? A B1C1 中面 ABC ? 面 CB1 , 1

?ABC 为正三角形,所以 AM ? BC ,
故 AM ? 平面 CB1 ,又 BD ? 平面 CB1 , 所以 AM ? BD . 又正方形 BCC1B1 中, tan ?BB1M ? tan ?CBD ? 所以 BD ? B1M ,又 B1M ? AM ? M , 所以 BD ? 平面 AB1M ,故 AB1 ? BD , 又正方形 BAA1 B1 中, AB1 ? A1B , A1B ? BD ? B , 所以 AB1 ⊥面 A BD . 1 ――――6 分

1 , 2

(Ⅱ)取 AA1 的中点为 N ,连结 ND, OD, ON . 因为 N , D 分别为 AA1 , CC1 的中点,所以 ND / / 平面 ABC , 又 OD / / 平面 ABC , ND ? OD ? D ,所以平面 NOD / / 平面 ABC , 所 以 ON / / 平 面 ABC , 又 ON ? 平 面 BAA1 B1 , 平 面 BAA B1 ? 平 面 1

A B C? A , B
所以 ON / / AB ,注意到 AB / / A1B1 ,所以 ON / / A1B1 ,又 N 为 AA1 的中点, 所以 O 为 AB1 的中点,即

AO ? 1 为所求. OB1

――――12 分

20.解: (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,由题知 F (1, 0) ,所以以 PF 为直径的圆的圆心 E (

x ?1 y , ), 2 2



| x ? 1| 1 1 ? | PF |? ( x ? 1) 2 ? y 2 , 2 2 2
――――4 分 ――――5 分

整理得 y 2 ? 4 x 为所求. (Ⅱ)不存在,理由如下: 若 这 样 的 三 角 形 存 在 , 由 题 可 设 P(

y12 , y1 )( y1 ? 0), M ( x2 , y2 ) , 由 条 件 ① 知 4

x2 2 y2 2 ? ? 1, 4 3
由条件②得 OA ? OP ? OM ? 0 ,又因为点 A(?2, 0) ,

??? ??? ???? ? ? ?

?

? y12 3 3 ? x2 ? 2 ? 0, y2 2 ? ? x2 ? 2 ? 0 , ? x2 2 ? x2 ? 2 ? 0 , 所以 ? 4 即 故 ―――― 4 16 4 ? y ? y ? 0, ? 1 2
9分 解之得 x2 ? 2 或 x2 ?

10 (舍) , 3

当 x2 ? 2 时,解得 P(0, 0) 不合题意, 所以同时满足两个条件的三角形不存在. ――――12 分

21.解: (Ⅰ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ex ? 3( x ? 0) ,

1 e 1 ? e ? ? (x ? ) , ――――1 分 x x e 1 当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 ,此时函数 h( x) 为增函数; e 1 当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,此时函数 h( x) 为减函数. e 1 1 所以函数 h(x) 的增区间为 ( 0, ) ,减区间为 ( ,?? ) . ――――4 分 e e
则 h?( x) ? (Ⅱ)设过点 A 的直线与函数 f ( x) ? ln x 切于点 ( x0 ,ln x0 ) ,则其斜率 k ?

1 , x0

故切线 l : y ? ln x0 ?

1 ( x ? x0 ) , x0

将点 A(

e 1 , ) 代入直线方程得: e ?1 e ?1

e ?1 1 1 1 e ln x0 ? ? 1 ? 0 ,――――7 分 ? ln x0 ? ( ? x0 ) ,即 e x0 e ?1 x0 e ? 1
e ?1 1 e ?1 1 e ?1 e ln x ? ? 1( x ? 0) ,则 v?( x) ? ? 2 ? 2 (x ? ), e x ex x ex e ?1 e 当0 ? x ? 时, v?( x) ? 0 ,函数 v( x) 为增函数; e ?1 e 当x? 时, v?( x) ? 0 ,函数 v( x) 为减函数. e ?1
设 v( x) ? 故方程 v( x) ? 0 至多有两个实根, ――――10 分

又 v(1) ? v(e) ? 0 ,所以方程 v( x) ? 0 的两个实根为和 e , 故 P(1, 0), Q(e,1) ,所以 k ?

1 1 ,b ? 为所求.――――12 分 e ?1 1? e

22.证明: (Ⅰ)连接 AB、AC,? AD为 ⊙M 的直径,

? ?ABD ? 900 ,? AC为⊙O 的直径,
? ?CEF ? ?AGD ? 900
――――2 分 ――――4 分 ―――6

? G 为弧 BD 的中点,? ?DAG ? ?GAB ? ?ECF .

? ?CEF ∽ ?AGD , ?


CE AG ? ,? AG ? EF ? CE ? GD EF GD

(Ⅱ)由(1)知 ?DAG ? ?GAB ? ?FDG, ?G ? ?G

?DFG ∽ ?AGD ,

? DG 2 ? AG ? GF

――――8 分

由(1)知

EF 2 GD 2 ? CE 2 AG 2



GF EF 2 ? AG CE 2

――――10 分

23.解: (Ⅰ)当 a ?

?
3

时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1,

联立方程组 ?

? ? y ? 3 ( x ? 1) ,解得 C ?x 2 ? y 2 ? 1 ?

1

与 C

2

的交点坐标为(1,0) ,

1 3 ( ,? ) .――――5 分 2 2
(Ⅱ)C
1

的 普 通 方 程 为 x s i ? ? y c o? ? s i ? ? 0 , A 点 坐 标 为 n s n

( s i2 ? ,? s i ? c o ? ) , n n s

1 2 ? ? x ? 2 sin ? , 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? ( ? 为参数) 1 ? y ? ? sin ? cos? , 2 ? 1 1 P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0 ) ,半径为 的圆.――――10 4 4

24.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? x ? 3 . 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5?,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 ?a ? 3 ? 5

a ? 2 .――――4 分
(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) , 于是

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5,?3 ? x ? 2, ?2 x ? 1, x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ;

――――6 分 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时,

g ( x) ? 5 .

综上可得, g ( x) 的最小值为 5.――――9 分 从而若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5].――――10 分


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