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酉空间及其重要的线性变换


酉空间及其重要的线性变换 酉空间 定义 1 设 V 是复数域 C 上的一个向量 空间.若 V 中任意一对向量α,β,有一个 确定的复数<α, β>与它们对应,叫做α与 β的内积,并且对于?α,β,γ∈V,k∈C, 以下条件成立: 1)?α, β?=? β , α 〉 β , α ?是?β, α?的共轭 ,? 复数; 2)?α+β, γ ?=?α, γ ?+?β,γ?; 3)?kα, β?=k?α, β?; 4)? α , α ?是非负实数,并且当 α ≠ θ 时?α, α?>0, 则称 V 对于这个内积是一个酉空间. 例 1 在 C n 里, 对于任意两个向量α= (x1,…,xn),β= (y1,…,yn),规定 ?α, β?= x y + L + x y , 则 C n 对于这个内积作成一个酉空间. 设 V 是一个酉空间. 由定义可以直接推 出, ?α, β+γ?=?α, β?+?α, γ ?;
1 1 n n

(1) ?α,kβ?= k ?α, β? , k 是 k 的共轭复数; (2) ?α, θ ?=?θ , α?= 0. (3) 由(1)和(2),设?αi,βj∈V,ai ,bj∈ C,i =1,…,m ;j =1,…,n,则
∑ aiα i, b j β j ∑
i =1 j =1 m n

= ∑∑ aib j α i,β j
i =1 j =1

m n



(4)

〈 因为对于?α∈V, α, α〉是一个非 负实数,所以在酉空间 V 中,可以像 Euclid 空间那样,定义向量α的长度为 |α | = α , α . 这样,V 中任意非零向量的长度总是一个正 实数, 长度是 1 的向量称为单位向量. 显然, ?k∈C,α∈V,都有 | kα |=| k || α | . (5) 在一个酉空间中, Cauchy-Schwarz 不等 式仍然成立.设?α,β∈V,则 α,β ≤ α,α β ,β , (6) 当且仅当α与β线性相关时等号成立. 在一个酉空间中,内积一般是一个复
2

数,因此不能像 Euclid 空间那样,合理地定 义两个非零向量的夹角, 但是仍然可以定义 两个向量正交的概念. 酉空间中两个向量α与β说是正交的, 若〈α, β〉= 0. 在一个酉空间里, 同样可以定义正交组 和标准正交组的概念. 酉空间 V 的一组两两 正交的非零向量叫做 V 的一个正交组. 若一 个正交组的每一个向量都是单位向量, 则称 这个正交组是一个标准正交组. 定理 1 在酉空间里仍然成立. 在一个有 限维酉空间 V 中, 同样可以定义正交基和标 准正交基的概念. Gram-Schmidt 正交化方法 对于酉空间的向量仍然适用, 并且对于 V 的 任意一个基,可以通过正交化方法将它化为 标准正交基. 设 W 是酉空间 V 的一个有限维子空间, 令 W⊥={α∈V|?α, β?=0,?β∈W}. 则 W⊥也是 V 的子空间, 叫做 W 的正交补. 与 定理 9.3.2 相平行,我们有 V=W⊕W⊥.

(7) 与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵.设 U=(uij)nn∈Mn(C),记 U = (u ) ( u 是 uij 的共轭复 数), U = U ′ . 定义 2 一个 n 阶复矩阵 U 叫做一个酉
ij nn

ij

H

矩阵,若 UU

H

= U HU = I n .

定理 2 n 维酉空间的一个标准正交基 到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉 矩阵. 2 酉变换与对称变换

在酉空间中, Euclid 空间的正交变换 与 相平行的概念是酉变换. 定义 3 酉空间 V 的一个线性变换σ叫 做一个酉变换,若对于?α,β∈V,都有? σ(α),σ(β)?= ?α, β?. 与定理 9.4.2 相平行,我们有 定理 3 设σ是 n 维酉空间的一个线性 变换,则下列陈述彼此等价: 1)σ是酉变换; 2)若α1, αn 是 V 的一个标准正交基, …, 则σ(α1),…,σ(αn)也是 V 的一个标准正

交基; 3)σ在 V 的任一标准正交基下的矩阵是 酉矩阵. 进而介绍酉空间的对称变换,引入 定义 4 酉空间 V 的一个线性变换σ 叫做一个对称变换,若?α , β ∈V,都有? σ(α), β?=?α,σ(β) ?. 定义 5 设 A∈Mn( C).若 AH=A,则称 A 是一个 Hermite 矩阵. 显然,实对称矩阵是 Hermite 矩阵的特 殊情形.与定理 9.5.1 和 9.5.2 相平行,我们 有 定理 4 设σ是 n 维酉空间 V 的一个线 性变换,则σ是对称变换,当且仅当σ在 V 的任意标准正交基下的矩阵是 Hermite 矩 阵. 对称变换和 Hermite 矩阵还有以下性 质. 定理 5 设σ是 n 维酉空间的一个对称 变换,那么 1)σ的特征值都是实数; 2)σ的属于不同特征值的特征向量彼

此正交; 3)存在 V 的一个标准正交基, 使得σ在 这个基下的矩阵是实对角矩阵. 证 我们只证 1), 其余的证明留给同学 们完成. 设λ∈C 是σ的一个特征值, 是属于λ α 的一个特征向量.则 λ α ,α = λα ,α = σ (α ),α = α ,σ (α ) = α , λα = λ α ,α . 因为〈α, α〉≠0,所以必须 λ = λ ,即λ是实 数. 定理 6 设 A 是一个 n 阶 Hermite 矩阵, - 则存在一个 n 阶酉矩阵 U,使得 UHAU=U 1 AU 是一个实对角矩阵,即任意 Hermite 矩 阵都“酉相似”于一个实对角矩阵. 3 Hermite 型

在§1 中,我们已经阐述了 n 维 Euclid 空间的度量矩阵.类似地,我们来看酉空间 V 中的内积.在 V 中取一个基 α ,L,α ,构造矩 阵
1 n

? α1 , α1 ? α ,α A=? 2 1 ? L ? α ,α ? n 1

α 1 ,α 2 α 2 ,α 2
L α n ,α 2

L L L L

L ? α n ,α n ? ?

α1 , α n ? ? α 2 ,α n ?



(8)

这个矩阵是由酉空间 V 中的内积以及基 α ,L,α 唯一决定的, 叫做 V 的基 α ,L,α 的度量矩阵. 由 于 A 的(i,j)元素是 α ,α ,而 AH 的(i,j)元素 是 α ,α = α ,α ,所以 AH=A.这表明,酉空间 V 的内积在 V 的任意一个基下的度量矩阵 A 是 Hermite 矩阵.设 A=(aij)nn, α = ∑ x α , β = ∑ y α ,则
1 n 1 n
i j
j i

i

j

i i

i i

α, β =

∑ x iα i , ∑ y jα j
i j

= ∑∑ xi y j (α i ,α j ) = ∑∑ aij xi y j
i j i j



(9)

特别地,当β=α时,有
α ,α = ∑∑ aij xi x j
i j



定义 6 式

n 个复变量 x1,…,xn 的表达 , (10)

f ( x1 ,L, x n ) = ∑∑ aij xi x j
i j

其中 aji = a ,叫做一个 n 元 Hermite 型;矩 阵 A=(aij)nn 称为 Hermite 型 f (x1,…,xn)的 矩阵,它是一个 Hermite 矩阵. 设 X ′ =(x1,…,xn),则 Hermite 型(10)可 写成
ij

∑∑ a ij xi x j
i j

= X H AX



(11)

因此,酉空间的内积与 Hermite 型有着密切

的联系. 由于 Hermite 型(10)的矩阵是 Hermite 矩阵,因此 X AX = X ′ AX = ( X ′ AX ) ′ = X A X = X AX . 这表明 XHAX 总是实数. 再注意到上述定理,知道 n 阶 Hermite 矩阵 A 酉相似于一个实对角矩阵 D=diag{d1,…,dn},即存在一个酉矩阵 U, - 使得 U 1AU=D.令 X=UY,其中 Y ′ = (y1,…, yn),则 - XHAX=YHUHAUY=YHU 1 AUY=YHDY= d y y + d y y + L + d y y .(12) 这证明了 定理 7 对于 Hermite 型 f(x1, xn)=XH …, AX,存在酉线性替换 X=UY(即 U 是酉矩 阵),使得 f (x1,…,xn)= d y y + L + d y y , (13) 其中 d1,…,dn 是 A 的全部特征值,它们都 是实数. 定义 7 若对于?α∈C n,且α≠0,都 有
H H H H

1 1 1

2 2 2

n n n

1 1 1

n n n

αHAα>0,
(14) 则称 XHAX 是一个正定 Hermite 型.一个正 定 Hermite 型 XHAX 的矩阵 A 称为正定 Hermite 矩阵. 正定 Hermite 矩阵与第五章§4 所说的 实正定矩阵有相平行的结果,即 定理 8 设 A 是一个 n 阶 Hermite 矩阵, 则下列陈述彼此等价: 1)A 是正定 Hermite 矩阵; 2)对于任意 n 阶复可逆矩阵 P,PHAP 是正定 Hermite 矩阵; 3)A 的特征值全大于零; 4)存在 n 阶可逆复矩阵 P, PHAP=In; 使 5)A 可以分解成 QHQ, 其中 Q 是 n 阶可 逆复矩阵; 6)A 的所有顺序主子式全大于零. 证 1)?2) 任取α∈C n,且α≠0, 则 Pα≠0.因为 A 是正定 Hermite 矩阵, 所以 αH (PHAP)α=(Pα)HA(Pα)>0. 因此 PHAP 是正定 Hermite 矩阵.

2) ?3) 由假设, 是 Hermite 矩阵. A 于 是存在酉矩阵 U,使 - U 1AU=diag( λ , ,λ )=D L - 其中λi 是实数,i=1,…,n.由假设,U 1AU 是正定 Hermite 矩阵,由此推出 eiHDei>0, 即λi>0,i=1,…,n. 3) ?4) 因为 A 是 Hermite 矩阵,所以 存在酉矩阵 U,使得 - U 1AU=diag( λ , ,λ ) L 其中λi>0,i=1,…,n.令 Q=diag( λ ,L, λ ) - - - - 则 U 1AU=QQ,从而 Q 1U 1AUQ 1=In.令 - - - - - P=UQ 1,则 PH=(UQ 1)H= Q 1UH = Q 1 U 1 .于是 PHAP=In. 4) ?5) 由假设 PHAP=In,于是 A=(PH) - 1 -1 - P .令 Q=P 1,则
1 n 1 n 1 n

Q H = ( P ?1 ) H = ( P ?1 ) ′ = ( P ?1 ) ′ = ( P ′) ?1 = ( P H ) ?1

所以 A=QHQ. 5) ?1) 设 A=QHQ,其中 Q 可逆.任 取α∈Cn 且α≠0,有 α Aα = α Q Qα . L 设 (Qα )′ = (c , ,c ) ,则
H H H

1

n

>0. 所以 A 是正定的 Hermite 矩阵. 1)? 6)
α H Aα = c1c1 + L + c n c n = c1 + L + c n
2 2


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