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三角恒等变换与解三角形专题复习


三角恒等变换与解三角形

sin α+cos α 1.若 =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α 2. 1+cos 20° - -sin 10° (tan 15° -tan 5° )=________. 2sin 20°

4 答案: 3 答案: 3 2

AC 3.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 的值等于________,AC 的取值范围为 cos A ________. 答案:2 ( 2, 3)

4.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若 向量 p=(4,a2+b2-c2),q=( 3,S),满足 p∥q,则∠C=________. π 答案: 3

4 4 5. 在△ABC 中, A 为最小角, C 为最大角, 已知 cos(2A+C)=- ,sin B= , 则 cos 2(B 3 5 +C)=________. 527 答案: 625

[典例1] π 3π 12 3 已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- . 2 4 13 5 (1)用 α+β,α-β 表示 2α;(2)求 sin 2α,cos 2α 的值. 答案: (1)2α=(α-β)+(α+β). [演练1] π? 1 2?11π ?5 ? ? 已知 sin? ?x+6?=4,则 sin?6π-x?+sin ? 6 -x?的值为________. [典例2] 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. a (1)若 2sin Acos C=sin B,求 的值; c (2)若 sin(2A+B)=3sin B,求 [演练2] tan A 2c 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 1+ = ,则角 A 的大小 tan B b 为________. π 答案: 3
1

56 33 (2) sin 2α=- ,cos 2α=- . 65 65

5 答案: 16

tan A 的值. tan C

a 答案: (1) =1. c

(2)

tan A 1 =- . tan C 2

[典例3] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c;则下列命题正确的是________. π ①若 ab>c2,则 C< ; 3 π ②若 a+b>2c,则 C< ; 3 π ③若 a3+b3=c3,则 C< ; 2 π ④若(a+b)c<2ab,则 C> ; 2 π ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 3 a2+b2-c2 2ab-ab 1 π [解析] ①ab>c2?cos C= > = ?C< ; 2ab 2ab 2 3 a2+b2-c2 4?a2+b2?-?a+b?2 1 π ②a+b>2c?cos C= > ≥ ?C < ; 2ab 8ab 2 3 π ③当 C≥ 时,c2≥a2+b2?c3≥a2c+b2c>a3+b3 与 a3+b3=c3 矛盾; 2 π ④取 a=b=2,c=1 满足(a+b)c<2ab 得 C< ; 2 π ⑤取 a=b=2,c=1 满足(a2+b2)c2<2a2b 2 得 C< . 3 [演练3] sin B+sin C 在△ABC 中,sin A= ,判断这个三角形的形状. cos B+cos C 答案: △ABC 是直角三角形. [专题技法归纳] (1)在三角化简、求值、证明中,表达式往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的 和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中的角,使问题获解.如 角的变形: 15° =45° -30° =60° -45° = π ? ?π ? =? ?4+α?-?4-α?. π π 特别地, +α 与 -α 为互余角,它们之间可以互相转化,在三角变形中使用频率高. 4 4
源:学科网 ZXXK] [来 [来源 :Z_xx_k.Com]

[答案] ①②③

α ? ? α? 30° ,α=(α+β)-β=? ?2+β?-?β-2?,2α=(α+β)+(α-β) 2

(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视,通过向量的数量积把 三角形和三角函数联系起来,用向量方法 证明两定理,突出了向量的工具性,是向量知识 应用的实例.另外,利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结 合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
2

1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2=b2+bc,sin C=2sin B, 则 A=________. π 答案: 3

π 3π? π? ? π? 3 ?3π ? 5 则 sin(α+β)=________. 2. 设 α∈? β∈? ?4, 4 ?, ?0,4?,cos?α-4?=5,sin? 4 +β?=13, 56 答案: 65 π ? 3 1 3.已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,tan(π-β)=2,则 tan(α-2β)=________. 5 7 答案: 24

π? 1 1 5. 已知 α∈? β∈(0, π), 且 tan(α-β)= , tan β=- , 则 2α-β 的值是________. ?0,4?, 2 7 3π 答案:- 4 6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B= 3 30° ,△ABC 的面积为 ,那么 b=________. 2 答案:1+ 3

sin A+sin B 7.△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tan C= ,sin(B-A)=cos cos A+cos B C.则 B=________. 5π 答案: 12

8. 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2, BC=6, CD=DA=4, 则四边形 ABCD 的面积为________. 答案:8 3

9.在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时, 顶点 A 正好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,则 AD∶AB=________. 解析:按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A、P 两点关于折线 DE 对 称,又设∠BAP=θ, ∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ, 再设 AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC 中, ∠APB=180° -∠ABP-∠BAP=120° -θ, 由正弦定理知: BP AB = . sin ∠BAP sin ∠APB
3

asin θ ∴BP= . sin?120° -θ? DP BP 在△PBD 中, = , sin∠DBP sin∠BDP x· sin 2θ asin θ xsin 2θ 所以 BP= ,从而 = , sin 60° sin?120° -θ? sin 60° asin θ· sin 60° 3a ∴x= = . sin 2θ· sin?120° -θ? 2sin?60° +2θ?+ 3 ∵0° ≤θ≤60° ,∴60° ≤60° +2θ≤180° . ∴当 60° +2θ=90° ,即 θ=15° 时,sin(60° +2θ)=1, 3a 此时 x 取得最小值 =(2 3-3)a,即 AD 最小, 2+ 3 ∴AD∶DB=2 3-3. 答案:2 3-3 π? 4 π? 10. 设 α 为锐角, 若 cos? 则 sin? ?α+6?=5, ?2α+12?的值为________. 11.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B. A-C 求 cos 的值. 2 思路:由题设条件知 B=60° ,A+C=120° A-C 设 α= ,则 A-C=2α,可得 A=60° +α,C=60° -α, 2 A-C 2 答案:cos = . 2 2
[来源:Z#xx#k.Com]

17 2 答案: 50

1 1 2 + =- , cos A cos C cos B

12.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB=13,AC=10,AD=5,CD= 65, AB · AC =50. (1)求 cos ∠BAC 的值; (2)求 sin ∠CAD 的值; (3)求△BAD 的面积. 解:(1)因为 AB · AC =| AB || AC |cos ∠BAC, 所以 cos ∠BAC=

AB · AC 50 5 = = . 13 13 × 10 | AB || AC |

(2)在△ADC 中,AC=10,AD=5,CD= 65, AC2+AD2-CD2 102+52-? 65?2 3 由余弦定理得 cos∠CAD= = = . 2AC· AD 5 2×10×5 因为∠CAD∈(0,π), 所以 sin ∠CAD= 1-cos2∠CAD= 3?2 4 1-? ?5? =5.

4

AB · AC 5 (3)由(1)知,cos ∠BAC= = . 13 | AB || AC |
因为∠BAC∈(0,π), 所以 sin ∠BAC= 1-cos2∠BAC = 5 ?2 12 1-? ?13? =13.

从而 sin ∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD) =sin ∠BAC· cos ∠CAD+cos ∠BACsin ∠CAD = 12 3 5 4 56 × + × = . 13 5 13 5 65 1 1 56 所以 S△BAD= AB·AD·sin ∠BAD= ×13×5× =28 2 2 65

5


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