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江苏省届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编9:三角函数


江苏省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 9:三角函数

一、填空题 1 . (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷) 已知 sin? ?

tan ? =______.
【答案】 -

? 1 ,且 ? ? ( , ? ) , 则 2 3

2 4
sin x cos x

2 . (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)已知 0 ? a ? 1 ,则满足 a

>1 的角 x 所在的

象限为________. 【答案】二或四(少 1 个不给分)
3 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)已知四边形 ABCD 是矩形,AB=2,AD=3,E 是线段 BC 上

的动点,F 是 CD 的中点.若 ∠AEF 为钝角,则线段 BE 长度的取值范围是____
【答案】 (1, 2) 4 . (江苏省沛县歌风中学 (如皋办学) 2014 届高三第二次调研数学试题) 函数 f(x)=2sin(

),x∈[﹣π ,0]

的单调递减区间为__________.
【答案】 5 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边

分别为 a , b , c ,若 a ? 3,C=120°,△ABC 的面积 S=
【答案】7.

15 3 ,则 c ? ___★___. 4

6 . (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷)计算 sin 390 ? _______. 【答案】 7

?

0.5;
2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知

.( 江 苏 省 扬 州 市 扬 州 中 学

sin( x ? 20 0 ) ? cos( x ? 10 0 ) ? cos( x ? 10 0 ), 则 tan x ? ______.
【答案】

3

8 . (江苏省徐州市 2014 届高三上学期期中考试数学试题)已知扇形的半径为 10cm ,圆心角为 120? ,则扇形

的面积为___________.
【答案】

100? 2 cm 3

9 . (江苏省南京市第五十五中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周

期内的图象如下,此函数的解析式为

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2? ) 3 x ? C. y ? 2sin( ? ) 2 3
A. y ? 2sin(2 x ?
【答案】A 10 .( 江 苏 省 兴 化 市

B. y ? 2sin(2 x ?

? ) 3 ? ) 3

D. y ? 2sin(2 x ?

2014 届 高 三 第 一 学 期 期 中 调 研 测 试 ) 在 ?ABC 中 , 已 知

s i 2nA ? s i 2nB ? s i 2nC ? s i B ns i C n ? 0 ,则 ? A 的大上为__★__.
【答案】

2? 3

11 . (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题) 函数 y= 3 sin2x+cos2x 的最小正周期是

________. 【答案】π
12. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月考数学试题)将函数

y ? sin(2 x ?

?

) 3 的图象向左

平移 ? ?? ? 0? 个单位,得到的图象对应的函数为 f ?x ? ,若 f ?x ? 为奇函数,则 ? 的最小值为___ ___

? 【答案】 6
13 . (江苏省徐州市 2014 届高三上学期期中考试数学试题) 已知 ?ABC 中 , a, b, c 分别是角 A, B, C 的对

边, a ? 2, A ? 45?, B ? 60? ,那么 ?ABC 的面积 S?ABC ? ___.
【答案】

3? 3 4

14. (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ?

?
6

)(? ? 0)

和 g ( x) ? 2cos(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象的对称轴完全相同,则 g ( ) 的值是______.
【答案】 ?2 15( .江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷) 已知点 P

? 3

?x0 , y0 ? 是函数 y ? tan x

2 与函数 y ? ? x?x ? 0? 的图象的一个交点,则 x0 ? 1 ?cos2x0 ? 1? ? ___★___.

?

?

【答案】2. 16. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三上学期期中模拟数学试题)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边
第 2 页,共 30 页

分别为 a,b,c,已知 a=1,A=60°,c= 则△ABC 的面积为_______.
【答案】

3 , 3

3 6
1 ,则与角 ? 终边相同 2

17. (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)已知 ? 为钝角,且 sin ? ?

的角 ? 的集合为______.
5? ? 【答案】 ? ,k ?Z?, ?? | ? ? 2k? ? 6 ? ?

?? | ? ? k ? 360

?

? 150? , k ? Z ;(制度不统一不给分)

?

18 . ( 江 苏 省 无 锡 市 洛 社 高 级 中 学 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 若 f (sin x) ? cos 2 x ? 1 , 则

1 f ( ) ? ______________. 2 3 【答案】 2
19 .( 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 第 二 次 调 研 数 学 试 题 ) 已 知 函 数

y=sin( ? x ? ? )( ? >0,0< ? ?

?
2

)的部分图象如图所示,则 ? 的值为___ .

【答案】 π

3

20. (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷)已知 cos x ? sin x

?

3 2 ,则 5

5 sin 2 x ? ___★___. ?? ? cos? x ? ? 4? ?
【答案】

7 . 3

21. (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)已知扇形的周长是 8cm,圆心角为 2 rad,则扇形

的弧长为_______cm. 【答案】4;
22 .( 江 苏 省 泰 兴 市 第 三 高 级 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 已 知

? ? ? ? a ? (1, sin 2 x),b ? (2, s i n 2x) ,其中 x ? ? 0, ? ? ,若 a ? b ? a ? b ,
则 tan x =_____ 【答案】1;
第 3 页,共 30 页

23. (江苏省泰州市姜堰区张甸中学 2014 届高三数学期中模拟试卷) 已知角 ? 的终边经过点 P

? x, ?6? ,且

3 tan ? ? ? ,则 x 的值为________. 5
【答案】10 24. (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题)函数 y ? sin(2 x ?

?

) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期 6 3

?

为________.
【答案】 ? 25. (江苏省启东中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试题) 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
3

) ( ? ? 0 )的图象向

左平移 _____.

? ? 个单位 , 得到函数 y ? g ( x) 的图象 , 若 y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数 , 则 ? 的最大值为 3? 4

【答案】2 26. (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题)已知直线 x=a(0<a<

π )与函数 f(x)=sinx 2

1 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,若 MN= ,则线段 MN 的中点纵坐标为_______. 5
【答案】

7 10

27. (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 个单位后,得到的图像解析式为____▲____. 6

【答案】 y ? sin( 2 x ?

?
6

)

28. (江苏省徐州市 2014 届高三上学期期中考试数学试题)方程 sin x ?

3 cos x ? a ? 0 在 (0, 2? ) 内有相异

两解 ? , ? ,则 ? ? ? ? ______________.
【答案】

?
3

,

7? 3

29. (江苏省沛县歌风中学 (如皋办学)2014 届高三 10 月月考数学试题) 已知点 A?x1 ,

f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是

函数 f ?x ? ? sin??x ? ? ? 图象上的任意两点,其中 ? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0 ,且角 ? 的终边经过点 P?1,?1? ,

第 4 页,共 30 页

若 | f ?x1 ? ? f ?x2 ? |? 2 时, | x1 ? x2 | 的最小值为

? ?? ? ,则 f ? ? 的值是___. 3 ?2?

【答案】 ?

2 2

30. (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题)在锐角△ABC 中, tan A = t ? 1, tan B = t ? 1,

则 t 的取值范围是_______.
【答案】

?

2 ,?? ;
? cos 2 x 的最小正周期为________.

?

31. (江苏省盐城市 2014 届高三上学期期中考试数学试题)函数 y

【答案】 ? 32. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月考数学试题)函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的一条

对称轴方程为 x ?
【答案】0

?
4

,则 a ? ____________.

33. (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题)将函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象向左平移

? 个 3

单位后得到的图象对应的解析式为 y ? ? sin(2 x ? ? ) ,则符合条件的绝对值最小的 ? 角是______.
【答案】 ?

?
6

34. (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)将函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标变

π 为原来的 4 倍,横坐标变为原来的 2 倍,然后把所得的图象上的所有点沿 x 轴向左平移 个单位,这样 2 得到的曲线和函数 y ? 2sin x 的图象相同,则函数 y ? f ( x) 的解析式为_________.
【答案】 y ?

1 π 1 或 y ? ? cos 2 x sin (2 x ? ) 2 2 2

35 .( 江 苏 省 连 云 港 市 赣 榆 县 清 华 园 双 语 学 校 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 函 数

?? ? f ?x ? ? 2 s i n ? ?x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则 ? ? __________. 3? ?
【答案】2 36. (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题)已知三角形的一边长为 5,所对角为 60? ,则另两

边长之和的取值范围是________.
【答案】 ?5,10 ;

?

tan(
37. (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题) 已知 【答案】

?
4

? ?) ? 2

,则 tan ? ? ________.

1 3
?
12 ? log2 cos

38 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学) 2014 届高三第二次调研数学试题) log 2 sin

?
12

的值为

_____.
第 5 页,共 30 页

【答案】

-2

39. (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题)函数 y ? sin? xcos? x 的最小正周期是

_________. 【答案】1
40. (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? m cos 2 x 的图

象关于直线 x ?

?
8

,则 f(x)的单调递增区间

为_____________.
【答案】 [k? ?

3? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8

41 .( 江 苏 省 常 州 市 武 进 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 ?ABC

中, AB ? 3 , BC ? 1 , A ? 30? ,则 AC ? ________.
【答案】1 或 2 42. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三第二次调研数学试题)已知 ? ? ( ?

?
2

,0) , cos ? ?

tan(? ?

?
4

3 ,则 5

) ? _________.
1 7

【答案】 ?

43( .江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷) 对于函数

f ?x ? ,若存在实数 m ? 0 ,

对 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x 都 有 f ?x? ? m , 则 称 该 函 数 为 “ 有 界 函 数 ”, 已 知 函 数

?? ? f ?x ? ? 3 sin 2 x ? sin? 2 x ? ? 为“有界函数”,则 m 的取值集合为___★___. 2? ?
【答案】

?2,???.
2 t , tan ? ? , t 15

? 为锐角,且 tan ? ? 44. (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷) 已知 ? ,
当 10 tan ? ? 3tan ? 取得最小值时, ? ? ? 的值为______.
【答案】

π 4

45. (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题) 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? , 2 3

则 sin( x ? y) ? ________
【答案】

2 3

46 . ( 江 苏 省 泰 州 市 姜 堰 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题 ) 已 知 ? ? (0,

?
2

), cos? ?

sin ? ? ________.
第 6 页,共 30 页

1 ,则 3

【答案】

2 2 3 ? 3 2 ,则 5

47 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学) 2014 届高三 10 月月考数学试题) 已知 cosx ? sin x

5 sin 2 x ? ____. ?? ? cos? x ? ? 4? ?
【答案】

7 3
4 ? ? ,则 tan( ? ) 的 5 2 4

48( .江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题) 已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ?

值为________.
【答案】

1 ; 3

49 .( 江 苏 省 淮 安 市 车 桥 中 学 2014 届 高 三 9 月 期 初 测 试 数 学 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? A cos (? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ?
________.

?
2

) 的部分图象如上图所示 , 则 f ( x ) 的函数解析式为

y
?

3 ? 2 —3

3? 2

? 2

O

x
【答案】 y ? 3cos( ?

x 2

?
4

)

n ta n t x 2 y? 50( .江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题) 已知 0 ? y ? x ? ? , 且a
则 x ? y ? ___▲___.
【答案】

sin x sin y ? ,

1 , 3

? 3
f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ?[0, ? ]) 的值域

51 . (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一)函数

是_______
【答案】 [?

3, 2]
5 ,且 α 是第四 13

52 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)已知 cosα =

象限角,则 sin(-2π +α )= ____.
【答案】 ?

12 13
第 7 页,共 30 页

53 . (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷)已知 3 sin 2?

? 4 2 cos? ,且

?? ? ? ? ? , ? ? ,则 tan 2? ? ___★___. ?2 ? 4 2 . 7

【答案】

54 . (江苏省如皋中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试卷) 设向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) ,

?

?

其中 0 ? ? ? ? ? ? ,若 | 2a ? b |?| a ? 2b | ,则 ? ? ? ? _____________.
【答案】

? ?

?

?

? 2
2

55 . (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷)函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 的最小正

周期是______.
【答案】 ? 56 . ( 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 第 二 次 调 研 数 学 试 题 ) 已 知 0 ? y ? x ? π , 且

tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 1 ,则 x ? y ? ______. 3
【答案】 π

3

57 ( .江苏省泰州市姜堰区张甸中学 2014 届高三数学期中模拟试卷) 已知角 A.B.C 是三角形 ABC 的内角, a, b, c

分别是其对边长,向量

?? ? ?? 3 A A ? A 则 b ? _____. m ? (2 3 sin , cos 2 ), , n ? (cos , ?2) , m ? n ,且 a ? 2, cos B ? 3 2 2 2
【答案】

4 2 3
cos(? ? ? ) ? 3? ? sin(? ? ) ? cos( ? ? ) 的 sin(? ? ? ) 2 2

58 . (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)化简

结果是______.
【答案】粘贴有误,原因可能为题目为公式编辑器内容,而没有其它字符 59 . (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)已知 ? ? ( ?

?
2

,0) , cos ? ?

3 ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4





【答案】 ?

1 7
x 3

60. (江苏省常州市武进区 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题) 将函数 f ( x) ? 2 cos( ?

?
6

) 的图象向左

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平移

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,则 g ( x) 的解析式为________.

【答案】 g ( x) ? 2 cos(

x ? ? ) ?1 3 4

二、解答题 61 .( 江 苏 省 宿 迁 市 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 摸 底 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A>0 , ? >0 , ? ?[0 , ?)) 的图象如图所示.

(1)求 f ( x) 的解析式;

3] 上的最大值和最小值. (2)求函数 g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2) 在 x ?[?1,
y 3

?1
-3

O

3

x

(第 16 题图)
【答案】解:(1)由图可得 A ? 3 ,

f ( x) 的周期为 8,则

2?

?

? 4 ,即 ? ?

? ; 4

f (?1) ? f (3) ? 0 ,则 f (1) ? 3 ,
所以 sin( ? ? ) ? 1,即 故? ?

? 4

? ? ?) , ? ? ? ? 2k ? , k ? Z ,又 ? ?[0 , 4 2

? , 4 ? 4 ? 4

综上所述, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 3sin( x ? ) ; (2) g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2)

? ? ? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 3sin[ ( x ? 2) ? ] 4 4 4 4 ? ? ? ? ? 3sin( x ? ) ? 3 3 cos( x ? ) 4 4 4 4 1 ? ? 3 ? ? ? 6[ sin( x ? ) ? cos( x ? )] 2 4 4 2 4 4 ? 7? ? 6sin( x ? ) 4 12 ? 7? ? 4? 3] 时, x ? 当 x ?[?1, ?[ , ] , 4 12 3 3 ? 7? ? 7? ? 1 故当 x ? ? 即 x ? ? 时, sin( x ? ) 取得最大值为 1, 4 12 4 12 2 3 1 则 g ( x) 的最大值为 g (? ) ? 6 ; 3 3 ? 7? ?? ? 7? 当 x? 即 x ? 3 时, sin( x ? ) 取得最小值为 ? , ? 2 4 12 3 4 12
第 9 页,共 30 页

则 g ( x) 的最小值为 g (3) ? 6 ? (?

3 ) ? ?3 3 2

62. (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在 x ? (1)当 x ? (0,

?
2

5? 处取得最大值. 12

) 时,求函数 f ( x) 的值域;

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?
【答案】

13 3 ,求 ?ABC 的面积. 14

63. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三上学期期中模拟数学试题)在 ?ABC 中, A,B,C 的对边分

别为 a,b,c, 且 a cos C,b cos B,c cos A 成等差数列. (1)求 B 的值; (2)求 2 sin A ? cos( A ? C ) 的取值范围.
2

【答案】 解⑴由题意得 a cos C ? cos A ? 2b cos B , 又 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B , c ? 2 R sin C , 得

sin( A ? C ) ? 2sin B cos B ,即 sin B ? 2sin B cos B ,在 ?ABC 中, 0 ? B ? ? ,
∴ sin B ? 0 ,∴ cos B ?

1 ? ,又 0 ? B ? ? ,∴ B ? . 2 3
第 10 页,共 30 页

⑵ A?C ?

2? 2? 2? , 2sin 2 A ? cos(2 A ? ) ? 1 ? cos 2 A ? cos(2 A ? ) 3 3 3

? 1 3 3 3 ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ? 3 sin(2 A ? ) 3 2 2 2 2
∵0 ? A ?

2? ? ? 3 ? ,∴ ? ? 2 A ? ? ? ,∴ ? ? sin(2 A ? ) ≤ 1 , 3 3 3 2 3

∴ 2sin 2 A ? cos( A ? C) 的取值范围是 ( ?

1 ,1 ? 3] . 2
π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

64. (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题)已知 sin( A ?

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

【答案】解:(Ⅰ)因为

π π π π 3π π 7 2 π 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? ,所以 ? A ? ? , cos( A ? ) ? ? . 4 2 2 4 4 4 10 4 10 π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4
6

因为 cos A ? cos[( A ?

??

3 2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? .所以 cos A ? . 5 10 2 10 2 5

4 5 . 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin Asin x 5 2 1 3 1 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 因 为 s i n x ? ?[ 1 ,,1所 ] 以 , 当 sin x ? 2 2 2 3 时, f ( x ) 取最大值 ;当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 取最小值 ?3 . 2 3 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3, ] 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ?
65 . ( 江 苏 省 启 东 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 模 拟 数 学 试 题 ) 在△ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分 别为

a,b,c, tan C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围.
【答案】解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? 3
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(2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? ? ? 2? 3 3 2 ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 2 4 2 3 3 3 3
66. (江苏省如皋中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试卷)已知函数

f ( x) ? ?2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1

⑴求 f ( x) 的最小正周期及对称中心; ⑵若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3

【答案】解:⑴ f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 2? ?? , ∴ f ( x) 的最小正周期为 T ? 2 ? k? ? ? (k ? Z ) , 令 sin(2 x ? ) ? 0 ,则 x ? 6 2 12 k? ? ? , 0), (k ? Z ) ; ∴ f ( x) 的对称中心为 ( 2 12 ? ? ? ? 5? 1 ? ⑵∵ x ? [ ? , ] ∴ ? ? 2 x ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ∴ ?1 ? f ( x) ? 2 6 3 6 6 6 2 6
∴当 x ? ?

?

?

67. (江苏省盐城市 2014 届高三上学期期中考试数学试题)已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ,其中角 ? 的终边经

6

时, f ( x) 的最小值为 ?1 ;当 x ?

?

6

时, f ( x) 的最大值为 2

过点 P (1, 3) ,且 0 ? ? ? ? . (1)求 ? 的 值; (2)求 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调减区间.
【答案】

68 . ( 江 苏 省 南 京 市 第 五 十 五 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2x ? a ( x ? R ), 若 f ( x) 有最大值 2 .
(1),求实数 a 的值;
第 12 页,共 30 页

(2)x ? [0,

? ]求函数 f ( x ) 的值域. 2
3 sin2x+a+1

【答案】解:(1)f(x)=cos2x+

=2sin(2x+

? )+a+1 6

因为 f(x)的最大值是 2,所以 a= -1

? ? ? 7? 1 ? , ∴ ≤2x+ ≤ , ∴- ≤sin(2x+ )≤1 6 2 2 6 6 6 ? ∴-1≤2sin(2x+ )≤2,即 f(x)的值域是[-1,2] 6
(2)∵0≤x≤
69 . ( 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 模 拟 数 学 试 题 ) 已 知 向 量

a ? (4,5 cos? ),b ? (3,?4 tan? )
⑴若 a // b ,试求 sin ? ⑵若 a ? b ,且 ? ? (0,

?
2

) ,求 cos( 2? ?

?
4

) 的值

5 3 (舍)或 sin ? ? ? 3 5 ? 3 4 ⑵由 a ? b 得, 12 ? 20 cos ? ? tan ? ? 0 , sin ? ? ,又 ? ? (0, ) , cos ? ? 2 5 5 24 7 ? 31 sin 2? ? , cos 2? ? 2 , cos( 2? ? ) ? 25 25 4 50
【答案】解:⑴由 a // b 得, 15 cos ? ? 16 tan ? ? 0 , sin ? ? 70. (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题)在△ABC 中,A = 2B, sin B ?

1 ,AB = 23. 3

(1)求 sin A , sin C ; ??? ? ??? ? (2)求 CA ? CB 的值.
【答案】解:1) sin B ?

2 2 1 ,B 为锐角,∴ cos B ? . 3 3 1 2 2 4 2 sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? . 3 3 9
cos A ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B ? ( 2 2 2 1 2 7 ) ?( ) ? . 3 3 9 4 2 2 2 7 1 23 ? ? ? ? . 9 3 9 3 27

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

(2)∵

AB AC BC ,AB = 23,∴AC = 9,BC = 12 2 . ? ? sin C sin B sin A

7 2 2 4 2 1 10 2 cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? ? ? ? ?? . 9 3 9 3 27 ??? ? ??? ? 10 2 ) ? ?80 . ∴ CA ? CB ? CA ? CB ? cos C ? 9 ? 12 2 ? (? 27
71 .( 江 苏 省 苏 州 市 2013-2014 学 年 第 一 学 期 高 三 期 中 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin 2x ? 2 3sin 2 x ?1 ? 3 .
第 13 页,共 30 页

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

?? ? ? (II)当 x ? ? , ? 时,若 f ( x) ? log2 t 恒成立,求 t 的取值范围. ?6 2?
【答案】解:(I) f ( x) = 2sin(2 x - ? ) + 1

3

∴函数 f ( x ) 最小正周期是 T = ? 当 2kp - p ? 2 x p ? 2kp 2 3

p ,即 k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? Z , 2 12 12

函数 f ( x ) 单调递增区间为 [k? ? ? , k? ? 5? ](k ? Z ) 12 12

? , ? ? ,? 2 x ? ? ? ? 0, 2? ? , (II)? x ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?6 2? ?
? f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1 的最小值为 1, 3
由 f ( x) ? log2 t 恒成立,得 log 2 t ? 1恒成立. 所以 t 的取值范围为(0,2]
72. (江苏省泰兴市第三高级中学 2014 届高三上学期期中调研测试数学理试题)在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C

所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 c ? a ? b ? ab .
2 2 2

(Ⅰ)若 tan A ? tan B ?

3 (1 ? tan A ? tan B) ,求角 B ; 3

(Ⅱ)设 m ? (sin A,1) , n ? (3,cos 2 A) ,试求 m ? n 的最大值.
【答案】解:∵ c ? a ? b ? ab ;∴ cos C ?
2 2 2

??

?

1 ? ,∵ C ? (0, ? ) ∴ C ? 2 3

(1)∵ tan A ? tan B ? ∴ tan( A ? B) ? ∴ A? B ? ∴B ?

3 (1 ? tan A ? tan B) 3

3 ? 2? 2? ? ∵ ( A ? B) ? ? ? , ? 3 ? 3 3 ?
5? 2? ,又 A ? B ? 6 3

?
6

或A ? B ? ?

?

4 ?? ? 2? 2 (2) m ? n ? 3sin A ? cos 2 A ? 3sin A ? 1 ? 2sin A 令 sin A ? t ? 0 ? A ? ∴0 ? t ?1 3 ?? ? ?? ? 3 17 3 17 m ? n ? ?2t 2 ? 3t ? 1 ? ?2(t ? ) 2 ? ∴ t ? 时, m ? n 的最大值为 4 8 4 8
73. (江苏省无锡市洛社高级中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)(本题 1 4 分)已知向量

或B ?

3? ? (舍去)∴ B ? 4 4

? ? ? ? ? a ? (cos? ,sin ? ), b ? (cos 2? ,sin 2? ), c ? (?1,0), d ? (0,1) .

第 14 页,共 30 页

(1)求证: a ? (b ? c) ;
【答案】

?

? ?

(2)设 f (? ) ? a ? (b ? d ) ,当 ? ? ? 0,

?

? ? ?

? ?

??

? 时,求 f (? ) 的值域. 2?

74. (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所

对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 f ( A) ? 2 cos (Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0 , C ?
【答案】(Ⅰ)

A A 2 A 2 A . sin ? sin ( ) ? cos( ) 2 2 2 2

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12
= .

因为 0<A<π ,所以 则所以当 (Ⅱ)由题意知 又知 所以 ,则 . ,所以 ,即

. 时,f(A)取得最大值,且最大值为 ,所以 ,则 .因为 , . .



得,

.

75 .( 江 苏 省 常 州 市 武 进 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函 数
第 15 页,共 30 页

? f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴交于点 F (0, 2) ,与 2
x 轴交于点 B, C , M 为最高点,且 ?MBC 的面积为 ? .
⑴ 求函数 f ( x) 的解析式; ⑵ 若 f (? ? ) ?
y

? 4

2 5 ? ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 5 2

M

F B

O

C

x

【答案】解:(1)∵ S ?MBC

∴周期 T ? 2? ?

??

1 ? ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2

?

,? ? 1

由 f (0) ? 2sin ? ? ∵0 ?? ?

2 ,得 sin ? ?

2 , 2

? ? ,∴ ? ? , 2 4 ? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) 4
(2)由 f (? ? ) ? 2sin ? ?

? 4

2 5 5 ,得 sin ? ? , 5 5
2

∵ ? ? (0, ) ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? ∴ cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ∴ cos(2? ?

? 2

2 5 , 5

3 4 ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 5 5

2 4 2 2 ? ? ? 3 ? ? ?? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? ? 4 4 4 5 2 5 2 10
2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . 3

76. (江苏省常州市武进区 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 A、B 分别在射线 CM 、CN (不

含端点 C )上运动, ?MCN ?

⑴ 若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; ⑵ 若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值.

第 16 页,共 30 页

M A

N

B

C

【答案】解:(1)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,
M A

θ N B C

? a ? c ? 4、b ? c ? 2
又? ?MCN ?
2

2 1 a 2 ? b2 ? c2 1 ? , cos C ? ? ,? ?? , 3 2 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
2

1 ?? , 2

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 又? c ? 4 ,? c ? 7 (2)在 ?ABC 中,

AC BC AB ? ? , sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB

?

AC ? sin ?

BC 3 ? ? 2, ?? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?

?? ? AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? ?3 ? ?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2? ?? ?? 3 , ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? ? ? 3 ? 2sin ? 3? ? ? ?
又? ?? ? 0,

? ?

? ? 2? ?? ? ,? 3 ? ? ? 3 ? 3 , 3?
?
2
即? ?

?当 ? ?

?
3

?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 6
第 17 页,共 30 页

77. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三第二次调研数学试题)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对

边分别为 a、b、c,已知 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc. (1)求角 A;
【答案】

(2)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值.

78 .( 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 向 量

m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数f ( x) ? m ? n.
(1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间 .(2)在△ABC 中,a、b、c、分别是角 A、B、C 的对边,若

f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为
【答案】

3 ,求 a 的值. 2

79 . ( 江 苏 省 扬 州 市 扬 州 中 学

2014

届 高 三

10

月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 向 量

m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数f ( x) ? m ? n.
(I)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间.(II)在△ABC 中,a、b、c、分别是角 A、B、C 的对边,若

f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为
【答案】

3 ,求 a 的值. 2

第 18 页,共 30 页

(II)由 f ( A) ? 4 得? A ?

? ? S ?ABC ?
,

3 ,b ?1 2 ?c 3 1 3 ? bc sin A ? 2 2

?2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?
8b 2 . a2

1 ? 3?a ? 3 2

80. (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、

b、c,且 cos 2C ? 1 ?
(I)求

1 1 的值; ? tan A tan C

(II)若 tan B ?

8 ,求 tan A 及 tan C 的值. 15
2

2 【答案】解:(I)∵ cos2C ? 1 ? 8b ,∴ sin 2 C ? 4b 2 2

a

a

∵ C 为三角形内角,∴ sin C ? 0, ∴ sin C ? 2b . a ∵

a ? b ,∴ b ? sin B . ∴ 2sin B ? sin A sin C sin A sin B a sin A

∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C . ∴ 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? sin A sin C .

sin C ? 0 ,∴ ∵ sin A?
(II)∵

1 ? 1 ?1 tan A tan C 2

1 ? 1 ? 1 ,∴ tan A ? 2 tan C tan A tan C 2 tan C ? 2

∵ A? B ?C ?? , ∴ tan B ? ? tan( A ? C) ? ? tan A ? tan C ?

1 ? tan A tan C

tan 2 C . 2tan C ? tan C ? 2
2

2 tan 2 C 整理得 tan C-8tanC+16=0 15 2tan C ? tan C ? 2 解得,tanC=4,tanA=4

∴ 8 ?

2

81. (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷)(本小题满分 14 分,第 1 小题 6

分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是

3π . 4

第 19 页,共 30 页

(1) 求实数 a 的值; (2) 设 g ?x? ? ? f ?x ?? ,求 g ( x) 的单调递增区间.
2

【答案】(1)解:依题意,得 f (

3π ) ? 0, 4

即 sin

3π 3π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

解得 a ? 1 (2)解:由(1 )得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ?x? ? ? f ?x?? ? ?sin x ? cos x? ? 1 ? sin 2x
2 2

由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z 得

?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z

所以 g ( x) 的单调递增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? 4 ? 4 ?

82 . ( 江 苏 省 灌 云 县 陡 沟 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 过 关 检 测 数 学 试 题 ) 如 图 , 已 知 函 数

?? ? f ?x ? ? A sin??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? ? 图像上一个最高点坐标为(2,2 3 ),这个最高点到相邻最低点 2? ?
的图像与 x 轴交于点(5,0).

(1) 求 f ?x ? 的 解析式; (2) 是否存在正整数 m ,使得将函数 f ?x ? 的图像向右平移 m 个单位后得到一个偶函数的图像 ?若存 在,求 m 的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】

第 20 页,共 30 页

83. (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)

(1)设扇形的周长是定值为 c (c ? 0) ,中心角 ? .求证:当 ? ? 2 时该扇形面积最大; (2)设 y ? 1 ? 2a ? a ? 2a cos x ? 2 sin x (-2≤a≤2,x∈R).求证:y≥-3.
2 2

【答案】(1)证明:设弧长为 l,半径为 R,则 2R+l=c, R ?

c?l c ? l ( ) 2

?S ?

1 1 c ?l 1 1 c c2 Rl ? ? l ? (cl ? l 2 ) ? ? (l ? )2 ? 2 2 2 4 4 2 16

c c2 ?当l ? 时, Smax ? 2 16

c l ?2 ,而 ? ? 4 R 所以当 ? ? 2 时该扇形面积最大
此时 R ? (2)证明: y ? 1 ? 2a ? a ? 2a cos x ? 2(1 ? cos x)
2 2

a a2 ? 2(cosx ? ) 2 ? ? 2a ? 1 2 2
∵-2≤a≤2,∴-1≤

a ≤1, 2
第 21 页,共 30 页

a a2 1 时, y min ? ? 2a ? 1 ? [(a ? 2) 2 ? 6] 2 2 2 1 2 又∵-2≤a≤2,∴ y min ? [( a ? 2) ? 6] ≥-3,当 a = 2 时取等号, 2
∴当 cos x ? 即 y≥-3 法二: y ? a 2 ? 2a(1 ? cos x) ? 2 cos2 x ? 1

? [a ? (1 ? cos x)]2 ? cos2 x ? 2 cos x ? 2
∵0≤ 1 ? cos x ≤2,-2≤a≤2, ∴当 a= 1 ? cos x 时,

ymin ? cos2 x ? 2 cos x ? 2 ? (cosx ? 1) 2 ? 3 ,
又∵-1≤ cos x ≤1,∴ ymin ? (cosx ? 1) 2 ? 3 ≥-3 当 cos x =1 时取等号 即 y≥-3
84. (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)在锐角△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知

向量 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=7,b=8,求△ABC 的面积.
【答案】

85 . (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题) 已知 tan(
第 22 页,共 30 页

?
4

??) ?

1 ,(1) 求 tan ? 的值 ;(2) 求 2

sin 2a ? cos2 ? 的值. 1 ? cos 2?

【答案】解:(1) tan(

?
4

??) ?

tan

?
4

? tan?

1 ? tan tan? 4 ? 1 1 ? tan ? 1 1 ? , 解得 tan ? ? ? 由 tan( ? ? ) ? ,有 4 2 1 ? tan ? 2 3
(2)解法一:

?

?

1 ? tan? 1 ? tan?

sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos ? 1 1 1 5 ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? 2 3 2 6 1 ? cos2? 1 ? 2 cos ? ? 1
1 ,求 2

86. (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)(1)设 tan ? ? ?

1 的值; sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 (2)已知 cos(75°+ ? )= ,且-180°< ? <-90°,求 cos(15°- ? )的值. 3 sin 2 ? ? cos2 ? 【答案】(1)原式 ? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ?
2

?1 tan2 ? ? 1 ? ? 4 2 tan ? ? tan? ? 2 1 1 4 ? 2

1

? ?1

?2

(2)由-180°< ? <-90°,得-105°< ? +75°<-15°,

2 2 , 3 而 cos(15°- ? )=cos[90°-(75°+ ? )]= sin(75°+ ? )
故 sin(75°+ ? )= ? 1 ? cos2 (75? ? ? ) ? ? 所以 cos(15°- ? )= ? 2 2
3

87 .( 江 苏 省 泰 州 市 姜 堰 区 张 甸 中 学 2014 届 高 三 数 学 期 中 模 拟 试 卷 ) 已 知 函 数

?π ? f(x)=Asin(x+φ )(A>0,0<φ <π ),x∈R 的图象有一个最高点? ,1?. 3 ? ?
(1) 求 f(x)的解析式; 1 (2) 若 α 为钝角,且 f(α )= ,求 f(-α )的值. 3
【答案】 解:(1) 由题意,A=1,sin?

?π +φ ?=1,又 0<φ <π ,所以 φ =π , ? 6 ?3 ?

π? 2 2 ? π? ? 所以 f(x)=sin?x+ ?.(2) 由题意,cos?α + ?=, 6 6? 3 ? ? ? π ?? π? π? π? π π ? ?π ? ? ? 所以 f(-α )=sin?-α + ?=sin? -?α + ??=sin cos?α + ?-cos sin?α + ? 6 ?? 6? 6? 6? 3 3 ? ? ? ?3 ? =3 2 21 1 2 6 ?1 × - × =? . 2 3 2 3 6
第 23 页,共 30 页

B 两个小岛相距 10 km ,船 88. (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷)如图,海上有 A ,

O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60 ? ,现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业, 且 OC ? BO .设 AC ? x km . (1)用 x 分别表示 OA2 ? OB 2 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围; (2)晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD ,求 BD 的最大值.

D
A
60 ?
C O

B

(第 18 题图)
【答案】解:(1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x ,

由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO ,所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ②, x 2 ? 100 ①+②得 OA2 ? OB 2 ? , 2

x 2 ? 100 , 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ≥2? 又 OA2 ? OB2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤300 , 2 2 x 2 ? 100 > 0 ,即 x 2 >100 , 又 OA ? OB ? 2
①-②得 4OA ? OB ? cos60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ? 所以 10<x≤10 3 ; (2)易知 S?OAB ? S?OAC ,

1 3( x 2 ? 100) 故 S?ABC ? 2S?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , 2 4

1 ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) , 2 3( x 2 ? 100) , x ? (10 , 10 3] , 所以 f ( x) ? 2x 3 100 (1 ? 2 ), 又 f ?( x) ? 2 x
又 S?ABC ? 则 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数, 所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10 (利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数,同样给满分;如果直接说出 f ( x) (10 , 10 3] 上 是增函数,但未给出证明,扣 2 分.)
89 .( 江 苏 省 泰 州 市 姜 堰 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题 ) 设 已 知

第 24 页,共 30 页

? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? a ? (2 cos , sin ) , b ? (cos , 3sin ) ,其中 ? 、? ? (0, ? ) . 2 2 2 2 ? ? 2? (Ⅰ)若 ? ? ? ? ,且 a ? 2b ,求 ? 、? 的值;
3

? ? 5 (Ⅱ)若 a ? b ? ,求 tan ? tan ? 的值. 2

? ?? ? ?? ? 2 cos ? 2 cos ? ? ? ? 2 2 【答案】解:(Ⅰ)∵ a ? 2b ,∴ ? , ?sin ? ? ? ? 6 sin ? ? ? ? 2 2 ?
? k? , 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ( ? , ) ,∴ ? 0 ,即 ? ? ? , 而? 、 ? ? (0, ? ) ,∴ 2 2 2 2 ? 2? 又? ? ? ? ,所以, ? ? ? ? -----3 3 ? ?? 1 ? cos( ? ? ? ) 1 ? cos( ? ? ? ) 2 ? ?? ? 3 sin 2 ? 2? ? 3? (Ⅱ) a ? b ? 2 cos 2 2 2 2 5 3 cos( ? ? ? ) 5 ? ? cos( ? ? ? ) ? ? 2 2 2
∴ sin

? ??
2

? 0 ,∴

? ??

∴ 2 cos(? ? ? ) ? 3 cos(? ? ? ) ? 0 ,即 ? cos? cos ? ? 5 sin ? sin ? ? 0 ∴ tan ? tan ? ? ?

1 5

90( .江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题) 已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) .

?

?

(1)若 ? ? ? ?

?

6 ? ? 4 ? (2)若 a ? b ? , ? ? ,求 tan(? ? ? ) 的值. 5 8
【答案】解:(1)∵ a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? )

,求 a ? b 的值;

? ?

∴ a ? b ? cos(? ? ? ) ? cos (2)∵ a ? b ?

?
6

?

3 2

4 4 3 3 ∴ cos(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ? , tan(? ? ? ) ? ? 5 5 5 4

? ? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ?
? tan(? ? ? ) ? tan[

?

4

? (? ? ? )

?
4

? (? ? ? )] ?

1 ? tan( ? ? ?) 1 ? tan( ? ? ?)

第 25 页,共 30 页

91. (江苏省盐城市 2014 届高三上学期期中考试数学试题) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

3 3 1? 4或 4 ? 1或7 ? 3 3 7 1? 1? 4 4 1?



?? ? 记 f ( A) ? m ? n .

?? m ? (1,1)

,

? n ? (? cos A,sin A)

,

(2)若 m 与 n 的夹角为
【答案】

??

?

?
3

,C ?

?
3

,c ?

6 ,求 b 的值.

92 .( 江 苏 省 苏 州 市 2014 届 高 三 暑 假 自 主 学 习 测 试 ( 9 月 ) 数 学 试 卷 ) 已 知 向 量

m ? ( c oA s?, A s i,n n ?)(cos B,sin B) , m ? n ? cos 2C ,其中 A, B, C 为 ?ABC 的内角.
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 AB ? 6 ,且 CA ? CB ? 18 ,求 AC , BC 的长.
【答案】解:(Ⅰ) m ? n ? cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? ? cos C ,
2 所以 ? cos C ? cos 2C ,即 2cos C ? cos C ? 1 ? 0 ,

??? ? ??? ?

故 cos C ?

1 或 cos C ? ?1 (舍), 2

又 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?

3 ??? ? ??? ? (Ⅱ)因为 CA ? CB ? 18 ,所以 CA ? CB ? 36 . ①
由余弦定理 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos60? , 及 AB ? 6 得, AC ? BC ? 12 . ②
第 26 页,共 30 页

由①②解得 AC ? 6, BC ? 6
93 . ( 江 苏 省 涟 水 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 ( 10 月 ) 第 一 次 统 测 数 学 ( 理 ) 试 卷 ) 设 函 数

f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? a(0 ? x ? 3) 的最大值为 m ,最小值为 n ,其中 a ? 0, a ? R .
(1)求 m 、 n 的值(用 a 表示); (2) 已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系 xoy 中的原点 o 重合, 始边与 x 轴的正半轴重合 ,终边经过点

A(m ? 1, n ? 3) .求

sin? ? 3 cos ? 的值. cos ? ? 3 sin ?
2

【答案】解(1) 由题可得 f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ? a

而0 ? x ? 3

所以, m ? f ?1? ? 1 ? a , n ? f ? 3? ? a ? 3 (2)角 ? 终边经过点 A ? a , a ? ,则 tan ? ? 所以,.

a ?1 a

sin? ? 3 cos ? tan ? ? 3 1 ? 3 = ? ? ?2 ? 3 cos ? ? 3 sin ? 1 ? 3 tan ? 1 ? 3

94. (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题) 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长

为 3,且 cos B ?

1 10 , cos ?ADC ? ? . 4 8

(Ⅰ)求 sin ?BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长. A

B

D
第 16 题

C

【答案】解:(Ⅰ)因为 cos B

?

3 6 10 ,所以 sin B ? 8 8

又 cos ?ADC ? ?

1 15 ,所以 sin ?ADC ? 4 4

所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

?

15 10 1 3 6 6 ? ? (? ) ? ? 4 8 4 8 4

第 27 页,共 30 页

(Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理,得

AD BD 3 BD ? ? ,即 ,解得 BD ? 2 sin B sin ?BAD 3 6 6 8 4

故 DC ? 2 ,从而在 ?ADC 中,由余弦定理,得 AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC = 32 ? 2 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ( ? ) ? 16 ,所以 AC ? 4
95. (江苏省兴化市 2014 届高三第一学期期中调研测试)在△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

1 4

已知 m ? 2 cos A, 3 sin A ,n ? ?cos A,?2 cos A? ,m·n ? ?1 . (1)求 ? A 的大小; (2)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求△ ABC 的面积.
【答案】解:(1)法一:由题意知 m·n ? 2 cos
2

?

?

A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 .

∴ 1 ? cos2 A ? 3 sin 2 A ? ?1 . 即 3 sin 2 A ? cos2 A ? 2 ∴ 2 sin? 2 A ?

? ?

??

?? ? ? ? 2 ,即 sin? 2 A ? ? ? 1 . 6? 6? ?
?
6 ? 2A ?

∵ 0 ? A ? ? ,∴ ? ∴ 2A ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

11? 6

.
2

法二:由题意知 m·n ? 2 cos A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 . ∴ 2 cos A ? 2 3 sin A cos A ? sin A ? cos A ? 0 .
2 2 2

即 3 cos A ? 2 3 sin A cos A ? sin A ? 0 .
2 2

?

3 cos A ? sin A ? 0 ∴ 3 cos A ? sin A ,即 tan A ? 3

?

2

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

.
2 2 2 2

(2)法一:由余弦定理知 a ? b ? c ? 2bc cos A ,即 12 ? b ? 4 ? 2b ,
2 ∴ b ? 2b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 ,( b ? ?2 舍去)

∴△ ABC 的面积为 S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ?2 3. 2 2 2

第 28 页,共 30 页

法二:由正弦定理可知

a c 1 ? 2? ? ? ,所以 sin C ? ,因为 C ? ? 0, ? sin A sin C 2 ? 3 ?

所以 C ?

?
6

,B ?

?
2

.∴△ ABC 的面积为 S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ?2 3 2 2 2

96. (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷)(本小题满分 15 分,第 1 小题 6

分,第 2 小题 9 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C . (1) 求角 C 的大小; (2) 当 3 sin A ? cos B 取得最大值时,请判断 ?ABC 的形状.
【答案】解:(1)由 c sin

A ? 3a cos C 结合正弦定理得,

a c c ? ? sin A 3 cos C sin C

从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 , ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?

?
3

;

2? ?A 3

∴ 3 sin A ? cos B ? 3 sin A ? cos(

? 3 sin A ? cos

2? 2? cos A ? sin sin A 3 3

2? ? A) 3

?

3 1 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) 2 2 6
2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? 3 6 6 6

∵0 ? A ? 当 A?

?
6

?

?

此时 A ?

?

2

时, 3 sin A ? cos B 取得最大值 1,

3 3 3 故此时 ?ABC 为等边三角形
分,第 2 小题 8 分)

,B ?

?

,C ?

?

.

97. (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三第一学期 9 月份月考数学试卷)(本小题满分 14 分,第 1 小题 6

如图所示,角 A 为钝角,且 sin A ?

3 ,点 P . Q 分别在角 A 的两边上. 5

(1) 已知 AP =5, AQ =2,求 PQ 的长; (2) 设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? ,且 cos ? ?

12 ,求 sin ?2? ? ? ? 的值. 13

第 29 页,共 30 页

【答案】解:(1)? ?A 是钝角, sin A ?

3 4 ,? cos A ? ? 5 5

在 ?APQ 中,由余弦定理得:

PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2 AP ? AQ cos A
从而 PQ ? 3 5 (2)由 cos ? ?

12 5 , 得 sin ? ? 13 13

在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ? 所以 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A) ? sin A ?

3 , 5

cos(? ? ? ) ? ? cos A ?

4 5

?sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? )
? 5 4 12 3 56 ? ? ? ? 13 5 13 5 65
14

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