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重庆市巫山中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


重庆市巫山中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. ) 1.已知集合 A={0,1,2},集合 B={﹣1,0,1},则集合 A∩B=() A.{﹣1,0,1,2} B.{0,1} C.{﹣1,6} D.? 2.某校高中生共有 900 人,其中 2014-2015 学年高一年级 300 人,2014-2015 学年高二年级 200 人,2015 届高三年级 400 人,先采用分层抽取容量为 45 人的样本,那么 2014-2015 学 年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级抽取的人数分别为() A.15、5、25 B.15、15、15 C.10、5、30 D.15、10、20 3.函数 A.{x|x>6} B.{x|﹣3<x<6} 的定义域是() C.{x|x>﹣3} D.{x|﹣3≤x<6}

4.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5= ,则公比 q 为() A.﹣ B. C.﹣2 D.2

5.已知向量 A.﹣4

=(2m,1) ,向量 B. 4

=(1,﹣8) ,若 C.



,则实数 m 的值是() D.

6.已知△ ABC 中 c=4,a=4 ,C=30°,则 A 等于() A.60° B.60°或 120° C.30° 7.当 n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

D.30°或 150°

A.30

B.14

C. 8

D.6

8.实数 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=x+3y 的最小值是()

A.﹣12

B.﹣8

C.﹣4

D.0 ,则 Sn 取最小

9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 值时,n 的值是() A.3

B. 4
a b

C. 5

D.6 的最小值为() D.

10.设 a>0,b>0.若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.4 B. 2 C. 1

11.在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“﹣1≤log

(x+ )≤1”发生的概率为()

A.

B.
2

C.

D.

12.函数 g(x)=log2x,关于方程|g(x)| +m|g(x)|+2m+3=0 在(0,2)内有三个不同的 实数解,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,4﹣2 )∪(4+2 ,+∞) B. (4﹣2 ,4+2 ) C. (﹣ ,﹣ ) D.(﹣ ,﹣ )

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.lg4+lg50﹣lg2 的值是.

14.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| + |=. 15.不等式(m ﹣2m﹣3)x ﹣(m﹣3)x﹣1<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值范 围为. 16.表中的数阵为“森德拉姆数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列的数 为 aij.则 * (1)ann=(n∈N ) ; (2)表中的数 52 共出现次.
2 2

三、解答题: (本大题共 7 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3= . (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}前 n 项和 Tn. 18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40, 50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率.

19.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 b=4,△ ABC 的面积为 6 ,求边长 c 的值. 20.已知函数 f(x)=2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图象向右平移 间 上的最大值和最小值.

acosC﹣csinA=0.



个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区

21.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分) ,这两栏的面积之和为 18000cm ,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽 度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?
2

22. 已知数列{an}的前 n 项和为 Tn, 且点 (n, Tn) 在函数 y= (n∈N ) (1)求{bn}的通项公式; (2)数列{cn}满足 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn; (3)记数列 的前 n 项和为 Bn,设 dn=
*

x 上, 且 an+2+3log4bn=0

,证明:d1+d2+…+dn< .

重庆市巫山中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试 卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. ) 1.已知集合 A={0,1,2},集合 B={﹣1,0,1},则集合 A∩B=() A.{﹣1,0,1,2} B.{0,1} C.{﹣1,6} D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵集合 A={0,1,2},集合 B={﹣1,0,1}, ∴集合 A∩B={0,1}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.某校高中生共有 900 人,其中 2014-2015 学年高一年级 300 人,2014-2015 学年高二年级 200 人,2015 届高三年级 400 人,先采用分层抽取容量为 45 人的样本,那么 2014-2015 学 年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级抽取的人数分别为() A.15、5、25 B.15、15、15 C.10、5、30 D.15、10、20 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比, 即样本容量比上总体容量, 按此比例 求出在各年级中抽取的人数. 解答: 解:根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为 则在 2014-2015 学年高一年级抽取的人数是 300× 人数是 200× =10 人, =20 人, = ,

=15 人, 2014-2015 学年高二年级抽取的

2015 届高三年级抽取的人数是 400×

故选 D. 点评: 本题的考点是分层抽样方法,根据样本结构和总体结构保持一致,求出抽样比,再 求出在各层中抽取的个体数目. 3.函数 的定义域是()

A.{x|x>6}

B.{x|﹣3<x<6}

C.{x|x>﹣3}

D.{x|﹣3≤x<6}

考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 要使函数有意义, 必须使函数的每一部分都有意义, 函数定义域是各部分定义域的 交集. 解答: 解:要使函数 ∴|﹣3≤x<6 ∴函数的定义域为:{x|﹣3≤x<6} 故答案选 D. 点评: 函数定义域是各部分定义域的交集. 有意义,x+3≥0,且 6﹣x>0

4.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5= ,则公比 q 为() A.﹣ B. C.﹣2 D.2

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列通项公式求解. 解答: 解:∵等比数列{an}满足:a2=2,a5= , ∴2q = , 解得 q= . 故选:B. 点评: 本题考查等比数列的公比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的 通项公式的求法.
3

5.已知向量 A.﹣4

=(2m,1) ,向量 B. 4

=(1,﹣8) ,若 C.



,则实数 m 的值是() D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量垂直的条件:数量积为 0,解方程即可求得 m. 解答: 解:由向量 若 ⊥ =(2m,1) ,向量 =(1,﹣8) ,

,则 ? =0,

即 2m×1+1×(﹣8)=0,

解得 m=4, 故选 B. 点评: 本题考查平面向量的运用,考查向量垂直的条件:数量积为 0,考查运算能力,属 于基础题. 6.已知△ ABC 中 c=4,a=4 ,C=30°,则 A 等于() A.60° B.60°或 120° C.30° 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 解三角形. 直接利用正弦定理求解即可. 解:△ ABC 中 c=4,a=4 ,C=30°, ,可得 sinA= = ,

D.30°或 150°

由正弦定理

∵a=4 4=c,∴A>C,解得 A=60°或 120°. 故选:B. 点评: 本题考查正弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力. 7.当 n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A.30

B.14

C. 8

D.6

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,K 的值,当 K=4 时,不满足条 件 k≤n,退出循环,输出 S 的值为 14. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 n=3,K=1,S=0 满足条件 k≤n,S=2,K=2 满足条件 k≤n,S=6,K=3

满足条件 k≤n,S=14,K=4 不满足条件 k≤n,退出循环,输出 S 的值为 14. 故选:B. 点评: 本题主要考察了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 S,K 的值是 解题的关键,属于基本知识是考查.

8.实数 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=x+3y 的最小值是()

A.﹣12

B.﹣8

C.﹣4

D.0

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=x+3y 为 由图可知,当直线

, 过 A(﹣2,2)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为

﹣8. 故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 值时,n 的值是() A.3 ,则 Sn 取最小

B. 4

C. 5

D.6

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由递推式得到给出的数列是公差为 3 的递增等差数列, 利用通项公式求出数列从第 五项开始为正值,则 Sn 取最小值时的 n 的值可求. * 解答: 解:在数列{an}中,由 an+1=an+3,得 an+1﹣an=3(n∈N ) , ∴数列{an}是公差为 3 的等差数列. 又 a1=﹣10,∴数列{an}是公差为 3 的递增等差数列. 由 an=a1+(n﹣1)d=﹣10+3(n﹣1)=3n﹣13≥0,解得
*



∵n∈N ,∴数列{an}中从第五项开始为正值. ∴当 n=4 时,Sn 取最小值. 故选:B. 点评: 本题考查了数列递推式, 考查了等差关系的确定, 考查了等差数列的通项公式及数 列的和,是中档题.
a b

10.设 a>0,b>0.若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.4 B. 2 C. 1

的最小值为() D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用等比中项即可得出 a 与 b 的关系, 再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得 出. 解答: 解:∵3 是 3 与 3 的等比中项,∴3 =3 ?3 =3 a>0,b>0. ∴ = =
a b 2 a b a+b

,∴a+b=2. =2.当且仅当 a=b=1 时

取等号. 故选 B. 点评: 熟练掌握等比中项、“乘 1 法”和基本不等式的性质是解题的关键.

11.在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“﹣1≤log

(x+ )≤1”发生的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 计算题;概率与统计. 先解已知不等式,再利用解得的区间长度与区间[0,2]的长度求比值即得. 解:利用几何概型,其测度为线段的长度. (x+ )≤1

∵﹣1≤log

∴ 解得 0≤x≤ , ∵0≤x≤2 ∴0≤x≤

∴所求的概率为:P= 故选:A 点评: 本题主要考查了几何概型,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 12.函数 g(x)=log2x,关于方程|g(x)| +m|g(x)|+2m+3=0 在(0,2)内有三个不同的 实数解,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,4﹣2 )∪(4+2 ,+∞) B. (4﹣2 ,4+2 ) C. (﹣ ,﹣ ) D.(﹣ ,﹣ )
2

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意|g (x) | +m|g (x) |+2m+3=0 在 (0, 2) 内有三个不同实数解可化为 t +mt+2m+3=0 有两个根,分别在(0,1) ,[1,+∞)上或在(0,1) ,{0}上;从而分别讨论即可. 解答: ∵g(x)=log2x 在(0,2)上单调递增, 且 g(x)<1; 2 故|g(x)| +m|g(x)|+2m+3=0 在(0,2)内有三个不同实数解可化为 2 t +mt+2m+3=0 有两个根,分别在(0,1) ,[1,+∞)上或在(0,1) ,{0}上; 当若在(0,1) ,{0}上,则 2m+3=0,则 m=﹣ ; 故 t=0 或 t= ; 不成立; 若在(0,1) ,{1}上; 则 1+m+2m+3=0, 故 m=﹣ ; 故 t +mt+2m+3=0 的解为 t= 或 t=1;成立; 若在(0,1) , (1,+∞)上,
2 2 2





解得﹣ <m<﹣ ; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.lg4+lg50﹣lg2 的值是 2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算法则进行计算即可得到结论. 解答: 解:lg4+lg50﹣lg2=lg =lg100=2,

故答案为:2 点评: 本题主要考查对数的基本运算, 利用对数的运算法则是解决本题的关键, 比较基础.

14.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| + |= 考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义求出 = +2 + 的值,即可求得 =1,求出 的值.



解答: 解:由题意可得| |=2,| |=1,向量 与 的夹角为 60°, ∴ ∴ ∴ =2×1×cos60°=1, = = +2 , + =4+2+1=7,

故答案为 . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于中档题. 15.不等式(m ﹣2m﹣3)x ﹣(m﹣3)x﹣1<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值范 围为(﹣ ,3].
2 2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 要分别考虑二次项系数为 0 和不为 0 两种情况, 当二次项系数为 0 时, 只要验证是 否对一切 x∈R 成立即可;当二次项系数不为 0 时,主要用二次函数开口方向和判别式求出 m 的取值范围,最后两种情况下求并集即可. 2 解答: 解:若 m ﹣2m﹣3=0,则 m=﹣1 或 m=3, 2 2 若 m=﹣1,不等式(m ﹣2m﹣3)x ﹣(m﹣3)x﹣1<0 为 4x﹣1<o 不合题意; 2 2 若 m=3,不等式(m ﹣2m﹣3)x ﹣(m﹣3)x﹣1<0 为﹣1<0 对一切 x∈R 恒成立,所以 m=3 可取, 设 f(x)=(m ﹣2m﹣3)x ﹣(m﹣3)x﹣1, 当 m ﹣2m﹣3<0 且△ =[﹣(m﹣3)] +4(m ﹣2m﹣3)<0,解得:﹣ <m<3, 即﹣ <m≤3 时不等式(m ﹣2m﹣3)x ﹣(m﹣3)x﹣1<0 对一切 x∈R 恒成立, 故答案为: .
2 2 2 2 2 2 2

点评: 本题主要考查二次函数恒成立问题, 考虑二次项系数为 0 的情况容易忽略, 所以也 是易错题. 16.表中的数阵为“森德拉姆数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列的数 为 aij.则 2 * (1)ann=n +1(n∈N ) ; (2)表中的数 52 共出现 4 次.

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: ann 表示第 n 行第 n 列的数,由题意知第 n 行是首项为 n+1,公差为 n 的等差数列, 由此能求出 ann;利用观察法及定义可知第 1 行数组成的数列 A1j(j=1,2, )是以 2 为首项, 公差为 1 的等差数列,进一步分析得知第 j 列数组成的数列 A1j(i=1,2, )是以 j+1 为首项, 公差为 j 的等差数列,同时分别求出通项公式,从而得知结果. 解答: 解:ann 表示第 n 行第 n 列的数, 由题意知第 n 行是首项为 n+1,公差为 n 的等差数列, 2 ∴ann=(n+1)+(n﹣1)×n=n +1. 第 i 行第 j 列的数记为 Aij.那么每一组 i 与 j 的解就是表中一个数. 因为第一行数组成的数列 A1j(j=1,2, )是以 2 为首项,公差为 1 的等差数列, 所以 A1j=2+(j﹣1)×1=j+1, 所以第 j 列数组成的数列 A1j(i=1,2, )是以 j+1 为首项,公差为 j 的等差数列, 所以 Aij=j+1+(i﹣1)×j=ij+1.

令 Aij=ij+1=52, 即 ij=51=1×51=17×3=3×17=51×1, 故表中 52 共出现 4 次. 2 故答案为:n +1,4. 点评: 此题考查行列模型的等差数列的求法, 是基础题, 解题时要熟练掌握等差数列的性 质. 三、解答题: (本大题共 7 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3= . (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,则由已知条件列式求得首项和公差,代入等差 数列的通项公式得答案; (Ⅱ)求出 ,再求出等比数列的公比,由等比数列的前 n 项和公

式求得{bn}前 n 项和 Tn. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,则由已知条件得: ,解得 .

代入等差数列的通项公式得: (Ⅱ)由(Ⅰ)得,

; .

设{bn}的公比为 q,则

,从而 q=2,

故{bn}的前 n 项和



点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了等差数列和等比数列的前 n 项和,是中档题. 18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40, 50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用频率分布直方图中的信息,所有矩形的面积和为 1,得到 a; (2)对该部门评分不低于 80 的即为 90 和 100,的求出频率,估计概率; (3)求出评分在[40,60]的受访职工和评分都在[40,50]的人数,随机抽取 2 人,列举法求 出所有可能,利用古典概型公式解答. 解答: 解: (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得 a=0.006; (2)由已知的频率分布直方图可知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022+0.018) ×10=4,所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4; (3)受访职工中评 分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人) ,记为 A1,A2,A3; 受访职工评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人) ,记为 B1,B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种, 分别是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3, B1},{A3,B2},{B1,B2}, 又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即{B1,B2}, 故所求的概率为 P= .

点评: 本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率, 考查了利用列举法求满足条件的事件,并求概率. 19.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 b=4,△ ABC 的面积为 6 ,求边长 c 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)由正弦定理得: 的值; (Ⅱ)由面积公式可得 S△ ABC= acosC﹣csinA=0.

sinAcosC﹣sinCsinA=0,即可解得 tanC= =6

,从而求得 C

,从而求得得 a 的值,由余弦定理即

可求 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由正弦定理得: 因为 0<A<π,所以 sinA>0,

sinAcosC﹣sinCsinA=0. …

从而

cosC=sinC,又 cosC≠0,… ,所以 C= .… =6 =28, ,得 a=6,…

所以 tanC=

(Ⅱ)在△ ABC 中,S△ ABC= 由余弦定理得:c =6 +4 ﹣2×
2 2 2

所以 c=2 .… 点评: 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关 系式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题.

20.已知函数 f(x)=2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图象向右平移 间 上的最大值和最小值.



个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1) 首先利用函数的恒等变换把函数转化成正弦型函数, 进一步求出函数的周期. (2)利用(1)的结论对函数定型平移变换,进一步利用函数的定义域求三角函数的最值. 解答: 解: (1)函数 f(x) =2 =2sin(2x+ 所以:T= (2)由(1)得:函数 f(x)=2sin(2x+ ) 由于 所以: )向右平移 个单位得到:g(x)=2sin(2x﹣ ) =

函数 g(x)=2sin(2x﹣

)∈[﹣1,2]

当 x=0 时函数的最小值为﹣1.

当 x=

时,函数取得最大值为 2.

点评: 本题考查的知识要点: 函数图象的恒等变换, 正弦型函数的周期和图象的变换问题, 利用函数的定义域求三角函数的最大值和最小值. 21.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分) ,这两栏的面积之和为 18000cm ,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽 度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?
2

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: 设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则依题意可知 ab=9000,代入广告的面积中, 根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值.根据等号成立的条件确定广告的高和宽. 解答: 解:设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则 ab=9000.① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20) (2b+25) =2ab+40b+25a+500 =18500+25a+40b≥18500+2 =18500+2 . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= ,代入①式得 a=120,从而 b=75.

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用. 基本不等式在解决生活问题中常 被用到,也是 2015 届高考应用题中热点,平时应用注意这方面的训练. 22. 已知数列{an}的前 n 项和为 Tn, 且点 (n, Tn) 在函数 y= (n∈N ) (1)求{bn}的通项公式; (2)数列{cn}满足 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn; (3)记数列 的前 n 项和为 Bn,设 dn= ,证明:d1+d2+…+dn< .
*

x 上, 且 an+2+3log4bn=0

考点: 数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由点(n,Tn)在函数 y= x 上,得: ,求出{an}的通

项公式,再由 an+2+3log4bn=0 即可求出{bn}的通项公式; (2)由 且 sn=c1+c2+c3+…+cn,求出①,②由数列的裂项

相减法,即可求出数列{cn}的前 n 项和 Sn; (3)由 ,求出数列 的前 n 项和为 ,又

dn=

,然后利用不等式的放缩法求解,即可证明所求结论.

解答: (1)解:由点(n,Tn)在函数 y= (ⅰ)当 n=1 时, .

x 上,得:



(ⅱ)当 n≥2 时,an=Tn﹣Tn﹣1=3n﹣2, ∴an=3n﹣2. 又∵an+2+3log4bn=0, ∴ ( 2)解:∵ ∴ ; 且 sn=c1+c2+c3+…+cn, …① … ② 由①﹣②得: ,



整理得: (3)证明:∵ ,



∴数列

的前 n 项和为









, ∴ .





当 n=1 时



点评: 本题考查了数列的通项公式,考查了数列的求和,关键是会用数列的裂项相减法, 考查了数列与不等式的综合,会用不等式的放缩法求解,考查了学生的计算能力,是难题.


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