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2012届高三数学一轮复习单元验收试题卷:数列(人教A)


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2011—2012 学年度上学期高三一轮复习

数学单元验收试题(5) 【人教 A】
命题范围:数列
[来源:金太阳新课标资源网] 说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1. “公差为 0 的等差数列是等比数列”“公比为 ;
1 2

的等比数列一定是递减数列”“a,b,c 三数成等比数列的 ;

充要条件是 b2=ac”“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c” ; ,以上四个命题中,正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.已知数列{an}中,an=
n n ? 156
2

(n∈N) ,则数列{an}的最大项是





A.第 12 项 B.第 13 项 C.第 12 项或 13 项 D.不存在 3.在等差数列中,前 n 项的和为 Sn,若 Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N 且 m≠n) ,则公差 d 的值为( A.-
4(m ? n) mn



B.-

mn 4(m ? n)

C. .-

2(m ? n) mn

D.-

mn 2(m ? n)

4.设 ? a n ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3 n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立 的是 A. X ? Z ? 2Y C. Y ? X Z
2

( B. Y ? Y ? X ? ? Z ? Z ? X D. Y ? Y ? X ? ? X ? Z ? X



? ?
? 1 ? ? 的前 5 项和为 ? an ?

5.已知 ? a n ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ? a n ? 的前 n 项和,且 9 s 3 ? s 6 ,则数列 ? ( A.
15 8


15 8
- -

或5

B.

31 16

或5

C.

31 16
2 2

D.

6.a、b∈R,且|a|<1,|b|<1,则无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b )a ,?,(1+b+b2+?+bn 1)an 1?的和为 ( ) A.
1 (1 ? a )( 1 ? b )

B.

1 1 ? ab

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C.
2 (1 ? a )( 1 ? ab )

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D.
1 (1 ? a )( 1 ? ab )

7.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范围是( A. (1,2) B. (2,+∞) C.[3,+∞ ) D. (3,+∞)



8.如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又 在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 s n 为前 n 个圆 的面积之和,则 lim s n =(
n? ?


8 3

A.2 ? r C.4 ? r

2

B.

?r
2

2

2

D.6 ? r

9.若数列{an}前 8 项的值各异,且 an+8=an 对任意 n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}前 8 项值的数列 为 ( ) A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1} 10.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足 Sn=
n 90

(21n-n2-5) (n=1,2,??,12) ,按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份 ( B.6 月、7 月 C.7 月、8 月
1 2

是 A.5 月、6 月



D.8 月、9 月
a 9 ? a1 0 a7 ? a8 ?

11.已知等比数列{ a m }中,各项都是正数,且 a 1 ,

a 3 , 2 a 2 成等差数列,则





A. 1 ?

2

B. 1 ?

2

C. 3 ? 2 2

D. 3 ? 2 2 [来源:Z|xx|k.Com]

12.一给定函数 y ? f ( x ) 的图象在下列图中,并且对任意 a 1 ? ( 0 ,1) ,由关系式 a n ? 1 ? f ( a n ) 得到的数列
{ a n } 满足 a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,则该函数的图象是
*





A

B

C

D

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wx.jtyjy.com 第Ⅱ卷

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆, 如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为________。 14.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1) 2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1,x1,x2,4 、P 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是________。 15. 设等比数列 { a n } 的公比为 q, n 项和为 Sn, Sn+1,Sn, n+2 成等差数列, q 的值为 前 若 S 则
?



16.若数列 ? a n ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 a m < n 成立,记这样的 m 的个数为
(an ) , 则 得 到 一 个 新 数 列 ?(an )
?
?

? . 例 如 , 若 数 列 ? a ? 是 1, 2, 3… , n , … , 则 数 列 ? ( a ) ? 是
?

n

n

0,1, 2, … , n ? 1, … .已知对任意的 n ? N , a n ? n ,则 ( a 5 ) ?
2

?

?

,(( a n ) ) ?

?

?



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分) 。 17. (12 分)已知 | a n | 为等差数列,且 a 3 ? ? 6 , a 6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | a n | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | b n | 满足 b1 ? ? 8 , b 2 ? a1 ? a 2 ? a 3 ,求 | b n | 的前 n 项和公式

18. (12 分)在数列 ? a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k +1 成等差数列,其公差为 2k。
*

(Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式;

19. (12 分)证明以下命题: (Ⅰ)对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c) ,使得 a , b , c 成等差数列。 (Ⅱ)存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 a n, b n, c n 为正整数且 a n , b n , c n 成等差数列。
2 2 2
2 2 2

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2

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P 20. (12 分)设 M ? 10 a ? 81 a ? 207 , ? a ? 2, ? 26 ? 2 a ,若将 lg M , Q , P 适当排序后可构成 Q lg lg

公差为 1 的等差数列 ?a n ? 的前三项. (Ⅰ)求 a 的值及 ?a n ? 的通项公式; ( Ⅱ ) 记 函 数 f ( x ) ? a n x ? 2 a n ? 1 x ? a n ? 2 ?n ? N
2 ?

? 的图象在 x

轴 上 截 得 的 线 段 长 为 bn , 设

Tn ?

1 4

( b1 b 2 ? b 2 b 3 ? ? ? b n ?1 b n ) ,求 T n

21. (14 分) 设各项均为正数的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 已知 2 a 2 ? a 1 ? a 3 , 数列 等差数列。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式(用 n, d 表示) ;

?

S n 是公差为 d 的

?

(2)设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3 k 且 m ? n 的任意正整数 m , n , k ,不等式 S m ? S n ? cS k 都成立。 求证: c 的最大值为
9 2



22. (14 分)给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2, 3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,? 2n-1,从第 2 行起,每行中的每个数都 等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表 n(n ≥3) (不要求证明) ; ( II ) 每 个数 列中 最 后一行 都 只有 一 个数 ,它 们构 成 数列 1,4,12 ? , 记 此数 列 为 ? b n ? 求 和:
b3 b1 b 2 ? b4 b 2 b3 ?? bn ? 2 b n b n ?1

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参考答案
一、选择题 1.A;2.C;3.A;4.D;5.C;6.D;7.B;8.C;9.B;10.C;11.C;12.A;二、填空题 13.周长之和 三、解答题 17. (Ⅰ)设等差数列 { a n } 的公差 d 。[来源:金太阳新课标资源网] 因为 a 3 ? ? 6, a 6 ? 0 解得 a1 ? ? 1 0, d ? 2 所以 ?
? a1 ? 2 d ? ? 6 ? a1 ? 5 d ? 0
3 3 2

π a,面积之和

? 9

a2;14.1;15.-2;16.2, n ;
2





所以 a n ? ? 1 0 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 2 ,

(Ⅱ)设等比数列 {b n } 的公比为 q 。 因为 b 2 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? 24, b ? ? 8 , 所以 ? 8 q ? ? 2 4
n

即 q =3

所以 {b n } 的前 n 项和公式为 S n ?

b1 (1 ? q ) 1? q

? 4 (1 ? 3 )
n

18. (I)证明:由题设可知, a 2 ? a1 ? 2 ? 2 , a 3 ? a 2 ? 2 ? 4 , a 4 ? a 3 ? 4 ? 8 , a 5 ? a 4 ? 4 ? 1 2 ,
a6 ? a5 ? 6 ? 1 8 。
a6 a5 ? a5 a4 ? 3 2

从而

,所以 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列。

(II)解:由题设可得 a 2 k ? 1 ? a 2 k ?1 ? 4 k , k ? N * 所 以
a2k ? ? a1 ? ? a
k? 1

?a

k?

?? 2a ?

k?

?1 a

k?

... ? ? 2 ?a

?1 a

?

?2 k? 4

4 ?1 k ? ? ?

2

? 1?

3

.

.

3

? 2 k ? k ? 1? , k ? N * .
2 由 a 1 ? 0 ,得 a 2 k ? 1 ? 2 k ? k ? 1 ? ,从而 a 2 k ? a 2 k ? 1 ? 2 k ? 2 k .

? n2 ?1 n , n为 奇 数 2 ? ? ? 1? ? 1 n ? 2 ? 所以数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? ? 或写为 a n ? ,n ? N * 。 2 2 4 n ? , n为 偶 数 ? 2 ?

19.解: (Ⅰ)考虑到结构要证 a ? c ? 2 b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

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2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 1 , 5 , 7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整数 a 均能成 立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互 不相似,且无穷。 证明:当 a n , b n , c n 成等差数列,则 b n ? a n ? c n ? b n ,[来源:学,科,网]
2 2 2 2 2 2 2

分解得: ( b n ? a n )( b n ? a n ) ? ( c n ? b n )( c n ? b n ) 选取关于 n 的一个多项式, 4 n ( n ? 1) 做两种途径的分解
2

4 n ( n ? 1) ? (2 n ? 2)(2 n ? 2 n ) ? (2 n ? 2 n )(2 n ? 2) 4 n ( n ? 1)
2 2 2 2

?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? b n ? n ? 1 ( n ? 4 ) ,由第一问结论得,等差数列成立, ?c ? n2 ? 2n ? 1 ? n

考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。[来源: http://wx.jtyjy.com/] 下证互不相似。 任取正整数 m,n,若△m,△ n 相似:则三边对应成比例 由比例的性质得:
m ?1 n ?1 ? m ?1 n ?1
m ? 2m ? 1
2 2

n ? 2n ? 1

?

m ?1
2

n ?1
2

?

m ? 2m ? 1
2 2

n ? 2n ? 1



? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。

20.解: (Ⅰ)依题意有 ? 2 ? a ? 13 ,
? M ? P ? 10 a
2

? 80 a ? 205 ? 0, ? Q ? 10 a M

2

? 83 a ? 181 ? 0,

? M 最大.又 P ? Q ? ? 24 ? 3 a ,

当 ? 2 ? a ? 8 时, P ? Q , lg P ? 1 ? lg Q . ? 10 P ? Q ,? a ? 满足 lg M ? 1 ? lg Q . ? a ?
1 2

1 2

.

符合题意.
86 7 .

当 8 ? a ? 13 时, P ? Q , lg P ? 1 ? lg Q . ? 10 Q ? P ,? a ? 但此时不满足 lg M ? 1 ? lg P . ? a ?
86 7
? ?a n ? 的前三项为 lg P , Q , M ,此时 a ? lg lg

. 1 2 . ∴ a n ? lg P ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 2 lg 2 .

(Ⅱ) ? 2 a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 ? f ( x ) ? 0 时, ( x ? 1)( a n x ? a n ? 2 ) ? 0
? b n ? | x 1 ? x 2 |? | a n?2 an ? 1 |? | 2 an |,

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又∵ a n ? n ? 2 lg 2 ? 0 , ? b n ?
2 an

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,? b n ? 1 b n ? 2 a n ?1 ? 2 an ? 4( 1 a n ?1 ? 1 an ).

∴Tn
? 1 a1

?

1 4

( b1 b 2 ? b 2 b 3 ? ? ? b n ?1 b n ) ?

1

? 1 1 1 1 1 1 ? ? 4 ?( ? )?( ? )?? ? ( ? )? 4 a2 a2 a3 a n ?1 an ? ? a1

?

1 an

?

1 1 ? 2 lg 2

?

1 n ? 2 lg 2

=

n ?1 (1 ? 2 lg 2 )( n ? 2 lg 2 )


a1 ? ( n ? 1) d
2 2 2

21.解: (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ?

S 1 ? ( n ? 1) d ?

2 a 2 ? a1 ? a 3 ? 3 a 2 ? S 3 ? 3( S 2 ? S 1 ) ? S 3 , 3[( a1 ? d ) ? a1 ] ? ( a1 ? 2 d ) ,

化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d ? 0, a1 ? d , a1 ? d
2 2 2

2

S n ? d ? ( n ? 1) d ? n d , S n ? n d ,[来源:学,科,网]

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n d ? ( n ? 1) d ? (2 n ? 1) d ,适合 n ? 1 情形。
2 2 2 2 2

故所求 a n ? ( 2 n ? 1) d

2

(2) (方法一)[来源:金太阳新课标资源网 HTTP://WX.JTYJY.COM/]
S m ? S n ? cS k ? m d ? n d
2 2 2 2

? c?k d ? m ? n ? c?k , c ?
2 2 2 2 2

m ?n
2

2

k m ?n
2 2

2

恒成立。

又 m ? n ? 3k且 m ? n , 2 ( m ? n ) ? ( m ? n ) ? 9 k ?
2 2 2 2

k

2

?

9 2



故c ?

9 2

,即 c 的最大值为

9 2


a1 ? ( n ? 1) d ,得 d ? 0 , S n ? n d 。
2 2

(方法二)由 a1 ? d 及 S n ?

于是,对满足题设的 m , n , k , m ? n ,有
(m ? n) 2
2

S m ? S n ? (m ? n )d
2 2

2

?

d

2

?

9 2

d k

2

2

?

9 2

Sk 。 [ 来 源 : 金 太 阳 新 课 标 资 源 网

HTTP://WX.JTYJY.COM/] 所以 c 的最大值 c m ax ?
9 2 9 2 S m ? S n ? (m ? n )d
2 2 2

。 。设 k 为偶数 ,令 m ?
3 2 k ? 1) ? (
2

另一方面 ,任取实数 a ?

3 2 1 2

k ? 1, n ?
2 2

3 2

k ? 1 ,则 m , n , k 符合条件, 且

? d [(
2

3 2

k ? 1) ] ?
2

d (9 k ? 4 ) 。

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2 2

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2 2a ? 9

于是,只要 9 k ? 4 ? 2 a k ,即当 k ?
9 2 9 2

时, S m ? S n ?
9 2

1 2

d ? 2ak
2

2

? aS k 。

所以满足条件的 c ?

,从而 c m ax ?

。因此 c 的最大值为



22.

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