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2.3.3双曲线的几何性质(2)


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高中数学选修 2—1

2.3.3 双曲线的简单几何性质(2)

2.3.3 双曲线的简单几何性质(2) 上节核心知识回顾 1.双曲线的第一定义:平面内与两定点{ EMBED Equation.KSEE3 (小于| F1 F2 |且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线。 练习⑴动圆 M 与两定圆 F1: ,F2:都外切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程。 ②当曲线是双曲线时,求 m 的范围,并写出焦点坐标。 \* MERGEFORMAT | F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数

练习⑵已知曲线, ①当曲线是椭圆时,求 m 的范围,并写出焦点坐标; 2.双曲线的离心率: 练习⑶求以椭圆的两个焦点为顶点,两个顶点为焦点的双 曲线方程,并求出该双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、 顶点坐标、渐近线方程、离心率。 练习⑷已知双曲线的离心率为,双曲线的渐近线为 _______。

3.⑴双曲线的渐近线方程为: ;双曲线的渐近线方程为: ;两者容易记混,只需直接将双曲线方程中等式右边“1”换成“0” 就可以求出渐近线,不需记忆。 ⑵与双曲线共渐近线的双曲线的方程可设为:. 练习⑸求与双曲线有共同的渐近线,且过点()的双曲线的标准方程。

考点一:双曲线的第二定义: 1.平面内点 M 与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数(e>1), 这个点 M 的轨迹是双曲线, 定点是双曲线的焦点, 它直线是双曲线的准线。 问题:双曲线与椭圆的第二定义的区别在哪里? 注意:椭圆的第二定义:平面内到一个定点的距离与它到一条定直线的距离的比是常数 (0<e<1)时,这个点的轨迹,叫做椭圆. 2.有关双曲线的一些结论 ⑴准线方程:. ⑵两准线间的距离:
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2.3.3 双曲线的简单几何性质(2)

⑶焦准距: ⑷双曲线的焦半径公式:设双曲线()的焦点为:F1(-C,0),F2(C,0). ①点 M(x,y)在左支上时: |MF1|=-a-ex, |MF2|=a-ex ②点 M(x,y)在右支上时: |MF1|=a+ex, |MF2|=-a+ex 例 1:如果双曲线上一点 P 到它的右焦点的距离为 8,那么点 P 到它的左准线的距离为_____.

变式 1:⑴已知点 A(5,3) ,F(2,0) ,在双曲线上求一 点 P,使的值最小。 解:∵a=1,b=,∴c=2,e=,设点 P 到与焦点(2,0)相 应的准线的距离为 d,则 即在双曲线上求点 P,使 P 到定点 A 的距离与到准线的距 离和最小,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的 右支上,此时 P 点纵坐标为 3,∴所求的点为 P(2,3) 。

⑵双曲线上一点 P 到左、 右焦点 F1、 F2 的距离之比为 1: 2, 求 P 到右准线的距离 d 及 P 点的坐标。 (2)设点 P(x,y)到左、右两准线的距离分别为 d1、d2,

考点二:直线与双曲线的位置关系 1.研究直线与双曲线的位置关系,一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数来判断。 , ⑴若即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; ⑵若即, ①直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交; ②直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切; ③直线与双曲线无交点,称直线与双曲线相离; 注意:直线与双曲线有一个公共点,不能直接说他们就相切。 2.)通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系,一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中为渐近线倾斜角, 为直线倾斜角)。 ⑴当直线不经过原点时: 1)如图①,时,直线只与双曲线一支相交.交点只有一个; 2)如图②,时.直线与双曲线一支相交.交点有两个; 3)如图③,时,直线与双曲线两支都相交,交点有两个. ⑵当直线经过原点时, ①时,直线与双曲线无交点; ②时.直线与双曲线的两支都相交,有两个交点. 注:当直线与双曲线有两个公共点时,设其坐标为,那么线段的长度(即弦长)为,设直线的斜率为,可得 弦长公式: 。 例 2:已知直线与双曲线. (1)若直线与双曲线没有公共点,求 k 的取值范围; (2)若直线与双曲线有两个公共点,求 k 的取值范围, (3)若直线与双曲线只有一个公共点,求 k 的取值范围。

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2.3.3 双曲线的简单几何性质(2)

, 当时,方程无解,不满足条件; 当时,方程有一解,满足条件; 当时令, 化简得:无解,所以不满足条件;所以满足条件的直线有 两条和。 ⑵直线与双曲线相交于 A、B 两点,当为何值时,A、B 在 双曲线的同一支上?当为何值时,A、B 分别在双曲线的两 支上? 解析:把代入整理得: 当时, 。由>0 得且时,方程组有两解,直线与双曲线有两 个交点。 若 A、B 在双曲线的同一支,须>0 ,所以或。故当或时, A、B 两点在同一支上;当时,A、B 两点在双曲线的两支 上。 ⑶求直线被双曲线截得的弦长; 变式 2:⑴过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几 条,分别求出它们的方程。 解析:若直线的斜率不存在时,则,此时仅有一个交点, 满足条件; 若直线的斜率存在时,设直线的方程为则, , ∴, 考点三:中点弦问题 例 3:求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。 解:设弦的两个端点坐标为,弦中点为,则 得: ,∴, 即, 即(图象的一部分) 变式 3:已知双曲线的方程,试问是否存在被点(1, 1)所平 分的弦?如果存在,求出所在直线;如果不存在,说明理 由。

解析:由得得(*)设方程(*)的解为,则有得,

考点四:最值问题 例 4:在双曲线上求一点,使到直线的距离最短。 解:设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为: 联立化简得(*) ,故切线方程为:代入双曲线方程解得()

变式 4:设,为双曲线=1 的右焦点,在双曲线上求一点 P, 使得 取得最小值时,求 P 点的坐标. 答案:P 点的坐标为

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