当前位置:首页 >> >>

高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质课堂探究新人教A版选修4_120171027520

。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

四 弦切角的性质

课堂探究 探究一弦切角定理 在使用弦切角定理时,关键是要弄清哪个角是弦切角,这样才能正确解决问题. 【典型例题 1】如图,AD 是⊙O 的切线,AC 是⊙O 的弦,过 C 作 AD 的垂线,垂足为 B, CB 与⊙O 相交于点 E,AE 平分∠CAB,且 AE=2,求△ABC 各边的长.

思路分析:∠BAE 为弦切角,于是∠BAE=∠C,再由 AE 平分∠CAB 和△ABC 是直角三角 形可求得∠C 的度数,进而解直角三角形即可.
解:∵AD 为⊙O 的切线,∴∠BAE=∠ACB. ∵AE 平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE. 又∵∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°. 则有 BE=1,AB= 3,BC=3,AC=2 3. 点评 在题目中出现了圆的切线,常用弦切角定理解决问题. 探究二弦切角定理的应用 在证明与圆有关的命题时,弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用,正确找出符合 定理条件的角是应用定理的前提. 【典型例题 2】已知△ABC 内接于⊙O,∠BAC 的平分线交⊙O 于 D,CD 的延长线交过 B 点的切线于 E.

1

CD2 DE 求证:BC2=CE. 思路分析:直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比例式的形式,然 后借助相似三角形的性质得出结论. 证明:连接 BD,如图所示.
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD. 又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD, ∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD. 又 BE 为⊙O 的切线,∴∠EBD=∠BAD, ∴∠EBD=∠BCD.故在△BED 和△CEB 中, ∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB, ∴△BED∽△CEB. ∴BBDC=BCEE,BBDC=DBEE,∴???BBCD???2=DCEE. 又 BD=CD,∴CBDC22=DCEE. 点评 已知直线与圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定理和圆周角定理获得 角相等,再通过三角形相似得到成比例线段. 探究三易错辨析 易错点:忽视弦切角的一边是切线 【典型例题 3】如图所示,△ABC 内接于⊙O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则∠ BAD=__________.
错解:∵AD⊥AC, ∴∠BAD 是弦切角.
2

∴∠BAD=∠C. 又∠C=32°,∴∠BAD=32°. 错因分析:错解中,误认为∠BAD 是弦切角,其实不然,虽然 AD⊥AC,但 AD 不是切线. 正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°. 又 AD⊥AC,∴∠BAC+∠BAD=90°. ∴∠BAD=90°-∠BAC=90°-38°=52°.
3