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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:2.3函数的值域(第1课时)


第二章

函数

第3讲
函数的值域

1

考 点 搜 索

●值域的概念和常见函数的值域 ●函数的最值 ●求函数的值域的常用方法 ●求最值的方法的综合应用高

2

高考对值域的考查主要渗透在求变量 的取值范围中,常与反函数、方程、不等 高 考 式、最值问题以及应用问题结合;在基本 猜 方法中,配方、换元、不等式、数形结合 想 涉及较多,常表现为解题过程的中间环节. 考生应重视通过建立函数求值域解决变量 的取值范围的问题.
3

?
? ?

一、基本函数的值域
1. 一次函数y=kx+b (k≠0)的值域为① R .

2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的值域:当a

4ac ? b 2 [ , ?) ? >0时,值域为② ;当a<0时, 4a 2 4ac ? b (??, ] 值域为③ 4a .
4

3. 反比例函数y=kx (x≠0,k≠0)的值域为 ④ {y|y≠0,y∈R} . ? 4. 指 数 函 数 y=ax (a > 0 , a≠1) 的 值 域 为 ⑤ . R+ ? 5. 对数函数y=logax (a>0,a≠1,x>0)的 值域为⑥ . ? 6. 正、余弦函数的值域为⑦ ,正、 R 余切函数的值域为⑧ . [-1,1] R
?
5

二、求函数值域的基本方法 ? 1. 配方法——常用于可化为二次函数的问题. ? 2. 逆求法——常用于已知定义域求值域(如分 式型且分子、分母为一次函数的函数).
?

6

3. 判别式法——可转化为关于一个变量的一元 二次方程,利用方程有实数解的必要条件, 建立关于y的不等式后求出范围.运用判别式方 法时注意对y的端点取值是否达到进行验算. ? 4. 不等式法——几个变量的和或积的形式. ? 5. 导数法——利用导数工具,结合函数的单调 性,讨论其值域.
?

7

?

1.设函数f(x)= 1-x2(x≤1)

?

x2+x-2(x>1),
为(
15 A. 16 8 C. 9

)

1 ] 则 f[ 的值 f (2)

27 B ? 16 D 18

?
?

f(x)= 1-x2(x≤1)
? 1 ? 15故选A. f ? ?? , ? 4 ? 16

x2+x-2(x>1)??
1 [ f ] ? f (2)

? f(2)=4

?

8

1 ? 2.函数 的值域为( ) ( , 1) 3 1 1 ? A. (-∞,1) B. [ , 1) [ , ?) ? 3 3 1 D. ?1? 1 ? C. 0? 2 ?1?1? ? ? 2
x ?1
? ?

?1? y?? ? ?3?

1 x 2 ?1

C

1 ? , ? 3 ? x ?1 3

故选C.
9

?

3.函数y=f(x)的值域是[-π,10],则函数

y=f(x-10)+π的值域是( B )
? ? ?

A. [-π,10] C. [-π-10,0] 因为y=f(x)

B. [0,π+10] D. [-10,π]

向右平移10个单位长度 向上平移π个单位长度 ? 所以函数y=f(x-10)+π的值域是
?

[0,π+10],故选B.
10

?

? ? ?

?

题型一:用配方法与换元法求函 数的值域 1. 求下列函数的值域: (1) y ? ? x 2 ? 6x ? 5; (2) y ? x ? 4 1 ? x ; (3) 2
y ? x ? 1? x .

11

(1)(配方法) ? 设μ=-x2-6x-5(μ≥0), y ? ?. ? 则原函数可化为 ? 又因为μ=-x2-6x-5=-(x+3)2+4≤4, ? 所以0≤μ≤4,故μ∈[0,2], 2 5 ? 所以 y ? ? x ? 6 x ? 的值域为[0,2].
?

12

(2)(代数换元法) ?设 t ? 2 1 ? x ? 0, ? 则x=1-t , ? 所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+ 5 (t≥0), ? 所以y≤5, ? 所以原函数的值域为(-∞,5].
?

13

(3)(三角换元法) ? 因为1-x2≥0,所以-1≤x≤1, ? 故可设x=cosα,α∈[0,π], ? 则y=cosα+sinα= sin(α+ ). ? ? 因为α∈[0,π], 2 4 ? 所以 所以 ? ? 5? ? 2 ? 所以 ? ? ? [ , ] , sin(? ? ) ? ? , 1], [ 4 4 4 4 2 ? 所以原函数的值域为 ?
?

2sin(? ? ) ? ? 1, 2], [ 4

[ ?1, 2] .
14

?

点评:配方法求函数的值域时,一是 注意找到相应的二次式,二是注意自 变量的取值范围;运用换元法求函数 的值域时,注意新变元的取值范围.

15

设函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为A,值域 为B,则A∩B= . ? 由3-2x-x2>0,得-3<x<1, ? 所以A=(-3,1). ? 因为0<3-2x-x2=4-(x+1)2≤4, ? 所以f(x)≤2, ? 所以B=(-∞,2],故A∩B=(-3,1).
?
16

?

题型二:用逆求法与判别式法求函数的 值域 1? x y? ; 2. 求下列函数的值域: 2x ? 5 3x (1) y ? 2 x ? 4. (2)
17

? ?

?

? ? ? ? ?

(1)解法1:(逆求法) 由
1? x y? 解出x,得 2x ? 5
1? 5y x? . 2y ?1

因为2y+1≠0,

所以函数的值域为{y|y≠-12,且y∈R}.
解法2:(分离常数法)

7 7 2 又 2 ?所以y≠-12. ? 因为 y ? ? 1 ? , 0, 2 2x ? 5 2x ? 5 1 ? 即函数的值域为 { y | y ? ? ,且y ? R}. 2
18

(2)(判别式法) ?由 3x y? 2 , ? 得y·-3x+4y=0, x2 x ? 4 ? 当y=0时,x=0, ? 当y≠0时,由Δ≥0得 3 3 ? ? y? . ? 因为函数的定义域为R, 4 4 ? 所以函数 的值域为
?

3x y? 2 , x ?4

3 3 [ ? ,] . 4 4
19

?

点评:逆求法又称为反函数法,如形 如f(x)=ax+bcx+d的函数,可以用逆求 法来求解.对于定义域为R的函数式, 若能变形为关于自变量x的二次方程形 式,利用此方程有解,得到关于y的判 别式的关系式,由此得出值域;若定 义域不为R,此时还需根据根的范围来 确定值域.
20

3? x ? 函数 的值域为 y? ( x ? 0) 2x ? 1 ? 由 3? x , y? 2x ? 1 ?得 3? y x? . ? 因为x≥0,所以 2y ?1 3? y ?0 ? 解得 2y ?1 1 ? 所以函数的值域为 ? < y ? 3. 2 1 (? , . 3] 2

.

21

题型三:利用函数的单调性求函数的值 2 2 域( x) ? x ? . f x ? 3. (原创)已知函数 ? (1)若函数的定义域是[-2,-1],求函 数的值域; 1 2] ? (2)若函数的定义域是 [ ,,求函数 2 的值域.
?
22

? ? ? ?



(1)当x∈[-2,-1]时,

2( x 3 ? 1) f ?( x) ? <0, 2 x

2 由 f ( x) ? x ? , x3 2 2( x ? 1) f ?( x) ? 2 x ? 2 ? . 2 x x
2

?
? ? ?

所以f(x)在区间[-2,-1]是减函数,
所以当x=-2时,[f(x)]max=f(-2)=3, 当x=-1时,[f(x)]min=f(-1)=-1, 所以函数的值域是[-1,3].
23

2( x 3 ? 1) ? (2)由 f ?( x) ? 可得x=1. ? 0, 2 x 1 1) ? 所以当 x ? ( , 时,f ′(x)<0, 2 1 ? 所以f(x)在区间 ( , 1上是减函数, ) 2
?

同理可得f(x)在区间(1,2)上是增函数.

? 1 ? 17 ? 由 f ?1? ? 3,f ? ? ? ,f ? 2 ? ? 知, 5 ?2? 4 1 ? 当定义域为 [ , 函数的值域为[3, 2], 2

5].

24

?

点评:利用函数的单调性求函数的值 域,其策略是:首先判断函数的单调 性或函数的单调区间,然后根据单调 性求函数的最值,再得出函数的值域.

25

y ? x ? 1 ? 2x
?

函数

y ? x 的值域是 ? 1 ? 2x

.

?

?

因为函数 1 x? 递增函数, 2
所以当

1 {x | x ? 函数 }. 的定义域为 2 1 y ? x ? 1 ? 2 x (??,] 2 ymax ? , 2 1 . 时, (??,] 2

在 1

上为单调

? ?

故原函数的值域为

26

参考题

若存在x∈[2,5],使等式 x ? 1 ? a ?成 x 立,求a的取值范围. ? 由题设,当x∈[2,5]时, ? 成立. a ? 令 ? x ? 1? x 即x=t2+1,t∈[1,2], x ? 1 ? t, ?则 1 2 3 ? 所以当t∈[1,2]时,a∈[-3,-1]. 2 a ? t ? (t ? 1) ? ?(t ? ) ? .
?

2

4

27

1.要求熟记各种基本函数的值域. ? 2. 求函数值域时,不但要重视对应法则 的作用,还要特别注意定义域对值域的 作用.
?

28

?

3. 已知函数的定义域或值域,求参数的范 围,是一种逆向思维.解决这类问题要求 对定义域、值域的概念及函数单调性有较 深刻的理解,可以变换角度后构造新的函 数,把求参数的范围转化为求新的函数的 值域问题.

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