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高中数学 3.1.1直线的倾斜角与斜率教案 新人教A版必修2

直线的倾斜角与斜率 教学目标: (一)知识与技能 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式; 2、掌握直线的斜率、倾斜角之间的转化关系 3、通过学习直线倾斜角与斜率关系,培养学生观察、探索数学能力。 (二)情感态度与价值观 1、通过探究直线斜率与倾斜角,初步体验“数形结合” 2、通过师生、生生的合作交流,激发其求知欲,培养探索精神. 教学重点、难点: 重点:理解直线的倾斜角和斜率的概念,会求过两点的直线的斜率公式. 难点:理解倾斜角和斜率之间的关系 教学工具:计算机多媒体、实物投影仪 教学过程: (一)提出问题: 1:怎样确定一条直线?(两点?) 2:过一点 P,加一个方向可以吗? (二)探究直线倾斜角的定义: x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 . 看一看: (1) 如图三条直线的倾斜角分别是锐角、直角还是钝角? (2)直线的倾斜角的取值范围是什么? 画一画:分别画出过点(1,0) ,(2,0)倾斜角都是 0 ? 的直线 a、b. 4 指出:倾斜角相等两直线平行;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等 (三)探究直线斜率 i ? tan ? 1.回顾坡度的含义 2:斜率的概念:一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是 90 的直线没 0 0 有斜率(为什么?).斜率常用 k 来表示,公式 1: k ? tan ? ( ? ? 90 ). 巩固定义: (1)倾斜角是 45 、 30 、 60 、 90 、 120 、 135 的直线斜率分别是多少? (2) 由上计算探究:直线的斜率 k 与倾斜角α 的关系? o 当? ? ? 90 o ? 时,随?的不断增大,直线的斜率 ?0 , k 不断增大,由0 ? ??。 0 0 0 0 0 0 当? ? ? 90 o , 180o ? 时,随?的不断增大,直线的斜 ? ? ? 90 o 率k 不断增大,由 ? ? ? 0。 o 但当? ? ? 90 o ?0 , 无单调性! , 180o ? 时,随?的增大,k 所以: 当k ? 0时,? ? ? 0o, 90o ?即? 为锐角。 当k ? 0时,? ? ? 90o, 180o ?即? 为钝角 (3)判断: A 任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 ?反之? B 平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π C 两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等 D 直线的倾斜角为α ,则直线的斜率为 tanα E 直线的斜率为 tanα ,直线的倾斜角为α F 直线斜率的范围是 R G:两直线平行斜率相等?反之呢? (4)图中的直线l1 , l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小关系为 ? (5)已知直线倾斜角? 满足? ? [ , ],求斜率 k 的取值范围 ? 3? 4 4 (6) 直线l的斜率为k,倾斜角为?,若-1<k<1,则k的取值范围是 ? (7)直线 l 与坐标轴围成一个等腰三角形,则 l 的斜率? (四) .探究:直线上两点的坐标求斜率? 1:问题 1: 已知点A? 3, 2?,B ? ?4, 1? 如何求直线AB的斜率 问题 2:给定两点 P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),X1 、 X2 为直线 l 上的两点,求直线 l 的斜率 k(通 过画图,分类讨论探究) ( x , y1 ), P2(x2 , y2 )的直线的斜率公式为 2:得出公式 2:经过两点 P 1 1 y2 ? y1 ( x ? x2 ) x2 ? x1 1 k ? 理解公式: (1)当 y1 ? y2 时,斜率?是怎样的直线? (2)当 x1 ? x2 时,斜率?是怎样的直线? (3)当 x1 ? x2 时,直线的斜率与两点坐标的顺序有关系吗? (4)问题:公式 1,公式 2 一致吗? 巩固公式:练习 1:求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角α (1)P1(-2,0) P2(-5,3) (2)P1(-2,3) P2(-2,8) (3)P1(5,-2)P2(-2,-2) 练习 2 已知实数 a,b,c,d 求经过下列两点的直线的斜率: (1) (2) C( a,b ) , D( a,d ) ; (3) P( b,b ? c ) ,Q( a,c ? a ) A( a,c ) , B( b,d ) ; 及时知识小结:直线倾斜角的定义,直线斜率,直线上两点的坐标求斜率 (五)范例讲解 例 1.画出经过原点且斜率为 1 , ? 1 , 2 及 ? 3 的直线 l1 , l 2 , l 3 及 l 4 . 练习: 画出经过点 ? 0 ,1? ,且斜率分别为 2 与 ?3 的直线. 例2: 已知点A ? 3, 2?,B ? ?4, 1?,C ? 0, ? 1?, 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些直线 思考:你会求?BAC的大小吗?怎么求? 的倾斜角是锐角还是钝角. 问题:过点 A 与线段 BC 相交的直线斜率取值范围? 过点 B 与线段 AC 相交的直线斜率取值范围? 过点 C 与线段 BA 相交的直线斜率取值范围? 例 3:已知过两点 A(m 2 ? 2, m 2 ? 3) , B(3 ? m 2 ? m,2m) 的直线 l 的倾斜角为 45 ,求实 0 数 m 的值. 解:∵ m 2 ? 3 ? 2m ? tan450 ? 1 ,∴ m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ,解得 m 2 ? 2 ? (3 ? m 2 ? m) ∴ m ? ?2 . m ? ?1 或 m ? ?2 但当 m ? ?1 时, A 、 B 重合,舍去 例 4 已知三点 A(a,2) 、 B(3,7) 、 C (?2,?9a) 在一条直线上,求实数 a 的值. 解:∵ A, B, C 在一条直线上,所以直线 AB 和直线 BC 的斜率相等.所以 解得 a ? 2 或 a ?