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圆锥曲线方程知识点与例题


第一讲 椭圆
1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在 x 轴上:
y2 a
2

x2 a
2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上:

?

x2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

②一般方程: Ax 2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .③椭圆的标准参数方程:
? x ? a cos? ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). ? 2 ? y ? b sin ?

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的参数方程为

⑵①顶点: (?a,0)(0,?b) 或 (0,?a)(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③ 焦 点 : (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④ 焦 距 : F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤ 准 线 : x ? ?
y?? a2 c .⑥离心率: e ? (0 ? e ? 1) .⑦焦点半径: c a a2 或 c

I. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

x2 a
2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则 PF 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
x2 b2 ? y2 a2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则PF1 ? a ? ey0 , PF 2 ? a ? ey0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF 2 ? e( a ? x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为
c c
2 2

“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin ? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 程
x2 a
2

2b 2 a
2

( ? c,

b2 b2 ) 和 ( c, ) a a

x

2

a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) ,方 a

?

y2 b
2

? t (t 是大于 0 的参数,a ? b ? 0) 的离心率也是 e ?

c 我们称此方程为共离心率的 a

椭圆系方程. ⑸若 P 是椭圆:
b 2 t an
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF 1F 2 的面积为

?
2

(用余弦定理与 PF 1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot

?
2

.

例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 两个焦点的坐标分别是 (?4,0) 、(4, 0) , 椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于10 ;

(2)两个焦点的坐标分别是 (0, ?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 (? (3)焦点在 x 轴上, a : b ? 2:1 , c ? b ;
2 2 (4)焦点在 y 轴上, a ? b ? 5 ,且过点 (? 2, 0) ;

3 5 , ); 2 2

解析: (1) ∵椭圆的焦点在 x 轴上, 故设椭圆的标准方程为 ∵ 2a ? 10 , c ? 4 ,∴ b ? a ? c ? 9 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ), a 2 b2

所以,椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 25 9 y 2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ), a 2 b2

(2)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

3 5 3 5 3 1 2a ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1。 10 6

2 2 2 (3)∵ c ? 6 ,∴ a ? b ? c ? 6 ,①

又由 a : b ? 2:1 代入①得 4b ? b ? 6 ,
2 2

∴ b ? 2 ,∴ a ? 8 ,又∵焦点在 x 轴上,
2 2

x2 y2 ? ? 1。 8 2 y 2 x2 (4)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a b 2 2 ∴ 2 ? 1 ,∴ b ? 2 , b 2 2 2 又∵ a ? b ? 5 ,∴ a ? 3 , y 2 x2 ? ? 1. 所以,椭圆的标准方程为 3 2
所以,椭圆的标准方程为 例 2.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该 椭圆的离心率为( (A) 2 例 3.已知椭圆 C : (B) )

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B , 2 ? ??? ? ??? ? ???? 若 FA ? 3FB ,则 | AF | =( )
A.

2

B. 2

C. 3

D. 3

【解析】 过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB ,

??? ?

??? ?

故 | BM |? 【答案】A

2 2 2 2 ?| AF |? 2 .故选 A ? ? .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? 2 3 3 3

例 4.点 P 在椭圆 7x2+4y2=28 上,则点 P 到直线 3x-2y-16=0 的距离的最大值为 12 16 13 13 A. B. 13 13 24 28 13 13 C. D. 13 13

? ? x ? 2 cos ? , 解析:化椭圆方程为参数方程 ? (α 为参数). ? y ? 7 sin ? ?
∴点 P 到直线 3x-2y-16=0 的距离为 d=

| 6 cos ? ? 2 7 sin ? ? 16 | | 8 cos(? ? ? ) | ?16 = . 13 13

∴dmax=

24 24 = 13 . 13 13

答案:C 例 5.点 M 到一个定点 F(0,2)的距离和它到一条定直线 y=8 的距离之比是 1∶2,则 M 点的 轨迹方程是__________. 解析:根据椭圆第二定义可知,椭圆焦点为(0,2),y= 由 c=2,

1 a2 =8,e= . c 2

a2 c 2 1 =8,得 a=4,满足 e= = = . c a 4 2 2 2 y x ∴椭圆方程为 + =1. 16 12 y2 x2 答案: + =1 16 12 x2 y2 例 6.椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 横 9 4 坐标的取值范围是__________. 5 5 解析:设 P 点横坐标为 x0,则|PF1|=a+ex0=3+ x0,|PF2|=a-ex0=3- x0.∠F1PF2 为钝 3 3 3 3 角,当且仅当|F1F2|2-|PF1|2-|PF2|2>0,解之即得- <x0< . 5 5
答案:-

3 5 3 5 <x0< 5 5

x2 y2 + =1(a>b>0)的左焦点为 F1(-2,0),左准线 l1 与 x 轴交于 a2 b2 点 N(-3,0),过点 N 且倾斜角为 30°的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)求直线 l 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上.
例 7.(本小题满分 8 分)设椭圆

(1)解:可知直线 l:y= 由 c=2 及

3 (x+3). 3

a2 =3,解得 a2=6, c
x2 y2 + =1. 6 2
① ②

∴b2=6-22=2.∴椭圆方程为

? x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 0, ? (2)证明:联立方程组 ? 3 ( x ? 3), ?y ? 3 ?
将②代入①,整理得 2x2+6x+3=0.

3 . 2 1 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) y1 y2 方法一:k F1 A ?k F1 B = ? =3 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=-3,x1x2=

3 ? 3 ? (?3) ? 9 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 = = 2 =-1, 3?x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4? ? 3 ? 3? ? 2 ? (?3) ? 4? ?2 ?
∴F1A⊥F1B,即∠AF1B=90°. ∴点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上. 方法二: F1 A ? F1B =(x1+2,y1)?(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2 =x1x2+2(x1+x2)+4+ =

1 [x1x2+3(x1+x2)+9] 3

4 x1x2+3(x1+x2)+7=0, 3 ∴F1A⊥F1B,则∠AF1B=90°. ∴点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上.

第二讲
1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹

双曲线
▲y

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

N的轨迹是椭圆

⑴① 双 曲 线 标 准 方 程 :
Ax 2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) . 一 般 方 程 :

⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶 点 : (a,0), (?a,0)
x2 a2 ? y2 b2 ?0
a2 . c

焦 点 : (c,0), (?c,0) 准 线 方 程 x ? ?

a2 c

渐近线方程:

x y ? ?0 或 a b

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,?a), (0, a) . 焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y ? ?
? x ? a sec ? ? x ? b tan? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? a b a b ? y ? b tan? ? y ? a sec ?

渐近线

方程:

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ? (两准线的距离);通径 线方程
x2 a2 ? y2 b2
2b 2 . a

c . a

④准线距

2a 2 c

⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

c . a

⑥焦点半径公式:对于双曲

? 1 ( F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则:
MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF 1 ? MF 2 ? 2a


M ?F 1 ? ?ex 0 ? a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a
y

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

径要带符号计算,而双曲线不带符号)
MF 1 ? ey 0 ?a MF 2 ? ey 0 ? a M ?F 1 ? ?ey 0 ? a M ?F 2 ? ?ey 0 ?a ? ?
F1 M'



y F1 M x F2 M' F2 x

M

⑶等轴双曲线: 双曲线 x 2 ? y 2 ? ? a 2 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 y ? ? x , 离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭 双曲线.
x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . 2 a b a b a b

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2 a
2

?

y2 b
2

? ? (? ? 0) 的渐近线方程为

x2 a
2

?

y2 b2

? 0 如果双曲线的


x2 y2 x y 渐近线为 ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b

y

4

3

2 1
x

1 1 例如:若双曲线一条渐近线为 y ? x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2

F1

53
F2

解:令双曲线的方程为:

1 x2 x2 y2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 ? ? 1. 8 2 4 2

3

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐 近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线 离比为 m︰n.
PF 1 d1 简证: ? e d2 PF 2 e
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 例 1. (1) 已知焦点 F1 (5, 0), F2 (?5, 0) , 双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 , 求双曲线的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程; (2)求与椭圆 25 5
(3)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P , P2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) , 1 求双曲线的标准方程。 解析:(1)因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

9 4

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a 2 b2 2 2 2 ∵ 2a ? 6, 2c ? 10 ,∴ a ? 3, c ? 5 ,∴ b ? 5 ? 3 ? 16 。
所以所求双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 9 16

x2 y 2 , 0) ? ? 1 的 焦 点 为 ( 2 5 , 0 )? ( 2 5 ,, 可 以 设 双 曲 线 的 方 程 为 (2)椭圆 25 5

x2 y2 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 20 。 2 a b 18 2 又∵过点 (3 2, 2) ,∴ 2 ? 2 ? 1 。 a b
综上得, a ? 20 ? 2 10, b ? 2 10 ,所以
2 2

x2 y2 ? ?1。 20 ? 2 10 2 10

(3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为

y x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a 2 b2 ∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1
? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? a 2 ? 16 1 1 ? 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , 1 1 a b ? ? ? b2 9 ? 2 ? a ? 16 y 2 x2 ? ∴? 2 即双曲线的标准方程为 ? ? 1。 16 9 ?b ? 9 ?
例 2.已知双曲线

2

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2
) 0 D. 4
2 2

y ? x ,点 P( 3, y 0 ) 在双曲线上.则 PF1 ? PF2 =(
A. -12 B. -2 C.

【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于 是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且 P ( 3 ,1) 或 P( 3 ,?1) .不妨去 P ( 3 ,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1) , PF2 ? (2 ? 3,?1) .
∴ PF1 ? PF2 = (?2 ? 3,?1)( 2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3 )( 2 ? 3 ) ? 1 ? 0 【答案】C 例 3.已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C b2
( ) D.

于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m

A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

9 5

【解析】设双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 b2
3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角

N , BD ? AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率 为
60???BAD ? 60?,| AD |?
由双曲线的第二定义有

1 | AB | , 2

? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ??? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 ??? 5 ??? ? ? 1 6 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? . e 2 5
【答案】A

x2 y2 - =-1 有两个交点,则直线 l 的斜率的取值范围是 4 3 3 3 3 3 A.(- , ) B.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2 2 2 3 3 3 3 C.[- , ] D.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 2 2 3 3 y2 x2 解析:双曲线方程 - =1,其渐近线的斜率 k=± ,当直线 l 的斜率为± 时,直 2 2 3 4 线与渐近线重合,直线 l 与双曲线无交点,排除 C、D.又双曲线的焦点在 y 轴上,当 3 3 - <k< 时,直线与双曲线无交点. 2 2 答案:B 例 5. 一条直线与双曲线及渐近线相交,求证这条直线夹在双曲线与渐近线之间的两条线段 相等。
例 4.过原点的直线 l 与双曲线 证明:设双曲线为

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 ,则渐近线方程为 2 ? 2 ? 0 a2 b a b

又设直线方程为 y?k ?m ,四个交点依次为 A、B、C、D 要证 | A |?C |,只要证 x B | D AD 与 BC 有共同的中点即可, y?k ?m 把 分别代入双曲线方程和渐近线方程, 并整理得: x

(2?2 2 x? 2 m a 2?2 2? b a ) 2 2 kx 2 k a ?ma b 0 (2?2 2 x? 2 m a 2? b a ) 2 2 kx 2 k a ?m 0
由韦达定理得 AD 和 BC 的中点横坐标都为

a 2 km ,故两中点重合。 b2 ? a2k 2

?| AB| ?| CD| ,即直线夹在双曲线与渐近线之间的两条线段相等。
例 6.例 48. 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于直线 y=2x 对称的两点 A、 B?若存在, 试求出 A、 B 两点的坐标;若不存在,说明理由.

. 解:设 AB:y=?

1 x+m,代入双曲线方程得 11x2+4mx?4(m2+1)=0, 2

这里△=(4m)2?4?11[?4(m2+1)]=16(2m2+11)>0 恒成立,

1 2m 12m 4m , x0=? ∴ ,y0=? x0+m= , 11 2 11 11 若 A、B 关于直线 y=2x 对称,则 M 必在直线 y=2x 上,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x0,y0),则 x1+x2=?



1 12m 4m =? 得 m=1,由双曲线的对称性知,直线 y=? x 与双曲线的交点的 A、B 必关 2 11 11

于直线 y=2x 对称. ∴存在 A、B 且求得 A(

2 11

,?

1 11

),B(?

2 11



1 11

)


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